Matematyka dla liceum/Funkcja kwadratowa/Równania kwadratowe

Miejsca zerowe trójmianu kwadratowego

miejsce zerowe funkcji kwadratowej

TWIERDZENIE Dany jest trójmian kwadratowy  $ax^{2}+bx+c$  o współczynnikach rzeczywistych, $a\not =0$. 1. Jeżeli $\Delta ~>0$, to trójmian ten ma 2 miejsca zerowe, które oblicza się ze wzorów: $x_{1}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\;\;\;x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$ 2. Jeżeli $\Delta ~=0$, to trójmian ma jedno miejsce zerowe, poprzednie wzory sprowadzają się do: $x_{0}={\frac {-b}{2a}}$ 3. Jeżeli $\Delta ~<0$, to trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Dowód (informacje dodatkowe)

Wyjdźmy z postaci kanonicznej trójmianu, którą już wcześniej udowodniliśmy i przyrównajmy ją do zera, aby znaleźć miejsca zerowe:

$a\left(x-p\right)^{2}+q=0$

$a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a}}\quad :a$

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}$

Przyjrzyjmy się teraz podanej postaci. Po lewej stronie mamy wyrażenie nieujemne (bo: dowolna liczba (w nawiasie) podniesiona do kwadratu da nam liczbę nieujemną). Po prawej stronie mianownik wyrażenia jest zawsze dodatni ($4a^{2}>0$). Wszystko więc zależy od licznika. Rozpatrzmy wszystkie przypadki:

1. Gdy $\Delta <0$, to po prawej mamy wartość ujemną (iloraz dodatniej i ujemnej daje ujemną), a skoro po lewej mieliśmy wartość dodatnią - sprzeczność. Równość nie jest spełniona nigdy (w twierdzeniu: nie ma miejsc zerowych).

2. Gdy $\Delta =0$, wyrażenie po prawej stronie przyjmuje wartość zero, otrzymujemy:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=0$     / Pierwiastkujemy obustronnie

$x={\frac {-b}{2a}}$

Jest to nasze miejsce zerowe. Zwróć uwagę, że jest to druga współrzędna wierzchołka paraboli funkcji (ponieważ by parabola miała jedno miejsce wspólne z osią OX to wierzchołek musi leżeć na tejże osi OX).

3. Gdy $\Delta >0$, otrzymujemy:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}$    / Pierwiastkujemy obustronnie i korzystamy z   ${\sqrt {x^{2}}}=|x|$

$|x+{\frac {b}{2a}}|={\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}$

Rozwiązujemy równanie z wartością bezwzględną:

Przypadek 1: dla $x+{\frac {b}{2a}}>0$ - opuszczamy moduł bez zmiany znaku.

$x_{1}+{\frac {b}{2a}}={\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}$

$x_{1}={\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}-{\frac {b}{2a}}$

$x_{1}={\frac {{\sqrt {\Delta }}-b}{2a}}\;={\frac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

Przypadek 2: dla $x+{\frac {b}{2a}}<0$ - opuszczamy moduł ze zmianą znaku:

$-x_{2}-{\frac {b}{2a}}={\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}$

$x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}$

$x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

więc, dla $\Delta >0$ rozwiązaniami są  $x_{1}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$   oraz   $x_{2}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$.

Równania kwadratowe - w skrócie

Wzory na miejsca zerowe

• dla  $\Delta >0$  2 miejsca zerowe:  $x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\;\;x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$,
• dla  $\Delta =0$   1 miejsce zerowe:   $x_{0}={\tfrac {-b}{2a}}$,
• dla  $\Delta <0$   miejsca zerowe nie istnieją.

Metoda wyłączania wspólnego czynnika

• równanie postaci np.   $x^{2}+x=0$
• przekształcamy do   $x(x+1)=0$, po czym rozwiązujemy:   x=0   oraz   (x+1) = 0.

