Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

Rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

nierówności logarytmiczne, rozwiązywanie nierówności logarytmicznych

DEFINICJA Nierównością logarytmiczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami nierówności logarytmicznych są: $\log x>5$ $\log _{2}(x^{2}+1)\leq 3$ $\log _{x+1}4<4$

Ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest malejąca dla podstawy należącej do przedziału $(0;1)$, dlatego przy pozbywaniu się logarytmu z nierówności należy zmienić znak na przeciwny. Natomiast dla podstawy zawierającej się w $(1;+\infty )$ zostawiamy znak taki, jaki był. Zresztą zaraz zobaczymy to na przykładach.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność $\log _{3}x>4$.

1. Ustalamy dziedzinę: $x\in \mathbb {R} _{+}$
2. Ponieważ podstawa logarytmu jest większa od 1, więc nie zmieniamy znaku na przeciwny, zatem:

   $\log _{3}x>4\iff x>3^{4}$

   $x>81$

3. Znajdujemy cześć wspólną rozwiązania z dziedziną, czyli:

   $(x\in (81;+\infty )\land x\in (0;+\infty ))\iff x\in (81;+\infty )$

4. Odp. $x\in (81;+\infty )$

Przykład 2

Rozwiążmy nierówność $\log _{0{,}5}(x^{2})<4$

1. Ustalamy dziedzinę:

   $x^{2}>0\iff x\neq 0$, czyli:

   $D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$

2. Podstawa logarytmu (czyli $0{,}5$)zawiera się w przedziale $(0;1)$, więc musimy zmienić znak nierówności na przeciwny:

   $\log _{0{,}5}(x^{2})<4\iff x^{2}>(0{,}5)^{4}$ i otrzymujemy, że:

   $x^{2}-(0{,}5)^{4}>0\iff x^{2}-(0{,}25)^{2}>0\iff (x-0{,}25)(x+0{,}25)>0$

   czyli $x\in (-\infty ;-0{,}25)\cup (0{,}25,+\infty )$

3. Teraz znajdujemy część wspólną tego rozwiązania z dziedziną, czyli:

   $x\in ((-\infty ;-0{,}25)\cup (0{,}25,+\infty ))\cap (\mathbb {R} \backslash \{0\})\iff x\in (-\infty ;-0{,}25)\cup (0{,}25,+\infty )$

   Odp. $x\in (-\infty ;-0{,}25)\cup (0{,}25,+\infty )$

Przykład 3

Zajmijmy się teraz taką nierównością $\log _{\frac {1}{3}}x^{2}\leq 4$:

1. $D=R\backslash \{0\}$
2. $\log _{\frac {1}{3}}x^{2}\leq 4\iff x^{2}\geq \left({\frac {1}{3}}\right)^{4}$, ponieważ podstawa jest mniejsza od 1
3. $x^{2}-\left({\frac {1}{3}}\right)^{4}\geq 0$
4. $\left(x-{\frac {1}{9}}\right)\left(x+{\frac {1}{9}}\right)\geq 0$
5. Czyli $x\in \left(-\infty ;-{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {1}{9}};+\infty \right)$
6. Biorąc część wspólną z dziedziną otrzymujemy, że $x\in \left(-\infty ;-{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {1}{9}};+\infty \right)$
7. Odp. $x\in \left(-\infty ;-{\frac {1}{9}}\right]\cup \left[{\frac {1}{9}};+\infty \right)$

Przykład 4

Rozwiążmy nierówność $\log _{3x-3}16<2$:

1. Ustalamy dziedzinę:

   Ponieważ podstawa logarytmu musi należeć do zbioru $(0;1)\cup (1;+\infty )$, więc będzie także w tym przypadku. Mamy:

   $(3x-3)\in (0;1)\cup (1;+\infty )$

   czyli $D=\left(1;{\frac {4}{3}}\right)\cup \left({\frac {4}{3}};+\infty \right)$

2. Teraz musimy rozważyć dwa przypadki, co będzie, gdy $x\in \left(1;{\frac {4}{3}}\right)$ i gdy $x\in \left({\frac {4}{3}};+\infty \right)$, ponieważ w pierwszym przypadku będziemy musimy zmienić znak nierówności na przeciwny, a w drugim nie.
   • dla $x\in \left(1;{\frac {4}{3}}\right)$

     $\log _{3x-3}16<2\iff 16>(3x-3)^{2}\iff (3x-3)^{2}-16<0$, tu możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:

     $(3x-3-4)(3x-3+4)<0\iff 3\left(x-{\frac {7}{3}}\right)\cdot 3\left(x+{\frac {1}{3}}\right)<0$

     czyli $x\in \left(-{\frac {1}{3}};{\frac {7}{3}}\right)$, a także $x\in \left(1;{\frac {4}{3}}\right)$ (z założenia)

     czyli $x\in \left(1;{\frac {4}{3}}\right)$

   • dla $x\in \left({\frac {4}{3}};+\infty \right)$

     $\log _{3x-3}16<2\iff 16<(3x-3)^{2}\iff 3\left(x-{\frac {7}{3}}\right)\cdot 3\left(x+{\frac {1}{3}}\right)>0$

     czyli $x\in \left(-\infty ;-{\frac {1}{3}}\right)\cup \left({\frac {7}{3}};+\infty \right)$ i $x\in \left({\frac {4}{3}};+\infty \right)$

     czyli $x\in \left({\frac {7}{3}};+\infty \right)$

3. Ostatecznie podsumowując te dwa przypadki otrzymujemy, że $x\in \left(1;{\frac {4}{3}}\right)\cup \left({\frac {7}{3}};+\infty \right)$
4. Odp. $x\in \left(1;{\frac {4}{3}}\right)\cup \left({\frac {7}{3}};+\infty \right)$