Matematyka ubezpieczeń życiowych/Ubezpieczenia na wiele żyć

Człowiek jest istotą społeczną i zwykł odwzajemniać swe uczucia. Troska o zapewnienie bytu współmałżonka po śmierci występuje zwykle u obu współmałżonków. Oprócz zwykłych polis ubezpieczeniowych wystawianych pojedynczym osobom, ubezpieczyciele oferują więc również ubezpieczenia obejmujące kilka osób. Niniejszy rozdział prezentuje aparat matematyczny stosowany do opisu takich produktów.

Status wspólnego życia

Zdarzenia, przed którymi wykupujący ubezpieczenie stara się zabezpieczyć są różne (może umrzeć dowolna osoba z rozważanej grupy). Wspólną ich cechą jest przerwanie stanu, w którym wszystkie osoby objęte ubezpieczeniem żyją. W związku z tym wprowadza się pojęcie statusu wspólnego życia jako odpowiednika życia pojedynczej osoby. Status taki dla grupy $m$ osób w wieku odpowiednio $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}$ jest oznaczany jako $u:=x_{1}:x_{2}:\ldots :x_{m}$. Zmienna $T$ oznaczająca czas trwania statusu (jako odpowiednik czasu życia pojedynczej osoby) przyjmuje wartość:

$T=T(u)=\min {\Big (}T(x_{1}),T(x_{2}),\ldots ,T(x_{m}){\Big )}.$

Prawdopodobieństwo przeżycia dla takiego statusu jest wtedy równe:

${}_{t}p_{u}={}_{t}p_{x_{1}:x_{2}:\ldots :x_{m}}=Pr{\Big (}T(x_{1})>t\wedge T(x_{2})>t\wedge \ldots \wedge T(x_{m})>t{\Big )}.$

Jeśli przyjąć, że osoby objęte ubezpieczeniem pochodzą z tej samej populacji a ich zgony są zdarzeniami niezależnymi to dzięki tej niezależności otrzymamy wzór:

${}_{t}p_{u}={}_{t}p_{x_{1}:x_{2}:\ldots :x_{m}}=\prod _{k=1}^{m}{}_{t}p_{x_{k}}.$

Różniczkując względem $t$ logarytm powyższego prawdopodobieństwa łatwo otrzymujemy:

$\mu _{u+t}=-{\frac {d}{dt}}\ln {}_{t}p_{u}=-{\frac {d}{dt}}\sum _{k=1}^{m}\ln {}_{t}p_{x_{k}}=\sum _{k=1}^{m}\mu _{x_{k}+t}.$

Status ostatniego przeżywającego

W ubezpieczeniach na wiele żyć istotne jest nie tylko to kiedy umrze pierwsza osoba z grupy co jest potencjalnym powodem do wypłacania świadczenia, ale także to jak długo będzie żyć ostatnia osoba z grupy czyli zwykle ostatnia osoba uprawniona do świadczeń. Wprowadza się więc pojęcie statusu ostatniego przeżywającego (ang. last-survivor status) i oznacza następująco

$u={\overline {x_{1}:x_{2}:\ldots :x_{m}}}.$

Zmienna $T$ przyjmuje wtedy wartość

$T(u)=\max(T_{1},T_{2},\ldots ,T_{m}).$

Analityczne prawa śmiertelności dla wielu żyć

Populacja Gompertza

Załóżmy, że śmiertelnością w całej populacji rządzi prawo Gompertza $\mu _{x}=B\,c^{x}$, gdzie $B>0$, $c>1$. Będziemy szukali pojedynczego wieku $(w)$ mogącego zastąpić status wspólnego życia $(x:y)$. (Podobne rozważania można jednak przeprowadzić dla większej liczby żyć.)

$\mu _{x:y}(s)=\mu _{x+s:y+s}=\mu _{w+s}\qquad s\geqslant 0$

Z wcześniejszych rozważań na temat statusu wspólnego życia wiemy, że przy założeniu niezależności zmiennych $T(x)$ i $T(y)$ mamy:

$\mu _{x+t}+\mu _{y+t}=\mu _{x:y}(t)\;$

zatem

$B\,c^{x+s}+B\,c^{y+s}=B\,c^{w+s}\;$

$c^{x}+c^{y}=c^{w}\;$

co definiuje poszukiwane $w$.

Dla $t>0$ wynika stąd

${}_{t}p_{w}=\exp {\bigg (}-\int \limits _{0}^{t}\mu _{w+s}ds{\bigg )}=\exp {\bigg (}-\int \limits _{0}^{t}\mu _{x:y}(s)ds{\bigg )}={}_{t}p_{x:y}$

Tak wiec dla $w$ zdefiniowanego powyżej, wszystkie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje dla statusu wspólnego życia $(x:y)$ są równe wartościom dla pojedynczego życia $(w)$. W takiej sytuacji nie ma więc konieczności tworzenia dodatkowych tablic wielowymiarowych z wartościami aktuarialnymi dla wielu żyć.

Populacja Makehama

Założenie, że śmiertelnością w populacji rządzi prawo Makehama czyni rozważania bardziej złożonymi. Mamy bowiem

$\mu _{x:y}(s)=\mu _{x+s}+\mu _{y+s}=2A+B\,c^{s}\left(c^{x}+c^{y}\right)$

gdzie $A>0$, $B>0$, $c>1$

Nie możemy zastąpić statusu wspólnego życia jednym życiem z powodu występowania składnika $2A$. (Nie istnieje takie $w$, niezależne od $s$, które spełniałoby założenia.) Zamiast tego zastąpimy $(x:y)$ innym statusem wspólnego życia $(w:w)$. Wtedy

$\mu _{w:w}(s)=2\mu _{w+s}=2\left(A+B\,c^{s}\,c^{w}\right)$

gdzie $(w)$ wybieramy tak aby

$2c^{w}=c^{x}+c^{y}$

W przeciwieństwie do przypadku populacji Gompertza gdzie jednowymiarowe funkcje są oparte na tablicach dla pojedynczego życia, tutaj funkcje są oparte na statusie wspólnego życia $(w:w)$ dla rówieśników.

