Ogólna teoria względności/Słabe pola grawitacyjne

Słabe pola grawitacyjne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Słabe pole grawitacyjne jest opisane przez teorię grawitacji Newtona. Metryka w słabych polach grawitacyjnych jest opisywana prawie przez metrykę Minkowskiego z małą poprawką.

Tensor metryczny w ogólnej teorii względności dla słabych pól grawitacyjnych zapisujemy w postaci:

$g_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \beta }+h_{\alpha \beta }\;$

(7.1)

• gdzie η_αβ jest to tensor metryczny w przestrzeni Minkowskiego, która określa metrykę o formie kwadratowej, która jest nieujemna.

A także zachodzi dla słabego pola grawitacyjnego, której moduł poprawki do tensora metrycznego Minkowskiego jest o wiele mniejsza niż jeden, co zapisujemy:

$|h_{\alpha \beta }|<<1\;$

(7.2)

Lorentzowskie przekształcenia tła

Mamy sobie szczególną teorię względności, w którym jest napisany pewny tensor przekształcenia ${\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }\;$ przechodząc ze starego do nowego układu współrzędnych, to pisząc pewny tensor metryczny obowiązującego w nowym układzie współrzędnym względem tensora metrycznego obowiązującego w starym układzie współrzędnym, dochodzimy do wniosku korzystając przy tym z (7.1):

${g^{'}}_{\alpha \beta }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }g_{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }\left(\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\right)={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }\eta _{\mu \nu }+{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }h_{\mu \nu }\;$

(7.3)

Ponieważ również zachodzi dla tensora g^'_αβ przybliżenie (7.1) przy warunku (7.2), zatem możemy powiedzieć na podstawie (7.3):

${\eta ^{'}}_{\alpha \beta }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }\eta _{\mu \nu }\;$

(7.4)

${h^{'}}_{\alpha \beta }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }h_{\mu \nu }\;$

(7.5)

Napiszmy sobie przekształcenie Lorentza: ${\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }\;$, który w szczególnej teorii względności jest:

${\Lambda ^{\alpha }}_{\beta }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\;\;$

(7.6)

Wtedy na podstawie tensora przekształcenia (7.6) napiszmy, czy wedle (7.4) tensor Minkowskiego przechodzi sam w siebie:

${\eta ^{'}}_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &-\gamma &0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}\cdot \;$
$\cdot {\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ^{2}-\beta ^{2}\gamma ^{2}&0&0&0\\0&\beta ^{2}\gamma ^{2}-\gamma ^{2}&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}=\eta _{\alpha \beta }$

(7.7)

Na podstawie obliczeń (7.7) przekształcenie (7.4) przekształca tensor metryczny Minkowskiego w sam siebie, a poprawka do tensora metrycznego, która występuje w punkcie (7.1) przekształca się z jednego układu współrzędnej do drugiego wedle transformacji (7.5). Ta właściwość tensora metrycznego przy tensorze przekształcenia pozwala mówić o wygodnej fikcji, możemy mówić o słabo zakrzywionych czasoprzestrzeniach jako czasoprzestrzeni płaskiej ze zdefiniowanej nad nim tensorem $h_{\mu \nu }\;$, co pozwala policzyć czterowskaźnikowy tensor krzywizny znając tylko poprawki do tensorów metrycznych (7.1) spełniających warunek słabo zakrzywionej czasoprzestrzeni wedle (7.2). Należy pamiętać, że mimo przekształcenia (7.4) przy tensorze przekształcenia (7.6) przestrzeń jest w istocie słabo zakrzywiona.

Przekształcenia cechowania

Obierzmy sobie przekształcenie wiążące pierwszy układ współrzędnych, które jest rozwiązaniem równań grawitacji ogólnej teorii względności, z innym układem współrzędnych, która jest zapisana w postaci równania:

${x^{'}}^{\alpha }=x^{\alpha }+\xi ^{\alpha }(x^{\beta })\;$

(7.8)

Dowolność współrzędnych równania Einsteina pozwala obrać możliwie mały wektor $\xi ^{\alpha }(x^{\beta })\;$, by przejść do innego układu współrzędnych, którego oba współrzędne, tzn. ${x^{'}}^{\alpha }\;$ i $_{x^{\alpha }}\;$ są rozwiązaniami równań Einsteina. Możemy napisać sobie przekształcenie wiążące nowy tensor metryczny z jego starym odpowiednikiem:

${g^{'}}_{\alpha \beta }=g_{\mu \nu }{\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }\;$

(7.9)

Wypiszmy teraz przekształcenia ${\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }\;$, że:

${\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }={{\partial x^{\mu }} \over {\partial {x^{'}}^{\alpha }}}={{\partial } \over {\partial {x^{'}}^{\alpha }}}\left({x^{'}}^{\mu }-\xi ^{\mu }\right)={\delta ^{\mu }}_{\alpha }-{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }\;$

(7.10)

Podstawmy elementy tensora transformacji Λ^μ_α jako tensora kowariantnego względem jego jakiegoś wskaźnika kowariantnego, zatem wtedy mając wzór (7.10) przy przekształceniach tensorów metrycznych ze starego układu współrzędnych do nowego (7.9):

${g^{'}}_{\alpha \beta }=g_{\mu \nu }\left({\delta ^{\mu }}_{\alpha }-{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }\right)\left({\delta ^{\nu }}_{\beta }-{\xi ^{\nu }}_{,\beta }\right)=g_{\mu \nu }\left({\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\delta ^{\nu }}_{\beta }-{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }-{\delta ^{\nu }}_{\beta }{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }+{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }\right)=g_{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\delta ^{\nu }}_{\beta }-g_{\mu \nu }{\delta ^{\mu }}_{\alpha }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }+\;$
$-g_{\mu \nu }{\delta ^{\nu }}_{\beta }{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }+g_{\mu \nu }{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }=g_{\alpha \beta }-g_{\alpha \nu }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }-g_{\mu \beta }{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }+g_{\mu \nu }{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }\;\;$

