Matematyka ubezpieczeń życiowych/Wersja do druku

Matematyka ubezpieczeń życiowych

Aktualna, edytowalna wersja tego podręcznika jest dostępna w Wikibooks, bibliotece wolnych podręczników pod adresem
https://pl.wikibooks.org/wiki/Matematyka_ubezpiecze%C5%84_%C5%BCyciowych

Całość tekstu jest objęta licencją CC-BY-SA 3.0 i jednocześnie GNU FDL.

Udziela się zezwolenia na kopiowanie, rozpowszechnianie lub modyfikację tego dokumentu zgodnie z zasadami Licencji Creative Commons Uznanie autorstwa-Na tych samych warunkach 3.0 Unported lub dowolnej późniejszej wersji licencji opublikowanej przez Creative Commons, która zawiera te same elementy co niniejsza licencja. Treść licencji dostępna jest pod adresem http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode.

Udziela się zezwolenia na kopiowanie, rozpowszechnianie lub modyfikację tego dokumentu zgodnie z zasadami Licencji wolnej dokumentacji GNU (niewersjonowanej, bez części nienaruszalnych oraz tekstów przedniej i tylnej okładki)

Wprowadzenie

Intencją niniejszego podręcznika jest dostarczenie czytelnikowi możliwie zwięzłego zestawienia podstawowych wiadomości z zakresu matematyki ubezpieczeń na życie. Z postulatu zwięzłości wynika pominięcie wielu wstępów teoretycznych, wyprowadzania wzorów i dowodzenia twierdzeń.

Kolejnym postulatem przyjętym przy tworzeniu tego opracowania było uporządkowanie i zestawienie wszelkich przydatnych wzorów w możliwie najłatwiejszej do zapamiętania postaci. Często więc zestawienia tabelaryczne będą dominować nad zredukowanymi do minimum objaśnieniami.

W zakresie doboru materiału wskazaniem są wymogi odnośnie egzaminów aktuarialnych. Wymagania te zostały przedstawione w dodatku.

Oprócz pozycji wymienionych w literaturze, jako istotne źródło informacji wymienić należy wykłady prof. dr hab. Bolesława Kacewicza na Wydziale Matematyki Stosowanej AGH w Krakowie (w roku 2002).

Ze względu na przyjęte założenia i ograniczenia, niniejszy podręcznik nie może zastąpić regularnych wykładów ani nie aspiruje do konkurowania z podręcznikami o ustalonej renomie na rynku.

Autor dokłada wszelkich starań by przedstawiane informacje były dokładne i odzwierciedlały rzeczywistą wiedzę z zakresu aktuariatu. Jeśli jednak w prezentowane tutaj treści wkradły się błędy, pomyłki lub nieścisłości to z tego miejsca kierowana jest gorąca zachęta do czytelnika by podjął się pomocy w ulepszeniu tego dzieła i naniósł poprawki osobiście lub choćby zwrócił na nie uwagę.

Kraków, 2008 r.

Elementy teorii oprocentowania

Niniejszy rozdział stanowi pewnego rodzaju elementarne wprowadzenie do zagadnień związanych z oprocentowaniem. W odróżnieniu od rozdziałów kolejnych dotyczyć on będzie sytuacji ściśle deterministycznych, pozbawionych czynnika losowego.

Akumulacja i dyskontowanie

Wszystkie procesy w niniejszym podręczniku będą mieć dwa modele - ciągły i dyskretny. Modele dyskretne będą oparte na wartościach poszczególnych wielkości w kolejnych latach lub podokresach lat.

Przypadek dyskretny

Rozpoczniemy od najprostszego przykładu lokaty terminowej na 1 rok. Na lokacie tej składamy na początku okresu jej trwania $k_{0}=1$ zł. Oprocentowana w skali rocznej dla tej lokaty jest w wysokości $i$. Po roku otrzymamy więc

$k_{1}=k_{0}(1+i).\;$

Czynnik $(1+i)$, przez który musimy przemnożyć wyjściową kwotę nazywamy czynnikiem akumulującym, zaś liczbę $i$ nazywamy stopą oprocentowania i wyrażamy w procentach.

