Wstęp do fizyki jądra atomowego/Najważniejsze parametry jądra atomowego

Najważniejsze parametry jądra atomowego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Multipolowe momenty elektryczne jąder

Multipolowe momenty elektryczne jąder atomowych dzielimy na:

• wewnętrzne $Q_{\lambda }\;$ określonych w układzie współrzędnych związanych z jądrem atomowym.
• spektroskopowe $Q_{\lambda }^{s}\;$ określone w układzie laboratoryjnym, których wartości mogą być wyznaczone bezpośrednio w pomiarach dla każdego stanu dyskretnego jądra.

Momenty wewnętrzne

Momenty wewnętrzne określamy zgodnie z klasyfikacją dla dyskretnych ładunków dyskretnych o współrzędnych (x_I,y_i,z_i).

Moment monopolowy

Moment monopolowy elektryczny jest to całkowity ładunek jądra atomowego oznaczonej poniżej, czyli jest to sumowanie po ładunkach należący do jądra atomowego:

$Q_{0}=\sum _{i=1}^{Z}e_{i}=Ze\;$

(2.1)

Moment elektryczny dipolowy

Moment elektryczny dipolowy, którego współrzędne są sumami iloczynów i-tej współrzędnej położenia x_i i i-tego ładunku dyskretnego znajdujący się w jądrze atomowym, jest wyrażony:

${\vec {Q}}_{1}=(Q_{x},Q_{y},Q_{z}){\mbox{ gdzie: }}Q_{x}=\sum _{i=1}^{Z}x_{i}e_{i},Q_{y}=\sum _{i=1}^{Z}y_{i}e_{i}{\mbox{, }}Q_{z}=\sum _{i=1}^{Z}z_{i}e_{i}{\mbox{ itd.}}\;$

(2.2)

Moment kwadrupolowy

Momentem elektrycznym kwadrupolowym nazywamy obiekt w postaci macierzy, którego poszczególne elementy są sumami iloczynów po ładunku dyskretnym e_i przez położenie iloczynu dwóch współrzędnej dla i-tej cząstki (mogą być dwa te same współrzędne charakteryzujące daną cząstkę).

${\hat {Q}}_{2}={\begin{pmatrix}Q_{xx}&Q_{xy}&Q_{xz}\\Q_{yx}&Q_{yy}&Q_{yz}\\Q_{zx}&Q_{zy}&Q_{zz}\end{pmatrix}}{\mbox{, gdzie: }}Q_{xx}=\sum _{i=1}^{Z}e_{i}x_{i}^{2}{\mbox{, }}Q_{xy}=\sum _{i=1}^{Z}e_{i}x_{i}y_{i}\;$

(2.3)

Układy o symetrii osiowej

Dla układów o symetrii osiowej (sferycznej) mamy $|{\vec {Q}}_{1}|=Q_{z}\;$, gdyż Q_x=Q_y=0. Upraszcza sie również moment elektryczny kwadrupolowy, bo $Q_{2}\rightarrow Q_{20}\;$, gdyż jego elementy Q_xy=Q_yz=Q_zx=0, a także zachodzi Q_xx=Q_yy. Policzmy moment elektryczny Q₂₀:

$Q_{20}=2(Q_{zz}-Q_{xx})=\sum _{i=1}^{Z}e_{i}(2z_{i}^{2}-2x_{i}^{2})=\sum _{i=1}^{Z}e_{i}(3z_{i}^{2}-(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}))=\sum _{i=1}^{Z}e_{i}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\;$

(2.4)

Dla ciągłych rozkładów ładunków dla przypadków osiowosymetrycznych człon monopolowy i dipolowy (który jest zawsze równy zero dla naszego przypadku) przestawiamy:

$Q_{0}=\int _{V}\rho _{e}({\vec {r}})dV=Ze\;$

(2.5)

$Q_{10}=\int _{V}x\rho _{e}({\vec {r}})dV=0\;$

(2.6)

Człon kwadrupolowy przestawiamy jako odpowiednik dla przypadku dyskretnego (2.4), czyli jej postać ciągła powstaje po zastąpieniu ładunku e_i przez iloczyn gęstości ładunku w danym punkcie i nieskończenie małej objętości, a sumowanie całką po całej objętości jądra, w której zawarty jest ten ładunek, przedstawiamy:

$Q_{20}=\int _{V}\rho _{e}({\vec {r}})(3z^{2}-r^{2})dV=\int _{V}\rho _{e}(r)r^{2}(3\cos ^{2}\phi -1)dV={\sqrt {{16\pi } \over {5}}}\int _{V}\rho _{e}(r)r^{2}{\sqrt {{5} \over {16\pi }}}(3\cos ^{2}\phi -1)dV=\;$
$={\sqrt {{16\pi } \over {2\cdot 2+1}}}\int _{V}\rho (r)r^{2}Y_{20}dV\;$

(2.7)

Gęstość ładunku elektronowego zawarta w równaniach (2.4), (2.6) i (2.7) przestawiamy mając funkcję ψ_i(r), której kwadrat modułu jest prawdopodobieństwem znalezienia protonu i neutronu w danym punkcie:

$\rho _{e}(r)=e\sum _{i=1}^{Z}\psi _{i}(r)\cdot \psi _{i}^{*}(r)\;$

(2.8)

Człon dipolowy przy definicji gęstości elektrycznej ładunku (2.8) dla przypadku osiowosymetrycznego przedstawiamy:

$Q_{1}=e\int z\sum _{i=1}^{Z}|\psi _{i}(r)|^{2}dV=0\;$

(2.9)

Momenty elektryczne o wymiarze nieparzystym λ w symetrii osiowosymetrycznym są tożsamościowo równe zero, co wynika że całka z funkcji nieparzystej jest równa zero:

