Topologia ogólna/Przekształcenia ciągłe

Przekształcenia ciągłe

W tym rozdziale wprowadzamy definicje funkcji ciągłej, otwartej, domkniętej, homeomorfizmu; podajemy podstawowe własności takich przekształceń. Korzystając z pojęcia ciągłości konstruujemy produkt przestrzeni topologicznych oraz przestrzeń ilorazową.

Funkcje ciągłe

Definicja

Niech: $(X,{\mathcal {O}}_{X})\;$, $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y\;$ nazywamy funkcją ciągłą, o ile $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{X}\;$.

Innymi słowy funkcja $f:X\to Y\;$ jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych poprzez tę funkcję są zbiorami otwartymi.

Zauważmy, że ta sama funkcja $f:X\to Y\;$, w zależności od topologii na zbiorach $X\;$ i $Y\;$ może być lub nie być ciągła. O ile na zbiorach $X,Y\;$ są z góry ustalone pewne wybrane topologie, mówienie o ciągłości funkcji $f:X\to Y\;$ nie prowadzi do nieporozumień. Kiedy jednak na przykład rozważamy dwie różne topologie ${\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2}\;$ na zbiorze $X\;$, zapis $f:X\to X\;$ przestaje być jednoznaczny. W związku z tym zamiast mówić o funkcjach ciągłych działających między zbiorami, będziemy mówili raczej o odwzorowaniach ciągłych działających między przestrzeniami topologicznymi. Tam gdzie to konieczne będziemy pisali: $f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ zamiast $f:X\to Y\;$.

Własności

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y}),(Z,{\mathcal {O}}_{Z})\;$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jak wykazaliśmy w rozdziale 1. (podrozdział "funkcje ciągłe", własność 3.), w przypadku gdy $X,Y\;$ są przestrzeniami metrycznymi, powyższa definicja jest pewne orównoważna definicji wyrażonej w języku ε-δ (a zatem i definicji ciągowej) ciągłości.
2. Jeśli $f:X\to Y\;$ i $g:Y\to Z\;$ są funkcjami ciągłymi, to funkcja $(g\circ f):X\to Z\;$ jest ciągła.

   Dowód:

   Weźmy dowolny zbiór $U\in {\mathcal {O}}_{Z}\;$. Musimy pokazać, że $(g\circ f)^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{X}\;$. Zauważmy, że $(g\circ f)^{-1}(U)=f^{-1}(g^{-1}(U))\;$. Z ciągłości $g\;$ mamy $g^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$. Zatem, z ciągłości $f\;$, $f^{-1}(g^{-1}(U))\in {\mathcal {O}}_{X}\;$. $\square \;$

3. Definicję ciągłości można równoważnie sformułować na wiele sposobów. W szczególności, równoważne są następujące warunki:
   1. $f:X\to Y\;$ jest ciągła,
   2. $\forall _{F\in {\mathcal {F}}_{Y}}f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}\;$,
   3. Dla pewnej podbazy otwartej ${\mathcal {P}}_{Y}\;$ w $Y\;$: $\forall _{U\in {\mathcal {P}}_{Y}}f^{-1}(P)\in {\mathcal {O}}_{X}\;$,
   4. Dla pewnej bazy otwartej ${\mathcal {B}}_{Y}\;$ w $Y\;$: $\forall _{U\in {\mathcal {B}}_{Y}}f^{-1}(P)\in {\mathcal {O}}_{X}\;$,
   5. Dla pewnych systemów otoczeń $\{{\mathcal {B}}(x)\}_{x\in X}\;$, $\{{\mathcal {G}}(y)\}_{y\in Y}\;$ odpowiednio w $X\;$ i $Y\;$: $\forall _{x\in X}\forall _{G\in {\mathcal {G}}(f(x))}\exists _{B\in {\mathcal {B}}(x)}f(B)\subseteq G\;$.

      Dowód:

      [1.]$\leftrightarrow \;$[2.] $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{X}\iff \;$$\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}X\setminus f^{-1}(U)\in {\mathcal {F}}_{X}\iff \;$$\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(Y\setminus U)\in {\mathcal {F}}_{X}\iff \forall _{F\in {\mathcal {F}}_{Y}}f^{-1}(F)\in {\mathcal {F}}_{X}\;$

      [1.]$\rightarrow \;$[3.] Oczywiste, bo ${\mathcal {P}}_{Y}\subseteq {\mathcal {O}}_{Y}\;$.

      [3.]$\rightarrow \;$[4.] Elementy bazy ${\mathcal {B}}_{Y}\;$ są skończonymi przekrojami elementów podbazy ${\mathcal {P}}_{Y}\;$. Zatem ich przeciwobrazy są skończonymi przekrojami przeciwobrazów elementów ${\mathcal {P}}_{Y}\;$, więc z 3. są otwarte.

      [4.]$\rightarrow \;$[5.] Weźmy dowolne $x\in X\;$ i $G\in {\mathcal {G}}(x)\;$. Zauważmy, że ponieważ ${\mathcal {B}}_{Y}\;$ jest bazą w $Y\;$, to $G=\bigcup _{i\in I}B_{i}\;$ dla pewnej rodziny $\{B_{i}\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {B}}_{Y}\;$. Zatem $f^{-1}(G)=f^{-1}(\bigcup _{i\in I}B_{i})=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})\in {\mathcal {O}}_{X}\;$. Ponadto $f(x)\in G\;$, zatem $x\in f^{-1}(G)\;$. ${\mathcal {B}}(x)\;$ jest bazą otoczeń $x\;$, zatem istnieje $B\in {\mathcal {B}}(x)\;$ takie, że $B\subseteq f^{-1}(G)\;$. Ponadto $f(B)\subseteq f(f^{-1}(G))\subseteq G\;$.