Wzory skróconego mnożenia

• np.  $x^{2}+6x+9=0\;\;\rightarrow \;\;(x+3)^{2}=0$
• np.  $x^{2}-9=0\;\;\rightarrow \;\;(x+3)(x-3)=0$

Równanie dwukwadratowe

• równanie postaci   $ax^{4}+bx^{2}+c\,=\,0$  rozwiązujemy metodą podstawiania,
• przy założeniu   $t=x^{2}$   rozwiązujemy  $at^{2}+bt+c\;=\;0$,
• uzyskane pierwiastki  $t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\,t_{4}$,  które spełniają założenie (tzn. musi być t>0) są pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Przykłady - równania kwadratowe

równanie kwadratowe, wyróżnik trójmianu kwadratowego

Rozwiąż równania:

• Przykład 1. $x^{2}-3x-4=0$
• Przykład 2. $x^{2}-4=0$
• Przykład 3. $x^{2}-6x+9=0$
• Przykład 4. $x^{2}-2x=3x+5$
• Przykład 5. $-x^{2}-2x=0$
• Przykład 6. $x^{2}-5x+22=0$
• Przykład 7. $x^{4}-3x^{2}-4=0$ (równanie dwukwadratowe)
• Przykład 8. $x^{2}+6x-7=0$
• Przykład 9. $x^{2}-4|x|-12=0$ (równanie z modułem)

---

• Przykład 1

$x^{2}-3x-4=0$

Każde równanie kwadratowe można rozwiązać wykorzystując wyróżnik trójmianu kwadratowego. W powyższym przykładzie współczynniki a, b oraz c wynoszą:  $a=1,\;b=-3,\;c=-4$.

$\Delta ~=b^{2}-4ac$

$\Delta ~=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)$

$\Delta ~=25$

Teraz, gdy już wyliczyliśmy deltę, korzystamy ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego (miejsca zerowe).

$x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

$x_{1}={\frac {-(-3)-{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}$

$x_{1}={\frac {3-5}{2}}\;=-1$

$x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}$

$x_{2}={\frac {-(-3)+{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}$

$x_{2}={\frac {3+5}{2}}\;=4$

Równanie ma więc dwa rozwiązania: $x_{1}=-1\$  i  $x_{2}=4\$.

---

• Przykład 2

$x^{2}-4=0$

Powyższe równanie można również rozwiązać przy użyciu delty, gdzie  $a=1,b=0,c=-4$.  Aby jednak pokazać inne metody liczenia pierwiastków trójmianu, skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:

$a^{2}-b^{2}=(a-b)\cdot (a+b)\$

Korzystamy z niego i zamieniamy trójmian  $x^{2}-4=0$  na postać iloczynową:

$(x-2)\cdot (x+2)=0\$

Z tego miejsca już możemy zobaczyć pierwiastki (miejsca zerowe). Jeśli zamiast x podstawimy 2 lub -2, równanie się wyzeruje (sprawdź!). Więc rozwiązaniami są:  2 oraz -2.

---

• Przykład 3

$x^{2}-6x+9=0$

Powyższe równanie rozwiążemy dwoma sposobami. Przez deltę oraz przez wzór skróconego mnożenia.

Pierwszy sposób - przez deltę:

$a=1,\;b=-6,\;c=9$

$\Delta ~=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot 9$

$\Delta ~=36-36\;=0$

Delta jest równa zeru, więc równanie ma jedno rozwiązanie:

$x_{0}={\frac {-b}{2a}}$

$x_{0}={\frac {-(-6)}{2}}\;=3$

Drugi sposób - przez wzór skróconego mnożenia:

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\$

Przyrównujemy w myślach   $x^{2}-6x+9=0$   i   $a^{2}-2ab+b^{2}\$...
$(x-3)^{2}=x^{2}-2*1*3+3^{2}$

Otrzymujemy:

$(x-3)^{2}=0\$

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, widzimy miejsca zerowe. Jeśli podstawimy za x cyfrę 3, równanie się wyzeruje. Rozwiązaniem jest więc 3.

Uwaga: rozwiązywanie metodą wzorów skróconego mnożenia ma przydatną zaletę - przyspiesza obliczanie miejsc zerowych, można je niemal znajdować 'w pamięci'. Niestety, nie wszystkie równania dają się rozwiązać tym sposobem (wówczas trzeba wrócić do rozwiązywania z użyciem delty).