$Q_{\lambda {\mbox{=nieparzyste}}}\equiv 0\;$

(2.10)

Jesli wprowadzimy funkcje kuliste przy definicji momentu elektrycznego rzędu λ, która jest operatorem wewnętrznego momentu elektrycznego dla dowolnego rozkładu:

${\hat {Q}}_{\lambda \mu }^{0}={\sqrt {{16\pi } \over {2\lambda +1}}}\int _{V}\rho _{e}(r,\theta ,\phi )r^{\lambda }Y_{\lambda \mu }(\theta ,\phi )dV$

(2.11)

Dla rozkładu osiowosymetrycznych definicja operatora momentu elektrycznego (2.11) dla μ=0, piszemy schematem:

${\hat {Q}}_{\lambda 0}={\sqrt {{16\pi } \over {2\lambda +1}}}\int _{V}\rho _{e}(r,\phi )r^{\lambda }Y_{\lambda 0}(\phi )dV\;$

(2.12)

Widzimy, że moment elektryczny kwadrupolowy Q₂₀ (2.7) również wynika z definicji (2.12). Jeśli zechcemy policzyć Q_λ0 musimy znać rozkład gęstości ładunku w jądrze ρ_e(r,θ), a także znać kształt jądra R(θ) przy zdefiniowanych parametrach deformacji β₂, β₄, tzn.:

$R(\theta )=R_{0}(1+\beta _{2}Y_{20}(\phi )+\beta _{4}Y_{40}(\phi )+...)\;$

(2.13)

Współczynnik β_α nazywamy współczynnikami deformacji, a R₀ nazywamy promień jądra w przypadku braku deformacji. Mając odwrotnie policzone momenty elektryczne Q₂₀,Q₄₀,(Q₆₀) można coś wywnioskować o parametrach deformacji β₂, β₄, (β₆).

(Rys. 2.1) Elipsoida obrotowa

Mając parametr deformacji β₂ oraz R₀ obliczmy moment kwadrupolowy Q₂₀ jądra o kształcie elipsoidy obrotowej o ładunku Ze, mając na uwadze jądro o jednorodnym rozkładzie ładunku elektrycznego ρ(r)=ρ₀:

$\beta _{2}=4{\sqrt {{\pi } \over {5}}}{{a-b} \over {a+2b}}={{4} \over {3}}{\sqrt {{\pi } \over {5}}}{{a-b} \over {R_{0}}}\;$

(2.14)

$R_{0}={{a+2b} \over {3}}\;$

(2.15)

Moment elektryczny kwadrupolowy przedstawiamy w zależności od β₂, a na samym końcu od półosi "a" i "b" elipsoidy obrotowej:

$Q_{20}={{3} \over {\sqrt {5\pi }}}R_{0}^{2}Ze\beta _{2}\left(1+{{1} \over {8}}{\sqrt {{5} \over {\pi }}}\beta _{2}\right)={{3} \over {\sqrt {5\pi }}}R_{0}^{2}Ze{{4} \over {3}}{\sqrt {{\pi } \over {5}}}{{a-b} \over {R_{0}}}\left(1+{{1} \over {8}}{\sqrt {{5} \over {\pi }}}{{4} \over {3}}{\sqrt {{\pi } \over {5}}}{{a-b} \over {R_{0}}}\right)=\;$
$={{4R_{0}Ze(a-b)} \over {5}}{{6R_{0}+a-b} \over {6R_{0}}}={{4R_{0}Ze(a-b)} \over {5}}{{2a+4b+a-b} \over {6R_{0}}}={{4R_{0}Ze(a-b)} \over {5}}{{3(a+b)} \over {6R_{0}}}={{2} \over {5}}Ze(a^{2}-b^{2})\;$

(2.16)

Jądra o dowolnym kształcie

Dla jąder o dowolnym kształcie deformację R(θφ) wyrazimy w bazie funkcji kulistych Y_lm(θ,φ) względem jego współczynników:

$R(\theta \phi )=R_{0}\left(1+\sum _{\alpha \beta }\alpha _{\alpha \beta }Y_{\alpha \beta }(\theta ,\phi )\right)\;$

(2.17)

(Rys. 2.2) Jądra odpowiednio zdeformowane

Jeśli funkcje α_αβ są to współczynniki dynamiczne, to one zależą od czasu, jeśli natomiast są niezależne od czasu są to współczynniki statystyczne. W przypadku deformacji osiosymetrycznej wzór (2.17) przechodzi w (2.13). Dla tej deformacji, gdy jeśli β_λ>0, to nazywamy deformacją dodatnią, a jeśli β_α <0, to jest to deformacja ujemna. Jako dolny wskaźnik występuje przy parametrze β pewien parametr naturalny z zerem λ, co ten parametr dla:

• λ=0 nazywamy deformacja monopolową
• λ=1 deformacją dipolową
• λ=2 deformacją kwadrupolową
• λ=3 deformacją oktupolowa
• λ=4 deformacją heksakwadrupolowa.

