Wstęp do fizyki jądra atomowego/Rozpraszanie cząstek na jądrze atomowym

Rozpraszanie cząstek na jądrze atomowym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Zapoznamy się z definicją przekroju całkowego i różniczkowego, także będziemy się zajmować się tu z rozpraszaniem jądra X z cząstką "a", a także zjawiskiem Zjawisko Mössbauera, które to doświadczenie jest przeprowadzone dla małych temperatur, wtedy zjawisko odrzutu w nim nie zachodzi, jak dowiemy się później, co tam szczegółowo to zjawisko opiszemy.

Przekroje czynne

Wielkością charakteryzującą zajście rozpraszania (reakcji) jest całkowy i różniczkowy przekrój czynny. Zapoznamy się z definicją całkowego przekroju czynnego, a powiemy coś o różniczkowym przekroju czynnym, w tym o kątowym i energetyczny różniczkowym przekroju czynnym.

Całkowy przekrój czynny

Całkowy przekrój czynny jest to iloraz prawdopodobieństwa zajścia reakcji oznaczonej przez λ przez jednostkę gęstości (stężenia cząstek Φ) i przez liczbę cząstek tarczy N.

$\sigma ={{\lambda } \over {\Phi N}}{\mbox{ gdzie :}}\Phi ={{dN_{X}} \over {dtS}}\;$

(5.1)

Definicją 1 barn(b) jest 10^-24cm².

Różniczkowy przekrój czynny

• kątowy różniczkowy przekrój czynny

Różniczkowy przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo reakcji, w której cząstka produkt jest wysyłana w określonym kierunku (θφ) w elemencie kąta bryłowego dΩ, a jego definicja jest:

$\sigma (\theta ,\phi )={{d\sigma (\theta ,\phi )} \over {d\Omega }}\;$

(5.2)

Definicja (5.12) nazywamy kątowym przekrojem czynnym. Jeśli wykorzystamy definicję całkowego przekroju czynnego (5.1), to podstawiając to do wzoru (5.2), otrzymujemy:

${{d\sigma (\theta ,\phi )} \over {d\Omega }}={{d\lambda (\theta ,\phi )} \over {d\Omega }}{{1} \over {\Phi N}}\;$

(5.3)

Jednostką kątowego różniczkowego przekroju czynnego jest bsr^-1.

• Energetyczny różniczkowy przekrój czynny

Zależność różniczkowego przekroju czynnego od energii cząstek wylatujących nazywamy energetyczny różniczkowym przekrojem czynnym, a jego definicja:

${{d\sigma (E)} \over {dE}}={{d\lambda (E)} \over {dE}}{{1} \over {\Phi N}}\;$

(5.4)

Jednostką energetycznego różniczkowego przekroju czynnego jest beV^-1.

Wzbudzenie kulombowskie jądra

Cząstka a zderza się z jądrem X i wyniku tego jądra X wzbudzają się:

$a+X\rightarrow X^{*}+a\;$

(5.5)

W jądrze występuje bariera kulombowska, w której energia cząstki "a" jest ma tyle mała od tej bariery kulombowskiej, więc cząstka nie może wniknąć do jądra, gdy by wnikła, to by była reakcja, a nie rozpraszanie. W wyniku rozpraszania (5.5) uzyskujemy jądro wzbudzone kosztem energii kinetycznej jakoby jądro X by miało, gdy by jądro nie zostało wzbudzone. Przekrój czynny na rozpraszanie pochodzi od promieniowania elektrycznego i magnetycznego, który to przekrój jest ich sumą przekrojów czynnych tychże promieniowań.

$\sigma _{if}=\sigma _{if}(El)+\sigma _{if}(Ml)\;$

(5.6)

(Rys. 5.1) Odwrotne przejście elektromagnetyczne

Przekrój czynny pochodzący od promieniowania elektrycznego jest o wiele większy niż pochodzący od promieniowania magnetycznego, tzn. σ_if(El)>>σ_if(Ml), wtedy człon pochodzący od pola magnetycznego możemy pominąć i σ_if nosi nazwę wzbudzenia kulombowskiego, a nie wzbudzenia elektromagnetycznego. Przekrój czynny (5.6) wyrażamy wzorem w zależności od zredukowanego prawdopodobieństwa przejścia ze stanu niższego $|i\rangle \;$ do wyższego $|f\rangle \;$:

