Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.
Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do :
ponieważ , otrzymujemy:
zatem:
Jak łatwo zauważyć wartość nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:
Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt jest wyrażony w stopniach, w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:
Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast pisze się po prostu .
Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi . Wówczas wykorzystując zależność otrzymujemy zależność:
dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:
DEFINICJA
Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi , który wyznacza ten łuk:
Jednostką miary łukowej jest radian.
Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.
Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi , a w radianach . Zatem:
Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:
(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).
Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:
Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.
Przykład 1
Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową
a)
b)
c)
Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:
a) I sposób za pomocą proporcji:
-
-
czyli:
II sposób, wykorzystując wzór:
b)
c)
Przykład 2
Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową
a)
b)
b)
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:
