Ogólna teoria względności/Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

Współrzędne Eddingtona-Finkelsteina

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina 2Metryka Eddigtona-Finkelsteina 2.1Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U 2.2Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Wiemy jednak, że w metryce Schwarzchilda występuje nieciągłość dla $r=r_{g}={{2GM} \over {c^{2}}}$, można go usunąć obierając pewien rodzaj współrzędnych. Tym razem rozważmy współrzędne Eddingtona-Finkelsteina.

Definicja współrzędnych Eddigtona-Finkelsteina

Rozważmy promień świetlny biegnący radialnie, jeśli zachodzi dθ=dφ=0. Gdy spełniona jest tożsamość dla kwadratu interwału czasoprzestrzennego ds²=0, czyli interwał czasoprzestrzenny jest zerowy.

$0=ds^{2}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-{{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}$

(14.1)

co można zapisać na podstawie (14.1), że kwadrat różniczki współrzędnościowego czasu jest wyrażony za pomocą kwadratu współrzędnościowego promienia:

$c^{2}dt^{2}={{dr^{2}} \over {\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)^{2}}}$

(14.2)

Co po z pierwiastkowaniu obustronnie równości na różniczkach (na infinitezymalnych zmianach) (14.2), ale gdy r≠ r_g, otrzymujemy:

$cdt=\pm {{dr} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}$

(14.3)

Całkujemy obustronnie tożsamość (14.3) lewostronnie względem czasu, a prawostronnie względem promienia kulistego r.

$ct=\pm \int {{dr} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}\Rightarrow ct=\pm \int {{rdr} \over {r-r_{g}}}\Rightarrow ct=\pm \int {{rdr} \over {r_{g}\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)}}$

(14.4)

Ze wzoru (14.4) dostajemy zależność łącząca współrzędną czasu ze współrzędną położenia radialnego:

$ct=\pm \int r_{g}\left\{1+{{1} \over {{{r} \over {r_{g}}}-1}}\right\}d{{r} \over {r_{g}}}\Rightarrow ct=\pm r\pm \ln \left|{{r} \over {r_{g}}}-1\right|+\operatorname {const}$

(14.5)

Pozostawiając stałą po prawej stronie równości (14.5) a pozostałe wielkości przenosimy na jej lewą stronę i ostatecznie odwracając stronami omawianą równość:

$\operatorname {const} =ct\mp r\mp \ln \left|{{r} \over {r_{g}}}-1\right|$

(14.6)

Zastępując naszą stałą zmienną U i wybierając znaki minus gdy r>r_g, a także stałą V ze znakiem plus gdy r<r_g, zatem ze względu na dowolność stałej całkowania mamy:

$U=ct-r-r_{g}\ln \left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)\;$

(14.7)

$V=ct+r+r_{g}\ln \left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)\;$

(14.8)

Powyższe zmienne są to nowe zmienne, które obowiązują w rozważanej metryce.

Metryka Eddigtona-Finkelsteina

W zależności od zdefiniowanych współrzędnych U i V, można zdefiniować metrykę wedle zmiennej (14.6) lub (14.8) wedle:

$ds^{2}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)dU^{2}+2dUdr-r^{2}d\Omega ^{2}$

(14.9)

$ds^{2}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)dV^{2}-2dVdr-r^{2}d\Omega ^{2}$

(14.10)

Za pomocą poprzednio zdefiniowanych w zmiennych otrzymaliśmy dwa rodzaje metryk w zależności od zmiennej czy od U lub czy to V będziemy za pomocą ich pisali naszą metrykę, tzn. czy (14.9) lub (14.10).

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (14.6) przy metryce (14.9). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

${{\partial U} \over {\partial t}}=c$

(14.11)

A także też wyznaczmy pochodną funkcji U względem położenia radialnego r:

${{\partial U} \over {\partial r}}=-1-r_{g}{{1} \over {{{r} \over {r_{g}}}-1}}{{1} \over {r_{g}}}=-1-\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}$

(14.12)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej można napisać różniczkę zmiennej U, korzystając z policzonych pochodnych cząstkowych przestawionych w punkcie (14.11) oraz w punkcie (14.12):

$dU={{\partial U} \over {\partial t}}dt+{{\partial U} \over {\partial r}}dr=cdt+\left(-1-\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}\right)dr$

(14.13)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę (14.9) tzn.: przy zmiennej U, wyznaczając wyrażenie:

$\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)dU^{2}+2dUdr=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left[cdt+\left(-1-\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}\right)dr\right]^{2}+2dr\left[cdt+\left(-1-\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}\right)dr\right]=$