$\sigma _{if}(El)=f(E_{a},Z_{a},E_{0})\cdot B(i\rightarrow f,\sigma l)\;$

(5.7)

Do równania (5.7) należy skorzystać ze wzoru na przekrój czynny (5.1), a ona zależy od prawdopodobieństwa zajścia rozproszenia (reakcji) λ, a λ jest opisywane przez (3.92), która zależy od prawdopodobieństwa zredukowanego B(σl,i→f), co kończy dowód ostatniej równości. Prawdopodobieństwo zredukowane $B(i\rightarrow f,\sigma l)\;$ oznacza przejście ze stanu niższego do wyższego. Zredukowane prawdopodobieństwo przejścia, ze stanu wyższego do niższego i odwrotnie są sobie równe, je przedstawiamy:

$B_{if}(2I_{i}+1)=B_{fi}(2I_{f}+1)\;$

(5.8)

σ_if są szczególnie duże w pomiarach nad jądrem parzysto-parzystym. Na podstawie zredukowanych prawdopodobieństw przejścia możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy. Oczywiście, że zachodzi dla przejścia prostego i odwrotnego:

$|\langle i|{\hat {H}}(\sigma l)|f\rangle |^{2}=|\langle f|{\hat {H}}(\sigma l)|f\rangle |^{2}\Rightarrow B_{i\rightarrow f}={{1} \over {2I_{i}+1}}|\langle i|{\hat {H}}(\sigma l)|f\rangle |^{2}\;$

(5.9)

• gdzie $\pi _{i}\;$ to są np. liczby na rysunku (Rys. 5.1).

Dzięki prawdopodobieństwom zredukowanym możemy policzyć wewnętrzny moment kwadrupolowy.

Rozpraszanie rezonansowe kwantów γ przez jądra atomowe. Efekt Mössbauera

(Rys. 5.2) Rozpraszanie rezonansowe kwantów γ przez jądro atomowe

Rozpraszanie rezonansowe rozpraszania kwantów γ można zrealizować w sposób:

$\gamma _{abs}+X\rightarrow X^{*}\rightarrow X+\gamma _{em}^{'}$ gdzie: $\gamma _{abs}=\gamma _{em}^{'}\;$

(5.10)

Widzimy, że kwant γ zderza się z jądrem X i wyniku czego powstaje wzbudzone jądro X^*, później to jądro wysyła kwant γ przechodząc do stanu podstawowego o takiej samej energii jak przed zderzeniem z nim. Dla jąder atomowych spowodowanie rozpraszania rezonansowego przy małej szerokości energetycznej jest trudne, bo wtedy jest znaczna energia odrzutu. Aby nastąpiła absorpcja kwantu γ, to energia kwantu musi być równa sumie energii pomiędzy dwoma kwantowymi poziomami w jądrze X i energii odrzutu samego jądra:

$E_{\gamma }=E_{0}+E_{od}\;$

(5.11)

Z zasady zachowania energii (5.11), to równanie możemy uzupełnić, korzystając z definicji energii kinetycznej jądra X:

$E_{\gamma }=E_{0}+{{p_{od}^{2}} \over {2M_{x}}}\;$

(5.12)

Jeśli dodatkowo uwzględnimy, że pęd kwantu γ jest przekazywany jadru X, który jest równy energii kwantu γ podzielonej przez prędkość światła, czyli p_γ=E_γ/c, co wynika z zasady zachowania pędu, to:

$E_{\gamma }-E_{0}=\Delta E={{p_{od}^{2}} \over {2M_{x}}}={{E_{\gamma }^{2}} \over {2M_{x}c^{2}}}\;$

(5.13)

Patrząc na wzór (5.13) możemy powiedzieć, że energia odrzutu jądra X, w wyniku zderzenia jego z fotonem jest równa ilorazowi kwadratu energii kwantu γ zderzającego się z jądrem przez podwojoną energię spoczynkową jądra X, jest napisana:

$E_{od}={{E_{\gamma }^{2}} \over {2M_{x}c^{2}}}\;$

(5.14)

Dla uzyskania rezonansu dla emisji i absorpcji klwantu γ należy skompensować $2E_{od}={{2E_{0}^{2}} \over {2M_{x}c^{2}}}=10^{-2}eV\;$ energii. Dla jąder atomowych rozpraszanie rezonansowe jest trudno zrealizować z powodu małej szerokości energetycznej poziomów jądrowych i znacznej energii odrzutu (5.14) jądra przy emisji kwantu γ. Naturalna szerokość, wynika z nieoznaczności czasu i energii, jest pisana poprzez wzór:

$\Gamma \tau =\hbar \Rightarrow \Gamma ={{\hbar } \over {\tau }}\;$

(5.15)

Dla przejść jądrowych szerokość połówkowa energii dla nieokreśloności czasu zwykle 10^-15s≤τ≤10^-8s jest równa 5⋅10^-9eV≤Γ≤5⋅10^-3eV. Energia odrzutu (5.8) jądra X osiąga, wtedy wartość od 0,1 do 10eV.

