Matematyka dla liceum/Wielomiany/Równania wielomianowe
Na początek definicja.
DEFINICJA Równanie wielomianowe to równanie otrzymane poprzez przyrównanie danego wielomianu do zera. |
Zobaczmy na przykłady:
Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich , dla których wielomian jest równy zero. Niestety problem ten z reguły nie jest łatwy, jednak w standardowych zadaniach trzeba będzie z reguły skorzystać:
- ze wzorów skróconego mnożenia
- z dzielenia wielomianów i twierdzenia Bézout'a
- z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych
- metody podstawiania (tzn. sprawdzamy, czy dla danego x zachodzi W(x) = 0)
Twierdzenie Bézout Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a). |
TWIERDZENIE Jeśli jest wymiernym pierwiastkiem wielomianu , to dzieli i dzieli . |
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia
edytuj
Wyciągamy x przed nawias
Zauważmy, że wyrażenie można zapisać korzystając ze wzoru , czyli:
Teraz przyrównujemy:
Rozwiązaniem równania są liczby 0 i 3.