      [5.]$\rightarrow \;$[1.] Weźmy $U\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$ dowolne. Dla dowolnego $x\in f^{-1}(U)\;$ istnieje (z otwartości $U\;$ i definicji systemu otoczeń) $G\in {\mathcal {G}}(f(x))\;$ takie, że $G\subseteq U\;$. Z 5. istnieje zatem otoczenie otwarte $B\in {\mathcal {B}}(x)\;$ punktu $x\;$ takie, że $f(B)\subseteq G\subseteq U\;$. Stąd $B\subseteq f^{-1}(U)\;$, więc $x\;$ jest punktem wewnętrznyn $f^{-1}(U)\;$. Z dowolności $x\;$ otrzymujemy, że $f^{-1}(U)\;$ jest zbiorem otwartym. $\square \;$

W zadaniach do tego rozdziału Czytelnik odnajdzie inne charakteryzacje ciągłości.

Przykłady

1. Jeśli $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ są przestrzeniami topologicznymi i ustalimy pewien element $y\in Y\;$, to funkcja stała $f:X\to Y\;$ zadana: $\forall _{x\in X}f(x)=y\;$ jest ciągła. Istotnie, $f^{-1}(U)=\left\{{\begin{matrix}\emptyset ,y\not \in U\\X,y\in U\end{matrix}}\right.\;$, ale $\emptyset ,X\in {\mathcal {O}}_{X}\;$.
2. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,{\mathcal {O}}_{X})\;$ jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ i każdej funkcji $f:X\to Y\;$ funkcja $f\;$ jest ciągła.
3. Ćwiczenie: Przestrzeń topologiczna $(X,{\mathcal {O}}_{X})\;$ jest antydyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej przestrzeni topologicznej $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ i każdej funkcji $f:Y\to X\;$ funkcja $f\;$ jest ciągła.
4. Jeśli $(X,{\mathcal {O}}_{X})\;$ jest przestrzenią topologiczną, $A\subseteq X\;$ i na $A\;$ ustalimy topologię podprzestrzeni, to naturalne włożenie $i:A\hookrightarrow X\;$ (tzn. funkcja zadana $f(a)=a\;$ dla każdego $a\in A\;$) jest ciągłe. Przeciwobrazem dowolnego zbioru otwartego jest jego przekrój ze zbiorem $A\;$, a zatem zbiór otwarty w $A\;$.

Funkcje otwarte i domknięte

Definicje

Niech: $(X,{\mathcal {O}}_{X})\;$, $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Funkcję $f:X\to Y\;$ nazywamy otwartą, o ile $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{X}}f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$.

Funkcję $f:X\to Y\;$ nazywamy domkniętą, o ile $\forall _{U\in {\mathcal {F}}_{X}}f(U)\in {\mathcal {F}}_{Y}\;$.

Zatem funkcje otwarte są to te odwzorowania, które przeprowadzają zbiory otwarte na zbiory otwarte. Podobnie, odwzorowania domknięte to te, które przeprowadzają zbiory domknięte na zbiory domknięte.

Zauważmy, że w powyższej definicji nie zakładamy, że $f\;$ jest odwzorowaniem ciągłym. Część jednak autorów żąda od odwzorowania otwartego (domkniętego) by było ciągłe.

Własności

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y}),(Z,{\mathcal {O}}_{Z})\;$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli $f:X\to Y\;$, $g:Y\to Z\;$ są przekształceniami otwartymi (domkniętymi), to $(g\circ f):X\to Z\;$ jest przekształceniem otwartym (domkniętym).
2. Jeśli $f:X\to Y\;$ jest bijekcją, to funkcja $f\;$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięta.
3. Jeśli $f:X\to Y\;$ jest ciągłą bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja $f^{-1}:Y\to X\;$ odwrotna do $f\;$ jest otwartą (domkniętą) bijekcją.
4. Funkcja $f:X\to Y\;$ jest otwarta wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza ${\mathcal {B}}\;$ przestrzeni $X\;$ taka, że $\forall _{U\in {\mathcal {B}}}f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$.

• Ćwiczenie: Przeprowadzić dowody powyższych faktów.

Przykłady

1. Jeśli $X\;$ jest dowolną przestrzenią topologiczną, zaś $Y\;$ jest przestrzenią dyskretną, to każda funkcja $f:X\to Y\;$ jest otwarta i jest domknięta. Oczywiście funkcja ta na ogół nie jest ciągła.
2. Naturalne włożenie odcinka domkniętego $\mathbf {I} \;$ w przestrzeń $\mathbf {E} \;$ jest odwzorowaniem ciągłym, domkniętym, ale nie otwartym.

Homeomorfizmy

Definicje

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ będą przestrzeniami topologicznymi.

Homeomorfizmem z przestrzeni $X\;$ do przestrzeni $Y\;$ nazywamy każdą funkcję ciągłą $f:X\to Y\;$, odwracalną i taką, że funkcja $f^{-1}:Y\to X\;$ odwrotna do $f\;$ jest ciągła.

Zauważmy, że jeśli $f:X\to Y\;$ jest homeomorfizmem, to $f^{-1}:Y\to X\;$ jest również homeomorfizmem.

Przestrzenie $X,Y\;$ nazywamy homeomorficznymi, o ile istnieje homeomorfizm z $X\;$ do $Y\;$ (lub równoważnie, co wynika z powyższej uwagi, homeomorfizm z $Y\;$ do $X\;$). Fakt, że przestrzenie $X,Y\;$ są homeomorficzne, oznaczamy symbolem $X\simeq Y\;$.

Własnością topologiczną nazywamy każdą taką własność przestrzeni topologicznych, że dana przestrzeń posiada ją wtedy i tylko wtedy, gdy posiada ją każda przestrzeń z nią homeomorficzna. Topologia jako nauka zajmuje się badaniem własności topologicznych przestrzeni. Z topologicznego punktu widzenia przestrzenie homeomorficzne są nierozróżnialne.

Włożeniem nazywamy funkcję ciągłą $f:X\to Y\;$ będącą homeomorfizmem na obraz (tzn. $f\;$ traktowana jako funkcja $f:X\to f(X)\;$, gdzie na $f(X)\;$ ustalona jest topologia podprzestrzeni względem $Y\;$, jest homeomorfizmem).