(Rys. 5.3) Linie emisyjne ⁵⁷⁸Fe.

Np. dla ⁵⁷Fe szerokość naturalna linii γ jest o energii 14,4keV, szerokość połówkowa jest Γ=4,7⋅10^-9eV, przy emisji kwantu γ o energii 14,4keV energia odrzutu jądra ⁵⁷Fe jest: $E_{od}={{E_{\gamma }^{2}} \over {2Mc^{2}}}\simeq 2\cdot 10^{-3}eV\;$, wtedy E_od>>Γ (blisko 10⁶ razy). Linie emisyjne nie pokrywają się z liniami absorpcyjnymi, tzn. energia pochłoniętego fotonu, której częstość nie pokrywa się z częstotliwością emisji kwantów γ. Przejścia optyczne występują dla szerokości połówkowej Γ≈10^-8eV, dla której energia odrzutu jest E_od≈10^-10eV, co wtedy energia odrzutu jest o wiele mniejsza niż szerokość połówkowa energii stanu wzbudzonego jądra X, który pochłonął kwant γ, tzn. Γ>>E_od.

Ruchy termiczne jąder atomowych, a emisja kwantu γ

Naturalna szerokość linii γ jest powiększona o efekt Dopplera związanego z ruchem termicznym jądra, jeśli będziemy rozpatrywać składową p_t w kierunku emisji kwantu γ, to z zasady zachowania możemy powiedzieć:

$E_{0}+{{p_{t}^{2}} \over {2M_{x}}}=E_{\gamma }+{{(p_{t}-p_{od})^{2}} \over {2M_{x}}}\;$

(5.16)

Jeśli wykorzystamy, że pęd kwantu γ jest równa ilorazowi energii kwantu γ i prędkości światła, czyli p_γ=E_γ/c, wtedy równość (5.11) możemy przepisać do postaci:

$E_{0}-E_{\gamma }=\Delta E={{p_{od}^{2}} \over {2M_{x}}}-p_{od}v_{t}=\underbrace {{E_{\gamma }^{2}} \over {2M_{x}c^{2}}} _{E_{od}}-\underbrace {E_{\gamma }{{v_{t}} \over {c}}} _{\Delta E_{\gamma }}\;$

(5.17)

Jeśli ΔE_γ=E_od, to energia kwantu γ w zjawisko, w którym nie ma odrzutu jądra, wtedy zachodzi E_γ=E₀ i ΔE_γ ma rozkład Boltzmanowski i następuje poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej (absorpcyjnej),dla temperatury pokojowej dla szerokości D=0,05eV, tzn. E_od, a więc wtedy w tym przypadku linie emisyjne i absorpcyjne pokrywają się częściowo, wtedy proces rezonansowy staje się możliwy. To pokrycie jest zwykle bardzo małe.

Poszerzenie linii emisyjnej i absorpcyjnej przy obracającym się źródle

(Rys. 5.4) Poszerzenie dopplerowskie linii emisyjnej przez układu doświadczalny

Obszar linii emisyjnej i absorpcyjnej można istotnie zwiększyć w wyniku przesunięcia dopplerowskiego przez umieszczenie źródła kwantów γ źródła na ruchomej tarczy, nadanie określonej prędkości jąder X w kierunku emisji kwantów γ, wtedy poszerzenie linii jest równe iloczynowi energii emitowanego kwantu γ przez iloraz prędkości źródła i prędkości światła:

$\Delta E_{\gamma }=E_{\gamma }{{v} \over {c}}\;$

(5.18)

Przy energii odrzutu mniejszej od energi kwantu γ (E_od>E_γ. Wzór (5.18) podobnie możemy wyprowadzić jak dla termicznego poszerzenia linii (5.17). Można tak dobrać prędkość v(ω), by uzyskać znaczne poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej. W doświadczeniu ze źródłem ¹⁸⁹Hg, które przeprowadzano dla energii stanu wzbudzonego E₀=411keV i średniego czasu życia tego poziomu τ=2⋅10^-11s i dla prędkości v=700m/s, wtedy uzyskano częściowe poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej.