Elektryczne momenty spektroskopowe

Elektryczne momenty spektroskopowe są określane w doświadczeniu, więc są określone w laboratoryjnym układzie współrzędnych. Transformacje operatorów ${\hat {Q}}_{\lambda \mu }\;$ zdefiniowanego w układzie związanym z jądrem do układu laboratoryjnego o dowolnej orientacji można rozłożyć na trzy kąty dookoła odpowiednich osi współrzędnych, któremu odpowiadają trzy kąty Eulera. Elementy macierzowe obrotu z układu związanego z jądrem do układu laboratoryjnego możemy napisać, jeśli zdefiniujemy uogólnione funkcje kuliste $D_{nn^{'}}^{I}(\omega )\;$. Jeśli układ laboratoryjny i wewnętrzny mają ten sam początek, to transformacja momentu elektrycznego wewnętrznego ${\hat {Q}}_{\lambda \mu }^{0}\;$ z układu związanego z jądrem na układ laboratoryjny jest:

${\hat {Q}}_{\lambda 0}^{s}=\sum _{n}D_{0n}^{I}(\omega ){\hat {Q}}_{\lambda \mu }^{0}\;$

(2.18)

(Rys. 2.3) Obracające się jądro atomowe

• Jądro pokazane według rysunku obok obraca się wokół osi k, a oś k obraca się wokoło osi I, a ono wokół osi M.
  • gdzie I oznacza całkowity moment pędu układu jako jądra atomowego, a M oznacza jego całkowitą magnetyczną liczbę kwantową.

Określmy stany, które są opisane funkcjami stanu |I,M=I,k>, wtedy spektroskopowy moment elektryczny jest rzędu λ, tzn. we wzorze na deformacje jądra atomowego (2.13) największy parametr deformacji jest β_λ, tzn. gdy jest o największym wskaźniku λ, określamy go przy pomocy (2.12) pisząc go jako:

$Q_{\lambda }^{s}(M=I,k)=\langle Ik|{\hat {Q}}_{\lambda \mu }|Ik\rangle \;$

(2.19)

Najważniejsze są elementy spektroskopowe wewnętrzne kwadrupolowe z definiowane na podstawie (2.19) są zdefiniowane przy pomocy momentu wewnętrznego Q₂₀:

$Q_{2}^{s}(Ik)=\langle Ik|{\hat {Q}}_{20}|Ik\rangle ={{3k^{2}-I(I+1)} \over {(3+2I)(1+I)}}Q_{20}\;$

(2.20)

Gdy parametr I=k, wtedy moment elektryczny spektroskopowy określamy przy pomocy momentu wewnętrznego Q₂₀:

$Q_{2}^{s}(I=k)={{3I^{2}-I^{2}-I} \over {(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{2I^{2}-I} \over {(I+1)(3+2I)}}Q_{20}={{I(2I-1)} \over {(I+1)(3+2I)}}Q_{20}\;$

(2.21)

(Rys. 2.4) a) Jądra prolate, b) jądra oblate.

Widzimy, że moment elektryczny spektroskopowy $Q_{2}^{s}\;$ (2.21) jest równy zero, gdy I=0, lub I=1/2, który zachodzi nawet, gdy Q₂₀ jest nie równe zero.

• Jądra sferyczne mają moment wewnętrzny Q_λ=0, a dla jąder zdeformowanych ten sam moment Q₂₀ jest nie równy zero.

Gdy moment elektryczny wewnętrznym spełnia warunek Q₂₀>0 dla jąder dla których zachodzi β₂>0, nazywamy jądrami z deformacją dodatnią (przykład a) ("PROLATE"), a jądra o momencie elektrycznym wewnętrznym Q₂₀<0 (przykład b), dla których parametr deformacji jest β₂<0, nazywamy jądra z deformacją ujemną ("OBLATE").

(Rys. 2.5) Jądra zdeformowane a liczby magiczne.

Granice obszarów jąder zdeformowanych określają liczby magiczne. Znaczna część jąder atomowych ma kształt "PROLOLATE", tj.β₂>0, a jądra o β₂ ("OBLATE") można znaleźć je obszarze dla A≈130 i dla A≈200. W stanie podstawowym jądra zdeformowane mają parametr deformacji, które są równe |β₂|≤0,3, dla którego momenty elektryczne kwadrupolowe są równe: |Q₂₀|≤5eb oraz Q₄₀≤0,7eb². Deformacja zwana superdeformacją nazywamy takie stany jąder wzbudzonych jąder, które są o wysokich energiach i spinie, który pierwszy jego parametr deformacji jest równy β₂≈0,6, a można je spotkać w jądrach o N≈82 i o Z≈64.

Moment magnetyczny jąder atomowych

(Rys. 2.6) Moment dipolowy krążącego protonu

(Rys. 2.7) Procesja nukleonu

Ruchem nukleonów można powiązać pewien prąd elektryczny, które są opisywane przez momenty magnetyczne różnych rzędów. Istotny tutaj jest moment magnetyczny rzędu najniższego zwanego momentem dipolowym. Moment elektryczny dla elektronów został już wyprowadzony w punkcie (MK-19.1), ale my ten wynik przepiszemy zamieniając masę elektronu na masę protonu, wtedy moment magnetyczny w zależności od momentu pędu neutronu przestawiamy:

${\vec {\mu }}={{e} \over {2m_{p}}}{\vec {l}}\;$

(2.22)

Jeśli wprowadzimy współczynnik giromagnetyczny g do wzoru (2.22), bo moment dipolowy może być w przybliżeniu opisany przy pomocy powyższej formuły w postaci:

${\vec {\mu }}=g{{e} \over {2m_{p}}}{\vec {I}}=g{{\mu _{N}} \over {\hbar }}{\vec {I}}\;$

(2.23)

Jeśli wprowadzimy liczby kwantowe całkowitego momentu pędu, to długość momentu dipolowego (2.23) jest:

$|{\vec {\mu }}|=g{{e\hbar } \over {2m_{p}}}{\sqrt {I(I+1)}}\;$

(2.24)

Składową zetową momentu dipolowego możemy napisać z jej definicji przy pomocy długości całkowitego momentu pędu:

$\mu _{z}=|{\vec {\mu }}|\cos \beta =|{\vec {\mu }}|{{m\hbar } \over {|{\vec {I}}|}}=g{{e\hbar } \over {2m_{p}}}{\sqrt {I(I+1)}}{{m\hbar } \over {\hbar {\sqrt {I(I+1)}}}}=g{{e\hbar m} \over {2m_{p}}}=g\mu _{N}m\;$

(2.25)

Zwykle oznaczamy, dla maksymalnego rzutu spinu:

$\mu _{z}^{max}=g{{e\hbar } \over {2m_{p}}}I\;$

(2.26)

• gdzie wielkość ${{e\hbar } \over {2m_{p}}}=\mu _{N}\;$ nazywamy magnetonem jądrowym podobnie jak magneton Bohra, który określamy tylko dla elektronu.

