Matematyka ubezpieczeń życiowych/Renty życiowe

Renty są ciągami płatności. W matematyce ubezpieczeniowej również i one są uzależnione długością trwania życia. Za pomocą rent opisywać będziemy przepływy finansowe zarówno od ubezpieczonego do ubezpieczyciela (jak to ma miejsce w przypadku składek) jak i od ubezpieczyciela do ubezpieczonego (jak to ma miejsce w przypadku świadczeń emerytalnych).

Podobnie jak w przypadku wartości obecnej ubezpieczeń mamy tu do czynienia z podziałem rent wg różnych czynników.

Wg długości trwania renty dzielimy na:

• terminowe,
• bezterminowe,
• terminowe odroczone,
• bezterminowe odroczone.

Wg czasu dokonywania płatności renty dzielimy na płatne:

• na początku roku lub jego podokresu okresu,
• na koniec roku lub jego podokresu okresu,
• w sposób ciągły.

Renty dyskretne

symbol	wartość	relacja	nazwa
${\ddot {a}}_{x}\,$	$\sum _{k=0}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$	$1=d{\ddot {a}}_{x}+A_{x}\,$	bezterminowa, płatna na początku każdego roku
$a_{x}\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		bezterminowa, płatna na końcu każdego roku
${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}\,$	$\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}{}_{k}p_{x}\,$	$1=d{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}+A_{x:{\overline {n}}|}\,$	$n$-letnia, płatna na początku każdego roku
$a_{x:{\overline {n}}|}\,$	$\sum _{k=1}^{n}v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		$n$-letnia, płatna na końcu każdego roku
${}_{n|}{\ddot {a}}_{x}\,$	$\sum _{k=n}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		bezterminowa, płatna na początku każdego roku, odroczona o $n$ lat
${}_{n|}a_{x}\,$	$\sum _{k=n+1}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		bezterminowa, płatna na końcu każdego roku, odroczona o $n$ lat

W powyższej tabeli prócz wzorów definicyjnych podano również relacje jakie zachodzą pomiędzy rentami a wartościami obecnymi ubezpieczeń na życie. Sens tych relacji można wyjaśnić na następującym przykładzie:

$1=d{\ddot {a}}_{x}+A_{x}.$

Interpretacja tego wzoru może być następująca. Zaciągnięto dług na kwotę $1$. Dłużnik spłaca same odsetki na początku każdego roku (w wysokości $d$). Ponieważ dłużnik może umrzeć przed uregulowaniem długu, wykupił ubezpieczenie gwarantujące uregulowanie pozostałej do spłaty należności. Następuje to na koniec roku śmierci ubezpieczonego.

Renty ciągłe

symbol	wartość	relacja
${\bar {a}}_{x}\,$	$\int _{0}^{\infty }v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$	$1=\delta {\bar {a}}_{x}+{\bar {A}}_{x}\,$
${\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}\,$	$\int _{0}^{n}v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$	$1=\delta {\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}+{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}\,$
${}_{n|}{\bar {a}}_{x}\,$	$\int _{n}^{\infty }v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$
${}_{m|n}{\bar {a}}_{x}\,$	$\int _{m}^{m+n}\!\!v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$

Renty płatne częściej niż raz w roku

${\ddot {a}}_{x}^{(m)}=\alpha (m){\ddot {a}}_{x}-\beta (m),$

gdzie

$\alpha (m)={\frac {i\cdot d}{i^{(m)}\cdot d^{(m)}}},\qquad \beta (m)={\frac {i-i^{(m)}}{i^{(m)}\cdot d^{(m)}}}.$

W większości wypadków (dla niewielkiego $\delta$) można się posłużyć praktycznym przybliżeniem wynikającym z rozwinięcia powyższych wzorów w szereg Taylora:

$\alpha (m)=1,\qquad \beta (m)={\frac {m-1}{2m}}.$

Funkcje komutacyjne dla rent

${\ddot {a}}_{x}={\frac {N_{x}}{D_{x}}}$

${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}={\frac {N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}}$

gdzie

$D_{x}=v^{x}l_{x}$
$N_{x}=\sum _{k=0}^{\infty }D_{x+k}$