Wytrzymałość materiałów/Wiadomości wstępne

---

Wstęp

Wytrzymałość materiałów jest dziedziną wiedzy zajmującą się badaniem, opisywaniem i wyznaczaniem związków między właściwościami materiałów. Mechanika klasyczna zakłada że ciała (zbiór punktów materialnych) są nieodkształcalne (sztywne) a ich odległości między nimi nie ulegają zmianie. Powyższe przybliżenie jest wystarczająco słuszne dla niektórych przypadków, natomiast ciało rzeczywiste jest ciałem odkształcalnym które zmienia kształt i rozmiary dlatego wyodrębniono wytrzymałość materiałów.

Niniejsza książka przeznaczona jest dla studentów uczelni technicznych. Osoby które dopiero wybierają się na uczelnie wyższe powinny najpierw przyswoić wiadomości z Analizy matematycznej oraz powtórzyć materiał z matematyki.

Zagadnienia zawarte w tym opracowaniu są zaczerpnięte z literatury dlatego zachęca się aby czytelnik chcący pogłębić swą wiedzę z dziedziny "Wytrzymałość materiałów" zajrzał do specjalistycznej literatury.

Statyczna próba rozciągania

Podstawowych informacji o materiale dostarcza nam statyczna próba rozciągania przeprowadzona na próbce materiału o znormalizowanych kształtach i wymiarach. Badanie polega na rozciąganiu osiowym ze stałą prędkością aż do zerwania próbki.

(Rys. 1.1) Krzywa naprężenia dla stali

Wynikiem statycznej próby rozciąga jest krzywa naprężenia (Rys. 1.1) która jest funkcją odkształcenia $\varepsilon$ i naprężenia $\sigma$ (wykresy mogą być przedstawione w funkcji wydłużenia $\Delta L$ i siły $F$). Na tej krzywej wyróżnia się następujące punkty:

1. Granicę proporcjonalności $R_{H}$
2. Granicę sprężystości $R_{sp}$
3. Granicę plastyczności $R_{e}$
4. Granicę wytrzymałości na rozciąganie $R_{m}$
5. Zerwanie próbki

Do przeprowadzania statycznej próby rozciągania służy zrywarka w której mocuje się próbkę a następnie przy pomocy śruby napędzanej przez zespół napędowy, następuje rozciąganie próbki po przez zadanie określonego przemieszczenia śruby (wydłużenie $\Delta L$) i odczytaniu siły z jaką należy dostarczyć aby otrzymać określone wydłużenie.

Próbę rozpoczyna się przy $\Delta L=0$ i $F=0$. Na początku przy niewielkich zmianach wydłużenia występuje silna liniowa zmiana wartości siły aż do osiągnięcia granicy proporcjonalności $R_{H}$ - przy której jeszcze zachodzi wprost proporcjonalna zależność między odkształceniami i naprężeniami. W całym tym przedziale obowiązuje prawo Hooke'a. Po przekroczeniu granicy proporcjonalności występuje granica sprężystości $R_{sp}$ - przy której jeszcze nie występują odkształcenia trwałe (nieodwracalne). Wartość naprężenia przy którym występują odkształcenia trwałe nazywa się granicą plastyczności $R_{e}$. Po przekroczeniu granicy plastyczności następuje stan płynięcia materiału w którym przy znacznym wydłużeniu występują niewielkie wahania między górną a dolną granicą plastyczności. W tym przedziale nie obowiązuje prawo Hooke'a. Po obszarze płynięcia materiału następuje obszar wzmocnienia materiału. Po umocnieniu się materiału znajdujemy się na szczycie wykresu co odpowiada maksymalnej sile z jaką można rozciągać próbkę. Wartość tego naprężenia nazywamy granicą wytrzymałości na rozciąganie $R_{m}$. Po przekroczeniu granicy wytrzymałości pojawia się na próbce lokalne przewężenie, tak zwana szyjka co powoduje że w tym miejscu zmniejsza się pole przekroju pręta a co powoduje że przy wzroście odkształceń naprężenia maleją i następuje zerwanie próbki.