Zjawisko Mössbauera

Zjawisko Mössbauera jest to bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu γ. W 1958 niemiecki fizyk R. Mössbauer zauważył, że bezodrzutowa emisja i absorpcja kwantu γ istnieje w bardzo w niskich temperaturach, co jest związane z siecią krystaliczną. Przy tym faktach obserwowana linia γ nie wykazuje poszerzenia dopplerowskiego, co za tym idzie:

$E_{\gamma }=E_{0}=E_{i}-E_{f}{\mbox{ i }}E_{od}=0\;$

(5.19)

(Rys. 5.5) Czynnik Debey'a-Wallera dla dwóch pierwiastków dla typowych ich przejść

Co wynika, że jądro w niskich temperaturach nie może przyjąć dowolnej energii, tylko te skwantowane. Jeżeli $E_{od}<\hbar \omega _{f}\;$ drgania nie mogą zostać wzbudzone, i energia nie może zostać przyjęta przez jądro w sieci krystalicznej, bo to jest układ sztywny, tylko może zostać przyjęta na wzbudzenie jądra i energię odrzutu przyjęta przez całą sieć, bo energia odrzutu napisana poprzez wzór (5.8) jest o wiele mniejsza niż poszerzenie linii absorpcyjnej i emisyjnej, co w konsekwencji E_od<<Γ. Stosunek liczby kwantów γ wyemitowanych bezodrzutowo do całkowitej liczby kwantów wyemitowanych nazywamy czynnikiem Debey'a-Wallera f, który może być obliczony na gruncie dopplerowskiego modelu sieci krystalicznej przy temperaturze Debye'a $\hbar \Theta _{D}=\hbar \omega _{f}^{max}\;$, gdzie ω^max jest to maksymalna częstość fononów. Czynnik f jest tym większy czym mniejsza jest energia odrzutu E_od, im wyższe jest temperatura Debye'a Θ_D, im mniejsza jest temperatura kryształu. Dla ⁵⁷Fe w 300K aż 70% przejść γ o energii 14,4keV ma charakter bezodrzutowy.

Nierelatywistyczne rozpraszanie elastyczne

(Rys. 5.6) Rozproszenie cząstki dodatniej na jądrze

Rozpraszaniem Rutheforda nazywamy rozpraszanie elastyczne cząstki "a" w polu kulomboskim jądra atomowego X(a,a)X na potencjale elektrycznym (dla κ>0), wtedy potencjał odpychający wyrażamy:

$V(r)=k{{Z_{a}Z_{X}e^{2}} \over {r^{2}}}={{\kappa } \over {r}}\;$

(5.20)

Będziemy się tutaj ograniczali do małych energii jądra atomowego, tak by przybliżenie nierelatywistyczne miało sens, cząstka "a" ma na tyle małą energię, by cząstka "a" nie mogła wejść do jadra by zaszła reakcja. Pomijamy tutaj krótkozasięgowe siły jądrowe. Przyjmijmy natomiast, że masa jądra M_X jest o wiele większa niż masa cząstki o masie "m" oddziaływając z jądrem, wtedy mamy w przybliżeniu układ środka masy. Równanie toru cząstki "m" w układzie biegunowym jest:

$r={{L^{2}/m_{c}\kappa } \over {1-\epsilon \cos \phi }}={{p} \over {1-\epsilon \cos \phi }}\;$

(5.21)

Napiszmy teraz całkowitą energię mechaniczną cząstki "a" zderzającego się elastycznie z jądrem, którą przedstawiamy wedle wzoru (MT-1.161), z którego wyprowadzimy wzór na kwadrat mimośrodu elipsy:

$E=-{{\kappa ^{2}m} \over {2L^{2}}}\left(1-\epsilon ^{2}\right)\Rightarrow 1-\epsilon ^{2}=-{{2EL^{2}} \over {\kappa ^{2}m}}\Rightarrow \epsilon ^{2}=1+{{2EL^{2}} \over {\kappa ^{2}m}}\;$

(5.22)

(Rys. 5.7) Rozpraszanie naładowanych cząstek na jądrze

W prowadźmy teraz definicję parametru b=l/m przy definicji energii kinetycznej znajdującej się w nieskończoności, czyli $p={\sqrt {2m_{a}E_{a}}}\;$, wtedy wzór (5.22) przyjmuje postać:

$\epsilon ^{2}=1+{{4E_{a}^{2}b^{2}} \over {\kappa ^{2}}}\;$

(5.23)

Zamiast kąta biegunowego będziemy wprowadzali kąt rozproszenia θ, tzn. dla r→∞ wprowadzając przy okazji Φ=ψ/2, wtedy, jeśli przyjmować będziemy dodatkowo, że ψ=π-φ, wtedy mamy:

$1-\epsilon \cos {{\psi } \over {2}}=0\Rightarrow 1-\epsilon \cos \left({{\pi } \over {2}}-{{\varphi } \over {2}}\right)\Rightarrow \epsilon ={{1} \over {\sin {{\varphi } \over {2}}}}\;$

(5.24)

Wzór na kwadrat wielkości mimośrodu elipsy (5.23) możemy przyrównać z kwadratem wielkości (5.24), z tak otrzymanej równości możemy wyznaczyć parametr "b" jako funkcję kąta rozproszenia φ, energii cząstki E_a, otrzymujemy:

$\epsilon ^{2}=1+{{4E_{a}^{2}b^{2}} \over {\kappa ^{2}}}={{1} \over {\sin ^{2}{{\varphi } \over {2}}}}={{\sin ^{2}{{\varphi } \over {2}}+\cos ^{2}{{\varphi } \over {2}}} \over {\sin ^{2}{{\varphi } \over {2}}}}=1+\operatorname {ctg} ^{2}{{\varphi } \over {2}}\Rightarrow b={{\kappa } \over {2E_{a}}}\operatorname {ctg} {{\varphi } \over {2}}\;$

(5.25)

Widzimy, że według (5.25), że φ jest funkcją b i E_a, ale nie jest funkcją kąta azymutalnego θ. Opiszmy teraz przekrój czynny dla kątów (φ,φ+dφ), wtedy mamy:

$\left({{d\sigma (\varphi )} \over {d\varphi }}\right)d\varphi =\int _{0}^{2\pi }{{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}d\Omega ={{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}\int _{0}^{2\pi }\sin \varphi d\varphi d\theta ={{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}2\pi \sin \varphi d\varphi \Rightarrow {{d\sigma (\varphi )} \over {d\varphi }}={{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}2\pi \sin \varphi$

(5.26)

Liczba cząstek w pierścieniu (b,b+db), które dochodzą z nieskończoności do układu z jądrem jest taka sama jak liczba cząstek po rozproszeniu na jądrze w pierścieniu (φ,φ+dφ), zatem możemy przyrównać te dwie ilości cząstek, otrzymujemy:

$j2\pi bdb=j{{d\sigma (\varphi )} \over {d\varphi }}d\varphi \Rightarrow j2\pi bdb=j{{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}2\pi \sin \varphi d\varphi \Rightarrow {{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}={{b} \over {\sin \varphi }}\left|{{db} \over {d\varphi }}\right|\;$

(5.27)

(Rys. 5.8) Przekrój różniczkowy a rozpraszanie Rutheforda

Mając wzór (5.25), który możemy podstawić do wzoru (5.27) za b, w ten sposób można otrzymać wzór:

${{d\sigma (\varphi )} \over {d\Omega }}={{\kappa \operatorname {ctg} {{\varphi } \over {2}}} \over {2E_{a}2\sin {{\varphi } \over {2}}\cos {{\varphi } \over {2}}}}{{\kappa } \over {4E_{a}\sin ^{2}{{\varphi } \over {2}}}}=\left({{\kappa } \over {4E_{a}}}\right)^{2}{{1} \over {\sin ^{4}{{\varphi } \over {2}}}}=\left(k{{Z_{a}Z_{x}e^{2}} \over {4E_{a}}}\right)^{2}{{1} \over {\sin ^{4}{{\varphi } \over {2}}}}\;$

(5.28)

Otrzymaliśmy taki sam wzór (5.28) jak w punkcie (MT-2.57) wyprowadzony dwoma różnymi sposobami. Jeśli będziemy przyjmować, ze centrum ma skończoną masę M_x, to energię kinetyczną cząstki w nieskończoności, w której to wielkości w jego definicji występuje masa, to należy tą masę zastąpić jej odpowiednikiem $m_{SM}={{m_{a}M_{X}} \over {m_{a}+M_{X}}}\;$.