Własności

Niech $(X,{\mathcal {O}}_{X}),(Y,{\mathcal {O}}_{Y}),(Z,{\mathcal {O}}_{Z})\;$ będą przestrzeniami topologicznymi.

1. Jeśli $f:X\to Y\;$ i $g:Y\to Z\;$ są homeomorfizmami, to $(g\circ f):X\to Z\;$ jest homeomorfizmem.

   Dowód:

   Funkcja $(g\circ f)\;$ jest ciągłą bijekcją jako złożenie ciągłych bijekcji. Ponadto, $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}\;$. Ponieważ $f^{-1},g^{-1}\;$ są funkcjami ciągłymi, $(g\circ f)^{-1}\;$ jest ciągła jako ich złożenie. $\square \;$

2. Ciągła bijekcja $f:X\to Y\;$ jest homeomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jest funkcją otwartą (funkcją domkniętą).

   Dowód:

   Dowód przeprowadzimy dla wersji twierdzenia mówiącej o funkcji otwartej. Dowód drugiej wersji jest analogiczny. Wprowadźmy oznaczenie: $g=f^{-1}:Y\to X\;$.

   [$\rightarrow \;$] Weźmy dowolny zbiór $U\in {\mathcal {O}}_{X}\;$. Ponieważ $f\;$ jest bijekcją oraz $g\;$ jest ciągłe, to $f(U)=g^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$.

   [$\leftarrow \;$] Musimy pokazać, że $g\;$ jest ciągłe. Weźmy $U\in {\mathcal {O}}_{X}\;$. Mamy: $g^{-1}(U)=f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$ z otwartości $f\;$. $\square \;$

3. Jeśli $f:X\to Y\;$ jest ciągłą injekcją i jest otwarta lub jest domknięta, to $f\;$ jest włożeniem.

   Dowód:

   Dowód przeprowadzimy dla odwzorowania otwartego. Oczywiście $f\;$ jest bijekcją na obraz. Ponieważ dla każdego $U\in {\mathcal {O}}_{X}\;$ z otwartości $f\;$ mamy $f(U)\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$ oraz $f(U)\subseteq f(X)\;$, to $f(U)\in {\mathcal {O}}_{f(X)}\;$. Wobec tego $f:X\to f(X)\;$ jest otwartą bijekcją. Z ostatniego twierdzenia otrzymujemy, że $f:X\to f(X)\;$ jest homeomorfizmem. $\square \;$

   Ćwiczenie: Wykazać, że otwartość (domkniętość) ciągłej injekcji jest warunkiem dostatecznym, ale nie koniecznym na to, żeby injekcja ta była włożeniem.

Przykłady

1. Istnieją ciągłe bijekcje, które nie są homeomorfizmami. Rozważmy funkcję identycznościową $id:(\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{d})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{E})\;$, gdzie ${\mathcal {O}}_{d}\;$ oznacza topologię dyskretną na $\mathbb {R} \;$. Jest ona oczywiście ciągłą bijekcją. Jednak $id^{-1}=id:(\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{E})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {O}}_{d})\;$ nie jest ciągła, gdyż np. $\{0\}\in {\mathcal {O}}_{d}\;$, ale $\{0\}=id^{-1}(\{0\})\not \in {\mathcal {O}}_{E}\;$.
2. Homeomorficzne są dowolne dwa odcinki otwarte $(a;b),(c;d)\subseteq \mathbb {R} \;$ z topologiami standardowymi.

   Dowód:

   Nietrudno sprawdzić (ćwiczenie), że jest homeomorfizmem przekształcenie $f:(a;b)\to (c;d)\;$ zadane $f(x)=c+(x-a){\frac {d-c}{b-a}}\;$ dla każdego $x\in (a;b)\;$. $\square \;$

3. Homeomorficzne są odcinek otwarty $(a;b)\;$ z topologią standardową i $\mathbf {E} \;$.

   Dowód:

   Odcinek $(a;b)\;$ jest homeomorficzny z odcinkiem $\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)\;$. Funkcja tangens $\operatorname {tg} :\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)\to \mathbb {R} \;$ jest homeomorfizmem. Z faktu, że złożenie homeomorfizmów jest homeomorfizmem, otrzymujemy tezę. $\square \;$

4. Ćwiczenie: Przestrzenie dyskretne (antydyskretne) $X,Y\;$ są homoeomorficzne dokładnie wtedy, gdy $|X|=|Y|\;$.
5. Ćwiczenie: Wykazać, że bycie przestrzenią: dyskretną (antydyskretną, skończoną, nieskończoną) jest własnością topologiczną.

Wprowadzanie topologii przez funkcje ciągłe

Minimalna topologia na dziedzinie

Niech $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ będzie przestrzenią topologiczną, $X\;$ zbiorem, zaś $f:X\to Y\;$ funkcją.

Wprowadzimy na zbiorze $X\;$ pewną topologię ${\mathcal {T}}\;$, przy której funkcja $f:(X,{\mathcal {T}})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ będzie ciągła. Oczywiście, znalezienie jakiejkolwiek topologii na $X\;$ o tej własności nie jest trudne - wystarczy przyjąć ${\mathcal {T}}=2^{X}\;$. Nas jednak będzie interesowała najmniejsza topologia o tej własności. Zachodzi następujące twierdzenie:

${\mathcal {T}}=\{f^{-1}(U):U\in {\mathcal {O}}_{Y}\}\;$ jest najmniejszą topologią na $X\;$ przy której $f:X\to Y\;$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że ${\mathcal {T}}\;$ jest topologią na $X\;$. Zauważmy, że $\emptyset =f^{-1}(\emptyset ),X=f^{-1}(Y)\in {\mathcal {T}}\;$. Dalej, przypuśćmy że rodzina $\{f^{-1}(U_{i})\}_{i\in I}\subseteq {\mathcal {T}}\;$ (gdzie $\forall _{i\in I}U_{i}\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$). Wówczas, z własności przeciwobrazu i definicji topologii na $Y\;$: $\bigcup _{i\in I}f^{-1}(U_{i})=f^{-1}(\bigcup _{i\in I}U_{i})\in {\mathcal {T}}\;$. Z podobnych przyczyn dla $f^{-1}(U),f^{-1}(V)\in {\mathcal {T}}\;$ (gdzie $U,V\in {\mathcal {O}}_{Y}\;$ mamy: $f^{-1}(U)\cap f^{-1}(V)=f^{-1}(U\cap V)\in {\mathcal {T}}\;$. Zatem ${\mathcal {T}}\;$ jest topologią na $X\;$.