Jeśli zamiast podejmować pieniądze wznowimy tę lokatę, to po $n$ latach otrzymamy

$k_{n}=k_{0}(1+i)^{n}.\;$

W powyższym rozumowaniu patrzyliśmy na początku inwestycji na to, jaki będzie jej rezultat. Możemy odwrócić to rozumowanie i zapytać ile musimy zainwestować, aby po $n$ latach uzyskać zadany kapitał. Odpowiedź uzyskujemy z prostego przekształcenia wzoru

$k_{0}={\frac {k_{n}}{(1+i)^{n}}}.\;$

Czynnik ${\frac {1}{(1+i)}}$, przez który (w odpowiedniej potędze) musimy pomnożyć $k_{n}$ (kwotę, którą chcemy uzyskać) nazywamy czynnikiem dyskontującym i oznaczamy literą $v$

$v={\frac {1}{1+i}},\;$

$k_{0}=k_{n}v^{n}.\;$

Stopa oprocentowania $i$ dawała nam informację o ile procent więcej uzyskamy w wyniku inwestycji po 1 roku. Można teraz spytać inaczej. O ile procent mniejszą kwotą należało dysponować $1$ rok temu, aby uzyskać obecną kwotę. Wartość ta jest oznaczana literą $d$, wyrażana w procentach i nazywana stopą dyskontową

$v=1-d.\;$

Przypadek ciągły

Przyzwyczajeni jesteśmy do myślenia o przepływie kapitału w sposób dyskretny (płatność jest dokonywana w konkretnym momencie czasu). W modelu ciągłym musimy zmienić nieco nasz sposób myślenia i postrzegać przepływ środków finansowych jako strumień o pewnej intensywności.

By to sobie uzmysłowić posłużymy się przykładem w którym pewną płatność za dany okres czasu będziemy dzielić na równe raty za coraz drobniejsze podokresy. Dokonując przejścia granicznego otrzymujemy nieskończenie wiele nieskończenie drobnych przepływów finansowych. Powyższy opis jakościowy ujmijmy teraz metodami ilościowymi. Tym razem posłużymy się przykładem inwestycji na okres jednego roku oraz inwestycji na podokresy roku. Przez $i^{(m)}$ oznaczać będziemy nominalną stopę oprocentowania z kapitalizacją w podokresach długości ${\frac {1}{m}}$ roku. Równoważną takiemu składanemu oprocentowaniu stopę oprocentowania $i$ (za cały rok) otrzymamy z zależności

${\Bigg (}1+{\frac {i^{(m)}}{m}}{\Bigg )}^{m}=1+i\;$

analogicznie dla stóp dyskontowych mamy:

${\Bigg (}1-{\frac {d^{(m)}}{m}}{\Bigg )}^{m}=1-d\;$

Niech teraz $m$ dąży do nieskończoności. Wprowadźmy oznaczenie:

$\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}.\;$

Wielkość ta jest nazywana intensywnością oprocentowania (ang. force of interest)

Łatwo zauważyć po zapisaniu zależności między $i^{(m)}$ a $i$ w postaci

$i^{(m)}={\frac {(1+i)^{1/m}-(1+i)^{0}}{1/m}},\;$

że $\delta$ jest pochodną funkcji $(1+i)^{x}$ w punkcie $x=0$. Otrzymujemy więc zależność

$\delta =\ln(1+i).\;$

Jaka jest jednak granica $d^{(m)}$? Okazuje się, że taka sama. Łatwo bowiem pokazać, że

${\frac {1}{d^{(m)}}}={\frac {1}{m}}+{\frac {1}{i^{(m)}}}\;$

a stąd wykazuje się, że

$\lim _{m\to \infty }d^{(m)}=\lim _{m\to \infty }i^{(m)}=\delta .\;$

Gdy oprocentowanie jest ciągłe różnica pomiędzy oprocentowaniem z góry i z dołu (czyli między akumulacją i dyskontowaniem) znika.

Podsumowanie

Zależności pomiędzy opisywanymi wielkościami ujmuje poniższa tabela

Nazwa	Oznaczenie	$i\,$	$d\,$	$v\,$	$\delta \,$
stopa oprocentowania	$i\,$	$-\,$	$i={\frac {d}{1-d}}\,$	$i={\frac {1}{v}}-1\,$	$i=e^{\delta }-1\,$
stopa dyskontowa	$d\,$	$d={\frac {i}{1+i}}\,$	$-\,$	$d=1-v\,$	$d=1-e^{\delta }\,$
czynnik dyskontujący	$v\,$	$v={\frac {1}{1+i}}\,$	$v=1-d\,$	$-\,$	$v=e^{-\delta }\,$
natężenie oprocentowania	$\delta \,$	$\delta =\ln(1+i)\,$	$\delta =\ln {\frac {1}{1-d}}\,$	$\delta =\ln {\frac {1}{v}}\,$	$-\,$
czynnik akumulujący		$1+i\,$	${\frac {1}{1-d}}\,$	${\frac {1}{v}}\,$	$e^{\delta }\,$