(7.11)

Weźmy sobie takie przekształcenie ze starego układu współrzędnych do nowego (7.8), by zachodziło $\left|{\xi ^{\alpha }}_{,\beta }(x^{\gamma })\right|<<1\;$ oraz (7.1) przy warunku (7.2), czyli warunku słabego pola grawitacyjnego, zatem przekształcenia tensora metrycznego ze starego układu współrzędnych do nowego względem przekształcenia opisywanych względem współrzędnych (7.8), wyrażenie (7.11) możemy zapisać:

${g^{'}}_{\alpha \beta }\simeq \eta _{\alpha \beta }+h_{\alpha \beta }-\eta _{\alpha \nu }{\xi ^{\nu }}_{,\beta }-\eta _{\mu \beta }{\xi ^{\mu }}_{,\alpha }=\eta _{\alpha \beta }+h_{\alpha \beta }-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }\;$

(7.12)

Zatem poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego wedle równania (7.1) transformuje się wedle schematu:

${h^{'}}_{\alpha \beta }=h_{\alpha \beta }-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }\;$

(7.13)

Przekształcenie tensorów metrycznych lub jego poprawki, czyli tensora metrycznego Minkowskiego z układu o współrzędnych kontrawariantnej bezpromowania do układu ze współrzędnymi primowanymi tego samego typu tensora, jest napisane wedle równania (7.12) lub (7.13) dla metryki prawie płaskiej.

Tensor krzywizny dla słabego pola grawitacyjnego

Aby mieć pełny tensor Einsteina, trzeba znać tensor krzywizny dwuwskaźnikowy, i skalar krzywizny Ricciego, które można wyznaczyć z czterowskaźnikowego tensora krzywizny.

Należy zauważyć, że tutaj w wykładzie pochodna zachowuje się jak tensor, bo η_αβ jest stałą macierzą, i tylko z tego względu, bo w ogólności nie jest spełnione dla dowolnych tensorów metrycznych, tzn. czy pochodna cząstkowa jest tensorem. Tensor krzywizny w czterowymiarowej czasoprzestrzeni jest opisany wzorem w zależności od tensorów metrycznych obowiązującej w naszej czasoprzestrzeni (czterowymiarowej przestrzeni absolutnej):

$R_{\alpha \beta \mu \nu }={{1} \over {2}}\left(g_{\alpha \nu ,\beta ,\mu }-g_{\nu \beta ,\alpha ,\mu }-g_{\alpha \mu ,\beta ,\nu }+g_{\mu \beta ,\alpha ,\nu }\right)\;$

(7.14)

Można $g_{\alpha \beta }\;$ zastąpić przez $\eta _{\alpha \beta }\;$ w tensorze Einsteina, ponieważ poprawka do tensora metrycznego jest taka, że $|h_{\alpha \beta }|<<1\;$, czyli praktycznie tensor absolutnej przestrzeni czterowymiarowej jest to samo zdefiniowany w przybliżeniu co tensor przestrzeni Minkowskiego. Ale za to w tensorze krzywizny należy zastąpić $g_{\alpha \beta }\;$ tensorem $h_{\alpha \beta }\;$ przy pochodnych, ponieważ dowolna pochodna tensora Minkowskiego jest równa zero, zatem tutaj odgrywa dużą rolę pochodna poprawki do tensora krzywizny, to tensor krzywizny jest:

$R_{\alpha \beta \mu \nu }={{1} \over {2}}\left(h_{\alpha \nu ,\beta ,\mu }-h_{\nu \beta ,\alpha ,\mu }-h_{\alpha \mu ,\beta ,\nu }+h_{\mu \beta ,\alpha ,\nu }\right)\;$

(7.15)

Ponieważ jak powiedzieliśmy wcześniej tensor przestrzeni absolutnej jest równy tensorowi przestrzeni Minkowskiego, zatem powinno zachodzić po takim zastąpieniu:

$R_{\beta \nu }=\eta ^{\alpha \mu }R_{\alpha \beta \mu \nu }\;$

(7.16)

Biorąc te same uwagi, co do tensora dwuwskaźnikowego tensora krzywizny (7.16), skalar Ricciego zapisujemy wedle:

$R=\eta ^{\beta \nu }R_{\beta \nu }\;$

(7.17)

Wyznaczmy teraz tensor krzywizny Ricciego mając już napisany czterowskaźnikowy tensor krzywizny (7.15):

$R_{\beta \nu }=\eta ^{\alpha \mu }R_{\alpha \beta \mu \nu }=\eta ^{\alpha \mu }{{1} \over {2}}\left(h_{\alpha \nu ,\beta ,\mu }-h_{\nu \beta ,\alpha ,\mu }-h_{\alpha \mu ,\beta ,\nu }+h_{\mu \beta ,\alpha ,\nu }\right)={{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{h_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }-{{h_{\alpha }}^{\alpha }}_{,\beta ,\nu }+{h^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }\right)\;$

(7.18)

A przybliżony skalar Ricciego liczymy według (7.17), tutaj korzystamy z definicji tensora Ricciego zdefiniowanego w punkcie (7.18):

$R=\eta ^{\beta \nu }{{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{h_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }-{{h_{\alpha }}^{\alpha }}_{,\beta ,\nu }+{h^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }\right)={{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }-{{{h_{\nu }}^{\nu }}_{,\alpha }}^{,\alpha }-{h_{\alpha }^{\alpha ,\nu }}_{,\nu }+{h^{\alpha \nu }}_{,\alpha ,\nu }\right)\;$

(7.19)

Mając już wszystkie policzone tensory krzywizny (czterowskaźnikowy i dwuwskaźnikowy skalar krzywizny), a także skalar Ricciego, to możemy przejść do dalszych etapów liczenia innych tensorów występujących w ogólnej teorii Einsteina.

Równania Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego

Mamy już wyznaczony tensor krzywizny oraz skalar krzywizny Ricciego, to policzmy teraz tensor Einsteina zdefiniowanej w module (1.41), zastępując w tym tensorze ogólny tensor metryczny tensorem metrycznym przestrzeni Minkowskiego, bo tutaj zachodzi warunek (7.1), a ponadto mając warunek na przybliżenie dla poprawki tensora metrycznego dla przestrzeni, w której obowiązuje słabe pola grawitacyjne:

$G_{\beta \nu }=R_{\beta \nu }-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }R={{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{h_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }-{{h_{\alpha }}^{\alpha }}_{,\beta ,\nu }+{h^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }\right)-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }{{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }-{{{h_{\nu }}^{\nu }}_{,\alpha }}^{,\alpha }-{h_{\alpha }^{\alpha ,\nu }}_{,\nu }+{h^{\alpha \nu }}_{,\alpha ,\nu }\right)=\;$

$={{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{h_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }-{{h_{\alpha }}^{\alpha }}_{,\beta ,\nu }+{h^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }\right)-{{1} \over {4}}\eta _{\beta \nu }\left({h_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }-{{{h_{\nu }}^{\nu }}_{,\alpha }}^{,\alpha }-{h_{\alpha }^{\alpha ,\nu }}_{,\nu }+{h^{\alpha \nu }}_{,\alpha ,\nu }\right)=\;$

$={{1} \over {2}}\left({h_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{h_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }-{{h_{\alpha }}^{\alpha }}_{,\beta ,\nu }+{h^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }\right)-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }\left({h_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }-{{{h_{\nu }}^{\nu }}_{,\alpha }}^{,\alpha }\right)\;$

(7.20)

Zdefiniujmy inny nowy tensor w oparciu o poprawkę do tensora metrycznego Minkowskiego h_αβ, który jest częścią ogólnego tensora metrycznego obowiązującej w przestrzeni w ogólnej teorii względności, ale dla słabego pola grawitacyjnego:

$h^{\alpha \beta }={\overline {h}}^{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\eta ^{\alpha \beta }{\overline {h}}\;$

(7.21)

Końcowe obliczenia dla tensora Einsteina w słabym polu grawitacyjnym (7.20), korzystając z zależności tensora poprawki do tensora Minkowskiego poprzez nowe tensory, zatem korzystając z (7.21), wtedy nasz tensor Einsteina można zapisać w takim razie w postaci:

$G_{\beta \nu }={{1} \over {2}}\left({({\overline {h}}_{\alpha \nu }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \nu }{\overline {h}})_{,\beta }}^{,\alpha }-{({\overline {h}}_{\nu \beta }-{{1} \over {2}}\eta _{\nu \beta }{\overline {h}})_{,\alpha }}^{,\alpha }-({{{\overline {h}}_{\alpha }}^{\alpha }}-{{1} \over {2}}{\eta _{\alpha }}^{\alpha }{\overline {h}})_{,\beta ,\nu }+({{\overline {h}}^{\alpha }}_{\beta }-{{1} \over {2}}{\eta ^{\alpha }}_{\beta }{\overline {h}})_{,\alpha ,\nu }\right)+\;$

$-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }\left(({\overline {h}}_{\alpha \nu }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \nu }{\overline {h}})^{,\nu ,\alpha }-({{\overline {h}}_{\nu }}^{\nu }-{{1} \over {2}}{\eta _{\nu }}^{\nu }{{\overline {h}})_{,\alpha }}^{,\alpha }\right)=\;$
$={{1} \over {2}}\left({{{\overline {h}}_{\alpha \nu }}_{,\beta }}^{,\alpha }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \nu }{{\overline {h}}_{,\beta }}^{,\alpha }-{{{\overline {h}}_{\nu \beta }}_{,\alpha }}^{,\alpha }+{{1} \over {2}}\eta _{\nu \beta }{{\overline {h}}_{,\alpha }}^{,\alpha }-{{{\overline {h}}_{\alpha }}^{\alpha }}_{,\beta ,\nu }+{{1} \over {2}}4{\overline {h}}_{,\beta ,\nu }+{{\overline {h}}^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }-{{1} \over {2}}{\delta ^{\alpha }}_{\beta }{\overline {h}}_{,\alpha ,\nu }\right)+\;$

$-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }\left({{\overline {h}}_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \nu }{\overline {h}}^{,\nu ,\alpha }-{{{{\overline {h}}_{\nu }}^{\nu }}_{,\alpha }}^{,\alpha }+{{1} \over {2}}4{{\overline {h}}_{,\alpha }}^{,\alpha }\right)\;$
$={{1} \over {2}}\left({{\overline {h}}_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{{1} \over {2}}{\overline {h}}_{,\beta ,\nu }-{{\overline {h}}_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }+{{1} \over {2}}\eta _{\nu \beta }{{\overline {h}}_{,\alpha }}^{,\alpha }-{\overline {h}}_{,\beta ,\nu }+2{\overline {h}}_{,\beta ,\nu }+{{\overline {h}}^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }-{{1} \over {2}}{\overline {h}}_{,\beta ,\nu }\right)+\;$
$-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }\left({{\overline {h}}_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }-{{1} \over {2}}{{\overline {h}}_{,\alpha }}^{,\alpha }-{{\overline {h}}_{,\alpha }}^{,\alpha }+2{{\overline {h}}_{,\alpha }}^{,\alpha }\right)={{1} \over {2}}\left({{\overline {h}}_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{{\overline {h}}_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }+{{\overline {h}}^{\alpha }}_{\beta ,\alpha ,\nu }-\eta _{\beta \nu }{{\overline {h}}_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }\right)=\;$
$={{1} \over {2}}\left({{\overline {h}}_{\alpha \nu ,\beta }}^{,\alpha }-{{\overline {h}}_{\nu \beta ,\alpha }}^{,\alpha }+{{{\overline {h}}_{\alpha \beta }}^{,\alpha }}_{,\nu }-\eta _{\beta \nu }{{\overline {h}}_{\alpha \nu }}^{,\nu ,\alpha }\right)\;$

(7.22)

Wzór na tensor metryczny Einsteina (7.22) dla słabego pola grawitacyjnego jest tensorem bardzo skomplikowanym, więc wprowadźmy pewne cechowanie, które wprowadzimy później w tym module.