Jest jasne, że $f:(X,{\mathcal {T}})\to (Y,{\mathcal {O}})\;$ jest ciągła.

Zauważmy teraz, że jeśli ${\mathcal {T}}_{1}\;$ jest topologią na $X\;$ taką, że $f:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})\;$ jest ciągła, to z definicji ciągłości $\forall _{U\in {\mathcal {O}}_{Y}}f^{-1}(U)\in {\mathcal {T}}_{1}\;$, zatem ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}\;$. $\square \;$

Rozważmy teraz ogólniejszą wersję powyższego problemu.

Niech $\{(Y_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}\;$ będzie rodziną przestrzeni topologicznych, $X\;$ zbiorem, zaś $\{f:X\to Y_{i}\}_{i\in I}\;$ rodziną funkcji.

Wówczas ${\mathcal {P}}=\bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U):U\in {\mathcal {O}}_{i}\}\;$ jest podbazą najmniejszej topologii ${\mathcal {T}}\;$ na $X\;$ takiej, że dla każdego $i\in I\;$ funkcja $f_{i}:(X,{\mathcal {T}})\to (Y_{i},{\mathcal {O}}_{i})\;$ jest ciągła.

Dowód:

Wykażemy najpierw, że ${\mathcal {P}}\;$ jest podbazą pewnej topologii na $X\;$. Oznaczmy przez ${\mathcal {B}}\;$ rodzinę skończonych przekrojów elementów rodziny ${\mathcal {P}}\;$. Musimy pokazać, że ${\mathcal {B}}\;$ spełnia aksjomaty bazy. Zauważmy, że $X=f^{-1}(Y_{i})\;$ dla dowolnego $i\in I\;$, zatem $X\in {\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {B}}\;$. Zatem $\bigcup {\mathcal {B}}=X\;$. Weźmy teraz dowolne dwa elementy $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}\;$. Z definicji ${\mathcal {B}}\;$ istnieją $P_{1},P_{2},\dots ,P_{n},P_{n+1},\dots ,P_{n+m}\in {\mathcal {P}}\;$ takie, że $B_{1}=\bigcap _{k=1}^{n}P_{k}\;$ i $B_{2}=\bigcap _{k=n+1}^{n+m}P_{k}\;$. Stąd $B_{1}\cap B_{2}=\bigcap _{k=1}^{n+m}P_{k}\in {\mathcal {B}}\;$. Zatem ${\mathcal {B}}\;$ jest bazą pewnej topologii na $X\;$.

Wystarczy teraz zauważyć, że jeśli ${\mathcal {T}}_{1}\;$ jest topologią na $X\;$ taką, że dla każdego $i\in I\;$ funkcja $f_{i}:(X,{\mathcal {T}}_{1})\to (Y,{\mathcal {O}})\;$ jest ciągła, to ${\mathcal {P}}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}\;$. Stąd ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}\;$, gdyż ${\mathcal {T}}\;$ jest najmniejszą topologią na $X\;$ zawierającą ${\mathcal {P}}\;$. $\square \;$

• Ćwiczenie: Wykazać, że przy oznaczeniach powyższego twierdzenia zbiór ${\mathcal {P}}^{*}=\bigcup _{i\in I}\{f^{-1}(P):P\in \mathbf {P} _{i}\}\;$, gdzie $\mathbf {P} _{i}\;$ jest podbazą przestrzeni $(Y_{i},{\mathcal {O}}_{i})\;$ dla każdego $i\in I\;$, jest podbazą topologii ${\mathcal {T}}\;$.

Maksymalna topologia na przeciwdziedzinie

Rozważymy teraz sytuację w pewnym sensie odwrotną do opisanej w poprzednim podrozdziale. Będziemy bowiem przy ustalonej topologii na dziedzinie funkcji wprowadzali topologię na jej przeciwdziedzinie tak, aby dana funkcja była ciągła. Chcemy ponadto, aby wprowadzona topologia była największa z możliwych.

Niech $(X,{\mathcal {O}})\;$ będzie przestrzenią topologiczną, $Y\;$ zbiorem, zaś $f:X\to Y\;$ funkcją.

Wówczas ${\mathcal {T}}=\{U:f^{-1}(U)\in {\mathcal {O}}\}\;$ jest największą topologią na $Y\;$ taką, że $f:(X,{\mathcal {O}})\to (Y,{\mathcal {T}})\;$ jest funkcją ciągłą.

Dowód:

Łatwo sprawdzamy, korzystając z własności przeciwobrazu, że ${\mathcal {T}}\;$ jest topologią na $Y\;$

Oczywiście $f:(X,{\mathcal {O}})\to (Y,{\mathcal {T}})\;$ jest ciągła.

Nietrudno też wykazać, że ${\mathcal {T}}\;$ jest największą topologią o żądanej własności. Jeśli bowiem $V\in 2^{X}\;$ i $V\not \in {\mathcal {T}}\;$, to $f^{-1}(V)\not \in {\mathcal {O}}\;$. $\square \;$

• Ćwiczenie: Uzupełnić szczegóły dowodu.
• Ćwiczenie: Wykazać, że jeśli $\{(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}\;$ jest rodziną przestrzeni topologicznych, $Y\;$ zbiorem, zaś $\{f_{i}:X_{i}\to Y\}_{i\in I}\;$ rodziną funkcji, to istnieje maksymalna topologia ${\mathcal {T}}\;$ na $Y\;$ przy której każda z funkcji $f_{i}:(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\to (Y,{\mathcal {T}})\;$ jest ciągła.