Najłatwiej przyswoić sobie powyższe wzory zapamiętując, że:

• $v+d=1,\;$
• $i\cdot v=d,\;$
• $e^{\delta }=1+i.\;$

Renty

Renty w matematyce finansowej rozumiane są jako ciągi płatności. Będziemy posługiwali się wartościami obecnymi dla ciągów płatności jednostkowych. Mogą to być płatności dokonywane na początku lub na końcu roku przez pewną liczbę lat. W przypadku płatności na początku każdego roku przez $n$ lat, wartość obecną takich przepływów finansowych oznaczamy symbolem ${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}$ i jest ona równa

${\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}=\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}={\frac {1-v^{n}}{1-v}}={\frac {1-v^{n}}{d}}.\;$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$d{\ddot {a}}_{{\overline {n}}|}+v^{n}=1.\;$

Interpretacja: Zaciągnięty dług na kwotę 1 będzie spłacony po $n$ latach. Zdyskontowana wartość tej płatności jest równa $v^{n}$. Odsetki spłacane są na bieżąco, na początku każdego roku w wysokości $d$

Natomiast w przypadku płatności na koniec roku stosujemy oznaczenie $a_{{\overline {n}}|}$ i wartość obecną wyrażamy następująco

$a_{{\overline {n}}|}=\sum _{k=1}^{n}v^{k}={\frac {v(1-v^{n})}{1-v}}={\frac {1-v^{n}}{i}}.\;$

Po przekształceniu otrzymujemy:

$ia_{{\overline {n}}|}+v^{n}=1.\;$

Interpretacja tego wzoru jest taka sama jak zaprezentowana wyżej z tą tylko różnicą, że płatności odsetek wnoszone są na koniec roku w wysokości $d/v$ czyli $i$.

Analogiczna do powyższych formuła dla rent ciągłych ma postać:

$\delta {\bar {a}}_{{\overline {t}}|}+v^{t}=1$

Model demograficzny

Punktem wyjścia do rozważań na temat ubezpieczeń na życie jest analiza trwania ludzkiego życia i momentu jego końca jako zjawiska o charakterze losowym. W niniejszym rozdziale omówiony zostaną podstawowe zagadnienia związane z modelem demograficznym.

W swej najprostszej wersji model ten zakłada, że śmierć danego osobnika następuje w losowym (czyli niemożliwym do dokładnego przewidzenia w sposób pewny) momencie a szanse zajścia lub nie takiego zdarzenia rozpatrujemy tylko i wyłącznie jako funkcję wieku osobnika. Uwzględnienie czynników pokoleniowych jest możliwe, ale wymagać będzie większej komplikacji modelu.

Zmienne losowe i inne oznaczenia

Obiektem naszych rozważań będzie osobnik w wieku $x\;$ i oznaczać go będziemy symbolem $(x)\;$. Interesować nas będzie również jego wiek w chwili zgonu (czyli całkowita długość trwania jego życia) rozumiana jako zmienna losowa i oznaczana symbolem $X\;$. Ponieważ $(x)\;$ jest obecnie w wieku $x\;$, to pozostało przed nim jeszcze $X-x\;$ lat życia. Wprowadzamy więc zmienną losową $T(x)\;$, zapisywaną czasem bez argumentu jako $T\;$ i definiujemy ją następująco:

$T(x):={\begin{cases}X-x&{\textrm {dla}}\quad x\in [0;X],\\0&{\textrm {dla}}\quad x\notin [0;X].\end{cases}}\;$

Kolejnymi symbolami jakie wprowadzimy będą oznaczenia gęstości i dystrybuant dla rozważanych zmiennych losowych. Będą to odpowiednio $f\;$ i $F\;$ dla zmiennej $X\;$ oraz $g\;$ i $G\;$ dla zmiennej $T\;$.

Wszystkie powyższe wartości nie muszą być liczbami całkowitymi. W praktyce dość często wiek jest wyrażany całkowitymi liczbami ukończonych lat życia. Również ubezpieczenia zawierane są często na konkretną liczbę lat. Całkowitą liczbę lat jakie $(x)\;$ przeżyje nim umrze oznaczymy przez $K\;$.

