Wytrzymałość materiałów/Zginanie pręta prostego

---

Siły poprzeczne i momenty gnące w pręcie zginanym

Gdy na pręt działamy siłą osiową mamy do czynienia z rozciąganiem lub ściskaniem lecz gdy przyłożymy siłę równolegle do przekroju poprzecznego przechodzącą przez oś danego pręta to wówczas mamy do czynienia ze zginaniem. Przykładając moment siły tak aby jego wektor nie był skierowany wzdłuż osi pręta powodujemy zginanie. Na tej podstawie podzielimy zginanie na:

1. Zginanie czyste - siły wewnętrzne występują jedynie w postaci momentów gnących $M_{g}$
2. Zginanie z udziałem sił poprzecznych (tnących) - siły wewnętrzne w postaci momentów gnących $M_{g}$ oraz do sił tnących $T$

Zginanie można podzielić również ze względu na kierunek działania momentu gnącego lub siły tnącej:

1. Zginanie proste - moment gnący lub siła tnąca pokrywają się z głównymi centralnymi osiami bezwładności przekroju poprzecznego pręta
2. Zginanie ukośne - moment gnący oraz siła tnąca są dowolnie zorientowane względem głównych centralnych osi bezwładności przekroju poprzecznego pręta

Reasumując powyższe klasyfikacje dochodzimy że zginanie dzielimy na:

1. Zginanie czyste proste
2. Zginanie proste z udziałem sił poprzecznych (tnących)
3. Zginanie czyste ukośne
4. Zginanie ukośne z udziałem sił poprzecznych (tnących)

Naprężenia i odkształcenia w pręcie zginanym

Naprężenia i odkształcenia przy zginaniu czystym prostym

(Rys. 4.1) Zginanie czyste proste

Na początek zajmiemy się zginaniem czystym prostym czyli szczególnym przypadkiem kiedy na pręt działa jedynie moment jak to zobrazowano na (Rys. 4.1) gdzie mamy do czynienia z belką o przekroju kołowym, która jest utwierdzona (zamurowana) z jednej strony natomiast z drugiej jest przyłożony moment $M$. Działając na pręt momentem uzyskujemy tym że w każdym z przekrojów występuje jedynie moment gnący $M_{g}$ o stałej wartości równy momentowi przyłożonemu do końca belki.

Pręt podany działaniu momentowi gnącemu ulega odkształceniu w specyficzny sposób:

1. Zakrzywieniu ulegają jedynie linie podłużne
2. Przekroje poprzeczne pozostają nieodkształcone (są nadal płaskie) a jedynie obrócone

(Rys. 4.2) Odkształcenia w belce zginanej

(Rys. 4.3) Naprężenia w belce zginanej

Z powyższego wynika że jedna strona pręta została wydłużona a druga skrócona jak na (Rys. 4.2), a to z kolei mówi nam że w przekroju pęta występuje warstwa nieodkształcona (niewydłużona ani nieskrócona) która nie zmieniła swej długości.

Warstwę której długość nie zmienia się pod wpływem zginania nazywamy warstwą obojętną a jej umiejscowienie w przekroju pręta nazywamy linią (osią) obojętną.

Do dalszych rozważań potrzebujemy przyjąć trzy założenia:

1. Belka odkształca (ugina) się w niewielkim stopniu do jej wysokości
2. W dowolnym prostopadłym do osi przekroju belki występują jedynie naprężenia normalne wywołane momentem gnącym oznaczane w następujący sposób: $\sigma _{n}=\sigma _{g}$
3. Prostopadłe przekroje są płaskie przed odkształceniem belki, po odkształceniu są płaskie i obrócone względem punktu oraz są prostopadłe do osi obojętnej

Przeanalizujemy dowolny przekrój o grubości $dx$ (Rys. 4.1) który jest wycięty ze zginanego pręta. W przekroju tym występują naprężenia normalne $\sigma _{g}$ które są rozmieszczone w przestrzeni w następujący sposób (Rys. 4.1) lub (Rys. 4.3) co można wyrazić za pomocą poniższych zależności (warunki równowagi):

$\sum M_{z}=0\qquad \int \limits _{A}y\sigma _{g}dA=M_{g}$

$\sum M_{y}=0\qquad \int \limits _{A}z\sigma _{g}dA=0$

$\sum P_{x}=0\qquad \int \limits _{A}\sigma _{g}dA=0$

Pręt poddany zginaniu odkształca (wygina) się w łuk okręgu o promieniu $\rho$ (promień krzywizny warstwy obojętnej), natomiast skrajne krańce są obrócone względem siebie o kąt $\Psi$