Suma rozłączna przestrzeni topologicznych

Korzystając z ostatniego ćwiczenia zdefiniujemy koprodukt (lub inaczej: sumę rozłączną) rodziny przestrzeni topologicznych $\{X_{i}\}_{i\in I}\;$. Dla uproszczenia załóżmy, że przestrzenie należące do tej rodziny są parami rozłączne (w przeciwnym wypadku możemy dokonać urozłącznienia, dla każdego $i\in I\;$ biorąc zamiast przestrzeni $X_{i}\;$ jej homeomorficzną kopię, której elementy są parami $(x,i)\in X_{i}\times \{i\}\;$). Koproduktem rodziny $\{X_{i}\}_{i\in I}\;$ nazywamy wówczas przestrzeń $\bigcup _{i\in I}X_{i}\;$ z najbogatszą topologią taką, że włożenia $j_{i}:X_{i}\hookrightarrow \bigcup _{i\in I}X_{i}\;$, $j_{i}(x)=x\;$ są ciągłe dla wszystkich $i\in I\;$. Przestrzeń tą oznaczamy symbolem $\coprod _{i\in I}X_{i}\;$.

• Ćwiczenie: Wykazać, że zbiór $U\subseteq \coprod _{i\in I}X_{i}\;$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $i\in I\;$ zbiór $U\cap X_{i}\;$ jest otwarty w $X_{i}\;$.

Topologia Tichonowa

Definicja

W tym podrozdziale wprowadzimy pojęcie produktu rodziny przestrzeni topologicznych. Przypomnijmy najpierw pewne pojęcia teoriomnogościowe:

Produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_{i}\}_{i\in I}\;$ nazywamy zbiór $\prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}:\forall _{i\in I}f(i)\in X_{i}\}\;$.

Przy powyższych oznaczeniach rzutem na $j\;$-tą współrzędną (gdzie $j\in I\;$) nazywamy funkcję $p_{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}\;$ zadaną $p_{j}(f)=f(j)\;$ dla każdego $f\in \prod _{i\in I}X_{i}\;$.

Przejdziemy teraz do właściwej definicji, korzystającej z twierdzenia o istnieniu minimalnej topologii na dziedzinie rodziny funkcji.

Produktem rodziny przestrzeni topologicznych $\{(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}\;$ nazywamy przestrzeń topologiczną $(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})\;$, gdzie $\prod _{i\in I}X_{i}\;$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów $\{X_{i}\}_{i\in I}\;$, zaś ${\mathcal {T}}\;$ jest minimalną topologią na $\prod _{i\in I}X_{i}\;$, przy której dla każdego $j\in I\;$ rzutowanie $p_{j}:(\prod _{i\in I}X_{i},{\mathcal {T}})\to (X_{j},{\mathcal {O}}_{j})\;$ jest funkcją ciągłą.

Powyżej zdefiniowaną topologię ${\mathcal {T}}\;$ nazywamy topologią Tichonowa lub topologią produktową.

Własności

Przyjmijmy oznaczenia z powyższej definicji.

Uwaga: W poniższych rozważaniach, w celu ich uproszczenia, utożsamiamy funkcję $f:A\to B\;$ ze zbiorem par uporządkowanych $\{(a,f(a)):a\in A\}\;$ (to znaczy "zapominamy" o dziedzinie i przeciwdziedzinie).

[Komentarz wędrowca: pragnę zwrócić uwagę na nieścisłość nomenklaturową: funkcje SĄ zbiorami takich właśnie par. Trójka złożona z funkcji $f\;$ i dwóch zbiorów $A\;$ i $B\;$, takich że $A\subseteq dm(f),rg(f)\subseteq B\;$ nazywa się odwzorowaniem. W całym dokumencie przewija się ten błąd (Adam Kolany). ]

1. Z twierdzenia o minimalnej topologii na dziedzinie wynika, że podbazą topologii produktowej ${\mathcal {T}}\;$ jest zbiór ${\mathcal {P}}=\{p_{i}^{-1}(U):i\in I\land U\in {\mathcal {O}}_{i}\}\;$.
2. Zauważmy, że dla każdych $i\in I,U\in {\mathcal {O}}_{i}\;$ zachodzi $p_{i}^{-1}(U)=\prod _{j\in I}\alpha _{i}^{U}(j)\;$, gdzie $\alpha _{i}^{U}(j)=\left\{{\begin{matrix}X_{j}&&,j\not =i\\U&&,j=i\end{matrix}}\right.\;$ dla każdego $j\in I\;$.
   Intuicyjnie, $\prod _{j\in I}\alpha _{i}^{U}(j)\;$ jest produktem kartezjańskim rodziny zbiorów powstałej przez zastąpienie w rodzinie $\{X_{j}\}_{j\in I}\;$ $i\;$-go zbioru przez zbiór $U\;$ (otwarty w $X_{i}\;$).
3. Z powyższych rozważań wynika, że elementami bazy topologii produktowej są skończone iloczyny zbiorów postaci $\prod _{j\in I}\alpha _{i}^{U}(j)\;$. Jak nietrudno zauważyć, są to produkty kartezjańskie rodzin zbiorów powstałych przez zastąpienie w rodzinie $\{X_{i}\}_{i\in I}\;$ skończonej liczby przestrzeni $X_{i_{1}},X_{i_{2}},\dots ,X_{i_{n}}\;$ przez ich podzbiory otwarte $U_{i_{1}},U_{i_{2}},\dots ,U_{i_{n}}\;$.
4. Zauważmy jeszcze, że w przypadku gdy rozważana rodzina przestrzeni $\{(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\}_{i\in I}\;$ jest skończona (przyjmijmy np. $I=\{1,2,\dots ,n\}\;$), to bazą topologii produktowej jest rodzina ${\mathcal {B}}=\{\prod _{i=1}^{n}U_{i}:\forall _{i=1,\dots ,n}U_{i}\in {\mathcal {O}}_{i}\}\;$.
   Ćwiczenie: Wykazać, że w powyższym, skończonym przypadku bazą topologii Tichonowa jest zbiór ${\mathcal {B}}^{*}=\{\prod _{i=1}^{n}B_{i}:\forall _{i=1,\dots ,n}B_{i}\in \mathbf {B} _{i}\}\;$, gdzie $\mathbf {B} _{i}\;$ jest bazą $(X_{i},{\mathcal {O}}_{i})\;$ dla każdego $i=1,2,\dots ,n\;$.
5. Dla każdego $j\in I\;$ rzutowanie $p_{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}\;$ jest odwzorowaniem otwartym.