Klasa funkcji cechowań Lorentza dla słabego pola grawitacyjnego

Wzór na tensor Einsteina jest wzorem bardzo skomplikowanym, więc przydało by się go uprościć do najprostszej postaci, w tym celu wprowadzimy pewną klasę cechowań, w którym ten tensor spełnia owe warunki i udowodnimy, że jeśli takie cechowanie istnieje to istnieje układ współrzędnych spełniających to cechowanie.

Weźmy sobie równanie (7.21) i podstawmy do niego tożsamość (7.13), ale najpierw przekształcając go do postaci podwójnie kowariantnej:

${{\overline {h}}^{'}}_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \beta }{\overline {h}}^{'}={\overline {h}}_{\alpha \beta }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \beta }{\overline {h}}-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }\Rightarrow {{\overline {h}}^{'}}_{\alpha \beta }={\overline {h}}_{\alpha \beta }-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }+{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \beta }\left({\overline {h}}^{'}-{\overline {h}}\right)\;$

(7.23)

Z własności (7.21) wyznaczmy ślad poprawki h_αβ do tensora metrycznego Minkowskiego. Zatem na podstawie poniższych obliczeń jest on równy skalarowi ${\overline {h}}\;$ z minusem.

$h={h^{\alpha }}_{\alpha }={{\overline {h}}^{\alpha }}_{\alpha }-{{1} \over {2}}{\delta ^{\alpha }}_{\alpha }{\overline {h}}={\overline {h}}-{{1} \over {2}}4{\overline {h}}=-{\overline {h}}\Rightarrow h=-{\overline {h}}\;$

(7.24)

Wtedy równość (7.23) (ostatni wyraz), na podstawie końcowego wyniku wynikowego (7.24) przy wykorzystaniu własności (7.13), zapisujemy:

${{\overline {h}}^{'}}_{\alpha \beta }={\overline {h}}_{\alpha \beta }-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \beta }\left({h^{'}}-h\right)={\overline {h}}_{\alpha \beta }-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }-{{1} \over {2}}\eta _{\alpha \beta }\left(-{\xi ^{\mu }}_{,\mu }-{\xi ^{\mu }}_{,\mu }\right)\Rightarrow {{\overline {h}}^{'}}_{\alpha \beta }={\overline {h}}_{\alpha \beta }-\xi _{\alpha ,\beta }-\xi _{\beta ,\alpha }+\eta _{\alpha \beta }{\xi ^{\mu }}_{,\mu }\;$

(7.25)

Stosować będziemy definicję operatora d'Alemberta, zapisanej za pomocą drugich zupełnych pochodnych względem czasu i względem współrzędnych położenia:

$\square =-{{\partial ^{2}} \over {c^{2}\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\;$

(7.26)

Napiszmy pewną tożsamość, korzystając z definicji tensora metrycznego Minkowskiego i operatora d'Alemberta (7.26), która będzie nam później potrzebna:

${f^{,\alpha }}_{,\alpha }={{\partial } \over {\partial x^{\mu }}}\eta _{\mu \nu }{{\partial } \over {\partial x^{\nu }}}f=\left({{\partial ^{2}} \over {c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)f=-\square f\;$

(7.27)

Wtedy równanie (7.25) działamy pochodną cząstkową względem zmiennej o wskaźniku $\beta \;$ obustronnie, korzystając z tożsamości (7.27), możemy napisać:

${{{\overline {h}}^{'}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }={{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }-{\xi ^{\alpha ,\beta }}_{,\beta }-{\xi ^{\beta ,\alpha }}_{,\beta }+\eta ^{\alpha \beta }{\xi ^{\mu }}_{,\mu ,\beta }\Rightarrow {{{\overline {h}}^{'}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }={{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }-{\xi ^{\alpha ,\beta }}_{,\beta }-{\xi ^{\beta ,\alpha }}_{,\beta }+{{\xi ^{\mu }}_{,\mu }}^{,\alpha }\Rightarrow {{{\overline {h}}^{'}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }={{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }-{\xi ^{\alpha ,\beta }}_{,\beta }\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{{\overline {h}}^{'}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }={{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }+\square \xi ^{\alpha }\;$

(7.28)

Obierzmy sobie nowy układ współrzędnych, w których zawsze zachodzi wyrażenia poniżej przy naszym cechowaniu, którego to wyrażenie tożsamościowo jest równe zero:

${{{\overline {h}}^{'}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }=0\;$

(7.29)

Jeśli powyższe cechowanie zawsze zachodzi, to ono jest prawdziwe bez względu na punkt, w którym spełnione jest to cechowanie, czyli każda następna pochodna cząstkowa lewej strony (7.29) daje nam zawsze wartość zerową. Równanie (7.28) na podstawie cechowania (7.29) przyjmuje postać:

$0={{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }-{\xi ^{\alpha ,\beta }}_{,\beta }\Rightarrow {{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }=-\square \xi ^{\alpha }\;$

(7.30)

Końcowe równanie (7.30) jest rozwiązaniem w postaci $g=\square f\;$, którego dla określonego g istnieje zawsze rozwiązanie f, ale f nie jest jedynym rozwiązaniem, które to równanie spełnia. W rzeczywistości możemy obrać taką tensorową funkcję $\eta ^{\alpha }\;$, by ono spełniało równanie jednorodne:

$\square \eta ^{\mu }=0\;$

(7.31)

wtedy rozwiązanie końcowe (7.30) na podstawie równania jednorodnego (7.31) można napisać:

${{\overline {h}}^{\alpha \beta }}_{,\beta }=-\square \left(\eta ^{\alpha }+\xi ^{\alpha }\right)\;$

(7.32)

Wedle (7.32), cechowanie prowadzi do klasy funkcji cechowań, które spełniają w ogólności wspomniane równanie, i to tej klasy nie należy tylko jedna funkcja, ale tych funkcji jest nieskończenie wiele. Zatem, jeśli mamy pewien układ współrzędnych, w którym istnieje słabe pole grawitacyjne, to można zawsze wybrać układ współrzędnych, w którym spełnione jest cechowanie (7.29), ponieważ zawsze można znaleźć taki tensor $\xi ^{\alpha }\;$, których jest nieskończenie wiele spełniających równanie tensorowe różniczkowe napisane ostatnio.

Tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego przy wybranym cechowaniu

Prowadźmy cechowanie dla słabego pola grawitacyjnego w tensorze Einsteina w końcowej równości (7.22), bo jak powiedzieliśmy na podstawie poprzedniego podrozdziału zawsze istnieje układ współrzędnych, w których jest spełnione cechowanie:

${{\overline {h}}_{\alpha \nu }}^{,\nu }=0\;$

(7.33)

Ponieważ w stacjonarnym polu ${\overline {h}}_{\alpha \nu }\;$ powinno zależeć tylko od położeń i nie powinno dla nieskończoności przyjmować stałej różnej od zera, stąd ${\overline {h}}_{\alpha i}=0\;$, ale ${\overline {h}}_{\alpha i}={\overline {h}}_{i\alpha }\;$, stąd ${\overline {h}}_{\alpha i}={\overline {h}}_{i\alpha }=0\;$, a więc jedynymi elementem niezerowym jest ${\overline {h}}_{00}\neq 0\;$. który jest równoważny cechowaniu (7.29) z własności przestrzeni Minkowskiego. Tensor Einsteina (7.22) w oparciu o przyjęciu cechowania wedle (7.33), i biorąc poczynione uwagi dla cechowania w nowym układzie współrzędnych, którego istnieje (7.32), upraszcza się on do postaci:

$G_{\beta \nu }=-{{1} \over {2}}{{\overline {h}}_{\beta \nu ,\alpha }}^{,\alpha }\;$

(7.34)

Dla sygnatury tensora metrycznego obowiązującej w szczególnej teorii względności jednej z dwóch, ale w tej książce uwzględniamy dwie sygnatury, wtedy wyrażenie (7.34) możemy przedstawić wedle sposobu (7.27):

$G_{\beta \nu }=\mp {{1} \over {2}}\left({{\partial ^{2}} \over {c^{2}\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right){\overline {h}}_{\beta \nu }\Rightarrow G_{\beta \nu }=\pm {{1} \over {2}}\square {\overline {h}}_{\beta \nu }\;$

(7.35)

Jest to ogólny tensor Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego, które stosujemy, gdy zaburzenie tensora metrycznego do tensora Minkowskiego jest nad wyraz małe.

Wyznaczanie stałej κ w równaniach grawitacji Einsteina

Wiedząc, że zachodzi co wynika z cechowania (7.33), że ${{\overline {h}}^{i}}_{i}=0\;$, co wtedy możemy napisać wyrażenie na ${\overline {h}}\;$:

${\overline {h}}={{\overline {h}}^{\mu }}_{\mu }={{\overline {h}}^{0}}_{0}+{{\overline {h}}^{i}}_{i}={{\overline {h}}^{0}}_{0}=\pm {\overline {h}}_{00}\;$

(7.36)

Jeśli mamy definicję tensora h_αβ poprzez tensor ${\overline {h}}\;$ w definicji (7.21), to wtedy podwojony element podwójnie kowariantny wspomnianego tensora, czyli h₀₀ jest równy tensorowi ${\overline {h}}_{00}\;$

$h_{00}={\overline {h}}_{00}-{{1} \over {2}}(\pm 1){\overline {h}}={\overline {h}}_{00}-{{1} \over {2}}{\overline {h}}_{00}\Rightarrow 2h_{00}={\overline {h}}_{00}\;$

(7.37)

Stosując powyższą definicję ${\overline {h}}_{00}\;$ (7.37), to nasz tensor Einsteina (7.35) dla wskaźników podwójnie kowariantnych zerowych jest w postaci:

$G_{00}=\pm \square {h_{00}}\;$

(7.38)

Zastosujmy przybliżenia, że c^-2<<1, mamy wtedy że $\square \simeq \nabla ^{2}\;$, zatem tensor Einsteina (7.38) zapisujemy wedle sposobu poniżej, który nie zależy od pochodnych względem czasu:

$G_{00}=\pm \nabla ^{2}h_{00}\;$

(7.39)

Ale z drugiej jednak strony wedle obliczeń dla (1.19) (znaki u góry to sygnatura dodatnia,a u dołu sygnatura ujemna) oraz wedle (7.1) dla (7.2), wtedy poprawka h₀₀ do tensora metrycznego Minkowskiego jest zapisywana wedle schematu (sygnatura dodatnia znak u góry, a ujemna u dołu):

$g_{00}=\pm 1\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\Rightarrow h_{00}=\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\;$

(7.40)

Tensor Einsteina ostatecznie dla dolnych zerowych wskaźników stosując (7.40) do (7.39), to wtedy jego przedstawienie można zapisać:

$G_{00}={{2} \over {c^{2}}}\nabla ^{2}\varphi \;$

(7.41)

Sygnaturę tensora metrycznego η_αβ, jeśli mamy $(-1,1,1,1)\;$, to również otrzymamy taką samą postać jak powyżej równania na tensor Einsteina G₀₀, czyli dla obu sygnatur równanie (7.41) jst prawdziwe, a on zależy od potencjału skalarnego grawitacji dla słabych pól grawitacyjnych.