Wszystkie powyższe oznaczenia zostały zebrane w tabeli:

ozn.	opis
$(x)\;$	osobnik w wieku $x\;$
$X\;$	wiek w chwili zgonu
$F(t)\;$	dystrybuanta zmiennej $X\;$
$f(t)\;$	gęstość zmiennej $X\;$
$T\;$	dalsze trwanie życia osoby $(x)\;$
$G(t)\;$	dystrybuanta zmiennej $T\;$
$g(t)\;$	gęstość zmiennej $T\;$
$K\;$	całkowita liczba przeżytych lat

Podstawowe prawdopodobieństwa występujące w modelu

Przyjąwszy powyższe oznaczenia możemy rozpocząć rozważania nad prawdopodobieństwem, że $(x)\;$ przeżyje lub nie zadany okres czasu $t\;$. Prawdopodobieństwa te będą rzecz jasna funkcjami dwóch zmiennych - $x\;$ i $t\;$. W notacji aktuarialnej są one oznaczane jako ${}_{t}p_{x}\;$ i ${}_{t}q_{x}\;$. Umownie, gdy czas $t=1\;$ to jest on w tym zapisie pomijany.

$q_{x}={}_{1}q_{x},\;$

$p_{x}={}_{1}p_{x}.\;$

Wprowadzamy również funkcję $s(x)\;$ zwaną funkcją przeżycia. Definiuje się ją jako prawdopodobieństwo, że $(0)\;$ (czyli noworodek) dożyje wieku $x\;$

$s(x)={}_{x}p_{0}.\;$

Poniższa tabela zwięźle ujmuje wprowadzone oznaczenia

oznaczenie	definicja	założenia
$F(x)\;$	$Pr(X\leq x)\;$	$x\geqslant 0\;$
$s(x)\;$	$Pr(X>x)\;$	$x\geqslant 0\;$
${}_{t}p_{x}\;$	$Pr(T(x)>t)\;$	$x,t\geqslant 0\;$
${}_{t}q_{x}\;$	$Pr(T(x)\leq t)\;$	$x,t\geqslant 0\;$
${}_{s|t}q_{x}\;$	$Pr(s<T(x)<s+t)\;$	$x,s,t\geqslant 0\;$
${}_{k|}q_{x}\;$	$Pr(K(x)=k)\;$	$x\geqslant 0,k\in \mathbb {N} \cup \{0\}\;$
${}_{k}p_{x}q_{x+k}\;$	$Pr(K(x)=k)\;$	$x\geqslant 0,k\in \mathbb {N} \cup \{0\}\;$

Zależności

Każdy człowiek w danym okresie czasu może albo umrzeć albo nie. Nie istnieje trzecia możliwość a zatem prawdopodobieństwa ${}_{t}p_{x}\;$ i ${}_{t}q_{x}\;$ muszą dawać w sumie $1\;$

${}_{t}p_{x}+{}_{t}q_{x}=1\;$

Można łatwo wykazać interpretując ${}_{t}p_{x+s}\;$ jako prawdopodobieństwo warunkowe przeżycia przez $x\;$-latka $t+s\;$ lat pod warunkiem, że przeżyje on co najmniej $s\;$ lat (${}_{t}p_{x+s}=Pr(T>s+t|T>s)\;$), że zachodzi równość

${}_{s+t}p_{x}={}_{s}p_{x}\cdot {}_{t}p_{x+s}.\;$

Podobnie można zinterpretować ${}_{s|t}q_{x}\;$

${\begin{aligned}{}_{s|t}q_{x}&={}_{s+t}q_{x}-{}_{s}q_{x}=(1-{}_{s+t}p_{x})-(1-{}_{s}p_{x})=\\&={}_{s}p_{x}-{}_{s+t}p_{x}={}_{s}p_{x}-{}_{s}p_{x}{}_{t}p_{x+s}=\\&={}_{s}p_{x}(1-{}_{t}p_{x+s})={}_{s}p_{x}{}_{t}q_{x+s}.\end{aligned}}\;$

Kolejna warta zapamiętania zależność również łatwa do uzyskania w podobny sposób to:

${}_{t}p_{x}={\frac {s(x+t)}{s(x)}}\;$

Intensywność umieralności

Chcielibyśmy czasem mieć możliwość oceny prawdopodobieństwa zgonu nie w pewnym przedziale czasu ale lokalnie w danym momencie $t\;$. Prawdopodobieństwo ${}_{x}p_{x}\;$ jest równe $0\;$. Musimy więc rozważać niezerowe przedziały i dokonać przejścia granicznego czyli innymi słowy posłużyć się pojęciem pochodnej. Definiuje się więc wielkość zwaną intensywnością umieralności, oznaczaną $\mu _{x}\;$ i określoną następująco

$\mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)}{\Delta x}}.\;\;$

Prawdopodobieństwo występujące w powyższym wzorze można wyrazić za pomocą funkcji przeżycia

$Pr(x<X<x+\Delta x|X>x)={\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)}}.\;\;$