Element pręta $dx$ jest obciążony momentem zginającym $M_{g}$ co powoduje jego odkształcenie. Rozpatrzymy włókno odległe od warstwy obojętnej o $y$ które zostanie rozciągnięte. Jego pierwotna długość wynosiła $dx$, natomiast po odkształceniu wydłużyła się o wartość $\varepsilon dx$ do długości $dx+\varepsilon dx=(1+\varepsilon )dx$ gdzie $\varepsilon$ jest wydłużeniem względnym (właściwym). Promień krzywizny rozpatrywanej warstwy wynosi $\rho +y$. Z zależności geometrycznych otrzymujemy:

${\frac {dx}{\rho }}={\frac {(1+\varepsilon )dx}{\rho +y}}$

(4.1)

stąd:

$\varepsilon ={\frac {y}{\rho }}$

(4.2)

Korzystając z prawa Hooke'a otrzymujemy:

$\sigma _{g}={\frac {E}{\rho }}y$

(4.3)

Powyższą zależność (4.3) podstawimy do równań równowagi opisujące rozkład naprężeń w pręcie, wówczas otrzymujemy

$\sum M_{z}=0\qquad {\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}y^{2}dA=M_{g}$

(4.4)

$\sum M_{y}=0\qquad {\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}zydA=0$

(4.5)

$\sum P_{x}=0\qquad {\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}ydA=0$

(4.6)

Spełnienie wzoru (4.6) jest gdy moment statyczny przekroju względem osi obojętnej $z$ jest równy zeru. Pociąga to za sobą wniosek że oś obojętna musi przechodzić przez środek ciężkości przekroju. Spełnienie wzoru (4.5) jest gdy moment dewiacji (zboczenia) przekroju względem osi $y,z$ jest równy zeru. Pociąga to za sobą wniosek że osie $y,z$ są głównymi osiami bezwładności. Z tego także występuje wniosek że gdy moment gnący ma kierunek zgodny z jedną ze osi obojętnych a ta oś jest jedną z głównych centralnych osi bezwładności przekroju to mamy do czynienia ze zginaniem prostym. Wzór (4.4) oraz wzór na moment bezwładności $\int \limits _{A}y^{2}dA=I_{z}$ pozwala na wyprowadzenie zależności między promieniem krzywizny, momentem gnącym oraz charakterystyk geometrycznych przekroju.

${\frac {E}{\rho }}I_{z}=M_{g}$

(4.7)

lub

${\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{g}}{EI_{z}}}$

(4.8)

Iloczyn $EI_{z}$ nazywa się sztywnością na zginanie pręta zginanego. Po przez zwiększenie tego iloczynu powodujemy tym że trzeba przyłożyć większy moment gnący do danego pręta aby osiągnąć to samo odkształcenie.

Uwzględniając wzór (4.8) i (4.3) otrzymujemy:

$\sigma _{g}={\frac {M_{g}}{I_{z}}}y$

(4.9)

Wzór (4.8) i (4.9) można stosować wyłącznie do zginania czystego prostego do granicy proporcjonalności gdy mamy do czynienia z małymi odkształceniami, ponieważ oprócz występowania odkształceń podłużnych mamy do czynienia z odkształceniami poprzecznymi. Zgodnie ze wzorem (1.8) belka z (Rys. 4.3) będzie "grubszy" tam gdzie włókna są ściskane a "cieńszy" tam gdzie włókna są rozciągane.

Naprężenia i odkształcenia przy zginaniu prostym z udziałem sił poprzecznych (tnących)

(Rys. 4.4) Zginanie proste z udziałem sił poprzecznych (tnących)

(Rys. 4.5) Odkształcenie w belce ścinanej

(Rys. 4.6) Naprężenia w belce ścinanej

Teraz zajmiemy się przypadkiem z (Rys. 4.4) gdy do belki o długości $l$ przyłożymy siłę $P$ która jest prostopadła do osi belki. Układ współrzędnych obieramy tak aby oś pokrywała się z osią $x$ a siła miała ten sam kierunek i zwrot co oś $y$. Przekrojem poprzecznym belki jest prostokąt o podstawie $b$ i wysokości $h$. Działanie siłą na koniec belki powoduje powstanie momentu gnącego $M_{g}$ zależnego od zmiennej $x$ oraz siły tnącej $T$ niezależnej od zmiennej $x$:

$M_{g}(x)=-P(l-x)$

$T(x)=P=const$

Powoduje to że w przekroju występują naprężenia normalne $\sigma _{g}$ oraz naprężenia styczne $\tau _{T}$. Ponieważ siła $P$ jest skierowana na dół to belka zamiast wyginać się w "uśmiechniętą buźkę" jak na (Rys. 4.1) to wygina się w "smutną buźkę".