Z prawa Gausa dla grawitacji, co można udowodnić dla przyciągania grawitacyjnego (znak u góry), a analogicznie piszemy dla odpychania grawitacyjnego (znak u dołu), ale my to zapiszemy bez dowodu:

$\nabla ^{2}\varphi =\pm 4\pi G\rho _{0}\;$

(7.42)

W przyrodzie niestwierdzono odpychania grawitacyjnego, ale my tak piszemy równanie (7.42), by to uwzględniało, ono jest słuszne również dla obu sygnatur, nie tylko jednej sygnatury. Wyrażenie (7.42) możemy podstawić do wzoru na tensor Einsteina o zerowych wskaźnikach (7.41):

$G_{00}=\pm {{2} \over {c^{2}}}4\pi G\rho _{0}\Rightarrow G_{00}=\pm {{8\pi G\rho _{0}} \over {c^{2}}}\;$

(7.43)

Tensor gęstości napięć-energii (1.48) będziemy obliczać dla wskaźników zerowych dla prędkości dążących do zera, a więc dla prędkości, które są o wiele mniejsze od prędkości światła i dla zaniedbywalnego ciśnienia (p=0), ale ponieważ zachodzi ds=cdt, dla interwału czasoprzestrzennego i $x_{0}=x^{0}\;$, co jest słuszne dla słabego pola grawitacyjnego:

$T_{00}=T^{00}\eta _{00}\eta _{00}=T^{00}=\rho _{0}c^{2}u^{0}u^{0}=\rho _{0}c^{2}\;$

(7.44)

Mając równania Einsteina (1.63), ale stosując go dla dolnych wskaźników zerowych, czyli łącząc (7.43) z (7.44) i zaniedbując stałą kosmologiczną, wedle naszego równania grawitacji Einsteina dostajemy wzór:

$\pm {{8\pi G\rho _{0}} \over {c^{2}}}=\pm \kappa \rho _{0}c^{2}\;$

(7.45)

Ponieważ mamy do czynienia z gęstościami materii o niezerowej wartości, zatem stała κ po podzieleniu równania (7.45) przez ρ jest równa dla obu sygnatur:

$\kappa ={{8\pi G} \over {c^{4}}}\;$

(7.46)

Widzimy, że stała proporcjonalności κ (7.46) w prawie grawitacji Einsteina zależy tylko od stałych fizycznych, tzn. prędkości światła "c" i stałej grawitacyjnej "G" występującej w prawie grawitacji Newtona.

Ogólne równania pola wedle równań Einsteina ze stałą kosmologiczną

Otrzymaliśmy zatem, że równania Einsteina wedle (1.63) z dodatkiem o stałą kosmologiczną przyjmują postać dla przyciągania i odpychania grawitacyjnego kolejno w postaci:

$G_{\alpha \beta }+\Lambda g_{\alpha \beta }={{8\pi G} \over {c^{4}}}T_{\alpha \beta }\;$

(7.47)

$G_{\alpha \beta }+\Lambda g_{\alpha \beta }=-{{8\pi G} \over {c^{4}}}T_{\alpha \beta }\;$

(7.48)

Co w postaci bezwskaźnikowej powyższe równania (7.47) (przyciąganie grawitacyjne) i (7.48) (odpychanie grawitacyjne) oraz ze względu, że one są to równania tensorowe można je zapisać dla obu sygnatur:

$\mathbf {G} +\Lambda \mathbf {g} ={{8\pi G} \over {c^{4}}}\mathbf {T} \;$

(7.49)

$\mathbf {G} +\Lambda \mathbf {g} =-{{8\pi G} \over {c^{4}}}\mathbf {T} \;$

(7.50)

Powyższe równania tensorowe nazywamy równaniami grawitacji Einsteina, jak widzieliśmy stałą κ, która jest również słuszna dla słabego pola grawitacyjnego wyprowadziliśmy właśnie mając na myśli słabe pola grawitacyjne i w przybliżeniu dla prędkości o wiele mniejsze od prędkości światła, i w ten sposób wyprowadziliśmy równania Einsteina dla wszystkich pół grawitacyjnych, tzn. dla słabych i silnych pól grawitacyjnych.

Metryka dla słabego pola grawitacyjnego

Naszym celem jest wyznaczenie interwału czasoprzestrzennego, dla słabych pól grawitacyjnych. Otrzymaliśmy, że równania dla słabego pola grawitacyjnego na podstawie zależności między poprawką do tensora metrycznego Minkowskiego dla pól słabych grawitacyjnych przy definicji tensora Einsteina dla tych pól (7.35), to równania dla tych pól (1.63) zapisujemy jako:

$\underbrace {{{1} \over {2}}\square {\overline {h}}_{\beta \nu }} _{G^{\beta \nu }}=\kappa T_{\beta \nu }\;$

(7.51)

Stacjonarne słabe pole grawitacyjne a poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego

Biorąc, że nasze pole jest stacjonarne nie zależy od czasu czyli pochodne czasowe w (7.51), są równe zero, zatem owe równanie dla miejsc w których nie ma masy, a ciśnienie jest zaniedbywalne, przejawia się w postaci:

$\nabla ^{2}{\overline {h}}_{\beta \nu }=0\;$

(7.52)

Można udowodnić, że powyższe równanie ma rozwiązanie w zależności od stałego tensora A^μν:

${\overline {h}}_{\beta \nu }={{A_{\beta \nu }} \over {r}}\;$

(7.53)

Stosując warunek cechowania (7.33) względem równania (rozwiązania) tensorowego, czyli biorąc pochodną poprawki do tensora Minkowskiego względem współrzędnych przestrzennych, otrzymujemy:

$0={{\overline {h}}^{\mu \nu }}_{,\nu }={{A^{\mu i}x_{i}} \over {r^{3}}}\;$

(7.54)

Stała tensorowa A^αβ jest z oczywistych powodów niezależna od czasu w powyższym równaniu, co zostało zastosowane, ponieważ rozpatrujemy rozwiązania stacjonarne ${\overline {h}}_{\mu \nu }\;$ równania grawitacji Einsteina dla słabego pola grawitacyjnego. Aby równanie tensorowe (7.54) było tożsamościowo równe zero, to musi być spełniony warunek:

