Matematyka ubezpieczeń życiowych/Rezerwy składek netto

Jak dotąd opisaliśmy za pomocą aparatu matematycznego zawarcie ubezpieczenia, napływanie składek i wypłacanie świadczeń. Wydawać by się mogło, że można na tym poprzestać. W tym rozdziale przekonamy się, że tak nie jest. Ubezpieczyciel powinien w każdym momencie znać wartość rezerw składek netto czyli kwoty jaką dysponuje na pokrycie nieuchronnie zbliżających się świadczeń jakie będzie musiał wypłacić z tytułu jego ubezpieczenia. Wiedza ta potrzebna jest nie tylko po to by zapanować nad zarządzanym kapitałem. Jest ona niezbędna w sytuacji konwersji polisy czyli zmiany jej warunków z uwzględnieniem dotychczas wniesionych składek. Przykładowo w sytuacji gdy ubezpieczony przez wiele lat regularnie wnosił składki, a w pewnym momencie nie jest już w stanie tego robić, to często taka polisa przekształcana jest w polisę bezskładkową o odpowiednio niższej kwocie świadczenia.

Dodatkowo jak się przekonamy rezerwy netto to nie tylko suma składek wniesionych przez ubezpieczonego. Produkty oferowane przez ubezpieczycieli zawierają w sobie zawsze element ryzyka. Jest ono związane m.in. z możliwością zgonu poza okresem objętym ubezpieczeniem, długością trwania wypłaty świadczenia w postaci renty lub długością trwania okresu opłacania składek. Istotnym czynnikiem kształtujących wysokość rezerwy jest właśnie to ryzyko.

Definicja i podstawowe wzory

W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie straty ubezpieczyciela $L$. Tu uogólnimy nieco to pojęcie wprowadzając pojęcie straty ${}_{k}L$ ubezpieczyciela po $k$ latach od wystawienia polisy. Tę zmienną losową definiuje się tak samo jak zwykłą stratę (czyli stratę w chwili zawarcia ubezpieczenia) z tą tylko różnicą, że przyjmuje się warunek, że ubezpieczony przeżyje $k$ lat od chwili zawarcia ubezpieczenia.

Rezerwą nazywać będziemy wartość oczekiwaną tej straty.

${}_{k}V_{x}:=E({}_{k}L).\;$

Ponieważ ${}_{0}L=L$ więc zachodzi oczywiście ${}_{0}V_{x}=E(L)=0.$

Przykład

${}_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:{\overline {n}}|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},\quad {\text{dla}}\quad k=0,1,\ldots ,n-1\;$

Wzory

Poniżej przedstawiamy podstawowe wzory służące do kalkulacji rezerw:

${}_{k}V_{x}=A_{x+k}-P_{x}{\ddot {a}}_{x+k};$

${}_{k}V_{x}=1-(P_{x}+d){\ddot {a}}_{x+k}\;$

${}_{k}V_{x}={\Big (}1-{\frac {P_{x}}{P_{x+k}}}{\Big )}A_{x+k}\;$

${}_{k}V_{x}=(P_{x+k}-P_{x}){\ddot {a}}_{x+k}\;$

${}_{k}V_{x}={\frac {P_{x+k}-P_{x}}{P_{x+k}+d}}\;$

${}_{k}V_{x}={\frac {A_{x+k}-A_{x}}{1-A_{x}}}\;$

${}_{k}V_{x}=1-{\frac {{\ddot {a}}_{x+k}}{{\ddot {a}}_{x}}}\;$