$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left[c^{2}dt^{2}+\left(1+\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}\right)^{2}dr^{2}-2cdtdr\left(1+\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}\right)\right]+2drcdt-2dr^{2}\left(1+\left({{r} \over {r_{g}}}-1\right)^{-1}\right)=\;$
$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+dr^{2}\left[{{r-r_{g}} \over {r}}\left(1+{{r_{g}} \over {r-r_{g}}}\right)^{2}-2\left(1+{{r_{g}} \over {r-r_{g}}}\right)\right]+2cdtdr\left[-{{r-r_{g}} \over {r}}\left(1+{{r_{g}} \over {r-r_{g}}}\right)+1\right]=$
$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+dr^{2}\left({{r-r_{g}} \over {r}}{{r^{2}} \over {(r-r_{g})^{2}}}-2{{r} \over {r-r_{g}}}\right)+2cdtdr\left(-{{r-r_{g}} \over {r}}{{r} \over {r-r_{g}}}+1\right)=$

$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+dr^{2}\left({{r} \over {r-r_{g}}}-2{{r} \over {r-r_{g}}}\right)=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-dr^{2}{{r} \over {r-r_{g}}}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-{{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}$

(14.14)

Na podstawie (14.14) i definicji metryki Eddigtona-Finkelsteina ze zmienną U (14.9) metryka ta przechodzi w metrykę Schwarzchilda (10.67), a więc nasza metryka jest poprawna dla pola sferycznie symetrycznego.

Dowód metryki Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V

Będziemy tu omawiać metrykę Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej U zdefiniowanego wedle wzoru (14.8) przy metryce (14.10). Policzmy najpierw pochodną cząstkową współrzędnej U względem czasu współrzędnościowego t i przekonamy się, że ona jest równa wielkości stałej, która jest wielkością stałą:

${{\partial V} \over {\partial t}}=c$

(14.15)

a teraz wyznaczmy pochodną zmiennej V względem położenia radialnego współrzędnościowego:

${{\partial V} \over {\partial r}}=1+r_{g}{{1} \over {1-{{r} \over {r_{g}}}}}(-1){{1} \over {r_{g}}}=1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}$

(14.16)

Rozpatrując definicję różniczki zupełnej znanej z analizy można napisać różniczkę zmiennej V korzystając z (14.15) i (14.16) w postaci:

$dV={{\partial V} \over {\partial t}}dt+{{\partial V} \over {\partial r}}dr=cdt+\left(1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}\right)dr$

(14.17)

Teraz udowodnijmy naszą rozważaną metrykę tzn.: przy zmiennej V, wyznaczając wyrażenie:

$\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)dV^{2}-2drdV=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left[cdt+\left(1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}\right)dr\right]^{2}-2dr\left[cdt+\left(1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}\right)dr\right]=$

$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left[c^{2}dt^{2}+\left(1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}\right)^{2}dr^{2}+2cdtdr\left(1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}\right)\right]-2drcdt-2dr^{2}\left(1-\left(1-{{r} \over {r_{g}}}\right)^{-1}\right)=\;$
$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+dr^{2}\left[\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left(1-{{r_{g}} \over {r_{g}-r}}\right)^{2}-2\left(1-{{r_{g}} \over {r_{g}-r}}\right)\right]+2cdtdr\left[\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)\left(1-{{r_{g}} \over {r_{g}-r}}\right)-1\right]=$

$=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+dr^{2}\left[{{r-r_{g}} \over {r}}{{r^{2}} \over {(r_{g}-r)^{2}}}+2{{r} \over {r_{g}-r}}\right]+2cdtdr\left[{{r-r_{g}} \over {r}}{{-r} \over {r_{g}-r}}-1\right]=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+\;$
$+dr^{2}\left[-{{r} \over {r_{g}-r}}+2{{r} \over {r_{g}-r}}\right]=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}+dr^{2}{{r} \over {r_{g}-r}}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-dr^{2}{{r} \over {r-r_{g}}}=\left(1-{{r_{g}} \over {r}}\right)c^{2}dt^{2}-{{dr^{2}} \over {1-{{r_{g}} \over {r}}}}$

(14.18)

Czyli doszliśmy, że metryka Eddigtona-Finkelsteina przy zmiennej V (14.10) przechodzi w metrykę Schwarzchilda (10.67), czyli otrzymaliśmy wniosek, że ta nasza metryka dla pola sferycznie symetrycznego jest poprawnie zdefiniowana.