   Dowód:

   Wystarczy wykazać (z własności odwzorwań otwartych), że $p_{j}(B)\in {\mathcal {O}}_{i}\;$ dla zbiorów $B\;$ należących do bazy topologii produktowej. Z postaci zbiorów bazowych opisanej w 2. oraz definicji rzutowania wynika, że $p_{j}(B)=X_{j}\;$ lub $p_{j}(B)=U\;$ dla pewnego $U\in {\mathcal {O}}_{j}\;$. Dowód jest zakończony. $\square \;$

Przykłady

1. Produkt dowolnej rodziny przestrzeni antydyskretnych jest przestrzenią antydyskretną.
2. Produkt rodziny przestrzeni dyskretnych o mocy większej niż $1\;$ jest przestrzenią dyskretną wtedy i tylko wtedy, gdy jest to rodzina skończona.
3. Rozważmy przestrzenie skończone: $X=(\{0,1\},\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\}\})\;$ i $Y=(\{a,b\},\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\})\;$. Wówczas na $X\times Y\;$ topologią Tichonowa jest zbiór: $\{\emptyset ,X\times Y,\{(0,a)\},\{(0,b)\},\{(0,a),(0,b)\},\{(0,a),(1,a)\},\{(0,b),(1,b)\}\}\;$.
4. Przez $X^{\kappa }\;$, gdzie $\kappa \;$ jest liczbą kardynalną zaś $X\;$ przestrzenią topologiczną, rozumiemy przestrzeń $\prod _{i\in \kappa }X\;$ (to znaczy produkt $\kappa \;$ kopii przestrzeni $X\;$) z topologią produktową.

   Niech $\kappa \geq \aleph _{0}\;$.

   • Dla $X=\{0,1\}\;$ z topologią dyskretną przestrzeń $X^{\kappa }\;$ nazywamy kostką Cantora o ciężarze $\kappa \;$.
   • Dla $X=\{0,1\}\;$ z topologią $\{\emptyset ,\{0\},\{0,1\}\}\;$ przestrzeń $X^{\kappa }\;$ nazywamy kostką Aleskandrowa o ciężarze $\kappa \;$. Przestrzeń $X\;$ z tego przykładu nazywamy przestrzenią Sierpińskiego.
   • Dla $X=\mathbf {I} \;$ przestrzeń $X^{\kappa }\;$ nazywamy kostką Tichonowa o ciężarze $\kappa \;$.

Topologia ilorazowa

Definicja

Niech będą dane przestrzeń topologiczna $(X,{\mathcal {O}})\;$ i relacja równoważności $\equiv \subseteq X\times X\;$.

Funkcją ilorazową nazywamy funkcję $\eta :X\to X/\equiv \;$ zadaną: $\eta (x)=[x]_{\equiv }\;$ dla każdego $x\in X\;$, gdzie $X/\equiv \;$ oznacza zbiór ilorazowy, zaś $[x]_{\equiv }\in X/\equiv \;$ klasę abstrakcji elementu $x\in X\;$ względem relacji $\equiv \;$.

Topologią ilorazową na zbiorze ilorazowym $X/\equiv \;$ nazywamy najbogatszą topologię ${\mathcal {O}}_{X/\equiv }\;$ na tym zbiorze, przy której funkcja ilorazowa $\eta :X\to X/\equiv \;$ jest ciągła. Przestrzeń $(X/\equiv ,{\mathcal {O}}_{X/\equiv })\;$ nazywamy przestrzenią ilorazową przestrzeni $X\;$ względem relacji $\equiv \;$.

Jeżeli $A\subseteq X\;$, to istnieje najmniejsza relacja równoważności $\equiv _{A}\subseteq X\times X\;$ taka, że $x\equiv _{A}y\;$ dla każdych $x,y\in A\;$. Przestrzeń ilorazową względem tej relacji oznaczać będziemy przez $(X/A,{\mathcal {O}}_{X/A})\;$. Intuicyjnie, przestrzeń ta powstaje poprzez "sklejenie" wszystkich punktów zbioru $A\;$ w jeden punkt.

Ogólniej, odwzorowaniem ilorazowym nazywamy każdą ciągłą surjekcję $q:X\to Y\;$ taką, że topologia na $Y\;$ jest najbogatszą topologią, przy której $q\;$ jest ciągła.

Własności

[Komentarz wędrowca: uprasza się Autora o uporządkowanie oznaczeń. Ni przypiął ni przyłatał w następującym niżej tekście pojawia się tu i ówdzie funkcja $p\;$. Pewno ma to być $q\;$, ale może lepiej, zeby autor sam to poprawił?? (A.Kolany)]

1. Niech będą dane przestrzeń $X\;$ i relacja równoważności $\equiv \;$ na tej przestrzeni. $\eta :X\to X/\equiv \;$ niech będzie odwzorowaniem ilorazowym. Wówczas dla każdej przestrzeni $Y\;$ i funkcji ciągłej $g:X\to Y\;$ takiej, że $g(x)=g(y)\;$ o ile $x\equiv y\;$, istnieje dokładnie jedna funkcja ciągła $g':X/\equiv \to Y\;$ taka, że $g'\circ \eta =g\;$.

