Matematyka ubezpieczeń życiowych/Składki netto

Umowa ubezpieczeniowa jest umową dwustronną pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym. Określa ona jakie obowiązki z jakich wywiązać musi się każda ze stron. Z jednej więc strony określone są świadczenia wypłacane przez ubezpieczyciela, a z drugiej składki czyli płatności jakie odprowadza ubezpieczycielowi ubezpieczony. Zarówno świadczenia jak i składki mogą mieć charakter jednorazowych płatności lub ich ciągu o stałej lub zmiennej wartości. W sytuacji kalkulacji netto świadczenia i składki są sobie w sensie aktuarialnym równoważne. Oznacza to, że wartości oczekiwane przepływów finansowych będą równe.

Wprowadzimy teraz pojęcie straty ubezpieczyciela. Wielkość tą jest zmienną losową oznaczaną literą (ang. total loss) i będącą różnicą między wypłaconymi świadczeniami i zebranymi składkami dla danego ubezpieczonego. Składki będą ustalone na poziomie netto jeśli spełniona będzie równość


Literą używaną do oznaczania składek netto jest litera od angielskiego net premium.

Przykład

edytuj

Obliczenie składki netto zobrazujemy na przykładzie bezterminowej polisy na życie, z wypłatą świadczenia na koniec roku zgonu. Przyjmijmy, że opłacane ono będzie stałą składką   na początku każdego roku. Wtedy stratę ubezpieczyciela można wyrazić za pomocą całkowitej liczby   pozostałych lat życia jako różnicę zdyskontowanej wypłaty świadczenia oraz wartości obecnej renty przemnożonej przez wartość składki

 

Wiemy, że musi zachodzić   zatem

 

Funkcje komutacyjne w kalkulacji składek netto

edytuj

Przykład

edytuj

Obliczmy składkę dla produktu ubezpieczeniowego wystawianego dla osoby płci męskiej w wieku 24 lat, opłacanego równymi składkami na początku roku do wieku 65 lat, w którym świadczenie jest dożywotnią rentą wypłacaną od 65 roku życia. Przyjmijmy techniczną stopę oprocentowania  . Do kalkulacji należy posłużyć się tablicami trwania życia publikowanymi corocznie przez GUS w Monitorze Polskim. Jak zmieni się składka gdy wiek końca okresu składkowego i początku otrzymywania świadczeń zmieni się z 65 na 67 lat.

Rozwiązanie:

 
 

Potrzebować będziemy następujących wartości:

  •   wartość obecna renty bezterminowej odroczonej na 41 lat dla 24 latka, płatnej na początku każdego roku
  •   wartość obecna renty terminowej 41-letniej płatnej na początku każdego roku

Skorzystamy tu z własności

 
 

Wartości poszczególnych rent możemy obliczyć za pomocą funkcji komutacyjnych

 
 

gdzie

 
 

W praktyce z konieczności sumowanie w powyższym wzorze odbywa się nie do nieskończoności tylko do maksymalnego wieku objętego tabelą.