Matematyka ubezpieczeń życiowych/Ubezpieczenia na wiele żyć

Człowiek jest istotą społeczną i zwykł odwzajemniać swe uczucia. Troska o zapewnienie bytu współmałżonka po śmierci występuje zwykle u obu współmałżonków. Oprócz zwykłych polis ubezpieczeniowych wystawianych pojedynczym osobom, ubezpieczyciele oferują więc również ubezpieczenia obejmujące kilka osób. Niniejszy rozdział prezentuje aparat matematyczny stosowany do opisu takich produktów.

Status wspólnego życia

edytuj

Zdarzenia, przed którymi wykupujący ubezpieczenie stara się zabezpieczyć są różne (może umrzeć dowolna osoba z rozważanej grupy). Wspólną ich cechą jest przerwanie stanu, w którym wszystkie osoby objęte ubezpieczeniem żyją. W związku z tym wprowadza się pojęcie statusu wspólnego życia jako odpowiednika życia pojedynczej osoby. Status taki dla grupy   osób w wieku odpowiednio   jest oznaczany jako  . Zmienna   oznaczająca czas trwania statusu (jako odpowiednik czasu życia pojedynczej osoby) przyjmuje wartość:

 

Prawdopodobieństwo przeżycia dla takiego statusu jest wtedy równe:

 

Jeśli przyjąć, że osoby objęte ubezpieczeniem pochodzą z tej samej populacji a ich zgony są zdarzeniami niezależnymi[1] to dzięki tej niezależności otrzymamy wzór:

 

Różniczkując względem   logarytm powyższego prawdopodobieństwa łatwo otrzymujemy:

 

Status ostatniego przeżywającego

edytuj

W ubezpieczeniach na wiele żyć istotne jest nie tylko to kiedy umrze pierwsza osoba z grupy co jest potencjalnym powodem do wypłacania świadczenia, ale także to jak długo będzie żyć ostatnia osoba z grupy czyli zwykle ostatnia osoba uprawniona do świadczeń. Wprowadza się więc pojęcie statusu ostatniego przeżywającego (ang. last-survivor status) i oznacza następująco

 

Zmienna   przyjmuje wtedy wartość

 

Analityczne prawa śmiertelności dla wielu żyć

edytuj

Populacja Gompertza

edytuj

Załóżmy, że śmiertelnością w całej populacji rządzi prawo Gompertza  , gdzie  ,  . Będziemy szukali pojedynczego wieku   mogącego zastąpić status wspólnego życia  . (Podobne rozważania można jednak przeprowadzić dla większej liczby żyć.)

 

Z wcześniejszych rozważań na temat statusu wspólnego życia wiemy, że przy założeniu niezależności zmiennych   i   mamy:

 

zatem

 
 

co definiuje poszukiwane  .

Dla   wynika stąd

 

Tak wiec dla   zdefiniowanego powyżej, wszystkie prawdopodobieństwa, wartości oczekiwane i wariancje dla statusu wspólnego życia   są równe wartościom dla pojedynczego życia  . W takiej sytuacji nie ma więc konieczności tworzenia dodatkowych tablic wielowymiarowych z wartościami aktuarialnymi dla wielu żyć.

Populacja Makehama

edytuj

Założenie, że śmiertelnością w populacji rządzi prawo Makehama czyni rozważania bardziej złożonymi. Mamy bowiem

 

gdzie  ,  ,  

Nie możemy zastąpić statusu wspólnego życia jednym życiem z powodu występowania składnika  . (Nie istnieje takie  , niezależne od  , które spełniałoby założenia.) Zamiast tego zastąpimy   innym statusem wspólnego życia  . Wtedy

 

gdzie   wybieramy tak aby

 

W przeciwieństwie do przypadku populacji Gompertza gdzie jednowymiarowe funkcje są oparte na tablicach dla pojedynczego życia, tutaj funkcje są oparte na statusie wspólnego życia   dla rówieśników.

Ubezpieczenia na wiele żyć w okresach ułamkowych

edytuj

Rozważymy teraz założenie jednostajnego rozkładu zgonów (UDD) dla każdego z wielu żyć. Przy tym dodatkowym założeniu możemy obliczyć jednorazową składkę w ubezpieczeniu wypłacającym w momencie śmierci świadczenie opłacone składkami płatnymi częściej niż raz w roku. Przypomnijmy, że w przypadku pojedynczych żyć mieliśmy przy założeniu UDD zależność

 

Podobna, choć nie identyczna zależność będzie występować i tutaj.

 

Widzimy, że pierwszy człon otrzymanego wzoru byłby równy   gdyby rozkład czasu wygasania statusu wspólnego życia   miał jednostajny rozkład w ciągu roku. Nie jest tak gdy   a   i   mają niezależnie jednostajny rozkład w ciągu roku. Rozkład   w ciągu roku pod warunkiem, że   i   umrą w różnych latach jest wprawdzie jednostajny, ale z kolei w przypadku gdy   i   umierają w tym samym roku   będzie się znajdować bliżej jego początku. W konsekwencji niezbędny jest drugi człon otrzymanego wzoru związany wcześniejszą wypłatą świadczenia. Można przy tym pokazać, że:

 

Funkcje uwarunkowane kolejnością zgonów

edytuj

Dotychczas rozpatrywaliśmy wyłącznie statusy symetryczne. Nie miało dla nas znaczenia, która osoba umiera jako pierwsza, a która jako ostatnia. Czasami jednak kwestia kolejności zgonów ma znaczenie. Inna bowiem jest sytuacja rodziny w której jako pierwszy umiera jej główny (a czasem jedyny) żywiciel a inna gdy w rodzinie umiera osoba nie osiągająca tak znacznych (czy w ogóle jakichkolwiek) dochodów.

Aby rozpatrywać te sytuacje wprowadza się kolejne oznaczenia. Ponad składową danego statusu zapisujemy numer oznaczający, jako która z kolei dana osoba umrze.

Rozpatrzymy tutaj przykładowo dwie wielkości:

  •   – prawdopodobieństwo tego, że   umrze jako pierwszy (a więc przed śmiercią  ) przed upływem   lat

 

  •   – prawdopodobieństwo tego, że   umrze jako drugi (a więc po śmierci  ) przed upływem   lat
 

Z powyższego opisu widać, że przypadki opisane drugim zdarzeniem są zawarte w zbiorze przypadków opisanych pierwszym. Oczekujemy więc, że zachodzić będzie nierówność  .

Można łatwo wykazać, że:

 

oraz

 

co potwierdza nierówność wynikającą z opisu poszczególnych zdarzeń.

Podobnie dla ubezpieczeń mamy

 

Reinterpretacja niektórych oznaczeń

edytuj

Status   wygasa z chwilą upłynięcia   lat ( ). Możemy więc na nowo zinterpretować oznaczenia takie jak (ograniczając się do samego opisu sytuacji uprawniającej do uzyskania świadczenia):

  •   – świadczenie jest wypłacane gdy wygaśnie status   (czyli gdy   umrze) lub gdy wygaśnie status   (czyli gdy upłynie   lat)
  •   – świadczenie jest wypłacane gdy status   wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu   to znaczy przed upływem   lat
  •   – świadczenie jest wypłacane gdy status   wygaśnie jako pierwszy czyli przed wygaśnięciem statusu   (czyli gdy ubezpieczony przeżyje co najmniej   lat)

Przypisy

  1. w rzeczywistości może to nie być prawdą