Teoria grup przemiennych/Działania i ich własności

Definicja

Działanie to, w ogólności, funkcja z potęgi kartezjańskiej zbioru w ten sam zbiór: X X. Najczęstszym i domyślnym znaczeniem słowa działanie jest jednak działanie dwuargumentowe: XX X. Czasem ten termin bywa rozciągany na inne obiekty; np. działaniami nazywa się też:

• iloczyn skalarny wektorów, mimo że jego zbiór wartości jest na ogół inny niż argumenty, a próby zanurzania go w dziedzinie są dość naciągane;
• funkcje częściowe w podanej potędze kartezjańskiej, np. potęgowanie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i rzeczywistych. Wtedy o działaniach będących ścisłymi funkcjami – czyli określonych dla każdego zestawu argumentów – mówi się, że to działania wewnętrzne;
• funkcje wielowartościowe (multifunkcje), czyli funkcje w zbiór potęgowy wyjściowego zbioru: (2^X); przykładem jest tutaj potęgowanie liczb zespolonych, które może mieć nieskończenie wiele wartości.

Własności działań

Najważniejsze własności działań:

• przemienność
• łączność
• istnienie elementu neutralnego; czasem istnieją tylko jednostronne;
• odwracalność
• skracalność; czasem jest tylko jednostronna.

Odwracalność wymaga istnienia jedynki, a także skracalności, co można udowodnić w ramach ćwiczenia. Poza tym podane własności są dość niezależne od siebie; istnieją działania, które są:

• przemienne, ale niełączne, np. średnia arytmetyczna czy dodawanie z zaokrągleniem;
• łączne, ale nieprzemienne, np. składanie funkcji, mnożenie macierzy, sklejanie (konkatenacja) krotek itp.;
• łączne, przemienne i z elementem neutralnym, ale nieskracalne. Przykładem jest mnożenie liczb całkowitych modulo 6, gdzie 2*2 = 2*5, mimo że 2 =/= 5;
• niełączne, nieprzemienne i bez elementu neutralnego, ale skracalne, np. iloczyn kartezjański zbiorów.

Niezależność tych różnych własności można przedstawić na diagramach Venna, gdzie rozmaite komórki można wypełnić odpowiednim przykładem.

Struktury algebraiczne

Zbiór z działaniem (wewnętrznym) nazywa się strukturą algebraiczną lub magmą; ten drugi termin można zawęzić do przypadku działań dwuargumentowych. Po co dywagować o tych różnych działaniach i ich własnościach? Czy to nie jest tylko klasyfikacyjna filatelistyka i entomologia? Okazuje się, że nie tylko – niektóre struktury potrafią dzielić więcej niż podstawowe własności działań; potrafią być głęboko analogiczne, a zgodność tych własności jest tu pewną heurystyką. Algebra abstrakcyjna wyrasta na tych ścisłych analogiach – zwanych homomorfizmami – i zajmuje się badaniem ogólnych własności struktur, w oderwaniu od ich konkretnych realizacji. Przykład takiej analogii: potęgi całkowite dodatnich liczb rzeczywistych sprowadzają się do dodawania i odejmowania tych całkowitych wykładników, dzięki łączności mnożenia. Można przez to powiedzieć, że te całkowite potęgi z działaniem mnożenia (a^n,*) oraz liczby całkowite z dodawaniem (Z,+) to różne instancje nieskończonej grupy cyklicznej.

Przez niezależność własności działań istnieje całe morze różnych typów struktur algebraicznych. Najwięcej owoców przyniosło rozważanie grup – zbiorów z działaniem łącznym, z elementem neutralnym i z odwracaniem. Jednym z powodów jest to, że aksjomaty grupy są spełnione przez różne rodziny bijekcji działających wewnątrz zbioru (przekształcających go na siebie), w przypadku skończonym zwanych permutacjami. Istnieje też twierdzenie Cayleya mówiące, że rozmaite grupy są analogiczne właśnie do grup permutacji. Teoria grup jest przez to ogólną teorią odwracalnych przekształceń zbioru oraz teorią symetrii, w ogólności definiowanych właśnie przez grupy. Rozważania niezmienniczości pewnych równań na przełomie XVIII i XIX wieku doprowadziły do rozkwitu tej teorii, wykroczenia poza kontekst równań algebraicznych i do narodzin całej algebry abstrakcyjnej.