Matematyka dla liceum/Trygonometria/Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

tożsamości trygonometryczne

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

$tg\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

$ctg\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

$tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$

---

Dowód prawdziwości $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$:

dowód tożsamości trygonometrycznej

$\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}={\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1$

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa możemy stwierdzić, że ${\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1$ ponieważ

$a^{2}+b^{2}=c^{2}{\Big /}\cdot {\frac {1}{c^{2}}}$

${\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}={\frac {c^{2}}{c^{2}}}$

${\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1$

Dowód prawdziwości $tg\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

dowód tożsamości trygonometrycznej

$tg\alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {\frac {a}{c}}{\frac {b}{c}}}={\frac {a}{c}}\cdot {\frac {c}{b}}={\frac {a}{b}}$

Dowód prawdziwości $ctg\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}$

dowód tożsamości trygonometrycznej

$ctg\alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\frac {b}{c}}{\frac {a}{c}}}={\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}={\frac {b}{a}}$

Dowód prawdziwości $tg\alpha \cdot ctg\alpha =1$

dowód tożsamości trygonometrycznej

$tg\alpha \cdot ctg\alpha ={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$

Pozostałe tożsamości trygonometryczne

Funkcje sumy i różnicy kątów

funkcje trygonometryczne sumy kątów, funkcje trygonometryczne różnicy kątów

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +cos\alpha \cdot \sin \beta$

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta -cos\alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -sin\alpha \cdot \sin \beta$

$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta +sin\alpha \cdot \sin \beta$

$tg(\alpha +\beta )={\frac {tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha \cdot tg\beta }}$ ,     jeżeli     $\cos \alpha \neq \;0\land \cos \beta \neq \;0\land \cos(\alpha +\beta )\neq \;0$

$tg(\alpha -\beta )={\frac {tg\alpha -tg\beta }{1+tg\alpha \cdot tg\beta }}$ ,     jeżeli     $\cos \alpha \neq \;0\land \cos \beta \neq \;0\land \cos(\alpha -\beta )\neq \;0$

$ctg(\alpha +\beta )={\frac {ctg\alpha \cdot ctg\beta -1}{ctg\alpha +ctg\beta }}$ ,     jeżeli     $\sin \alpha \neq \;0\land \sin \beta \neq \;0\land \sin(\alpha +\beta )\neq \;0$

$ctg(\alpha -\beta )={\frac {ctg\alpha \cdot ctg\beta +1}{ctg\beta -ctg\alpha }}$ ,     jeżeli     $\sin \alpha \neq \;0\land \sin \beta \neq \;0\land \sin(\alpha -\beta )\neq \;0$

Sumy i różnice funkcji trygonometrycznych

suma funkcji trygonometrycznych, różnica funkcji trygonometrycznych

Dla dowolnych kątów o miarach $\alpha$ i $\beta$

$\sin \alpha +\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\sin \alpha -\sin \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$

Funkcje kąta podwójnego

funkcje trygonometryczne podwójnego kąta

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha$

$tg2\alpha ={\frac {2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha }}$,     jeżeli     $\cos \alpha \neq \;0\land \cos 2\alpha \neq \;0$

$ctg2\alpha ={\frac {ctg^{2}\alpha -1}{2ctg\alpha }}$,     jeżeli     $\sin 2\alpha \neq \;0$