$\sum M_{z}=0\qquad \int \limits _{A}y\sigma _{g}dA=M_{g}(x)$

$\sum M_{y}=0\qquad \int \limits _{A}z\sigma _{g}dA=0$

$\sum P_{x}=0\qquad \int \limits _{A}\tau _{T}dA=T$

Ponieważ w przekroju poprzecznym występuje naprężenie styczne to założenie o płaskości przekrojów nie jest spełnione. Naprężenia normalne oblicza się zgodnie ze wzorem (4.9) gdzie naprężenia zależą od momentu gnącego który jest funkcją współrzędnej $x$ oraz od zmiennej $y$, jeśli przekrój poprzeczny jest jednakowy dla całej długości belki to moment bezwładności też jest stały i nie zależy od $x$ lub $y$ co powoduje że naprężenia normalne obliczamy ze następującego wzoru:

$\sigma _{g}(x)={\frac {M_{g}(x)}{I_{z}}}y$

(4.10)

Natomiast krzywizna warstwy obojętnej obliczana ze wzoru (4.8) wynosi:

${\frac {1}{\rho (x)}}={\frac {M_{g}(x)}{EI_{z}}}$

(4.11)

Do wyznaczenia naprężeń stycznych $\tau _{T}$ wywołanych siła tnącą rozpatrywać musimy elementarny wyciek $dx$ belki odległy od zamurowania o $x$ tak jak pokazano na (Rys. 4.4). Do fragmentu belki są przyłożone momenty gnące $M_{g}$, $M_{g}+dM_{g}$ oraz siły $T$. Wytnijmy z przekroju poprzecznego belki część pola o powierzchni $A'$. Aby ten kawałek pozostawał w równowadze musi być spełniona poniższa równość:

$\tau _{T}b(y)dx=\int \limits _{A'}(\sigma _{g}+d\sigma _{g})dA'-\int \limits _{A'}\sigma _{g}dA'$

(4.12)

W powyższym wyrażeniu zmienna $b(y)$ zmienia się wraz ze zmianą wartości na osi $y$, mamy z tym do czynienia gdy przekrojem poprzecznym jest koło, trójkąt lub inna figura która wraz ze zmianą wartości $y$ zmienia swą szerokość. W naszym przypadku dla prostokąta $b(y)=b=const$. Podstawiając we wzorze (4.12) zamiast $d\sigma _{g}$ i $\sigma _{g}$ wyrażenia wynikające ze wzoru (4.10) otrzymujemy:

$\tau _{T}b(y)={\frac {dM_{g}(x)}{dx}}{\frac {\int \limits _{A'}ydA'}{I_{z}}}$

(4.13)

Z warunków równowagi momentów wycinka $dx$ belki wynika:

${\frac {dM_{g}(x)}{dx}}=T(x)$

(4.14)

Oraz po wprowadzeniu oznaczenia $S_{z}$ na moment statyczny pola $A'$ względem osi $z$

$S_{z}=\int \limits _{A'}ydA'$

(4.15)

Ostatecznie otrzymujemy wzór Żurawskiego:

$\tau _{T}={\frac {S_{z}T(x)}{I_{z}b(y)}}$

(4.16)

Dla naszego przypadku gdy przekrój poprzeczny belki jest prostokątem to moment statyczny wynosi:

$S_{z}={\frac {1}{2}}b\left({\frac {h}{2}}-y\right)\left({\frac {h}{2}}+y\right)={\frac {bh^{2}}{8}}\left[1-4\left({\frac {y}{h}}\right)^{2}\right]$

(4.17)

$I_{z}={\frac {1}{12}}bh^{3}$

$b(y)=b$

$T(x)=T$

Ostatecznie otrzymujemy:

$\tau _{T}={\frac {3}{2}}{\frac {T}{bh}}\left[1-4\left({\frac {y}{h}}\right)^{2}\right]$

(4.18)

Według tego wzoru rozkład naprężeń stycznych ma charakter paraboliczny a maksymalne naprężenia występują w warstwie obojętnej i ich wartość wynosi:

$\tau _{Tmax}={\frac {3}{2}}{\frac {T}{bh}}$

Wytrzymałość na zginanie

Wzór (4.9) przedstawia rozkład naprężeń normalnych, największe co do bezwzględnej wartości naprężenia znajdują się w najbardziej odległych punktach od osi obojętnej. Jeśli mamy dany przekrój poprzeczny pręta oraz moment gnący działający na ten pręt to możemy wyznaczyć maksymalne naprężenia jakie występują w przekroju, aby uprościć zapis wprowadźmy stałą $W$ którą nazwiemy wskaźnikiem wytrzymałości na zginaniem:

$W={\frac {I_{z}}{y_{_{MAX}}}}$

(4.19)

Jednostką miary wskaźnika wytrzymałości jest $[m^{3}]$. Po podstawieniu wyrażenia (4.19) do (4.9) daje nam to:

$\sigma _{g}={\frac {M_{g}}{W}}$

(4.20)

Zgodnie ze równaniem (4.19) po przez zmianę wymiarów przekroju i ukształtowania geometrycznego względem osi obojętnej belki można zmieniać sztywność oraz wytrzymałość zginanych elementów. Wskaźniki wytrzymałości dla typowych przekrojów są podane w tabeli.