$A^{\mu i}=0\;$

(7.55)

Ale ponieważ stała A^μ0 nie zależy od czasu jak zakładaliśmy, tzn. zachodzi warunek 0=A^{α 0}_,0, dochodzimy więc do wniosku, że A^α0≠0. Ponieważ zachodzi symetryczność między tensorami A^μν, tzn.: A^βν=A^νβ, to jedynym tensorem, który jest nie równy zero dla A⁰⁰, bo x_i jest dowolne i z własności przestrzeni Minkowskiego dla tensora podwójnie kowariantnego jedynym tensorem, który jest nie równy zero, to A₀₀. Zatem udowodniliśmy, że jedynym niezerowym tensorem dla (7.54) wedle (7.55) jest element tensora:

${\overline {h}}_{00}={{A_{00}} \over {r}}\;$

(7.56)

Gdy mamy ciało jako źródło grawitacji, które jest prawie punktowe i nieporuszające się (zerowy element czterowektora prędkości jest równy zero) i w tym punkcie, w którym znajduje się ciało o masie M panuje zaniedbywalnie ciśnienie, to jego tensor gęstości energii spełnia warunek:

$T_{00}=T^{00}\eta _{00}\eta _{00}=T^{00}=\rho c^{2}u^{0}u^{0}-\eta ^{00}p=\rho c^{2}=\underbrace {M\delta ^{3}({\vec {r}})} _{\rho }c^{2}=Mc^{2}\delta ^{3}({\vec {r}})\Rightarrow T_{00}=Mc^{2}\delta ^{3}({\vec {r}})\;$

(7.57)

Wykorzystajmy wzór na grawitację Einsteina (1.63) przy stałej κ równej (7.45), i niech całkowanie objętościowe będzie po kuli, a całkowanie powierzchniowe po sferze należącym do tej kuli, zatem dla współczynników zerowych podwójnie dolnych tensora Einsteina mamy:

$G_{00}=\pm {{1} \over {2}}\nabla ^{2}{{A_{00}} \over {r}}\Rightarrow \int G_{00}dV=\pm {{1} \over {2}}\int \nabla ^{2}{{A_{00}} \over {r}}dV=\pm {{1} \over {2}}\int \nabla {{A_{00}} \over {r}}d{\vec {S}}=\mp {{A_{00}} \over {2}}\int {{\vec {r}} \over {r^{3}}}d{\vec {S}}=\mp {{A_{00}} \over {2}}\int _{S}{{1} \over {r^{2}}}dS=\mp {{A_{00}} \over {2}}{{1} \over {r^{2}}}4\pi r^{2}=\;$
$=\mp 2\pi A_{00}\Rightarrow \int G_{00}dV=\mp 2\pi A_{00}\Rightarrow G_{00}=\mp 2\pi A_{00}\delta ^{3}({\vec {r}})$

(7.58)

To możemy napisać na podstawie prawa grawitacji (1.63) i definicji tensora Einsteina dla słabych pól grawitacyjnych, a właściwie dla jej dolnych wskaźników zerowych (7.58), dla obu sygnatur (znak u góry sygnatura dodatnia, a u dołu ujemna) dla obu rodzajów oddziaływania grawitacyjnego, to:

$G_{00}=\kappa T_{00}\Rightarrow \mp 2\pi A_{00}\delta ^{3}({\vec {r}})={{8\pi G} \over {c^{4}}}Mc^{2}\delta ^{3}({\vec {r}})\wedge \mp 2\pi A_{00}\delta ^{3}({\vec {r}})=-{{8\pi G} \over {c^{4}}}Mc^{2}\delta ^{3}({\vec {r}})\Rightarrow A_{00}=\mp {{4GM} \over {c^{2}}}\wedge A_{00}=\pm {{4GM} \over {c^{2}}}\;$

(7.59)

Równościach końcowych w (7.59) pierwszy wzór na $A_{00}\;$ jest słuszny dla przyciągania grawitacyjnego, a drugi dla odpychania, znak u góry jest dla sygnatury dodatniej, u dołu ujemnej. Na podstawie obliczeń dochodzimy do wniosku, że zachodzi dla (7.53) przy niezerowej stałej tensorowej A⁰⁰, korzystając z definicji potencjału grawitacyjnego dla pola grawitacyjnego klasycznego, mamy:

$\varphi =\mp {{GM} \over {r}}\;$

(7.60)

• W równaniu (7.60) znak u góry przyciąganie grawitacyjne, a u dołu odpychanie grawitacyjne.

Zatem (7.53) przy definicji A₀₀ (7.59), wykorzystując definicję potencjału skalarnego grawitacyjnego (7.60), i podstawiając do wzoru na ${\overline {h}}_{00}\;$, dostajemy dla przyciągania grawitacyjnego:

${\overline {h}}_{00}={{A_{00}} \over {r}}={\begin{cases}\mp {{4GM} \over {c^{2}r}}\\\pm {{4GM} \over {c^{2}r}}\end{cases}}={\begin{cases}\pm {{4\varphi } \over {c^{2}}}\\\pm {{4\varphi } \over {c^{2}}}\end{cases}}=\pm {{4\varphi } \over {c^{2}}}\;$

(7.61)

We wzorze przedkońcowym na ${\overline {h}}_{00}\;$ wzór na górze jest dla przyciagania grawitacyjnego, a u dołu dla odpychania, znak u góry jest dla sygnatury dodatniej, a u dołu ujemnej, a dla obu sygnatur, co do znaków, i sygnatur podobnie jest w końcowym wyniku tam. Widzimy, że w powyższym wzorze jedynym niezerowym elementem tensora ${\overline {h}}^{\mu \nu }\;$ jest element zależny od potencjału skalarnego grawitacyjnego, który jest opisany w grawitacji wedle jej przestawienia klasycznego (dla słabego pola grawitacyjnego) w sposób (7.61).