Całkowity moment pędu nukleonu jest sumą jej pędu orbitalnego i spinowego i wyraża się on:

${\vec {j}}={\vec {l}}+{\vec {s}}\;$

(2.27)

Podobnie zachodzi dla momentu magnetycznego, że jest ona sumą momentu dipolowego pochodzący od jej ruchu orbitalnego i spinowego:

${\vec {\mu }}_{j}={\vec {\mu }}_{l}+{\vec {\mu }}_{s}\;$

(2.28)

• gdzie:

${\vec {\mu }}_{j}\;$ jest magnetonem całkowitego momentu pędu.

${\vec {\mu }}_{l}\;$ to moment magnetyczny orbitalny.

${\vec {\mu }}_{s}\;$ jest momentem magnetycznym spinowym.

Zauważmy, że kierunek ${\vec {\mu }}_{l}\;$ nie musi się pokrywać z ${\vec {j}}\;$.

Podamy w tabelce wartości współczynników giromagnetycznych dla ruchu orbitalnego i spinowego:

Współczynniki giromagnetyczne dla protonu, neutronu i elektronu spinowy i orbitalny
g	p	n	e
gs	+5,5858	-3,8261	2
gl	1	0	1

Rozpatrzmy teraz jądro o wielu nukleonach, które posiadają moment magnetyczny, które sprzęgają się ze sobą w całkowity moment magnetyczny jądra ${\vec {I}}\;$:

${\vec {\mu }}_{I}=\sum _{i=1}^{Z}{\vec {\mu }}_{i}^{p}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {\mu }}_{i}^{n}{\mbox{ gdzie:}}{\vec {\mu }}_{i}=({\vec {\mu }}_{orb}+{\vec {\mu }}_{spin})_{i}\;$

(2.29)

Widzimy, że całkowity moment magnetyczny dipolowy jest zależny od momentów magnetycznych protonów i neutronów, czyli od nukleonów wchodzących w skład jądra atomowego. A poszczególne momenty magnetyczne dla pojedynczego nukleonu są sumą jej momentu magnetycznego orbitalnego i spinowego. W mechanice kwantowej całkowity moment dipolowy definiuje się jako:

${\vec {\mu }}=\langle I,M=I|{\hat {\vec {\mu }}}|I,M=I\rangle \;$

(2.30)

Całkowity moment dipolowy (2.30) jest napisany dla stanu M=M_max=I. Dla pojedynczego nukleonu jego całkowity moment pędu jest określany przez ${\vec {j}}={\vec {l}}+{\vec {s}}\;$, wykorzystując przy tym wzór (2.23), wtedy całkowity moment magnetyczny nukleonu określamy przez:

${\hat {\vec {\mu }}}={\hat {\vec {\mu }}}_{j}={\hat {\vec {\mu }}}_{l}+{\hat {\vec {\mu }}}_{s}={{\mu _{N}} \over {\hbar }}(g_{l}{\hat {\vec {l}}}+g_{s}{\hat {\vec {s}}})\;$

(2.31)

Wartość momentu magnetycznego, wiedząc, że $\langle j,j|\mu _{x}|j,j\rangle =\langle j,j|\mu _{y}|j,j\rangle =0\;$, określamy przez:

$\mu =\langle j,m=j|{\hat {\vec {\mu }}}_{j}|j,m=j\rangle =\langle j,j|{\hat {\mu }}_{z}|j,j|\rangle \;$

(2.32)

Model jednocząstkowy sferyczny

(Rys. 2.8) Całkowity moment pędu i moment magnetyczny

Stan nieparzystego jądra w tym modelu określa stan nukleonu walencyjnego, tzn. ${\vec {I}}_{sp}={\vec {j}}\;$, co i także zachodzi ${\vec {\mu }}_{sp}={\vec {\mu }}_{j}\;$. Wyliczmy teraz moment magnetyczny dla całego jądra nieparzystego, który jest momentem magnetyczny tylko jednego nukleonu walencyjnego. Patrząc na wzór (2.31) można powiedzieć, że kierunki ${\vec {j}}\;$ i ${\vec {\mu }}_{j}\;$ nie pokrywają się ze sobą. Wartość średnią operatora ${\hat {\vec {A}}}\;$ w układzie zamkniętym, w którym obowiązuje funkcja falowa $|j,m\rangle \;$, którego rzut wektora momentu pędu na oś zetową, czyli jest ${\hat {j}}_{z}\;$ określana przez $j_{z}=m\hbar \;$, określamy przez:

$\langle j,m|{\hat {\vec {A}}}|j,m\rangle =\langle j,m|{\hat {j}}_{z}|j,m\rangle {{\langle j,m|{\hat {\vec {A}}}{\hat {\vec {j}}}|j,m\rangle } \over {\langle j,m|{\hat {j}}^{2}|j,m\rangle }}\;$

(2.33)

Będziemy korzystać ze wzorów określonych na operatorach momentu spinowego, orbitalnego i całkowitego momentu pędu:

${\hat {\vec {s}}}^{2}=({\hat {\vec {j}}}-{\hat {\vec {l}}})^{2}={\hat {\vec {j}}}^{2}+{\hat {\vec {l}}}^{2}-2{\hat {\vec {j}}}{\hat {\vec {l}}}\Rightarrow {\hat {\vec {j}}}{\hat {\vec {l}}}={{1} \over {2}}\left({\hat {\vec {j}}}^{2}+{\hat {\vec {l}}}^{2}-{\hat {\vec {s}}}^{2}\right)\;$

(2.34)

${\hat {\vec {l}}}^{2}=({\hat {\vec {j}}}-{\hat {\vec {s}}})^{2}={\hat {\vec {j}}}^{2}+{\hat {\vec {s}}}^{2}-2{\hat {\vec {j}}}{\hat {\vec {s}}}\Rightarrow {\hat {\vec {j}}}{\hat {\vec {s}}}={{1} \over {2}}\left({\hat {\vec {j}}}^{2}+{\hat {\vec {s}}}^{2}-{\hat {\vec {l}}}^{2}\right)\;$

(2.35)

Wyznaczmy moment dipolowy dla m=j dla jednego nukleonu walencyjnego wykorzystując przy tym (2.33) na średnią wartość operatora ${\hat {\vec {A}}}\;$, a także z udowodnionych tożsamości (2.34) i (2.35):

$\mu _{sp}=\langle jj|{\hat {j}}_{z}|jj\rangle {{\langle jj|{\hat {\vec {\mu }}}_{j}{\hat {\vec {j}}}|jj\rangle } \over {\langle jj|{\hat {j}}^{2}|jj\rangle }}=j\hbar {{\langle jj|{\hat {\vec {\mu }}}_{j}{\hat {\vec {j}}}|jj\rangle } \over {j(j+1)\hbar }}={{1} \over {(j+1)\hbar }}\langle jj|{\hat {\vec {\mu }}}_{j}{\hat {\vec {j}}}|jj\rangle ={{\mu _{N}} \over {(j+1)\hbar ^{2}}}\langle jj|g_{l}{\hat {\vec {l}}}\cdot {\hat {\vec {j}}}+g_{s}{\hat {\vec {s}}}\cdot {\hat {\vec {j}}}|jj\rangle =\;$
$={{\mu _{N}} \over {2(j+1)\hbar ^{2}}}\langle jj|g_{l}({\hat {j}}^{2}+{\hat {l}}^{2}-{\hat {s}}^{2})+g_{s}({\hat {j}}^{2}+{\hat {s}}^{2}-{\hat {l}}^{2})|jj\rangle =\;$
$={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}\left\{g_{l}\left[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)\right]+g_{s}\left[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)\right]\right\}$

(2.36)

Rozpatrzmy teraz dwa przypadki, tzn. dla j=l+1/2 i j=l-1/2, wtedy końcowy wzór (2.36) dla tego pierwszego rozpisujemy:

$\mu _{sp}={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}{\Bigg \{}g_{l}\left[j(j+1)+\left(j-{{1} \over {2}}\right)\left(j-{{1} \over {2}}\right)-{{3} \over {4}}\right]+g_{s}\left[j(j+1)-\left(j-{{1} \over {2}}\right)\left(j+{{1} \over {2}}\right)+{{1} \over {4}}\right]{\Bigg \}}=\;$
$={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}\left[g_{l}\left(j^{2}+j+j^{2}-{{1} \over {4}}-{{3} \over {4}}\right)+g_{s}\left(j^{2}+j-j^{2}+{{1} \over {4}}+{{3} \over {4}}\right)\right]={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}\left[g_{l}\left(2j^{2}+j-1\right)+g_{s}\left(j+1\right)\right]=\;$
$={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}\left[g_{l}[2j(j+1)-j(j+1)]+g_{s}(j+1)\right]=\mu _{N}\left[g_{l}\left(j-{{1} \over {2}}\right)+{{1} \over {2}}g_{s}\right]$

(2.37)

I dalej rozpatrzmy drugi przypadek, tzn. j=l-1/2:

$\mu _{sp}={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}{\Bigg \{}g_{l}\left[j(j+1)+\left(j+{{1} \over {2}}\right)\left(j+{{3} \over {2}}\right)-{{3} \over {4}}\right]+g_{s}\left[j(j+1)-\left(j+{{1} \over {2}}\right)\left(j+{{3} \over {2}}\right)+{{3} \over {4}}\right]{\Bigg \}}\;$
$={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}{\Bigg [}g_{l}\left(j^{2}+j+j^{2}+{{3} \over {2}}j+{{1} \over {2}}j+{{3} \over {4}}-{{3} \over {4}}\right)+g_{s}\left(j^{2}+j-j^{2}-{{3} \over {2}}j-{{1} \over {2}}j-{{3} \over {4}}+{{3} \over {4}}\right){\Bigg ]}=\;$
$={{\mu _{N}} \over {2(j+1)}}\left[g_{l}\left(2j^{2}+3j\right)-jg_{s}\right]={{j} \over {j+1}}\mu _{N}\left[\left(j+{{3} \over {2}}\right)g_{l}-{{1} \over {2}}g_{s}\right]$

(2.38)

Biorąc kolejno współczynniki współczynniki giromagnetyczne podane powyżej w tabelce, to momenty magnetyczne możemy je policzyć dla protonu kolejno dla $I=l+{{1} \over {2}}\;$ i $I=l-{{1} \over {2}}\;$, ale w jednostkach μ_N:

$\mu _{sp}=I+2,293\;$ dla $I=l+{{1} \over {2}}\;$

(2.39)

$\mu _{sp}=I-1,293{{I} \over {I+1}}\;,$ dla $I=l-{{1} \over {2}}\;$

(2.40)

A także policzmy momenty magnetyczne dla neutronów dla przypadków I=l+1/2 i I=l-/12 kolejno, ale w tych samych jednostkach co poprzednio:

$\mu _{sp}=-1,913\;$ dla $I=l+{{1} \over {2}}\;$

(2.41)

$\mu _{sp}={{I} \over {I+1}}1,913\;$ dla $I=l-{{1} \over {2}}\;$

(2.42)

Funkcja gęstości materii jądrowej

(Rys. 2.9) Gęstość jąder w zależności od promienia

Funkcje rozkładu gęstości masy i ładunku w jądrach atomowych są bardzo do siebie podobne. Protony p i neutrony n są bardzo wymieszane ze sobą dokładnie ρ_e(r)=ρ_m(r)=ρ(r). Dobrym przybliżeniem rzeczywistego rozkładu ρ(r) jest rozkład Fermiego:

$\rho (r)={{\rho (r)} \over {1+e^{{r-R_{1/2}} \over {a}}}}\;$

(2.43)

• gdzie ρ(0) i R_1/2 i " a"są to parametry dobierane w wyniku doświadczenia.

Odkryto doświadczalnie, że ta stała ρ(0) ma wartość ρ(0)=0,17 nukleonów/fm³. Gęstość jądra słabo zależy od A≥20 i może nieco malec w środku jądra. Obszar stałej gęstości ρ(r) znika dla jąder lekkich Z<6. Wartość promienia połówkowego zależy od liczby masowej A i jest wyrażona przez R_1/2=(1,18A^1/3-0,48)fm, a grubość warstwy połówkowej piszemy przez t=4,39a, które wolno zmienia się (rośnie) wraz ze wzrostem A, i dla A>20, to t=2,4fm, a gdy A<20, to t=2,0fm. Warstwa powierzchniowa nie znika nawet dla jąder bardzo lekkich. Przyjmuje, że parametr rozkładu jest a≈0,55fm.

Wyznaczmy parametr t i udowodnijmy, że t=4a ln 3, jako różnicy pomiędzy promieniami od środka jądra dla gęstości jadra 0,1ρ(0) i 0,9ρ(0), wtedy ze wzoru (2.43) wynika:

$1+e^{{r-R_{1/2}} \over {a}}={{\rho (0)} \over {\rho (r)}}\Rightarrow e^{{r-R_{1/2}} \over {a}}={{\rho (0)} \over {\rho (r)}}-1\Rightarrow r-R_{1/2}=a\ln \left({{\rho (0)} \over {\rho (r)}}-1\right)\Rightarrow t=a\ln {{{{\rho (0)} \over {0,1\rho (0)}}-1} \over {{{\rho (0)} \over {0,9\rho (0)}}-1}}=a\ln {{0,9} \over {0,1}}{{0,9} \over {0,1}}=\;$
$=a\ln 9^{2}=a\ln 3^{4}=4a\ln 3\Rightarrow t=4a\ln 3$

(2.44)

W niektórych jądrach silnie neutrononadmiarowych występuje tzw. aureola (hallo), którą jest grupą słabo związanych neutronów oddalonych od innych.

• Rozpatrzmy jądro litu ${}_{3}^{11}Li_{8}\;$, który ma promień $R({}^{11}Li)=5fm\;$, a sam jego rdzeń bez neutronów aureoli ma promień $R({}^{9}Li)=3fm$, czyli na aureole składają się na dwa neutrony. To jądro wraz neutronami aureoli rozpada się samorzutnie na jądro Be w czasie połowicznego rozpadu 9 ms. ${}_{3}^{11}Li_{8}{\xrightarrow {9ms}}{}_{4}^{11}Be_{7}\;$. Energia wiązania dwóch neutronów jest S_2n=250 keV.
• Samo jądro ${}^{11}Be\;$ z jednym neutronem aureoli ma promień $R({}^{11}Be)=7fm\;$, energia wiązania tego neutronu jest S_n=500 keV.

Poziomy energetyczne jąder atomowych

Jądra atomowe są to układy związane przy pomocy sił jądrowych, taki układ może znajdować się w stanach przyjmujących zarówno wartości dyskretne jak i ciągłe.

• Stany dyskretne odpowiadają ruchom, nukleonów w ograniczonej przestrzeni, tj. w studni jądrowego potencjału V(r).
• Stany o widmie ciągłym odpowiadają ruchom w nieograniczonej przestrzeni, gdy przynajmniej jeden nukleon opuszcza jądro, co wtedy zachodzi, gdy energia wzbudzenia E_wz jest większa od energii separacji.

Własności każdego stanu opisuje funkcja falowa ψ_E(q,t), który spełnia równanie falowe Schrödingera:

$i\hbar {{\partial \psi } \over {\partial t}}={\hat {H}}\psi \;$

(2.45)

Dla stanów dyskretnych energie E_n odpowiadają równaniu falowemu:

${\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}\;$

(2.46)

Mając tak przestawione równanie falowe o stanie E_n, to rozwiązaniem równania falowego zależnego od czasu (2.45) są funkcje falowe:

$\psi _{n}(E_{n},q,t)=e^{-{{iE_{n}t} \over {\hbar }}}\varphi _{n}(q)\;$

(2.47)

Funkcje φ(q) są to funkcje niezależne od czasu "t", ale zależne od zmiennych q opisujących stan nukleonów w danym stanie energetycznym E_n. Dla takich stanów gęstość prawdopodobieństwa rozkładu nukleonu w jądrze nie zależy od czasu patrząc na (2.47), tzn.:

$|\psi _{n}(t,q)|^{2}=|\varphi _{n}(q)|^{2}\;$

(2.48)

Stany spełniające warunek (2.48) nazywamy stanem stacjonarnym, a stany o najniższej energii to są stany podstawowe, a pozostałe stany są stanami wzbudzonymi. Ogólnie można powiedzieć, że nukleon może się znajdować się w stanie dyskretnym z energią E_n, jak i w stanach ciągłych, co opisuje taki stan nukleonu w jądrze funkcja falowa:

$\psi =\sum _{n}a_{n}\psi _{n}+\int a_{E}\psi _{E}dE\;$

(2.49)

• Funkcje ψ_n i ψ_E są to funkcje falowe stanów stacjonarnych o widmie dyskretnym i ciągłym, których |a_n|² i |a_E|² jest to prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia jądra o stanie energii E_n lub o energii (E,E+dE).