(Rys. 1.2) Krzywa naprężenia dla stopów kolorowych

Kształt i zakresy krzywych naprężania dla poszczególnych materiałów są różne. Na (Rys. 1.2) przedstawiono wykres naprężania dla stopów kolorowych. Z wykresu możemy zauważyć że nie ma stany płynięcia materiału oraz że zerwanie próbki następuje przy maksymalnej sile. Zerwanie próbki przy maksymalnej sile występuje między innymi w szkle, stali hartowanej, żeliwo oraz w niektórych polimerach, jednocześnie w tych przypadkach praktycznie nie występuje granica plastyczności a co za tym idzie materiały te prawie na całym zakresie zachowują się sprężyście (jedynie pod końcem następuje zakrzywienie charakterystyki). Takie materiały nazywa się sprężysto-kruchymi natomiast materiały w których widoczna jest granica plastyczności oraz występuje przy rozciąganiu lokalne przewężenie nazywamy sprężysto-plastycznymi.

Odkształcenie próbki jest sumą odkształcenia sprężystego i plastycznego (trwałego). Gdy przy rozciąganiu próbki zostanie ona zatrzymana powyżej granicy plastyczności punkt $4$ (Rys. 1.2) a następnie zostanie odciążona to powróci po linii przerywanej. Odcinek przerywany (powrotu) jest równoległy do odcinka ${\overline {12}}$. Po całkowitym odciążeniu próbka nie powraca do pierwotnego stanu z przed próby, ponieważ pozostają odkształcenia plastyczne (trwałe) które charakteryzują się tym że próbka jest dłuższa oraz węższa niż przed badaniem. Lecz jeśli znowu obciążymy tą samą próbkę to wykres zacznie się w punkcie przecięcia linii przerywanej i osi odkształceń $\varepsilon$ i będzie przebiegał po linii przerywanej aż do punktu $4$ po czym wejdzie na wykres linii ciągłej. Druga próba rozciągania różni się do pierwszej tym że ten sam wzrost naprężenia występuje przy większym odkształceniu oraz że zwiększa się zakres liniowej zależności naprężenia od odkształcenia (podwyższenie granicy plastyczności).

Dla większości metali oraz ich stopów charakterystyczne granice są takie same przy ściskaniu i rozciąganiu. Lecz w wielu przypadkach materiałów tak nie jest (żeliwo, beton, tworzywa sztuczne). Dla materiału plastycznego o określonej granicy wytrzymałości na rozciąganie po przekroczeniu granicy plastyczności przy statycznej próbie ściskania nie można wyznaczyć analogicznej "granicy wytrzymałości na ściskanie" ponieważ próbka będzie się nieograniczenie spłaszczać bez utraty spójności materiału. Statyczną próbę ściskania przeprowadza się przeważnie dla materiałów kruchych (wytrzymałość na ściskanie żeliwa szarego jest trzykrotnie wyższa od wytrzymałości na rozciąganie).

Siły zewnętrzne. Siły wewnętrzne. Naprężenia. Odkształcenia

Na ciało stałe mogą działać siły zewnętrzne które można podzielić w następujący sposób:

1. Siła objętościowa jest to siła działająca na każdy wycinek ciała np. siła ciężkości jest siłą objętościową.
2. Siła powierzchniowa jest to siła działająca na powierzchnię ciała np. ciśnienie cieczy, ciśnienie gazu, siły nacisku wzajemnie napierających na siebie dwóch klocków.
3. Siła punktowa (skupiona) jest to siła działająca punktowo np lina opasająca belkę. Jednak jest to jedynie pewne przybliżenie ponieważ w siłach kontaktowych musi występować pole powierzchni oddziałujących ze sobą ciał więc siła punktowa jest siłą powierzchniową dla której pole powierzchni działania dąży do zera ($\Delta A\rightarrow 0$ ) lub gdy jest pole kontaktu jest dużo mniejsze od wymiarów jednego ze ciał np. lina opasana na belce.

Ciało stałe składa się z cząstek materii które wzajemnie ze sobą oddziałują. Gdy dane ciało jest obciążone siłami zewnętrznymi i znajduje się w równowadze to układ musi spełniać warunki równowagi.