---

• Przykład 4

$x^{2}-2x=3x+5$

Najpierw przenosimy wszystkie wyrazy na jedną stronę (aby mieć 0 po drugiej stronie) i je redukujemy:

$x^{2}-5x-5=0$

$a=1,\;b=-5,\;c=-5$

$\Delta ~=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot (-5)\;=45$

$x_{1}={\tfrac {-(-5)-{\sqrt {45}}}{2}}$

$x_{1}={\tfrac {5-3{\sqrt {5}}}{2}}\;=\;{\tfrac {5}{2}}-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {5}}$

$x_{2}={\tfrac {-(-5)+{\sqrt {45}}}{2}}$

$x_{2}={\tfrac {5+3{\sqrt {5}}}{2}}\;=\;{\tfrac {5}{2}}+{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {5}}$

Rozwiązaniami tego równania są liczby    $x_{1}={\tfrac {5}{2}}-{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {5}},\;\;\;x_{2}={\tfrac {5}{2}}+{\tfrac {3}{2}}{\sqrt {5}}$

---

• Przykład 5

$-x^{2}-2x=0$

Powyższy przykład rozwiążemy poprzez wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:

$(-x^{2}-2x)=0\$

$x(-x-2)=0\$

Powyższe równanie zachodzi gdy:
$x=0$   lub   $-x-2=0$

Udało się nam więc wyznaczyć rozwiązania wyciągając x przed nawias i uzyskując 2 równania liniowe (których rozwiązania są rozwiązaniami naszego przykładu). Pierwiastkami są więc liczby 0 oraz -2.

Uwaga: powyższy sposób rozumowania będzie niezbędny do rozkładania niektórych wielomianów na czynniki pierwsze. Taki sposób skraca także czas liczenia pierwiastków.

---

• Przykład 6

$x^{2}-5x+22=0$

Policzmy deltę:

$a=1,b=-5,c=22$

$\Delta ~=(-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 22$

$\Delta ~=25-88\;=-63$

Wystarczy zauważyć, że  $\Delta ~<0$  - równanie nie ma więc rozwiązań.

---

• Przykład 7

$x^{4}-3x^{2}-4=0$

Powyższe równanie jest równaniem stopnia czwartego i jest nazywane równaniem dwukwadratowym. Można je rozwiązać poprzez wstawienie pomocniczej zmiennej t.

$t=x^{2}\$

Po podstawieniu otrzymamy następujące wyrażenie:

$t^{2}-3t-4=0\$

Tym sposobem, możemy rozwiązać pomocnicze równanie kwadratowe, a jego pierwiastki (o ile będą spełniały przyjęte założenie) będą też pierwiastkami równania dwukwadratowego.

Dalej rozwiązujemy, wyznaczając pierwiastki   $t_{1}\$   oraz   $t_{2}\$.

$\Delta ~=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot (-4)\;=25$

$t_{1}={\frac {-(-3)-{\sqrt {25}}}{2}}\;=-1$

$t_{2}={\frac {-(-3)+{\sqrt {25}}}{2}}\;=4$

Wyliczyliśmy wartości zmiennych pomocniczych. Jednak mamy policzyć wartość x. Wróćmy więc do równania (a jednośnie naszego założenia):

$t=x^{2}\$

Jeśli podstawimy obliczone wcześniej wartości, będziemy w stanie policzyć x.

Najpierw, dla t=-1

$-1=x^{2}\$

Otrzymaliśmy następna funkcję kwadratową, która musimy rozwiązać by obliczyć wartość x.

$x^{2}+1=0\$

Powyższe równanie nie ma pierwiastków, ponieważ $\Delta ~<0$ Zauważmy, że samo równanie   $-1=x^{2}\$   jest sprzeczne - wartość podniesiona do kwadratu nigdy nie będzie liczbą ujemną.

Podstawmy więc drugą wartość t równą 4.

$4=x^{2}\$

$x^{2}-4=0\$

Korzystamy z wzorów skr. mnożenia i otrzymujemy   $(x-2)(x+2)=0\$

Równanie ma dwa rozwiązania: $x_{1}=2$ i $x_{2}=-2$ (patrz na przykład nr 2).

