Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias
edytuj
Przykład:
T
(
x
)
=
x
3
−
3
x
2
−
4
x
=
x
(
x
2
−
3
x
−
4
)
{\displaystyle T(x)=x^{3}-3x^{2}-4x=x(x^{2}-3x-4)}
Niech:
P
(
x
)
=
x
2
−
3
x
−
4
=
0
{\displaystyle P(x)=x^{2}-3x-4=0}
Δ
=
9
+
16
=
25
{\displaystyle \Delta ~=9+16=25}
Δ
=
5
{\displaystyle {\sqrt {\Delta ~}}=5}
x
1
=
3
−
5
2
=
(
−
2
)
2
=
(
−
1
)
{\displaystyle x_{1}~={\frac {3-5}{2}}={\frac {(-2)}{2}}=(-1)}
x
2
=
3
+
5
2
=
8
2
=
4
{\displaystyle x_{2}~={\frac {3+5}{2}}={\frac {8}{2}}=4}
P
(
x
)
=
x
2
−
3
x
−
4
=
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
{\displaystyle P(x)=x^{2}-3x-4=(x+1)(x-4)}
Zatem:
T
(
x
)
=
x
3
−
3
x
2
−
4
x
=
x
(
x
2
−
3
x
−
4
)
=
x
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
{\displaystyle T(x)=x^{3}-3x^{2}-4x=x(x^{2}-3x-4)=x(x+1)(x-4)}
Grupowanie wyrazów
edytuj
Przykład:
W
(
x
)
=
x
3
−
5
x
2
+
2
x
−
10
=
(
x
3
−
5
x
2
)
+
(
2
x
−
10
)
=
x
2
{\displaystyle W(x)=x^{3}-5x^{2}+2x-10=(x^{3}-5x^{2})+(2x-10)=x^{2}}
(x - 5) +2(x - 5)
=
(
x
−
5
)
(
x
2
+
2
)
{\displaystyle =(x-5)(x^{2}+2)}
Q
(
x
)
=
2
x
3
−
8
x
2
+
x
−
4
=
(
2
x
3
−
8
x
2
)
+
(
x
−
4
)
=
2
x
2
{\displaystyle Q(x)=2x^{3}-8x^{2}+x-4=(2x^{3}-8x^{2})+(x-4)=2x^{2}}
(x - 4) +(x - 4)
=
(
x
−
4
)
(
2
x
2
+
1
)
{\displaystyle =(x-4)(2x^{2}+1)}
Zastosowanie twierdzenia Bézouta
edytuj
TWIERDZENIE Liczba p jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy,
gdy wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x – p).
Twierdzenia Bézouta . Dla dowodu załóżmy, że liczba
p
{\displaystyle p}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
W
(
x
)
=
(
x
−
p
)
Q
(
x
)
+
C
{\displaystyle W(x)=(x-p)Q(x)+C}
C
{\displaystyle C}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
x
=
p
{\displaystyle x=p}
W
(
p
)
=
(
p
−
p
)
Q
(
p
)
+
C
=
C
{\displaystyle W(p)=(p-p)Q(p)+C=C}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
x
−
p
{\displaystyle x-p}
W
(
x
)
=
(
x
−
p
)
P
(
x
)
{\displaystyle W(x)=(x-p)P(x)}
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
W
(
p
)
=
(
p
−
p
)
P
(
p
)
=
0
{\displaystyle W(p)=(p-p)P(p)=0}
Przykład:
W
(
x
)
=
x
3
−
x
2
−
14
x
+
24
{\displaystyle W(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24}
Pierwiastkiem tego wielomianu jest x = (-4), ponieważ:
W
(
(
−
4
)
)
=
(
−
4
)
3
−
(
−
4
)
2
−
14
⋅
(
−
4
)
+
24
=
(
−
64
)
−
16
+
56
+
24
=
0
{\displaystyle W((-4))=(-4)^{3}-(-4)^{2}-14\cdot (-4)+24=(-64)-16+56+24=0}
Wielomian W(x), na podstawie twierdzenia Bezouta, jest podzielny przez dwumian Q(x) = x + 4
Wykonujemy dzielenie W(x) : Q(x).
Otrzymujemy
W
(
x
)
=
x
3
−
x
2
−
14
x
+
24
=
(
x
+
4
)
(
x
2
−
5
x
+
6
)
{\displaystyle W(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24=(x+4)(x^{2}-5x+6)}
Niech:
P
(
x
)
=
x
2
−
5
x
+
6
{\displaystyle P(x)=x^{2}-5x+6}
P
(
x
)
=
x
2
−
5
x
+
6
=
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
{\displaystyle P(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}
Ostatecznie
W
(
x
)
=
x
3
−
x
2
−
14
x
+
24
=
(
x
+
4
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
{\displaystyle W(x)=x^{3}-x^{2}-14x+24=(x+4)(x-2)(x-3)}
