Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Nierówności kwadratowe

W poprzednim rozdziale opisane zostały sposoby rozwiązywania równań kwadratowych. Nierówności kwadratowe rozwiązuję się w nieco odmienny sposób.

Znalezienie rozwiązania nierówności polega na

• obliczeniu miejsc zerowych,
• narysowaniu szkicu wykresu funkcji,
• wyznaczeniu przedziału, który spełnia nierówność, przy pomocy wykresu.

Dla nierówności dwukwadratowych

• rozwiązujemy nierówność ze zmienną pomocniczą (np. $t=x^{2}$),
• uzyskane rozwiązania dla t zamieniamy na nierówności i podstawiamy $x^{2}$. Rozwiązania otrzymanych nierówności są rozwiązaniem nierówności dwukwadratowej.
• np.   $t\in (4;5)\;\rightarrow \;t>4,\,t<5\;\rightarrow \;x^{2}>4,\,x^{2}<5$     i obliczamy.

Przykłady - nierówności kwadratowe

nierówności kwadratowe, wyróżnik trójmianu kwadratowego

• Przykład 1. $x^{2}-2x-15>0$
• Przykład 2. $-x^{2}-4x+45\geq 0$
• Przykład 3. $x^{2}-5x+8<0$
• Przykład 4. $-x^{2}-6x-10<0$
• Przykład 5. $x^{4}-13x^{2}+36>0$
• Przykład 6. $x^{2}+4x-12<0$

---

• Przykład 1

$x^{2}-2x-15>0$

Jak przy równaniach liczymy deltę i miejsca zerowe:

$\Delta =(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot (-15)=64$

$x_{1}={\frac {-(-2)-{\sqrt {64}}}{2}}=-3$

$x_{2}={\frac {-(-2)+{\sqrt {64}}}{2}}=5$

Teraz naszkicujmy prowizoryczny wykres wyrażenia po lewej stronie nierówności. Rysujemy parabole, wiemy o niej, że ramiona są skierowane w górę (a>0) oraz że przecina oś OX w 2 miejscach ($\Delta >0$), wcześniej obliczonych:

Patrzymy na wykres i odczytujemy z niego, kiedy wykres funkcji znajdują się nad osią OX (rozwiązujemy bowiem nierówność f(x)>0), czyli kiedy funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Oczywiście wówczas gdy x jest mniejszy od -3 lub większy od 5 (na wykresie -tam, gdzie występuje znak "+"). Zapisujemy to więc:

$x\in (-\infty ,-3)\cup (5,+\infty )$

W tym miejscu trzeba zwrócić uwagę na parę istotnych szczegółów:

-Nawiasy są "otwarte" ponieważ 0 nie należy do zbioru rozwiązań (f(-3)=0 nie spełnia nierówności f(x)>0),

-$\infty$ - nawias po stronie tego oznaczenia jest zawsze otwarty,

-W równaniach rozwiązaniami były pojedyncze liczby. Tutaj rozwiązaniami jest ich cały zbiór.

---

• Przykład 2

$-x^{2}-4x+45\geq 0$

Podany przykład rozwiążemy podobnie jak poprzedni (według tego samego schematu).

$\Delta =(-4)^{2}-4\cdot (-1)\cdot (45)=16+180=196$

$x_{1}={\frac {-(-4)-{\sqrt {196}}}{-2}}={\frac {4-14}{-2}}=5$

$x_{2}={\frac {-(-4)+{\sqrt {196}}}{-2}}={\frac {4+14}{-2}}=-9$

Robimy szkic (a<0 więc ramiona są skierowane w dół):

Widzimy, że wykres jest ponad osią OX w przedziale od -9 do 5. Rozwiązaniem jest więc:

$x\in <-9,5>$

Nawiasy są domknięte, ponieważ 0 należy do zbioru rozwiązań nierówności (f(-9)=0 spełnia nierówność $f(x)\geq 0$.

