Ogólna teoria względności/Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne

Zasada wariacyjna a grawitacja i pole elektromagnetyczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Wyznaczanie całkowitego tensora gęstości energii-pędu z uwzględnieniem pola elektromagnetycznego

Wyprowadzimy tutaj czemu jest równa gęstość lagrangianu pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także całkowita gęstość lagrangianu masowego w obecności pola elektromagnetycznego i jego tensor gęstości energii-pędu, a także gęstość lagrangianu będziemy pisać uwzględniając zakrzywienie czasoprzestrzeni uwzględniając jego człony przestrzenne.

Gęstość lagrangianu i tensor gęstości energii-pędu

Lagrangian pola elektromagnetycznego, który jest zależny od tensora pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i to przepiszemy używając definicji tensora metrycznego, a także z postulatu, że lagrangian pola elektromagnetycznego (EK-27.1) jest słuszna również dla zakrzywionej czasoprzestrzeni, i zakładając, że w przestrzeni istnieje ogólnie niestałe pole elektromagnetyczne, zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

${\mathfrak {L}}=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\omega \gamma }F^{\omega \gamma }\mp J^{\mu }A_{\mu }=-{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }g_{\omega \alpha }g_{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }\mp A^{\mu }g_{\mu \nu }J^{\nu }\;$

(6.1)

Gęstość lagrangianu (6.1) jest słuszna, bo udowodniliśmy, że $r=0\;$ w (STW-44.28), a jeżeli $g\neq 0\;$, to (STW-44.45) przyjmuje wartość nieskończoną z dokładnością do znaku w mechanice Newtona (jest ona spełniona przy $g^{\mu \nu }\simeq \eta ^{\mu \nu }\;$, bo układy słabozakrzywione) przy przejściu $c\rightarrow \infty \;$, a więc wtedy (STW-44.38) jest niespełnione, stąd $r=0\;$ w gęstości lagrangianu (STW-44.17), zatem postać gęstości lagrangianu rozważana w tym punkcie jest spełniona, a ona posłuży do wyliczenia jednego tylko tensora gęstości energii-pędu odpowiedzialnej tylko za oddziaływanie elektromagnetyczne. Następnym krokiem jest wyznaczenie tensora energii-pędu wykorzystując przy tym wzór (5.35), zatem w takim razie możemy powiedzieć, że licząc najpierw pierwszy wyraz tego tensora gęstości energii-pędu:

$\mp 2{{\partial {\mathfrak {L}}_{o}} \over {\partial g_{\mu \nu }}}=\pm 2{{\partial } \over {\partial g_{\mu \nu }}}\left[{{1} \over {4\mu _{0}}}F^{\omega \gamma }g_{\omega \alpha }g_{\gamma \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2A^{\mu }J^{\nu }=\pm 2{{1} \over {4\mu _{0}}}\left[F^{\mu \gamma }g_{\gamma \beta }F^{\nu \beta }+F^{\omega \mu }g_{\omega \alpha }F^{\alpha \nu }\right]+2A^{\mu }J^{\nu }=\;$
$=\pm {{1} \over {2\mu _{0}}}\left[{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+{F_{\alpha }}^{\mu }F^{\alpha \nu }\right]+2A^{\mu }J^{\nu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+2A^{\mu }J^{\nu }$

(6.2)

Wtedy całe wyrażenie na tensor energii-pędu przyjmuje następującą postać matematyczną na podstawie wzoru (5.35) wykorzystując wyliczony fakt (6.2), zatem wtedy dochodzimy do wniosku:

$T^{(p)\mu \nu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}{F^{\mu }}_{\beta }F^{\nu \beta }+2A^{\mu }J^{\nu }\mp g^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm J^{\alpha }A_{\alpha }\right)\;$

(6.3)

Tensor energii-pędu (6.3), jest z oczywistych powodów symetryczny na przestawienie czynników. Policzmy ślad tensora gęstości energii pędu:

${T^{(p)\mu }}_{\mu }=T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\mu }=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }+2A^{\mu }J_{\mu }\mp {\delta ^{\mu }}_{\mu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm J^{\alpha }A_{\alpha }\right)=\pm {{1} \over {\mu _{0}}}\left[F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }-{{n+1} \over {4}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2J^{\mu }A_{\mu }+\;$
$-(n+1)J^{\mu }J_{\mu }=\mp {{n-3} \over {4\mu _{0}}}F^{\mu \beta }F_{\mu \beta }-(n-1)J^{\mu }A_{\mu }\;$

(6.4)

A jeżeli w danym punkcie nie płyną prądy to według (6.4) ślad tensora gęstości energii pędu (6.3) jest równy zero w czasoprzestrzeni czterowymiarowej, bo wtedy $n=3\;$.

Zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układach lokalnie płaskich według szczególnej teorii względności

Napiszmy zachowawczość tensora gęstości energii-pędu w układzie lokalnie płaskim. Tensor napięć-energii w postaci kontrawariantno-kowariantnego piszemy w postaci matematycznej wychodząc od końcowego wzoru (6.3) wedle następującego sposobu:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta }\mp {{1} \over {4}}{\delta _{\mu }}^{\nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]+2A_{\mu }J^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }A^{\alpha }J_{\alpha }\;$

(6.5)

Zróżniczkujmy wyrażenie napisane wzorem (6.5) względem współrzędnej kowariantnej, i korzystając z twierdzenia o pochodnej iloczynu, zatem wtedy dochodzimy do następującego wniosku:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\mp {{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }\pm {F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+2A_{\mu }{J^{\nu }}_{,\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }{J^{\alpha }}_{,\nu }A_{\alpha }-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha ,\nu }=\;$
$={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\mp {{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }\pm {F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{\delta _{\mu }}^{\nu }{J^{\alpha }}_{,\nu }A_{\alpha }-{\delta _{\mu }}^{\nu }J^{\alpha }A_{\alpha ,\nu }=$
$={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\mp {{1} \over {2}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta ,\mu }\pm {F^{\nu \beta }}_{,\nu }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }\;$

(6.6)

Następnie należy skorzystać ze wzoru (EK-26.95) i ze wzoru (EK-26.14), czyli są to związki zapisane wzorami wedle poniższych schematów:

${F^{\beta \nu }}_{,\nu }=\pm \mu _{0}J^{\beta }\;$

(6.7)

$F_{\alpha \beta ,\mu }=-F_{\mu \alpha ,\beta }-F_{\beta \mu ,\alpha }\;$

(6.8)

Możemy wykorzystać związki na tensorowe równanie Maxwella (6.7) i tożsamości (6.8) i w ten sposób korzystając ze wzoru (6.6) i wykorzystując te związki dochodzimy do następującego wniosku matematycznego:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }={{1} \over {\mu _{0}}}\left[\pm {{1} \over {2}}\left(F^{\alpha \beta }F_{\mu \alpha ,\beta }+F^{\alpha \beta }F_{\beta \mu ,\alpha }\right)-\mu _{0}J^{\beta }F_{\mu \beta }\pm F^{\nu \beta }F_{\mu \beta ,\nu }\right]+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\gamma }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\gamma }\;$

(6.9)

Można udowodnić, że zmieniając rolami wskaźniki we wzorze (6.9), że pierwszy, drugi i czwarty wyraz się ze sobą redukują do zera, wtedy na podstawie tego możemy napisać, że wspomniana tożsamość:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+2A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }-J^{\alpha }A_{\alpha ,\mu }=\;$
$=-F_{\mu \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }+J^{\beta }(A_{\mu ,\beta }-A_{\beta ,\mu })=-F_{\gamma \beta }J^{\beta }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }+F_{\mu \beta }J^{\beta }=A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\;$

(6.10)

Dlatego $T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=0\;$, bo mamy układ lokalnie płaski o glokalnie stałym tensorze prędkości, w którym gęstość prądu jest wielkością lokalnie stałą, a potencjał tensorowy elektromagnetyczny jest lokalnie stały, czyli zachodzi: $A_{\gamma ,\omega }=0\;$ i ${J^{\omega }}_{,\gamma }=0\;$, stąd zachowawczość tensora gęstości energii-pędu na podstawie (6.10) jest w tych układach spełniona i zachodzi:

$T\!^{(p)}\!_{\mu }\!^{\nu }\!_{,\nu }=0$

(6.11)

Ale ponieważ z definicji tensora gęstości siły dla ładunku w polu elektromagnetycznym przedstawiamy wzorem (EK-26.61), stąd zachowawczość tensora energii-pędu tego pola jest równa:

$dK^{\mu }=-dqF^{\mu \nu }u_{\nu }=-{{\gamma } \over {c}}F^{\mu \nu }J_{\nu }dV\Rightarrow {{dK^{\mu }} \over {dV}}=-{{\gamma } \over {c}}{T^{\mu \nu }}_{,\nu }\Rightarrow {T^{\mu \nu }}_{,\nu }=F^{\mu \nu }J_{\nu }\;$

(6.12)

Łącząc wzory (6.12) i (6.10) oraz przechodząc od układów lokalnie płaskich do zakrzywionych mamy:

$A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=F_{\mu \nu }J^{\nu }\Rightarrow -F_{\mu \nu }J^{\nu }+A_{\mu ,\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{,\mu }A_{\alpha }=0\Rightarrow -F_{\mu \nu }J^{\nu }+A_{\mu ;\nu }J^{\nu }-{J^{\alpha }}_{;\mu }A_{\alpha }=0\;$

(6.13)

Ostatnie równanie w (6.13) jest równaniem na cechowanie w polu elektromagnetycznym w układach zakrzywionych. To cechowanie dla układów zakrzywionych jest bardzo podobne do cechowania (STW-44.49) dla układów słabozakrzywionych, tylko zamiast średnika tam są przecinki.

Całkowita gęstość lagrangianu i pędu

Wyznaczymy tutaj całkowitą gęstość lagrangianu i pędu znając gęstość lagrangianu mechanicznego i elektromagnetycznego.

Całkowita gęstość lagrangianu masowego

Całkowity lagrangian masowy jest sumą lagrangianu mechanicznego (5.43) i elektromagnetycznego (6.1):

${\mathfrak {L}}_{m}={\mathfrak {L}}_{mech}+{\mathfrak {L}}_{em}=\mp \rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\mp J^{\alpha }A_{\alpha }\;$

(6.14)

Całkowita gęstość lagrangianu

Całkowita gęstość lagrangianu jest sumą lagrangianu przestrzennego i masowego, stąd:

${\mathfrak {L}}={\mathfrak {L}}_{m}+{\mathfrak {L}}_{g}=\mp \rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\mp J^{\alpha }A_{\alpha }+{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(6.15)

Całkowita gęstość pędu

Wyznaczmy gęstość tensora pędu uogólnionego, wiedząc, że mamy (MT-8.1), znając wzór na całkowitą gęstość lagrangianu (6.14):

${\mathfrak {p}}^{i}={{1} \over {dV^{'}}}{{\partial ({\mathfrak {L}}dV^{'})} \over {\partial v_{i}}}=\rho v^{i}+{\mathfrak {q}}A^{i}\;$

(6.16)

Całkowity lagrangian i pęd

Wyznaczymy tutaj całkowity lagrangian i pęd z ich odpowiedników, które są całkowitymi gęstościami lagrangianu i pędu.

Całkowity lagrangian masowy

We wzorze (6.14) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu należy go scałkować w sposób:

$L_{m}=\int {\mathfrak {L}}_{m}d^{3}x^{'}=\int d^{3}x^{'}\left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\mp J^{\alpha }A_{\alpha }\right)$

(6.17)

Całkowity lagrangian

We wzorze (6.17) aby otrzymać całkowity lagrangian z całkowitej gęstości lagrangianu masowego należy dodać tam człon związany z gęstością lagrangianu przestrzennego w sposób:

$L=\int {\mathfrak {L}}d^{3}x^{'}=\int ({\mathfrak {L}}_{m}+{\mathfrak {L}}_{g})d^{3}x^{'}=\int d^{3}x^{'}\left(\mp \rho _{0}c^{2}u^{\alpha }u_{\alpha }-{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\mp J^{\alpha }A_{\alpha }+{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\right)\;$

(6.18)

Pęd uogólniony ładunku punktowego

A pęd uogólniony można otrzymać całkując gęstość pędu uogólnionego (6.16) zakładając, że ładunek jest punktowy:

$p^{i}=\int {\mathfrak {p}}^{i}d^{3}x^{'}=m_{0}cu^{i}+qA^{i}\;$

(6.19)

Gęstość hamiltonianu masowego

Wyznaczmy gęstość hamiltonianu, wiedząc że definicja hamiltonianu jest w punkcie (MT-8.4), znając gęstość lagrangianu (6.14) i gęstość pędu (6.16), zatem:

${\mathfrak {H}}_{m}=v_{i}{\mathfrak {p}}^{i}-{\mathfrak {L}}=\rho v^{i}v^{i}+{\mathfrak {\rho }}_{q}A^{i}v^{i}+\left(\rho v^{\alpha }v_{\alpha }+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+J^{\alpha }A_{\alpha }\right)=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+{\mathfrak {\rho }}_{q}\varphi \Rightarrow \;$
$\Rightarrow {\mathfrak {H}}_{m}=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+{\mathfrak {\rho }}_{q}\varphi$

(6.20)

Hamiltonian (6.14) jest to hamiltonian masowy w elektromagnetyzmie.

Całkowita gęstość hamiltonianu

Widzimy, gdy we wzorze (6.14) na gęstość lagrangianu masowego uwzględnimy gęstość lagrangianu przestrzennego to gęstość pędu się nie zmienia, a więc zgodnie z definicją gęstości hamiltonianu (6.15) piszemy w formie:

${\mathfrak {H}}=\rho c^{2}+{{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }+{\mathfrak {\rho }}_{q}\varphi -{{1} \over {2\kappa }}(R-2\Lambda )\;$

(6.21)

Widzimy, że w (6.21) hamiltonian zależy od skalarów krzywizny Ricciego $R\;$ (MMF-2.133).

Całkowity tensor gęstości energii-pędu

Całkowity tensor gęstości energii-pędu jest sumą tensora gęstości energii-pędu kinematycznego (5.52) i tensora gęstości gęstości energii-pędu elektromagnetycznego (6.3), wtedy:

$T^{\mu \nu }=T^{(k)\mu \nu }+T^{(p)\mu \nu }=(\rho _{0}c^{2}+p)u^{\mu }u^{\nu }\mp pg^{\mu \nu }+\left[\pm {{1} \over {\mu _{0}}}F^{\mu \beta }{F^{\nu }}_{\beta }+2A^{\mu }J^{\nu }\mp g^{\mu \nu }\left({{1} \over {4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\pm A^{\alpha }J_{\alpha }\right)\right]\;$

(6.22)

Zachowawczość lokalną tensora gęstości energii-pędu (6.22) piszemy w skrócie w układach lokalnie płaskich:

${T^{\omega \gamma }}_{,\gamma }=0\;$

(6.23)

W równaniu (6.23) zawarte jest zachowanie energii i pędu w elektrodynamice dla układów lokalnie płaskich, które jest słuszne również dla układów zakrzywionych po zamienieniu przecinka średnikiem.

Równania dla elektromagnetyzmu dla ciał rozciągłych dla układów zakrzywionych

Jeżeli jest spełniona własność (6.23) (zachowawczość tensora gęstości energii-pędu) przy tensorze gęstości energii-pędu (6.22) dla układów lokalnie płaskich, to dla układów zakrzywionych:

${T^{\mu \nu }}_{;\gamma }=0\;$

(6.24)

jest spełniona własność dla czasoprzestrzeni zakrzywionej na tensor pola elektromagnetycznego:

$F_{\mu \nu }=A_{\mu ;\nu }-A_{\nu ;\mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\mu \nu }-A_{\nu ,\mu }+A_{\alpha }{\Gamma ^{\alpha }}_{\nu \mu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\Rightarrow F_{\mu \nu }=A_{\mu ,\nu }-A_{\nu ,\mu }\;$

(6.25)

Równania pola przy tensorze pola elektromagnetycznego (EK-26.9) i tensorze dualnym (EK-26.11) według spełnionych równań w układach lokalnie płaskich (EK-26.12) i (EK-26.13) są:

${F^{\mu \nu }}_{;\nu }=\pm \mu _{0}J^{\mu }\;$

(6.26)

${G^{\mu \nu }}_{;\nu }=0\;$

(6.27)

Jest również spełnione cechowanie Lorentza na podstawie cechowania Lorentza (EK-26.58) w układach lokalnie płaskich:

${A^{\mu }}_{;\mu }=0\;$

(6.28)

A także uwzględniając równanie ciągłości na podstawie równania ciągłości (EK-26.8) w układach lokalnie płaskich:

${J^{\mu }}_{;\mu }=0\;$

(6.29)

Na tym skończyliśmy wykład podstawowych równań elektrodynamiki dla czasoprzestrzeni zakrzywionych.