(Rys. 1.3) Siły wewnętrzne

Aby zaprezentować siły wewnętrzne (siły wzajemnego oddziaływania między cząsteczkami) musimy myślowo przeciąć dane ciało pewną płaszczyzną (Rys. 1.3) i wyznaczeniu takiego układu sił aby zapewniał równowagę części przeciętego cała sztywnego. Dany układ sił możemy zredukować do wypadkowej siły ${\vec {W}}$ oraz wypadkowego momentu ${\vec {M}}$ zwanym momentem głównym. Założenie ciągłości materii prowadzi do wniosku, że siły wewnętrzne są rozłożone powierzchniowo w sposób ciągły. Jednym z głównych parametrów potrzebnych do ocenienia odporności materiału na zniszczenie jest natężenie sił wewnętrznych które nosi nazwę naprężenia ${\vec {p}}$.

${\vec {p}}=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\Delta {\vec {W}}}{\Delta A}}={\frac {d{\vec {W}}}{dA}}$

(1.1)

(Rys. 1.4) Naprężenia normalne

Wektor ${\vec {W}}$ można rozłożyć na składową normalną ${\vec {W_{\sigma }}}={\vec {N}}$ - siła normalna która jest prostopadła do przekroju (równoległa do osi) oraz na składową styczną ${\vec {W_{\tau }}}={\vec {T}}$ - siła tnąca. Wektor ${\vec {M}}$ można podzielić analogicznie na ${\vec {M_{\sigma }}}={\vec {M_{s}}}$ - moment skręcający i ${\vec {M_{\tau }}}={\vec {M_{g}}}$ - moment gnący.

Jednostką naprężenia jest paskal oraz wielokrotności paskala.

$1Pa={\frac {1N}{1m^{2}}}\qquad 1MPa={\frac {1N}{1mm^{2}}}$

Gdy ciało stałe przecinamy myślowo płaszczyzna pod kątem $\theta$ do osi ciała (Rys. 1.5) to siła ${\vec {P}}={\vec {W}}$ rozkłada się na składową normalną do powierzchni przecięcia (nie jest prostopadła do osi) ${\vec {P}}cos\theta$ i na składową styczną ${\vec {P}}sin\theta$

(Rys. 1.5) Przecięcie pod kątem

Ponieważ wektor $W$ rozkłada się na dwie składowe to i naprężenie można rozłożyć na składową normalną oraz styczną.

${\vec {p}}={\vec {\sigma }}+{\vec {\tau }}$

(1.2)

(Rys. 1.6) Odkształcenie ciała dwuwymiarowego

Jednym z głównych założeń że ciała są sztywne i nie zmieniają wymiarów pod działaniem obciążenia, w rzeczywistości wszystkie ciała się deformują pod działaniem sił które działają na dane ciało. Miarą deformacji ciała jest odkształcenie.

Odkształcenie może być:

1. Liniowe $\varepsilon$
2. Kątowe $\gamma =90^{o}-\alpha -\beta$
3. Liniowe + Kątowe

$\varepsilon =\lim _{l\to 0}{\frac {\Delta l}{l}}$

(1.3)

gdzie:

$l$ - długość ciała przed odkształceniem

$\Delta l$ - długość odkształcenia ciała

Prawo Hooke'a

(Rys. 1.7) Zakres stosowania prawa Hooke'a

(Rys. 1.8) Rozciąganie i ściskanie pręta

Przy statycznej próbie rozciągania wskutek obciążenia pręta kołowego siłą osiową zauważyliśmy występowanie przedziału w którym naprężenia i odkształcenia ciała rozciąganego (ściskanego) są wzajemnie zależne. Jest to tak zwany zakres stosowania prawa Hooke'a, jak widać (Rys. 1.7) (Rys. 1.1) (Rys. 1.2) jest to linia prosta która występuje we wszystkich krzywych naprężenia w mniejszym lub większym przedziale.

Wskutek obciążenia pręt o długości początkowej $l$ osiąga długość $l+\Delta l$. Na podstawie wielokrotnych badań statycznej próby rozciągania dla różnych materiałów i wymiarów ustalono że w zakresie stosowania prawa Hooke'a wydłużenie $\Delta l$ jest proporcjonalne do siły obciążającej $P$ oraz długości $l$ pręta obciążanego a odwrotnie proporcjonalne do pola $A$ przekroju poprzecznego pręta i pewnej stałej materiałowej, natomiast nie zależy od kształtu przekroju.