Naprężenia w zginaniu ukośnym

(Rys. 4.7) Zginanie ukośne

(Rys. 4.8) Zasada superpozycji w belce zginanej

Ze zginaniem ukośnym (złożonym) mamy do czynienia gdy płaszczyzna obciążenia nie pokrywa się ze żadną z głównych centralnych osi bezwładności lub gdy wektor momentu gnącego nie leży na jednej z głównych centralnych osi bezwładności. Na (Rys. 4.7) mamy do czynienia z belką która jest poddana zginaniu złożonym. Siła $P$ powoduje powstanie momentu gnącego $M_{g}$ który wektor jego zależy od odległości $x$ oraz w żadnym z przekrojów nie pokrywa się z głównymi centralnymi momentami bezwładności. Moment ten jest odchylony o kąt $\alpha$ od osi $z$, po rozłożeniu go na składowe $y$ oraz $z$ otrzymujemy:

$M_{gy}=M_{g}(x)sin\alpha$

$M_{gz}=M_{g}(x)cos\alpha$

Ponieważ naprężenia normalne $\sigma$ są proporcjonalne do momentu gnącego $M_{g}$ zgodnie ze wzorem (4.9) daje nam to możliwość zastosować zasadę superpozycji:

$\sigma ={\frac {M_{gy}}{I_{y}}}z-{\frac {M_{gz}}{I_{z}}}y$

(4.21)

Co daje nam po podstawieniu:

$\sigma =M_{g}(x)\left({\frac {z}{I_{y}}}sin\alpha -{\frac {y}{I_{z}}}cos\alpha \right)$

(4.22)

W zginaniu ukośnym oś obojętna przechodzi przez środek przekroju a naprężenia normalne osiągają ekstrema w punktach najbardziej oddalonych od osi obojętnej. W celu wyznaczenia położenia osi obojętnej (lini na której naprężenia normalne są równe zeru) w przekroju poprzecznym belki musimy wzór (4.22) przyrównać do zera.

$0={\frac {z_{0}}{I_{y}}}sin\alpha -{\frac {y_{0}}{I_{z}}}cos\alpha$

(4.23)

Po przekształceniu otrzymujemy:

$tg\beta ={\frac {y_{0}}{z_{0}}}={\frac {I_{z}}{I_{y}}}tg\alpha$

(4.24)

gdzie:

$\alpha$ - kąt między wektorem momentu gnącego $M_{g}$ a osią $z$ (Rys. 4.7)

$\beta$ - kąt między linią obojętną a osią $z$ (Rys. 4.7)

$y_{0}$ ; $z_{0}$ - współrzędne punktu leżącego na osi obojętnej

Usytuowanie osi obojętnej nie zależy od wartości momentu gnącego a jedynie od stosunku dwóch głównych momentów bezwładności $I_{y}$ ; $I_{z}$ oraz kierunku wektora momentu gnącego $M_{g}$. Gdy wartości dwóch głównych momentów bezwładności są równe $I_{y}=I_{z}$ to otrzymujemy $\alpha =\beta$ co daje nam że każda dowolna oś przechodząca przez środek przekroju jest główną osią bezwładności. Wtedy w belce nie mamy do czynienia ze zginaniem ukośnym tylko z prostym, taka sytuacja ma miejsce gdy przekrojem belki jest koło, pierścień, kwadrat, trójkąt równoboczny.

Ugięcie i kąt ugięcia przy zginaniu prostym

(Rys. 4.9) Strzałka ugięcia

Zginanie pręta powoduje występowanie naprężeń i odkształcenia które powodują zakrzywienie pręta. Stopień zakrzywienia pręta wyraża się ugięciem $f$ oraz kątem ugięcia $\psi$(Rys. 4.9)

$\psi (x)={\frac {df}{dx}}$

(4.25)

Z geometrii różniczkowej krzywiznę dowolnej krzywej płaskiej przedstawia równanie:

${\frac {1}{\rho (x)}}={\frac {-{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}}{\sqrt {\left[1+\left({\frac {df}{dx}}\right)^{2}\right]^{3}}}}\approx -{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}$

(4.26)

Możemy je zaokrąglić do $-{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}$ ponieważ dużej sztywności prętów ich odkształcenia są bardzo małe, a co za tym idzie ich promienie krzywizny $\rho$ bardzo duże. Powoduje to że przemieszczenia liniowe oraz kątowe też są małe i wyrażenie z mianownika dąży do jedności.

Podstawiając wzór (4.11) do równania (4.26) otrzymujemy:

${\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}=-{\frac {M_{g}(x)}{EI_{z}}}$

(4.27)

Jest to równanie różniczkowe linii ugięcia pręta.