Matematyka dla liceum/Liczby i ich zbiory/Pojęcie zbioru

Pojęcie zbioru

pojęcie zbioru, zbiór

W poprzednim rozdziale tłumaczyliśmy czym jest zbiór, a także zapoznaliśmy się z kilkoma oznaczeniami dotyczącymi zbioru takimi jak zawieranie czy moc. Dla przypomnienia spójrzmy na kilka przykładów. Przykładami zbiorów może być:

• zbiór książek,
• zbiór ciasteczek,
• zbiór możliwych do otrzymania ocen.

Załóżmy, że zbiór książek, który oznaczymy przez $K$, składa się z czterech książek o tytułach:

„W pustyni i w puszczy”,

„Matematyka dla liceum”,

„C++ w 24 godziny”,

„Angielski w 2 minuty”.

Liczba elementów, czyli inaczej moc zbioru, wynosi $|K|=4$. Jeśli książkę „Angielski w 2 minuty” oznaczymy przez a, wówczas możemy napisać $a\in K$, ponieważ książka ta należy do naszego zbioru książek K. Jednak jeśli książkę o tytule „Język niemiecki” oznaczymy przez j, wówczas zapiszemy $j\not \in K$, ponieważ nie posiadamy tej książki.

Za chwilę zobaczymy, czym jest zawieranie i równość zbioru, a także czym się one od siebie różnią. A trochę później powiemy, jak można definiować zbiory.

Zawieranie i równość zbiorów

zawieranie zbiorów, definicja zawierania zbiorów

DEFINICJA Zbiór A zawiera się w zbiorze B, kiedy każdy element należący do zbioru A należy także do zbioru B. Piszemy to w ten sposób: $A\subset B$ lub $A\subseteq B$. Zawieranie zbiorów nazywane jest także inkluzją. Zapis ten możemy czytać w różny sposób: „Zbiór A zawiera się w zbiorze B” „Zbiór A jest podzbiorem zbioru B” „Zbiór B zawiera zbiór A”

Przykład.

Oznaczmy $D_{8}$ jako zbiór wszystkich dodatnich dzielników liczby 8, a także B jako zbiór wszystkich liczb naturalnych dodatnich mniejszych od 10. Wówczas:

$D_{8}=\{1,2,4,8\}$

$B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

Ponieważ wszystkie elementy w $D_{8}$ powtarzają się także w $B$, więc zbiór $D_{8}\subset B$. Kiedy mówimy, że jeden zbiór zawiera się w drugim, mamy na myśli to, że jest on po prostu podzbiorem tego zbioru. W przykładzie zbiór $D_{8}$ jest podzbiorem $B$. Odwrotna relacja nie zachodzi, ponieważ nie wszystkie elementy w $B$ znajdują się także w $D_{8}$ np. $3\notin D_{8}$. Gdyby taka relacja zachodziła, wynikałaby wtedy równość tych zbiorów, $A=B$, co zaraz zobaczymy w kolejnej definicji.

równość zbiorów, definicja równości zbiorów

DEFINICJA Dwa zbiory A i B są równe, jeśli każdy element należący do zbioru A należy do zbioru B (czyli $A\subset B$), a także każdy element w B należy do zbioru A (czyli $B\subset A$). Tak więc: $(A=B)\iff (A\subset B\land B\subset A).$

Przykład.

Jeśli $A=\{1,2,2{\frac {1}{2}},3\}$ i $B=\{1,2,{\frac {5}{2}},3\}$, to zbiory te są równe. Jak weźmiemy dowolny element w A, znajdziemy go także w B - $A\subset B$. Podobnie jeśli weźmiemy dowolny element z B znajdziemy go także w A - $B\subset A$. Wynika z tego, że zbiory te muszą być równe.

Definiowanie zbiorów

definiowanie zbioru

Zbiory możemy definiować wymieniając wszystkie elementy danego zbioru lub podając własność, która charakteryzuje dany zbiór. Własność możemy podać słownie lub używając specjalnego zapisu, który zaraz zobaczymy.

Przykład.

Niech A oznacza zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8, wówczas możemy go opisać:

• słownie:

  zbiór liczb całkowitych dodatnich mniejszych od 8.

• wypisując wszystkie elementy:

  $A=\{1,2,3,4,5,6,7\}$,

• używając zapisu:

  $A=\{a:a\in \mathbb {Z} \land a>0\land a<8\}$

Zapis $A=\{a:a\in \mathbb {Z} \land a>0\land a<8\}$ czytamy: „zbiór A jest zbiorem wszystkich elementów a takich, że a należy do liczb całkowitych i a>0 i a<8”. Podobnie zapis $X=\{x:x\in \mathbb {R} \land x\in A\}$ możemy przeczytać „zbiór X jest zbiorem wszystkich elementów x takich, że x należy do liczb rzeczywistych i x należy do zbioru A”.

Jeśli mamy na myśli zbiór liczb rzeczywistych, często możemy skrócić nasz zapis. Na przykład $X=\{x:x\in \mathbb {R} \land x\geq 100\}$ możemy zapisać jako $X=\{x:x\geq 100\}$ i obydwa będą oznaczały to samo.

Przykład.

Oznaczmy $D_{15}$ jako zbiór dodatnich dzielników 15. Wypiszmy z tego zbioru wszystkie elementy parzyste, tworząc z nich zbiór X.

Ponieważ $D_{15}=\{1,3,5,15\}$, więc nie znajdziemy w nim żadnego elementu parzystego, w związku z tym zbiór X jest zbiorem pustym:

$X=\varnothing$.