Stany jądra atomowego odzwierciadlająca własności jąder obserwowanego w doświadczeniu mówimy, że określa strukturę jądra atomowego. Stany wzbudzone, a także jądra niestabilne, które nie spełniają warunków stacjonarności ulegają spontanicznym przemianom z emisją kwantu γ lub też innych cząstek, przy czym zmienia się stan ruchu poszczególnych nukleonów znajdujących się w jądrze atomowym. Tym stanom formalnie nie można przyporządkować ścisłe określonej energii E_n, lecz średnią energię $\langle E\rangle =E_{0}\;$, której odpowiada funkcja falowa $\psi _{E_{0}}(q,t)=\int _{E}a_{E}\psi _{E}dE\;$.

(Rys. 2.10) Rozkład Lorentza z dokładnością do stałej

Znając średni czas życia τ związanym z nietrwałym poziomem o średniej energii E₀, a także o szerokości połówkowej poziomu Γ, to nieoznaczoność czasu i energii powiążemy równaniem:

$\Gamma \cdot \tau =\hbar \;$

(2.50)

Stany układów kwantowych o energii E₀>>Γ nazywamy quasistacjonarnymi. To prawdopodobieństwo znalezienia stanu o energii E określa rozkład Lorentza:

$|a_{E}|^{2}\sim {{{{1} \over {4}}\Gamma ^{2}} \over {(E-E_{0})^{2}+\left({{\Gamma } \over {2}}\right)^{2}}}\;$

(2.51)

(Rys. 2.11) Stany ciągłe i dyskretne jąder atomowych

Z doświadczenia wiadomo, że stany wzbudzone o energiach E_wzb<S nukleonu (nukleonów) charakteryzują się czasem życia $\tau >>\hbar /E_{0}$, czyli dla czasu życia τ≥ 10^-14 wynika, że Γ≤0,1eV. Stany o wyjątkowo dużym czasie życia maja małą szerokość połówkową Γ≤10^-15eV, te stany nazywamy stanami meta-stabilnymi. W praktyce stany o bardzo małej szerokości połówkowej traktuje się je jak stany dyskretne. Układ stanów dyskretnych jądra liczone względem stanu podstawowego E'_s=E_s-E_qs nazywamy schematem stanów wzbudzonych jądra atomowego. W widmie ciągłym występują poziomy dla E_wzb≥S_N, które mogą być traktowane jako poziomy o charakterze dyskretnym. Przy E_wzb>>S_N gęstość stanów jest na tyle duża, że widmo dyskretne staje się prawie nierozróżnialne od widma ciągłego, dlatego te stany są traktowane jako stany o charakterze ciągłym, bo te stany pokrywają się się swoimi szerokościami. Nie możemy obliczyć stanów energetycznych jąder atomowych teoretycznie, ponieważ nie znamy potencjału V(r) oddziaływania na siebie nukleonów, ponieważ jest to problem wielu mas, który dla nas jest problem nierozwiązywalnym jak dotychczas.

Spin stanów jąder atomowych

Spin jąder atomowych określa całkowity moment pędu jądra, jest to wielkość fizyczna, która jest na równi z energią. Nukleony są w ciągłym ruchu, którym całkowity moment pędu danego nukleonu jest określony na podstawie (2.27), co dla i-tego nukleonu mamy:

${\hat {j}}_{i}={\vec {l}}_{i}+{\hat {s}}_{i}\;$

(2.52)

Całkowity moment pędu jądra atomowego, przy wykorzystaniu definicji całkowitego momentu pędu dla danego nukleonu (2.52), jest:

${\vec {I}}=\sum _{i=1}^{A}{\vec {j}}_{i}\;$

(2.53)

W mechanice kwantowej operator momentu pędu: ${\hat {\vec {I}}}=({\hat {I}}_{x},{\hat {I}}_{y},{\hat {I}}_{z})\;$ definiujemy przy pomocy współrzędnych kartezjańskiego układu współrzędnych:

${\hat {I}}_{x}=-i\hbar \left(y{{\partial } \over {\partial z}}-z{{\partial } \over {\partial y}}\right)\;$

(2.54)

${\hat {I}}_{y}=-i\hbar \left(z{{\partial } \over {\partial x}}-x{{\partial } \over {\partial z}}\right)\;$

(2.55)

${\hat {I}}_{x}=-i\hbar \left(x{{\partial } \over {\partial y}}-y{{\partial } \over {\partial z}}\right)\;$

(2.56)

Funkcje ${\hat {I}}^{2}\;$, ${\hat {I}}_{z}\;$ i ${\hat {H}}\;$ mają takie same funkcje własne. Wartościami własnymi kwadratu operatora momentu pędu, operatora zetowego momentu pędu są funkcje własne:

$|{\hat {\vec {I}}}|^{2}=I(I+1)\hbar ^{2}\;$

(2.57)

$I_{z}=M\hbar ;\;$

(2.58)

• Dla jądra atomowego liczbę kwantową I=M^max nazywamy spinem jądra.