$\Delta l={\frac {Pl}{EA}}$

(1.4)

gdzie:

$P$ - siła obciążająca pręt osiowo

$l$ - długość pręta osiowo-symetrycznego

$A$ - pole przekroju poprzecznego pręta dla pręta kołowego $A=\pi r^{2}$

$r$ - promień pręta kołowego

$E$ - pewna stała materiałowa

Stała materiałowa $E$ nosi nazwę modułu Younga (moduł sprężystości podłużnej). Wartość modułu Younga zależy jedynie od rodzaju materiału i ma wymiar naprężenia.

Iloczyn $EA$ nazywa się sztywnością pręta rozciąganego lub ściskanego. Po przez zwiększenie tego iloczynu powodujemy tym że trzeba przyłożyć większą siłę do danego pręta aby osiągnąć to samo wydłużenie.

Gdy rozciągany pręt siłą osiową myślowo przetniemy płaszczyzną prostopadłą do osi pręta to na pręt działa jedynie naprężenie normalne $\sigma$ równomiernie rozłożone na przekroju (Rys. 1.4). Siły elementarne $\sigma dA$ równoważy się z siłą $N=F=P$

$\int \limits _{A}\sigma dA=\sigma \int \limits _{A}dA=\sigma A=N=F=P$

(1.5)

Po przekształceniu wzoru (1.5) otrzymujemy:

$\sigma ={\frac {N}{A}}={\frac {P}{A}}$

(1.6)

Po przekształceniu wzoru (1.4) i uwzględnieniu (1.3) oraz (1.6) ostatecznie otrzymujemy prawo Hooke'a:

$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}\qquad lub\qquad \sigma =E\varepsilon$

(1.7)

W materiałach których występuje zakres stosowania prawa Hooke'a nazywamy materiałami liniowo-sprężystymi.

Przy rozciąganiu pręta prostego siłą osiową obok wydłużenia pręta wzdłuż osi występuje zwężenie pola przekroju czyli skrócenie średnicy pręta (Rys. 1.8). Skrócenie to jest stałe i zależne od odkształcenia poprzecznego $\varepsilon _{p}$. Odkształcenie poprzeczne jest proporcjonalne do odkształcenia osiowego (wzdłużnego) i określa się wzorem:

$\varepsilon _{p}=-\nu \varepsilon$

(1.8)

We wzorze (1.8) stałą materiałową $\nu$ nazywamy współczynnikiem Poissona. Jest to wielkość niemianowana i zależy od własności materiału. Minus przed współczynnikiem Poissona oznacza że odkształcenie osiowe i poprzeczne są sobie przeciwne co oznacza że gdy pręt w jednym z kierunków się wydłuża to w innym musi ulec skróceniu.

Zasada de Saint-Venanta

Wikipedia Wikipedia Zasada de Saint-Venanta

Zasada mówi, że jeśli na sprężyste ciało działa układ sił statycznych przyłożonych na powierzchni małej w stosunku do powierzchni całego ciała i zastąpimy ten układ sił dowolnym innym układem – jednak statycznie mu równoważnym (o równej sumie układu i sumie momentów sił układu względem dowolnego punktu) – to istnieje taki przekrój tego ciała, dostatecznie odległy od miejsca przyłożenia sił, że różnice w naprężeniach, odkształceniach i przemieszczeniach, pochodzących od obu przypadków obciążenia, są dowolnie małe.

W wytrzymałości materiałów zakładamy że gdy przyłożymy do pręta prostego siłę osiową (Rys. 1.4) to w dowolnym przekroju naprężenia będą stałe i wyznaczać je będziemy z wzoru (1.6). W praktyce tak nie jest ponieważ przyłożenie siły punktowej do osi pręta będzie powodowało wytworzenie w okolicy przyłożenia siły większych naprężeń niż na obrzeżach pręta (Rys. 1.9).

(Rys. 1.9) Rozciąganie pręta kołowego

Lecz gdy będziemy rozważać naprężenia w pręcie w odległości powyżej 1,5d (d - średnica pręta) od przyłożonej siły to różnic między naprężeniami na osi i obrzeżach nie będzie (Rys. 1.9) co powoduje że naprężenia są stałe i wzór (1.6) jest poprawny.