Ogólna teoria względności/Właściwości skalaru tensora metrycznego

Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Właściwości skalaru tensora metrycznego

Licencja
Autor: Mirosław Makowiecki
Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie
Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl
Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami.
Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania.
Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń.
Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.


Przedstawimy tu jakim wzorem przedstawia się elementarna infinitezymalna objętość w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, a także elementarne wiadomości o tensorach metrycznych, a mianowicie o ich wyznacznikach wyznaczając ich pochodne względem elementów tensora metrycznego i pytamy siebie jakie są właściwości tego tensora.

Element objętości w układzie współrzędnych w ogólnej teorii względności

edytuj

Macierz iloczynu skalarnego w przestrzeni Minkowskiego jest napisana tak jak w punkcie (1.6) i oznaczamy go przez znak grecki (η) i można udowodnić, że ten wyznacznik tensora Minkowskiego jest napisany wedle:

(4.1)

W układzie lokalnie inercjalnym opisywanej przez macierz iloczynu skalarnego (tensor metryczny, który jest symetryczny) w przestrzeni Minkowskiego można przetransformować do układów krzywoliniowego, to macierz tensora metrycznego przechodzi w macierz tensora metrycznego Minkowskiego dla małych gęstości materii w tejże geometrii. Transformacja z układu współrzędnych lokalnie inercjalnego opisywanej przez macierz (g) do innego rodzaju współrzędnych ma się jako:

(4.2)
  • gdzie Λij jest macierzą przejścia.

Transformacja macierzy iloczynu skalarnego z układu lokalnie płaskiej do innego układu względem macierzy transformacji piszemy z wiadomości z algebry:

(4.3)

Wyznacznik macierzy, dzięki któremu budujemy transformacje w wyniku podobieństwa macierzy z układu lokalnie płaskiego w krzywoliniowy (4.3):

(4.4)

Ale wyznacznik tensora metrycznego Minkowskiego ma wartość wedle (4.1), wtedy wyrażenie (4.4), na wyznacznik macierzy (g), możemy zapisać:

(4.5)

Otrzymujemy więc wyznacznik macierzy transformacji, który jest pierwiastkiem z minus jedynki wyznacznika tensora metrycznego (g), który obowiązuje w układzie krzywoliniowym:

(4.6)

W układzie Minkowskiego, który obowiązuje w układzie lokalnie płaskim, nieskończenie mały element objętości zapisujemy:

(4.7)

W naszym przypadku moduł Jakobianu jest modułem wyznacznika macierzy przejścia do układu krzywoliniowego w przestrzeni Minkowskiego, a zatem ta sama objętość pod względem wartości zapisujemy w krzywoliniowym układzie współrzędnych:

(4.8)

Ostatecznie patrząc na wzór (4.8), w postaci skróconej, nasz wzór na objętość w przestrzeni czterowymiarowej (czasoprzestrzeni) jest wyrażony wzorem poniżej.

(4.9)

Widzimy, że objętość opisywanej wedle szczególnej teorii względności zależy od wyznacznika macierzy tensora metrycznego obowiązującego w tymże układzie współrzędnych krzywoliniowym.

Pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementów tensora metrycznego

edytuj

Mamy sobie wyznacznik macierzy tensora metrycznego, który obowiązuje w szczególnej teorii względności i rozwińmy go względem kolumny o numerze β wedle twierdzenia Laplace'a:

(4.10)

Podzielmy wyrażenie (4.10) przez wyznacznik macierzy tensora metrycznego przez g, wtedy otrzymujemy wyrażenie z którego wywnioskujemy dalsze dysputy.

(4.11)

Wprowadzamy podwójnie kontrawariantny tensor metryczny, tak by prawa strona w (4.11) była równa lewej stronie tego równania, korzystając przy tym z jego definicji tego tensora, a także z definicji tensora Kroneckera, i mówiąc ogólnie, że w dowodzie powyższym nie obowiązuje konwencja Einsteina. Zatem podwójnie kontrawariatna macierz tensora metrycznego na podstawie wcześniejszej tożsamości przestawia się:

(4.12)

Wyznaczmy pochodną wyznacznika macierzy tensora metrycznego względem jakiegoś elementu tego samego tensora, co można zapisać:

(4.13)

W powyższym równaniu (4.13) mnożąc obustronnie przez , wtedy otrzymujemy:

(4.14)

Co dalej można otrzymać równoważne równanie, ale tym razem mnożąc (4.13) przez pochodną i sumując obustronnie względem wskaźników i , wtedy otrzymujemy:

(4.15)

Dalej przekształcając prawą strona równości (4.15), tak by zebrać pewne dwa czynniki czynniki pod pochodną względem parametru xμ:

(4.16)

Pierwszy wyraz występujący w wyrażeniu (4.16) pod pochodną liczony względem współrzędnej xμ jest wielkością stałą, to ta jego pochodna jest wielkością zerową:

(4.17)

Powyższe równanie na tensorach metrycznych można zapisać równoważnie:

(4.18)

Wzory (4.14) i (4.18), to są dwa podstawowe wzory oparte na tensorach metrycznych, pierwsza pochodna wyznacznika tensora metrycznego względem elementu tensora metrycznego podwójnie kowariantnego, a drugi względem podwójnie kontrawariantnego.