Ubezpieczenia na wiele żyć w okresach ułamkowych

Rozważymy teraz założenie jednostajnego rozkładu zgonów (UDD) dla każdego z wielu żyć. Przy tym dodatkowym założeniu możemy obliczyć jednorazową składkę w ubezpieczeniu wypłacającym w momencie śmierci świadczenie opłacone składkami płatnymi częściej niż raz w roku. Przypomnijmy, że w przypadku pojedynczych żyć mieliśmy przy założeniu UDD zależność

${\bar {A}}_{x}={\frac {i}{\delta }}A_{x}$

Podobna, choć nie identyczna zależność będzie występować i tutaj.

${\bar {A}}_{x:y}={\frac {i}{\delta }}A_{x:y}+{\frac {i}{\delta }}\left(1-{\frac {2}{\delta }}+{\frac {2}{i}}\right)\sum \limits _{k=0}^{\infty }v^{k+1}{}_{k}p_{x:y}\,q_{x+k}\,q_{y+k}$

Widzimy, że pierwszy człon otrzymanego wzoru byłby równy ${\bar {A}}_{x:y}$ gdyby rozkład czasu wygasania statusu wspólnego życia $T(x:y)$ miał jednostajny rozkład w ciągu roku. Nie jest tak gdy $T(x:y)=\min \left\{T(x),T(y)\right\}$ a $T(x)$ i $T(y)$ mają niezależnie jednostajny rozkład w ciągu roku. Rozkład $T(x:y)$ w ciągu roku pod warunkiem, że $(x)$ i $(y)$ umrą w różnych latach jest wprawdzie jednostajny, ale z kolei w przypadku gdy $(x)$ i $(y)$ umierają w tym samym roku $E(\min \left\{T(x),T(y)\right\})$ będzie się znajdować bliżej jego początku. W konsekwencji niezbędny jest drugi człon otrzymanego wzoru związany wcześniejszą wypłatą świadczenia. Można przy tym pokazać, że:

${\frac {i}{\delta }}\left(1-{\frac {2}{\delta }}+{\frac {2}{i}}\right)\approx {\frac {i}{6}}-{\frac {i}{360}}+\ldots$

Funkcje uwarunkowane kolejnością zgonów

Dotychczas rozpatrywaliśmy wyłącznie statusy symetryczne. Nie miało dla nas znaczenia, która osoba umiera jako pierwsza, a która jako ostatnia. Czasami jednak kwestia kolejności zgonów ma znaczenie. Inna bowiem jest sytuacja rodziny w której jako pierwszy umiera jej główny (a czasem jedyny) żywiciel a inna gdy w rodzinie umiera osoba nie osiągająca tak znacznych (czy w ogóle jakichkolwiek) dochodów.

Aby rozpatrywać te sytuacje wprowadza się kolejne oznaczenia. Ponad składową danego statusu zapisujemy numer oznaczający, jako która z kolei dana osoba umrze.

Rozpatrzymy tutaj przykładowo dwie wielkości:

• ${}_{n}q_{x:y}^{1}$ – prawdopodobieństwo tego, że $(x)$ umrze jako pierwszy (a więc przed śmiercią $(y)$) przed upływem $n$ lat

• ${}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}$ – prawdopodobieństwo tego, że $(y)$ umrze jako drugi (a więc po śmierci $(x)$) przed upływem $n$ lat

Z powyższego opisu widać, że przypadki opisane drugim zdarzeniem są zawarte w zbiorze przypadków opisanych pierwszym. Oczekujemy więc, że zachodzić będzie nierówność ${}_{n}q_{x:y}^{1}\geqslant {}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}$.

Można łatwo wykazać, że:

${}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;1}+{}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}={}_{n}q_{y}$

oraz

${}_{n}q_{x:y}^{1}={}_{n}q_{x:y}^{\;\;\;2}+{}_{n}p_{y}\,{}_{n}q_{x}$

co potwierdza nierówność wynikającą z opisu poszczególnych zdarzeń.

Podobnie dla ubezpieczeń mamy

${\bar {A}}_{x:y}^{\;\;\;1}+{\bar {A}}_{x:y}^{\;\;\;2}={\bar {A}}_{y}.$

Reinterpretacja niektórych oznaczeń

Status ${\overline {n}}|$ wygasa z chwilą upłynięcia $n$ lat ($n\geqslant 0$). Możemy więc na nowo zinterpretować oznaczenia takie jak (ograniczając się do samego opisu sytuacji uprawniającej do uzyskania świadczenia):

• $A_{x:{\overline {n}}|}$ – świadczenie jest wypłacane gdy wygaśnie status $x$ (czyli gdy $(x)$ umrze) lub gdy wygaśnie status ${\overline {n}}|$ (czyli gdy upłynie $n$ lat)
• $A_{x:{\overline {n}}|}^{1}$ – świadczenie jest wypłacane gdy status $x$ wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu ${\overline {n}}|$ to znaczy przed upływem $n$ lat
• $A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}$ – świadczenie jest wypłacane gdy status ${\overline {n}}|$ wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu $x$ (czyli gdy ubezpieczony przeżyje co najmniej $n$ lat)