Matematyka dla liceum/Trygonometria/Miara łukowa kąta

Miara łukowa kątaEdytuj

miara łukowa, radian

Narysujmy okrąg o promieniu r, a na nim zaznaczmy łuk L, dla którego kąt środkowy oparty o ten łuk będzie wynosił  . Znajdźmy wzór na długość tego łuku.

Intuicyjnie długość łuku do obwodu okręgu jest równa mierze kąta w stopniach do  :

 

ponieważ  , otrzymujemy:

 

zatem:

 

Jak łatwo zauważyć wartość   nie zależy od promienia naszego okręgu, tylko od kąta, który tworzy nasz łuk. Wartość ta nazywana jest miarą łukową kąta dla kąta  . W ogólności wzór na długość łuku wyznaczonego przez kąt   (wyznaczonego w stopniach) przybierze postać:

 

Tak jak długość nie musi wyrażać się w metrach, tak też kąt nie musi wyrażać się w stopniach. Możemy wykorzystać inną jednostkę kąta, jakim jest radian. Wtedy wartość kąta jest wyrażana w tzw. mierze łukowej. Załóżmy, że kąt   jest wyrażony w stopniach,   w radianach, wówczas wartości tych kątów wiąże zależność:

 

Jednostką miary łukowej jest radian, który w skrócie zapisywany jest przez rad. Często przy podawaniu kąta wyrażonego w mierze łukowej pomija się jednostkę np. zamiast   pisze się po prostu  .

Powróćmy znowu do wzoru na długość łuku L, tym razem jednak załóżmy, że kąt na którym jest oparty łuk jest wyrażony w radianach i wynosi  . Wówczas wykorzystując zależność   otrzymujemy zależność:

 

dzieląc obustronnie przez r otrzymujemy:

 


 
DEFINICJA

Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości łuku do długości promienia. Jest ona równa kątowi  , który wyznacza ten łuk:

 

Jednostką miary łukowej jest radian.

Ten drugi wzór jest o wiele łatwiejszy do zapamiętania.

Zauważmy, że miara kąta pełnego wyrażonego w stopniach wynosi  , a w radianach  . Zatem:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Aby zamienić stopnie na radiany możemy wykorzystać wcześniej wzór:

 

(który był przedstawiony wcześniej, lecz w nieco innej postaci).

Odwrotnie, aby zamienić radiany na stopnie wykorzystujemy wzór:

 

Możemy go otrzymać przekształcając poprzedni wzór.

Przykład 1 Zamieńmy miarę stopniową na miarę łukową

a)  
b)  
c)  

Wówczas możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
  -  
  -  
czyli:
 
 
 
II sposób, wykorzystując wzór:
 
 
b)  
c)  

Przykład 2 Zamieńmy miarę łukową na miarę stopniową

a)  
b)  
b)  

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, możemy to zrobić na dwa sposoby:

a) I sposób za pomocą proporcji:
  -  
  -  
zatem:
 
 
 
 
II sposób, wykorzystując wzór:
 
b)  
c)