Interwał czasoprzestrzenny słabego pola grawitacyjnego Newtona dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego

Z tożsamości (7.36) i (7.61), której poprawka do tensora metrycznego Minkowskiego, a właściwie względem jej podwójnie dolnych elementów zerowych h₀₀ jest wyrażona przy pomocy potencjału grawitacyjnego wedle:

${\overline {h}}={{\overline {h}}^{0}}_{0}=\pm {\overline {h}}_{00}=\pm 2h_{00}={{4\varphi } \over {c^{2}}}\Rightarrow h_{00}=\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\;$

(7.62)

Korzystając z powyższych wniosków, a także z tego, że ${\overline {h}}_{ii}\;$ jest równe zero, co uzyskaliśmy w poprzednim rozdziale na podstawie cechowania (7.33), zatem można powiedzieć:

$h_{33}=h_{22}=h_{11}={\overline {h}}_{11}-{{1} \over {2}}\eta _{11}{\overline {h}}=0-{{1} \over {2}}(\mp 1){{4\varphi } \over {c^{2}}}=\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\;$

(7.63)

Składniki tensora metrycznego mają się jak dla pozostałych wskaźników tensora metrycznego dla słabego pola grawitacyjnego:

$g_{ii}=\mp 1\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}\;$

(7.64)

Możemy wykorzystać definicję tensora dla wskaźników dolnych zerowych wedle (1.19) oraz to, że elementy tensora metrycznego dla współrzędnych przestrzennych są (7.64), wtedy interwał czasoprzestrzenny dla słabego pola grawitacyjnego zapisujemy:

$ds^{2}=\left(1+{{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(-1+{{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\;$

(7.65)

Po krótkich przekształceniach w (7.65) możemy napisać wzór jako równoważny do poprzedniego:

$ds^{2}=\left(1+{{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{{2\varphi } \over {c^{2}}}\right)dl^{2}\;$

(7.66)

Dla słabego pola grawitacyjnego, wiedząc że potencjał skalarny zapisujemy wedle (7.59), wobec tego interwał czasoprzestrzenny (7.66) wedle definicji potencjału skalarnego pola grawitacyjnego wspomnianego wcześniej wygląda:

$ds^{2}=\left(1-{{2GM} \over {c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1+{{2GM} \over {c^{2}r}}\right)dl^{2}\;$

(7.67)

$ds^{2}=\left(1+{{2GM} \over {c^{2}r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{{2GM} \over {c^{2}r}}\right)dl^{2}\;$

(7.68)

Równanie (7.67) jest dla przyciągania grawitacyjnego, a (7.68) dla odpychania, gdzie: $dl^{2}=d{\vec {r}}^{2}=[dx,dy,dz]^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\;$. Z powyższego równania interwał czasoprzestrzenny jest prawie taki sam jak interwał czasoprzestrzenny Minkowskiego, tzn. gdy φ<<c², czyli wtedy można stosować szczególną teorię względności.

Pola grawitacyjne stacjonarne od odległych źródeł relatywistycznych dla obu sygnatur tensora Minkowskiego i rodzajów oddziaływania grawitacyjnego

Tensor Einsteina (1.41) dla pól grawitacyjnego, korzystając ze wzoru (7.1), wygląda:

$G_{\beta \nu }=R_{\beta \nu }-{{1} \over {2}}g_{\beta \nu }R=R_{\beta \nu }-{{1} \over {2}}(\eta _{\beta \nu }+h_{\beta \nu })R=R_{\beta \nu }-{{1} \over {2}}\eta _{\beta \nu }R+O(r^{-2})\;$

(7.69)

Powyżej skorzystaliśmy, że η_αβ, to tensor przestrzeni metrycznej Minkowskiego, a h_αβ, to poprawka do tensora przestrzeni Minkowskiego, tak by nasza przestrzeń, była lekko zakrzywiona, podobna do przestrzeni płaskiej Minkowskiego z poprawką O(r^-2) przedstawiona dla elementu tensora metrycznego o wskaźnikach zerowych:

$g_{00}=\pm 1\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}+O(r^{-2})=\pm 1\pm {\begin{cases}-{{2GM} \over {c^{2}r}}\\{{2GM} \over {c^{2}r}}\end{cases}}+O(r^{-2})\;$

(7.70)

dla elementów tensora metrycznego dla macierzy diagonalnej o podwójnie i-tych (przestrzennych) wskaźnikach:

$g_{ii}=\mp 1\pm {{2\varphi } \over {c^{2}}}+O(r^{-2})=\mp 1\pm {\begin{cases}-{{2GM} \over {c^{2}r}}\\{{2GM} \over {c^{2}r}}\end{cases}}+O(r^{-2})\;$

(7.71)

Kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego dla dużej odległości od źródła relatywistycznego, znając już elementy tensora metrycznego, tzn. (7.70) i (7.71), dla której kwadrat różniczki interwału czasoprzestrzennego przedstawiamy wedle sposobu (1.3), przedstawia się dla przyciągania grawitacyjnego metryką:

$ds^{2}=\left(1-{{2GM} \over {c^{2}r}}+O(r^{-2})\right)c^{2}dt^{2}-\left(1+{{2GM} \over {c^{2}r}}+O(r^{-2})\right)dl^{2}\;$

(7.72)

I dla odpychania metryką:

$ds^{2}=\left(1+{{2GM} \over {c^{2}r}}+O(r^{-2})\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{{2GM} \over {c^{2}r}}+O(r^{-2})\right)dl^{2}\;$

(7.73)

Równanie (7.72) jest dla przyciągania grawitacyjnego, a (7.73) dla odpychania, gdzie: $dl^{2}=d{\vec {r}}^{2}=[dx,dy,dz]^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\;$. Widzimy, że dla dużych odległości od źródła relatywistycznego interwał czasoprzestrzenny jest prawie taki sam jak dla zwykłych źródeł (7.67), czyli dla słabych pól grawitacyjnych.