   Dowód:

   Przyjmijmy $g'([x])=g(x)\;$ dla $[x]\in X/\equiv \;$. Definicja ta jest niezależna od wyboru reprezentanta klasy $[x]\;$, gdyż z założenia $g(x)=g(y)\;$ dla każdego $y\in [x]\;$. Funkcja $g'\;$ jest zatem dobrze określona. Spełnia ona warunek $g'\circ \eta =g\;$ i nietrudno zauważyć, że jest jedyną funkcją go spełniającą. Wykażmy ciągłość $g'\;$. Niech $U\subseteq Y\;$ będzie zbiorem otwartym. Z definicji $g'\;$ wynika, że $\eta ^{-1}g'^{-1}(U)=g^{-1}(U)\;$. Zbiór $g^{-1}(U)\;$ jest otwarty z ciągłości funkcji $g\;$. Wystarczy teraz zauważyć, że z definicji topologii na $X/\equiv \;$ wynika, że $V\subseteq X/\equiv \;$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $\eta ^{-1}(V)\;$ jest otwarty w $X\;$. Wobec tego $g'^{-1}(U)\;$ jest otwarty, zatem $g'\;$ jest funkcją ciągłą. $\square \;$

2. Niech $q:X\to Y\;$ będzie ciągłą surjekcją. Jeśli $q\;$ jest odwzorowaniem otwartym lub odwzorowaniem domkniętym, to jest odwzorowaniem ilorazowym.

   Dowód:

   Musimy wykazać, że dowolny podzbiór $U\subseteq Y\;$ jest otwarty o ile $p^{-1}(U)$ jest otwarty. Przypuśćmy zatem, że $p^{-1}(U)\;$ jest otwarty. Jeśli $p\;$ jest odwzorowaniem otwartym, to $p(p^{-1}(U))\;$ jest również otwarty. Ale $p\;$ jest surjekcją, więc $p(p^{-1}(U))=U\;$. Jeśli $p\;$ jest odwzorowaniem domkniętym, to $p(X\setminus p^{-1}(U))\;$ jest zbiorem domkniętym. Ale $p(X\setminus p^{-1}(U))=p(p^{-1}(Y\setminus U))=Y\setminus U\;$. $\square \;$

3. Niech $q:X\to Y\;$ będzie odwzorowaniem ilorazowym. Na $X\;$ określmy relację równoważności: $x\equiv y\;$ wtedy i tylko wtedy, gdy $q(x)=q(y)\;$. Wówczas przestrzenie $Y\;$ i $X/\equiv \;$ są homeomorficzne.

   Dowód:

   Przez $\eta :X\to X/\equiv \;$ oznaczmy odwzorowanie ilorazowe. Zdefiniujmy funkcję $h:X/\equiv \to Y\;$ wzorem $h([x])=p(x)\;$. Z definicji relacji $\equiv \;$ wynika, że jest ona dobrze określona. Ponadto $h\;$ jest surjekcją, gdyż $p\;$ jest surjekcją. Wykażmy różnowartościowość $h\;$. Przypuśćmy, że $h([x])=h([y])\;$, to znaczy $p(x)=p(y)\;$, co z kolei z definicji $\equiv \;$ oznacza, że $x\equiv y\;$, czyli $[x]=[y]\;$. Pozostaje wykazać ciągłość i otwartość $h\;$. Nietrudno zauważyć, że dla $U\subseteq Y\;$ mamy $\eta ^{-1}(h^{-1}(U))=p^{-1}(U)\;$. Z ciągłości $p\;$ zbiór ten jest otwarty, o ile $U\;$ jest zbiorem otwartym, zatem z definicji topologii ilorazowej zbiór $h^{-1}(U)\;$ jest otwarty. Analogicznie, korzystając z faktu, że $p^{-1}(h(V))=\eta ^{-1}(V)\;$ dla $V\subset X/\equiv \;$ otrzymujemy, że $h\;$ jest otwarte, co kończy dowód. $\square \;$

4. Surjekcja $q:X\to Y\;$ jest odwzorowaniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy posiada następującą własność: dla każdej przestrzeni topologicznej $Z\;$ i odwzorowania $h:Y\to Z\;$ odwzorowanie $h\;$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy odwzorowanie $h\circ q\;$ jest ciągłe.

   Dowód:

   [$\rightarrow \;$] Pokażmy, że jeśli $q\;$ jest odwzorowaniem ilorazowym, to własność powyższa zachodzi. Weźmy dowolne odwzorowanie $h:Y\to Z\;$. Przypuśćmy, że $h\circ q\;$ jest ciągłe. Niech $U\subseteq Z\;$ będzie zbiorem otwartym. Z ciągłości $h\circ q\;$ zbiór $(h\circ q)^{-1}(U)\;$ jest otwarty, ale $(h\circ q)^{-1}(U)=q^{-1}(h^{-1}(U))\;$. Ponieważ $q\;$ jest odwzorowaniem ilorazowym, oznacza to, że zbiór $h^{-1}(U)\;$ jest otwarty. Stąd $h\;$ jest ciągłe. Z drugiej strony, jeśli $h\;$ jest ciągłe, to $h\circ q\;$ jest ciągłe jako złożenie odwzorowań ciągłych.

   [$\leftarrow \;$] Wykażmy teraz, że jeśli własność powyższa zachodzi, to $q\;$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Wykażmy najpierw ciągłość $q\;$. Gdyby istniało $U\subseteq Y\;$ otwarte i takie, że $q^{-1}(U)\;$ nie byłoby otwarte, to dla odwzorowania identycznościowego $h=\operatorname {id} :Y\to Y\;$ otrzymalibyśmy sprzeczność z założeniem, bowiem tak zdefiniowane $h\;$ jest ciągłe, zaś $h\circ q=q\;$ nie jest ciągłe. Przypuśćmy teraz, że topologia na $Y\;$ nie jest maksymalną topologią, przy której $q\;$ jest ciągłe. Oznacza to, że istnieje zbiór $A\subseteq Y\;$ taki, że $p^{-1}(A)\;$ jest otwarty, zaś $A\;$ nie jest otwarty. Niech $Z\;$ będzie przestrzenią dwupunktową Sierpińskiego (tzn. $Z=(\{0,1\},\{\emptyset ,\{1\},\{0,1\}\})\;$). Zdefiniujmy $h:Y\to Z\;$ wzorem: $h(y)={\begin{cases}1&{\text{dla }}y\in A\\0&{\text{dla }}y\not \in A\end{cases}}\;$. Wówczas $h\circ q\;$ jest funkcją ciągłą, zaś $h\;$ nie jest ciągłe.$\square \;$

• Ćwiczenie: Wykazać, że ostatnie z powyższych twierdzeń nie zachodzi, jeśli o $q\;$ nie założymy, że jest surjekcją.