Po obliczeniu pierwiastków $x_{1}$ i $x_{2}$ dochodzimy do wniosku, że całe równanie ma tylko dwa rozwiązania chociaż równanie stopnia czwartego może mieć tych rozwiązań 4. Bardzo ważną rzeczą jest to, że rozwiązania t ujemne nie spełniają równania. Dlatego też przy stawianiu założenia $t=x^{2}\$ można dodać warunek $t\geq 0$. Warunek ten sam wyjdzie podczas podstawiania wartości t (tak jak w przykładzie), jednak taki sposób jest wygodniejszy. Można więc powiedzieć, że równanie dwukwadratowe będzie miało 4 pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu zmiennej pomocniczej otrzymamy 2 pierwiastki dodatnie.

---

• Przykład 8 (R)

$x^{2}+6x-7=0$

Ten przykład zrobimy dosyć nietypowym sposobem. Pomimo, że nie można tutaj zastosować bezpośrednio wzoru skróconego mnożenia to użyjemy go - w "sprytny" sposób. Mianowicie -

Gdybyśmy chcieli to równanie "zwinąć" zgodnie ze wzorami skróconego mnożenia (nie patrząc na wyraz wolny), to widać, że wyszłoby wyrażenie: $(x+3)^{2}$ Co teraz zrobić, aby równość zaszła? Wystarczy, że odejmiemy "$b^{2}$, czyli w tym przypadku 9,do tego odejmujemy jeszcze nasze "prawdziwe" 7.

Teraz po kolei liczymy:

$(x+3)^{2}-16=0$

$(x+3)^{2}=16$     / Pierwiastkujemy obustronnie

${\sqrt {(x+3)^{2}}}={\sqrt {16}}$

${\sqrt {(x+3)^{2}}}=4$

Korzystamy z własności:   ${\sqrt {x^{2}}}=|x|$,  po czym zostaje nam obliczyć równanie z wart. bezwzględną.

$|x+3|=4$

$x_{1}=-7,\;\;x_{2}=1$

W ten sposób policzyliśmy pierwiastki równania w nieco nietypowy sposób. Oczywiście, można przecież wszystko wyliczyć przez deltę, jednak taki sposób bardzo rozwija umiejętność rachowania. Pozwala także zrozumieć "naturę" funkcji kwadratowej oraz rozwija w nas umiejętność logicznego stosowania wzorów skróconego mnożenia. (umiejętności te mogą być przydatne przy rozwiązywaniu równań wielomianowych itd.)

---

• Przykład 9 (R)

$x^{2}-4|x|-12\;=\;0$

Żeby rozwiązać takie równanie, trzeba rozważyć dwa przypadki. Pierwszy, gdy $x\geq 0$ i drugi, gdy $x<0$.

1 przypadek dla $x\geq 0$

Opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku:

$x^{2}-4x-12=0$

Teraz rozwiązujemy tak, jak każde inne równanie. Ważne: na końcu porównujemy rozwiązania z założeniem $x\geq 0$.

$\Delta =(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)=64$

$x_{1}={\frac {-(-4)-{\sqrt {64}}}{2}}={\frac {4-8}{2}}=-2$

$x_{2}={\frac {-(-4)+{\sqrt {64}}}{2}}={\frac {4+8}{2}}=6$

Wynikami pierwszego przypadku są liczby "-2" i "6". Jednak "-2" nie spełnia naszego początkowego założenia $x\geq 0$, więc nie jest rozwiązaniem.

2 przypadek: dla $x<0\,$

Opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku w części pod modułem.

$x^{2}+4x-12=0$

$\Delta =(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot (-12)=64$

$x_{1}={\frac {-4-{\sqrt {64}}}{2}}={\frac {-4-8}{2}}=-6$

$x_{2}={\frac {-4+{\sqrt {64}}}{2}}={\frac {-4+8}{2}}=2$

Teraz $x_{2}$ nie spełnia naszego założenia $x<0$, odrzucamy go więc.

Podsumowując, dochodzimy do wniosku, że równanie ma dwa rozwiązania:  $x_{1}=6$  i  $x_{2}=-6$.