---

• Przykład 3

$x^{2}-5x+8<0$

$\Delta =(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 8=25-32=-7$

$\Delta <0\$ - czyli wykres nie ma punktów wspólnych z osią OX. Naszkicujmy wykres:

Parabola w całości znajduję się ponad osią OX. Stąd wniosek, że nierówność nigdy nie jest spełniona. Nie ma rozwiązań, więc:

$x\in \varnothing$

---

• Przykład 4

$-x^{2}-6x-10<0$

$\Delta =(-6)^{2}-4\cdot (-1)\cdot (-10)=36-40=-4$

$\Delta <0\$ - znowu nie ma miejsc wspólnych z osią OX. Szkicujemy pomocniczy wykres (a < 0):

Wykres w całości znajduję się pod osią OX. Oznacza to, że nierówność jest spełniona zawsze.

$x\in R$

---

• Przykład 5 (R)

$x^{4}-13x^{2}+36\,>\,0$

Przy okazji omawiania równań kwadratowych poznałeś równanie dwukwadratowe. Teraz rozwiążemy nierówność dwukwadratową, w podobny sposób jak równanie.

$t=x^{2};\;\;t\geq 0$

$t^{2}-13t+36\,>\,0$

$\Delta =(-13)^{2}-4\cdot 1\cdot 36=25$

${\sqrt {\Delta }}=5$

$t_{1}={\frac {13-5}{2}}=4$

$t_{2}={\frac {13+5}{2}}=9$

Szkicujemy wykres funkcji $t^{2}-13t+36>0$ i zaznaczamy część dodatnią:

Rozwiązaniem jest:

$t\in (-\infty ,4)\cup (9,+\infty )$

Rozwiązaliśmy nierówność ze zmienną pomocniczą t. Potrzeba nam jednak rozwiązać nierówność ze zmienną x. Zapiszmy powyższe rozwiązanie jako alternatywę dwóch nierówności (zamiast przedziałów):

$t<4\$  lub  $t>9\$

Podstawiamy  $t=x^{2}$  i rozwiązujemy dwie nierówności:

$x^{2}<4\$  lub  $x^{2}>9\$

1.   $x^{2}<4\$

$(x-2)(x+2)<0\$

$x\in (-2,2)$ (pomijamy rysowanie wykresu)

2.   $x^{2}>9\$

$(x-3)(x+3)>0\$

$x\in (-\infty ,-3)\cup (3,+\infty )$ (także pomijamy rysowanie wykresu)

Rozwiązaniem jest suma rozwiązań 1. i 2.:

$x\in (-\infty ,-3)\cup (-2,2)\cup (3,+\infty )$

---

• Przykład 6 (R)

$x^{2}+4x-12<0$

Ten przykład rozwiążemy nieco innym sposobem niż poprzednie - bez szkicowania wykresu, za pomocą alternatywy układów. Zanim go jednak zaczniesz analizować, przeczytaj informacje o postaci iloczynowej, bowiem właśnie ten element wykorzystamy przy rozwiązaniu tej nierówności.

$\Delta =4^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)=64$

${\sqrt {\Delta }}=8$

$x_{1}={\frac {-4-8}{2}}=-6$

$x_{2}={\frac {-4+8}{2}}=2$

Teraz zamieniamy nierówność na postać iloczynową:

$(x-(x_{1}))(x-x_{2})<0$

$(x+6)(x-2)<0$

Całe wyrażenie jest ujemne gdy:

1. (x+6) jest dodatnie i (x-2) ujemne lub
2. (x+6) jest ujemne i (x-2) dodatnie
   

(iloczyn dowolnej liczby ujemnej, przez liczbę dodatnią jest zawsze ujemny, i na odwrót). Tworzymy w ten sposób alternatywę układów, która wygląda następująco:

${\begin{cases}x+6>0\\x-2<0\end{cases}}$ lub ${\begin{cases}x+6<0\\x-2>0\end{cases}}$

czyli

${\begin{cases}x>-6\\x<2\end{cases}}$ lub ${\begin{cases}x<-6\\x>2\end{cases}}$

Rozwiązaniem pierwszego układu jest $x\in (-6,2)$, natomiast drugi układ jest sprzeczny. Rozwiązaniem jest więc:

$x\in (-6,2)$

Możesz podane wyniki sprawdzić szkicując wykres.