W przypadków nieznanych potencjałów oddziaływania o jej charakterze możemy uzyskać informacje obserwując w doświadczeniu rozkład kątowy rozpraszania obliczonych dla rozmaitych próbnych potencjałów w sposób teoretyczny.

Formalizm kwantowego opisu rozpraszania

Rozpraszanie elastyczne nie zmienia struktury wewnętrznej cząstek, ich oddziaływanie prowadzi do względnego ruchu przy zachowaniu całkowitej energii kinetycznej. Potencjałem rozpraszania nazywamy sumę potencjału kulombowskiego i jądrowego.

(Rys. 5.9) Graficzne przedstawienie formalizmu kwantowego rozpraszania elastycznego

(Rys. 5.10) Fala rozproszona i padająca.

$V_{rozpr}({\vec {r}},t)=V_{kul}({\vec {r}})+V_{jadr}({\vec {r}},t)\;$

(5.29)

Załóżmy, że rozpraszamy cząstki obojętne np. mezony, w tym przypadku potencjał kulombowski nie gra roli, wtedy całkowity potencjał rozpraszania piszemy:

$V_{rozpr}({\vec {r}},t)=V_{jadr}({\vec {r}},t)\;$

(5.30)

Problem opisu cząstki polega na przyporządkowaniu jej funkcji falowej zależnej od czasu $\psi ({\vec {r}},t)\;$ spełniające równanie Schrödigera z potencjałem $V({\vec {r}},t)\;$. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w elemencie objętości dV wokół punktu ${\vec {r}}\;$ w przestrzeni nazywamy wyrażenie:

$dP({\vec {r}},t)=\rho ({\vec {r}},t)dV=\psi ^{*}({\vec {r}},t)\psi ({\vec {r}},t)dV\;$

(5.31)

Załóżmy, że problem rozpraszania nie zależy od czasu (opis stacjonarny), wtedy funkcję falową cząstki piszemy $\psi _{czastki}=\psi ({\vec {r}})\;$, i cząstka biegnie wzdłuż osi zetowej. Zgodnie z mechaniką kwantową możemy jej przyporządkować określoną funkcję falową według wzoru wyprowadzonego w punkcie (MK-8.118):

$\psi _{pad}({\vec {r}})=Ae^{i({\vec {k}}{\vec {r}})}\;$

(5.32)

Centrum rozpraszania jest źródłem kulistej fali rozproszonej, która nakłada się na falę płaską (5.32), który przepisujemy z książki o mechanice kwantowej z punktu (MK-32.8):

$\psi _{rozpr}({\vec {r}})=Af(\phi ){{e^{i({\vec {k}}{\vec {r}})}} \over {r}}\;$

(5.33)

W dużej odległości od centrum rozpraszającego dla r»r_jądra funkcja falowa opisująca cząstkę rozpraszaną na centrum rozpraszania pisanej przy pomocy czynnika normalizacyjnego jest sumą funkcji falowej fali płaskiej (5.32) i funkcji fali rozproszonej (5.33):

$\psi ({\vec {r}})=A\left[e^{i({\vec {k}}{\vec {r}})}+f(\phi ){{e^{i({\vec {k}}{\vec {r}})}} \over {r}}\right]\;$

(5.34)

Model optyczny oddziaływania cząstka-jądro

Aby obejść problem opisu wielu ciał w mechanice kwantowej opisujących jadro i nieznajomość potencjału oddziaływania cząstek nukleon-nukleon przy opisie reakcji na jądrze atomowym, a także opisu skomplikowanych oddziaływań między cząstką inicjującą reakcję jądrową (rozpraszanie lub reakcja właściwa), a oddziaływaniem z poszczególnymi nukleonami jądra tarczy, to całkowity potencjał oddziaływania cząstki inicjującej a poszczególnymi nukleonami w jądrze piszemy przy pomocy zespołu liczb kwantowych oznaczonych ogólnie α, które zapisujemy przez uśredniony potencjał fenomenologiczny:

$V({\vec {r}},\alpha )=\sum _{i=1}^{A}v({\vec {r}}_{a},{\vec {r}}_{i},\alpha )\;$

(5.35)

