Matematyka dla liceum/Wielomiany/Rozkład wielomianów na czynniki


Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawiasEdytuj

Przykład:  

Niech:  

   

   

 

Zatem:   1-x3=x2-x

Grupowanie wyrazówEdytuj

Przykład:

 (x - 5)+2(x - 5) 

 (x - 4)+(x - 4) 

Zastosowanie twierdzenia BézoutaEdytuj

TWIERDZENIE

Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x – p).


To twierdzenie nosi nazwę Twierdzenia Bézouta. Dla dowodu załóżmy, że liczba   jest pierwiastkiem wielomianu  . Na mocy twierdzenia o dzieleniu z resztą mamy  , gdzie   jest pewną stałą, a   - wielomianem. Podstawiając   dostajemy  , zatem wielomian   jest podzielny przez dwumian  . Odwrotnie, niech  , gdzie   jest pewnym wielomianem. Wówczas  , co kończy dowód.


Na podstawie tego twierdzenia można powiedzieć, że jeżeli wielomian jednej zmiennej posiada pierwiastek, to rozkłada się na czynniki.

Przykład:

 

Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:

 

Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4

Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).

Otrzymujemy  

Niech:  . Dokonujemy rozkładu P(x).

 

Ostatecznie