Przykłady

1. Przestrzeń $\mathbf {I} /\{0,1\}\;$ jest homeomorficzna z przestrzenią $\mathbf {S} ^{1}\;$.
   Wykażmy prawdziwość tego stwierdzenia. Ponieważ $\mathbf {S} ^{1}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\;$, zaś $\mathbb {R} ^{2}\;$ jest w naturalny sposób homeomorficzne z $\mathbb {C} \;$, możemy utożsamiać $\mathbf {S} ^{1}\;$ ze zbiorem $\{z\in \mathbb {C} ;|z|=1\}\;$. Rozważmy odwzorowanie ciągłe $\operatorname {exp} :\mathbf {I} \to \mathbf {S} ^{1}\subseteq \mathbb {C} \;$ zadane wzorem $\operatorname {exp} (t)=e^{2\pi it}=\cos(2\pi t)+i\sin(2\pi t)\;$. Ponieważ $\operatorname {exp} (0)=\operatorname {exp} (1)=1\;$, indukuje ono odwzorowanie ciągłe $\operatorname {exp} ':\mathbf {I} /\{0,1\}\to \mathbf {S} ^{1}\;$. Nietrudno sprawdzić, że $\operatorname {exp} '\;$ jest bijekcją. Weźmy zbiór $U\subseteq \mathbf {I} /\{0,1\}\;$ otwarty w topologii ilorazowej na $\mathbf {I} /\{0,1\}\;$. Mamy: $\operatorname {exp} '(U)=\operatorname {exp} (\eta ^{-1}(U))\;$, gdzie $\eta :\mathbf {I} \to \mathbf {I} /\{0,1\}\;$ jest odwzorowaniem ilorazowym. Pokażemy, że dla każdego punktu $s\in \operatorname {exp} '(U)\;$ istnieje jego otoczenie otwarte $U_{s}\subseteq \operatorname {exp} '(U)\;$. Będzie to oznaczało, że zbiór $\operatorname {exp} '(U)\;$ jest otwarty, co wobec dowolności $U\;$ wykaże otwartość odwzorowania $\operatorname {exp} '\;$. Niech zatem $s\in \operatorname {exp} '(U)\;$ oraz $[t]=\operatorname {exp} '^{-1}(s)\in U\;$. Ponieważ $\eta \;$ jest ciągłe, $\eta ^{-1}(U)\;$ jest otwarte w $\mathbf {I} \;$. Jeśli zatem $[t]\not =[1]\;$, to $t\in \eta ^{-1}(U)\;$ i istnieje $\epsilon \;$ takie, że $V_{[t]}=(t-\epsilon ;t+\epsilon )\subseteq \eta ^{-1}(U)\;$. Jeśli zaś $[t]=[1]\;$, to $0,1\in \eta ^{-1}(U)\;$ oraz istnieje $\epsilon \;$ takie, że $V_{[t]}=[0;\epsilon )\cup (1-\epsilon ;1]\subseteq \eta ^{-1}(U)\;$. W obu wypadkach nietrudno pokazać, że $U_{s}=\operatorname {exp} (V_{[t]})\subseteq \operatorname {exp} (\eta ^{-1}(U))=\operatorname {exp} '(U)\;$ jest otwarte w $\mathbf {S} ^{1}\;$.
2. Przestrzeń $\mathbf {I} ^{n}/\operatorname {Fr} \mathbf {I} ^{n}\;$ jest homeomorficzna z przestrzenią $\mathbf {S} ^{n}\;$. Intuicyjnie fakt ten nie jest trudny do przyjęcia, formalny dowód pozostawiamy jako ćwiczenie dla Czytelnika. Jego wykonanie może okazać się łatwiejsze po ukończeniu lektury dalszych rozdziałów.
3. Rozważmy przestrzeń $X=\mathbf {I} \times \mathbf {I} \;$ oraz najmniejsze relacje równoważności $\equiv _{1},\equiv _{2},\equiv _{3}\;$ takie, że:
   • $(0,t)\equiv _{1}(1,t)\;$ oraz $(t,0)\equiv _{1}(t,1)\;$,
   • $(0,t)\equiv _{2}(1,1-t)\;$ oraz $(t,0)\equiv _{2}(t,1)\;$,
   • $(0,t)\equiv _{3}(1,1-t)\;$ dla każdego $t\in \mathbf {I} \;$.

   Przestrzeń $X/\equiv _{1}\;$ nazywamy torusem 2-wymiarowym, $X/\equiv _{2}\;$ butelką Kleina, zaś $X/\equiv _{3}\;$ wstęgą Mōbiusa.

4. Niech będzie dana przestrzeń topologiczna $X\;$. Stożkiem nad tą przestrzenią nazywamy przestrzeń $X\times \mathbf {I} /X\times \{1\}\;$, zaś zawieszeniem $X\;$ nazywamy przestrzeń $X\times \mathbf {I} /\equiv \;$, gdzie $\equiv \;$ jest najmniejszą relacją równoważności na $X\times \mathbf {I} \;$ taką, że $(x,1)\equiv (x',1)\;$ oraz $(x,0)\equiv (x',0)\;$ dla każdych $x,x'\in X\;$.
5. W przestrzeni $X=\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\;$ rozważmy relację $\equiv \;$ taką, że $(t_{1},\ldots ,t_{n})\equiv (s_{1},\ldots ,s_{n})\;$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje $\lambda \in \mathbb {R} \;$ takie, że $s_{i}=\lambda t_{i}\;$ dla każdego $i=1,\ldots ,n\;$. Przestrzeń $X/\equiv \;$ nazywamy $n-1\;$-wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową i oznaczamy $\mathbb {R} \mathbf {P} ^{n-1}\;$.

>> Zadania