Oddziaływanie cząstka-jądro w modelu optycznym traktujemy w analogii do oddziaływania fali świetlnej padającej na półprzezroczystą (mętną) kulę (tutaj jądro), stąd jest nazwa tego tutaj rozważanego modelu. Liczbą zespoloną tutaj jest współczynnik załamania, w której jej część rzeczywistą odpowiada rozpraszaniu cząstki na jądrze, a jej część urojona odpowiada zmianie długości fali, amplitudy lub absorpcji promieniowania na jądrze, co odpowiada definicji reakcji właściwej opisywanej w następnym module. Ten współczynnik załamania definiujemy:

$n=n_{s}+in_{a}\;$

(5.36)

Potencjał oddziaływanie cząstka i jądro opisuje się przy pomocy części rzeczywistej i urojonej w podobny sposób jak opisywaliśmy te części poprzez współczynnika załamania przy pomocy części rzeczywistej i urojonej, co temu pierwszemu odpowiada rozpraszaniu elastycznemu, a temu drugiemu reakcji właściwej, wtedy potencjał zespolony zapisujemy w postaci ogólnej:

$V({\vec {r}})=U({\vec {r}})+iW({\vec {r}})\;$

(5.37)

Operator całkowitej energii oddziaływania nukleon-nukleon oddziaływania cząstek inicjującej reakcję, a oddziaływaniem nukleon-nukleon zapisujemy przy pomocy operatora opisujących strukturę wewnętrzna jądra tarczy ${\hat {H}}_{0}\;$, a także przy pomocy operatora oddziaływania jądra atomowego z cząstką ${\hat {V}}\;$ i przy pomocy operatora energii kinetycznej ruchu względnego pomiędzy jądrem a cząstką, co w rezultacie możemy napisać całkowity hamiltonian opisujący rozpraszanie lub reakcję jądrową:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{0}+{\hat {T}}+{\hat {V}}\;$

(5.38)

Hamiltonian ${\hat {H}}_{0}\;$ zapisujemy we współrzędnych ξ, którego równanie własne jest pisane:

${\hat {H}}_{0}\chi (\xi )=E\chi (\xi )\;$

(5.39)

O wyborze funkcji $U({\vec {r}})\;$ i $W({\vec {r}})\;$ decydują kryteria, które muszą być jako funkcje niezbyt skomplikowane oraz potrzebna jest do tego wiedza mówiąca coś o rozkładzie nukleonów w jądrze atomowym i o właściwościach oddziaływania nukleon-nukleon. Dla reakcji rozpraszania elastycznego nukleonu na nukleonie opisujemy potencjał oddziaływania przez równość:

$U(r)=U_{c}(r)+U_{\tau }(r)+U_{sl}(r)+U_{kul}(r)\;$

(5.40)

Jeśli wprowadzimy funkcje kształtu zwane też formfaktorami, które opisują zależność potencjału tylko od odległości oddziaływających nukleonów, wtedy funkcję (5.40) możemy zmodyfikować na w sposób:

$U(r)=U_{c}f_{c}(r)+U_{\tau }f_{\tau }(r)+U_{sl}f_{sl}(r){\hat {s}}{\hat {l}}+U_{kul}(r)\;$

(5.41)

Zwykle się przyjmuje, że f_c(r)=f_τ=f(r). Najlepszym przybliżeniem dla funkcji f(r) okazuje się przybliżenie Saxona-Woodsa opisujących rozkład nukleonów w jądrze dla promienia jądra zdefiniowany wzorem (1.28) przy zdefiniowanym parametrze równej "a", dla której parametr rozmycia t (2.44) jest pomiędzy wartościami funkcji f(r) 0,1 a 0,9:

$f(r)=\left[1+\exp \left({{r-R_{0}} \over {a}}\right)\right]^{-1}\;$

(5.42)

Oddziaływanie spin-orbita, w której funkcja kształtu opisujemy przy pomocy funkcji Thomsona w sposób:

$f_{sl}(r)=\left(\underbrace {{\hbar } \over {m_{\pi }c}} _{\lambda _{\pi }}\right)^{2}{{1} \over {r}}{{df(r)} \over {dr}}\;$

(5.43)

• gdzie λ_π jest to komptonowska długość fali mezonu π.

W przypadku potencjału lokalnego niezależnego od energii cząstki bombardującej zakłada się:

• U_C=U_0c, która jest głębokością potencjału części centralnej. Dalej chcą uzależnić się od energii cząstki E zakładamy, że $U_{C}=U_{OC}+\mu E\;$, gdzie $\mu \;$ jest innym parametrem dla protonu i neutronu.
• U_sl=U_0sl co jest to głębokość części spin-orbita.
• $U_{\tau }=U_{0t}{{{\vec {t}}-{\vec {T}}} \over {A}}=\pm {{1} \over {4}}U_{ot}{{N-Z} \over {A}}\;$, gdzie wektory ${\vec {t}}\;$ i ${\vec {T}}\;$ to są wektory izospinu cząstki i jądra.

