Matematyka dla liceum/Funkcja wykładnicza i logarytmiczna/Rozwiązywanie równań logarytmicznych

Rozwiązywanie równań logarytmicznych

równania logarytmiczne, rozwiązywanie równań logarytmicznych

DEFINICJA Równaniem logarytmicznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje jedynie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu. Przykładami równań logarytmicznych są: $\log _{4}x=-2$ $\log _{x+3}27=-2$ $\log _{\frac {1}{2}}3-x=1$

Wyznaczając rozwiązania równania logarytmicznego powinno się:

1. Ustalić dziedzinę
2. Rozwiązać równanie. Mogą się okazać przydatne poniższe własności logarytmów:
   • $\log _{n}b=x\iff b=n^{x}$ np. $\log _{\frac {1}{2}}(3-x)=2\iff 3-x=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$
   • Z równości logarytmów o tych samych podstawach wynika równość liczb logarytmowanych np. $\log _{3}(x+3)=\log _{3}(x^{2}+1)\iff x+3=x^{2}+1$, ze względu na to, że funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa.
3. Podać odpowiedź.

Przykład 1

Rozwiążmy równanie $\log _{2}x=5$.

1. Ustalamy dziedzinę: $x\in \mathbb {R} _{+}$
2. Własność $\log _{n}b=x\iff b=n^{x}$ sprawdzi się w tym przypadku. Otrzymamy

   $\log _{2}x=5\iff x=2^{5}=32$

3. Odp. $x=32$

Przykład 2

Chcemy rozwiązać równanie $\log _{3}(4-{\frac {1}{5}}x)=2$. Możemy to zrobić w ten sposób:

1. Ustalamy dziedzinę:

   $4-{\frac {1}{5}}x>0\iff -{\frac {1}{5}}x>-4\iff x<20$

   Zatem mamy równanie $\log _{3}(4-{\frac {1}{5}}x)=2,~D=(-\infty ;20)$

2. Z własności $\log _{n}b=x\iff b=n^{x}$ i przekształcając odrobinę to równanie otrzymujemy:

   $\log _{3}(4-{\frac {1}{5}}x)=2\iff 4-{\frac {1}{5}}x=3^{2}$

   $-{\frac {1}{5}}x=5$

   $x=-25,~\in D$

3. Czyli rozwiązaniem tego równania jest -25.

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $\log _{5}{x^{2}}=3$.

1. Ustalamy dziedzinę:

   Liczba logarytmowana musi być większa od 0, dlatego zakładamy, że $x^{2}>0\iff x\neq 0$. Zatem $D=\mathbb {R} \backslash \{0\}$.

2. $\log _{5}{x^{2}}=3\iff x^{2}=5^{3}=125$
3. I znajdujemy pierwiastki równania:

   $x^{2}-125=0$

   $(x-5{\sqrt {5}})(x+5{\sqrt {5}})=0$

   czyli $x_{1}=5{\sqrt {5}}\in D$ i $x_{2}=-5{\sqrt {5}}\in D$

4. Odp. $x\in \{-5{\sqrt {5}};5{\sqrt {5}}\}$

Przykład 4

Rozwiążmy równanie $\log _{2}^{2}x-10\log _{2}x+16=0$. (Pamiętamy, że $\log _{2}^{2}x=(\log _{2}x)^{2}$, a nie $\log _{2}(x^{2})$.)

1. Ustalamy dziedzinę: $D=\mathbb {R} _{+}$
2. Podstawiamy zmienną pomocniczą $t=\log _{2}x$ do równania $\log _{2}^{2}x-10\log _{2}x+16$ i otrzymujemy:

   $t^{2}-10t+16$

3. $\Delta =10^{2}-4\cdot 16=36$, ${\sqrt {\Delta }}=6$.
4. $t_{1}={\frac {10-6}{2}}=2$, $t_{2}={\frac {10+6}{2}}=8$
5. Ponieważ $t=\log _{2}x$, więc:

   $\log _{2}x=t_{1}=2$

   $x=2^{2}=4\in D$

   lub $\log _{2}x=t_{2}=8$

   $x=2^{8}=256\in D$

6. Odp. $x\in \{4;256\}$

Przykład 5

Spróbujmy rozwiązać równanie $\log _{2}x-\log _{4}x=3$.

1. Ustalamy dziedzinę: $D=\mathbb {R} _{+}$
2. Obydwa logarytmy musimy sprowadzić do wspólnej podstawy. W tym celu wykorzystujemy wzór $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$. $\log _{4}x$ możemy zapisać jako ${\frac {\log _{2}x}{\log _{2}4}}={\frac {\log _{2}x}{2}}$. Zatem nasze równanie przybierze postać:

   $\log _{2}x-{\frac {\log _{2}x}{2}}=3$

   ${\frac {\log _{2}x}{2}}=3$

   Obustronnie mnożymy przez 2:

   $\log _{2}x=6$

   $x=2^{6}=64$

3. Odp. $x=64$

Przykład 6

Rozwiążmy równanie $2\log _{3}(x-3)-\log _{\frac {1}{9}}(x-3)=5$

1. Ustalamy dziedzinę: $D=(3;+\infty )$
2. Obydwa logarytmy podobnie jak w poprzednim przykładzie sprowadzamy do wspólnej podstawy otrzymując:

   $2\log _{3}(x-3)-{\frac {\log _{3}(x-3)}{\log _{3}{\frac {1}{9}}}}=5$

   $2\log _{3}(x-3)-{\frac {\log _{3}(x-3)}{-2}}=5$

   ${\frac {5}{2}}\log _{3}(x-3)=5$

3. Teraz obustronnie dzielimy przez ${\frac {5}{2}}$ i mamy:

   $\log _{3}(x-3)=2$

4. $x-3=3^{2}=9\implies x=12$
5. Odp. $x=12$

Przykład 7

Rozwiążmy równanie $2\log _{x-3}3=2$.

1. Ustalamy dziedzinę pamiętając, że podstawa logarytmu musi należeć do sumy przedziałów $(0;1)\cup (1;+\infty )$:

   $x-3\in (0;1)\cup (1;+\infty )$

   czyli $D=(3;4)\cup (4;+\infty )$

2. Skorzystamy z własności $k\log _{a}x=\log _{a}x^{k}$:

   $2\log _{x-3}3=2\iff \log _{x-3}3^{2}=2$

   zatem $\log _{x-3}9=2$

3. Ostatecznie otrzymujemy równanie kwadratowe:

   $9=(x-3)^{2}$

   $9=x^{2}-6x+9$

   $x(x-6)=0$

   Otrzymujemy: $x_{1}=0\not \in D$ i $x_{2}=6\in D$

4. Odp. $x=6$