Operatory hamiltonianu ${\hat {H}}\;$ i ${\hat {I}}_{z}\;$ zawsze spełniają warunki komutacji, tzn. jest możliwy jednoczesny pomiar energii układu i wartości własnej całkowitego momentu pędu. Z definicji spinu jądra mamy maksymalny rzut całkowitego momentu pędu na oś zetową i ją określamy przez $I_{z}^{max}=M^{max}\hbar =I\hbar \;$. W mechanice kwantowej często $I\hbar \;$ nazywamy spinem o długości wektora ${\vec {I}}$ dla maksymalnego rzutu wektora momentu pędu na oś zetową określamy przez:

$I\hbar =\langle I,M=I|{\hat {I}}_{z}|I,M=I\rangle \;$

(2.59)

Określenie spinów stanów podstawowych jąder atomowych

Jądra parzyste

Dla jąder parzysto-parzystych całkowity moment pędu i o parzystości (definicja w (2.64)) określamy przez $I_{gs}^{\pi }=0^{+}\;$, co oznacza, że całkowity momentu pędu układów nukleonów sparowanych jest$|{\vec {I}}_{pary}|=0\;$. W stanie kolektywnym najczęściej występuje pierwszy poziom wzbudzony o wartości całkowitego momentu pędu i parzystości jądra I^π=2⁺.

Jądra nieparzyste

Dla jąder nieparzystych całkowity moment pędu jądra jest sumą całkowitego momentu pędu dla ściśle określonego nukleonu, która z kolei jest sumą orbitalnego i spinowego momentu pędu:

${\vec {I}}=\sum _{i=1}^{A}{\vec {j}}_{i}=\sum _{i=1}^{A}\left({\vec {l}}_{i}+{\vec {s}}_{i}\right)\;$

(2.60)

Można powiedzieć, że dla jądra nieparzystego jądro składa się z sferycznego rdzenia i jednego elektronu walencyjnego, według teorii modelu jednocząstkowego, którego moment pędu jest ${\hat {I}}_{rdzenia}\;$, a moment nukleonu walencyjnego jest ${\vec {j}}_{wal}\;$, zatem całkowity moment jądra atomowego:

${\vec {I}}={\vec {I}}_{rdzenia}+{\vec {j}}_{wal}\;$

(2.61)

W modelu jednocząstkowym będziemy rozpatrywać jądro jako układ złożony z sferycznego rdzenia p-p i jednego nukleonu walencyjnego, to w stanie podstawowym moment pędu rdzenia ${\vec {I}}_{rdzenia}\;$ jest równy zero, wtedy całkowity moment pędu (2.61) określamy przez:

${\vec {I}}={\vec {j}}={\vec {l}}+{\vec {s}}\;$

(2.62)

Operując zamiast na wektorach będziemy operować na liczbach kwantowego całkowitego momentu pędu oraz jej orbitalnego i spinowego momentu pędu, mamy:

$I=j=l\pm s\;$

(2.63)

We wzorze (2.63) mamy orbitalną liczbę kwantową określoną przez l=0,1,2,3,..., które są równoważne poziomom według nazw zamiast liczb, tzn. s,p,d,f,g., a także mamy spinowy moment pędu określanej przez s=1/2. W stanach wzbudzonych kwantowa ogólnie liczba całkowitego momentu pędu może mieć dużą wartość nawet dochodzącej do I=50 i większe. Obserwowany w doświadczeniu całkowity moment pędu stanu podstawowego dla jądra atomowego z nukleonami walencyjnymi jak wykazano w doświadczeniu, że jest on równy w zakresie $I_{gs}^{\pi }=1/2{\mbox{ do }}11/2\;$. Zdefiniujmy teraz parzystość, którą określamy poprzez orbitalną liczbę kwantową:

$\pi =(-1)^{l}\;$

(2.64)

Widzimy, że ona jest zależna od orbitalnej liczby kwantowej l.

Momenty elektryczne i magnetyczne

Jądro atomowe jest to układ ładunków elektrycznych będącego w ciągłym ruchu określonych nukleonów, które składnikami są "p" i "n". Rozkład przestrzenny ładunku elektrycznego można z dobrym przybliżeniem opisać przy pomocy funkcji Fermiego podobnym do wzoru (2.43):

$\rho (r,\theta ,\phi )={{\rho _{0}} \over {1+e^{{r-R(\theta ,\phi )} \over {a}}}}\;$

(2.65)

Z bardzo dobrym przybliżeniem rozkład gęstości jądra atomowego spełnia dobrze rozkład jednorodny:

$\rho (r)={\begin{cases}\rho _{0}&{\mbox{ gdy }}r\leq R\\0&{\mbox{ gdy }}r>R\end{cases}}\;$

(2.66)

Z ruchem nukleonów w jądrze należy powiązać pewne prądy elektryczne, które wytwarzają odpowiednio pole elektryczne i magnetyczne. Oddziaływaniem tychże pól z innymi polami np. ładunkami i prądami, np. z elektronami w atomach prowadzi do tzn. struktury nadsubtelnej w widmie optycznym, gdzie tam postępuje się z zasadami elektrodynamiki klasycznej rozkładając te pola w szeregi multipolowe mając kolejno wyrazy $\sim 1/R^{n}\;$, gdzie n = 1, 2, 3,..., które są określone przez momenty elektryczne lub magnetyczne. W praktyce uwzględnia się momenty najniższych rzędów, tzn. dla momentów elektrycznych rzędu λ = 0, 2, 4, (6), a w przypadku oddziaływania magnetycznego momenty rzędu λ=1. Pozostałe momenty magnetyczne szybko maleją ze wzrostem λ, więc ich się nie uwzględnia. Należy pamiętać, że te momenty multipolowe piszemy przy rozkładzie przestrzennym ładunku ρ(r,θ,φ) (2.65).