Wielkości U_OC, U_sl i U_τ sa to parametry występujące przy funktorach, które dobiera się eksperymentalnie do wyników przeprowadzonych doświadczeń. O kształcie formfaktorów w części zespolonej potencjału (5.37) wiemy znacznie mniej. Z doświadczenia wiadomo, że absorpcja cząstek zachodzi w części jego powierzchniowej i dlatego możemy podać formfaktor:

$f_{w}(r)=sf_{v}(r)+(1-s)f_{s}(r)\;$

(5.44)

gdzie f_v(r) jest to formfaktror opisujące część objętościowa absorpcji cząstki, a f_S jest to udział absorpcji jakieś cząstki przez część powierzchniową jądra atomowego. Przyjmuje się, że f_v(r)=f(r) i $f_{s}(r)=\exp \left(-{{r-R_{0G}} \over {a_{G}}}\right)\;$, która jest funkcją Gaussa, gdzie R_0G jest to wielkość określona podobnie do (1.28), a a_G jest to parametr funkcji f_s(r), lub $f_{s}(r)\sim {{df(r)} \over {dr}}\;$ z parametrami wcześniej omówionymi, tzn. R_0G i a_0G. Mając formafaktor (5.44) możemy napisać cześć urojoną potencjału (5.37), którą zapisujemy w formie:

$W(r)=W_{0}f_{w}(r)\;$

(5.45)

Wyznaczmy potencjał oddziaływania cząstki w polu jądra atomowego dla różnych odległości od środka jądra. Potencjał kulombowski dla jednorodnie naładowanej kuli wewnątrz jądra wyprowadzimy korzystając z twierdzenia Ostrogradsiego-Gaussa w elektrostatyce, zatem do dzieła. Natężenie pola elektrycznego wewnątrz jądra atomowego zapisujemy:

$E={{\rho {{4} \over {3}}\pi r^{3}} \over {4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}={{\rho } \over {3\epsilon _{0}}}r={{Ze} \over {3{{4} \over {3}}\pi R^{3}\epsilon _{0}}}r={{Ze} \over {4\pi \epsilon _{0}R^{3}}}r\;$

(5.46)

Policzmy teraz potencjał pola elektrycznego zakładając, ze potencjał pola elektrycznego na powierzchni kuli φ(R) jest to potencjał elektryczny tak jak cały ładunek był umieszczony w środku kuli o promieniu R, zatem wewnątrz jądra atomowego, z ciągłości potencjału elektrycznego, potencjał elektryczny zapisujemy:

${{d\varphi (r)} \over {dr}}=-E\Rightarrow d\varphi (r)=-{{Ze} \over {4\pi \epsilon _{0}R^{3}}}rdr\Rightarrow \varphi (R)-\varphi (r)=-{{Ze} \over {8\pi \epsilon _{0}R^{3}}}(R^{2}-r^{2})\Rightarrow \varphi (r)=\varphi (R)+{{Ze} \over {8\pi \epsilon _{0}R^{3}}}(R^{2}-r^{2})\Rightarrow \;$
$\Rightarrow \varphi (r)={{Ze} \over {4\pi \epsilon _{0}R}}+{{Ze} \over {8\pi \epsilon _{0}R^{3}}}(R^{2}-r^{2})={{Ze} \over {8\pi \epsilon _{0}R}}\left(3-{{r^{2}} \over {R^{2}}}\right)\;$

(5.47)

Wzór (5.47) opisuje potencjał pola elektrostatycznego wewnątrz jądra atomowego, która jest kulą dla naszych przeprowadzonych rozważań. Potencjał elektrycznyna zewnątrz kuli zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego-Gaussa zapisujemy:

$\varphi (r)={{Ze} \over {4\pi \epsilon _{0}r}}\;$

(5.48)

Wzory (5.47) i (5.48) opisują potencjał jadra atomowego dla całej gamy r, którego opisują potencjał pola elektrycznego. By otrzymać energię potencjalną, czyli potencjał oddziaływania cząstki, to dla cząstki o ładunku Z_ae należy wspomniane wzory pomnożyć przez Z_ae.