Po podstawieniu otrzymujemy

$\mu _{x}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {s(x)-s(x+\Delta x)}{s(x)\Delta x}}=-{\frac {s'(x)}{s(x)}}=-{\frac {d}{dt}}\ln s(x).\;\;$

Współczynnik umieralności można również wyrazić w terminach prawdopodobieństw ${}_{t}p_{x}\;$

$\mu _{x+t}=-{\frac {{\frac {d}{dt}}{}_{t}p_{x}}{{}_{t}p_{x}}}=-{\frac {d}{dt}}\ln {}_{t}p_{x}\;\;$

Modele analityczne

Życie ludzkie jest procesem na który wpływ ma wiele czynników. Różne czynniki mają wpływ na śmiertelność w różnym wieku. W każdej populacji rozkład zmiennej $T\;$ jest nieco inny. W XVIII i XIX w. podejmowano jednak próby opisania śmiertelności w sposób analityczny. Dziś modele te mają już raczej charakter wyłącznie historyczny, a próby analitycznego opisania rozkładu długości trwania życia spotykają się ze sceptyczną oceną demografów.

W 1724 r. Abraham de Moivre przyjął założenie, że istnieje nieprzekraczalny wiek graniczny $\omega \;$. Założył również, że dalsze trwanie życia $(x)\;$ ma rozkład jednostajny na przedziale $(0,\omega -x)\;$. Natężenie wymierania w takim modelu wyraża się wzorem

$\mu _{x+t}={\frac {1}{\omega -x-t}},\quad t\in (0,\omega -x).\;$

O hipotetycznej populacji, w której umieralność spełnia powyższe równanie mówi się, że rządzi nią prawo umieralności de Moivre

W 1824 r. Benjamin Gompertz postawił hipotezę, że wiek graniczny nie istnieje a współczynnik umieralności jest funkcją wykładniczą.

$\mu _{x+t}=Bc^{x+t},\quad B>0,c>1,t>0.\;$

W 1860 r. William Makeham uzupełnił formułę Gompertza o stały, niezależny od wieku człon $A\;$.

$\mu _{x+t}=A+Bc^{x+t},\quad B>0,c>1,t>0.\;$

Warto zauważyć, że w modelach Gompertza i Makehama gdy $c=1\;$ to współczynnik umieralności byłby stały (niezależny od wieku). Oznaczałoby to, że człowiek niezależnie od wieku ma przed sobą takie same perspektywy odnośnie długości dalszego trwania życia. Innymi słowy w takiej populacji nikt się nie starzeje, długość życia ma rozkład wykładniczy, a umieralność można wtedy porównać do procesu rozpadu promieniotwórczego.

W 1939 r. szwedzki inżynier i matematyk Ernst Hjalmar Waloddi Weibull zaproponował użycie funkcji wielomianowej w miejsce wykładniczej

$\mu _{x+t}=k(x+t)^{n},\quad k>0,n>1,t>0.\;$

Tablice długości trwania życia

Podstawowe dane demograficzne niezbędne do kalkulacji aktuarialnych gromadzone są w formie tablic długości trwania życia. Tablice takie publikowane są w Polsce przez Główny Urząd Statystyczny. Mają one formę tabeli w której osobno dla mężczyzn a osobno dla kobiet znajdują się dane zebrane w kolumnach:

$x\;$	$l_{x}\;$	$q_{x}\;$	$d_{x}\;$	$L_{x}\;$	$T_{x}\;$	${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$

• $x\;$ – wiek w latach,
• $l_{x}\;$ – średnia liczba dożywających wieku $x\;$ spośród początkowej liczby $l_{0}=100000\;$ noworodków,
• $q_{x}\;$ – jak wyjaśniono wcześniej jest to prawdopodobieństwo, że $(x)\;$ przeżyje co najwyżej kolejny rok,
• $d_{x}:=l_{x}-l_{x+1}\;$ – średnia liczba zgonów w przedziale wieku od $x\;$ do $x+1\;$
• $L_{x}\;$ – średnia ogólna liczba przeżytych lat pomiędzy wiekiem $x\;$ i $x+1\;$ z początkowej kohorty $l_{0}=100000\;$ noworodków,
• $T_{x}\;$ – średnia ogólna liczba przeżytych lat powyżej wieku $x\;$ dla początkowej kohorty $l_{0}=100000\;$ noworodków,
• ${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$ – oczekiwana dalsza długość trwania życia dla $(x)\;$.

Symbol $d_{x}\;$ jest szczególnym przypadkiem symbolu ${}_{n}d_{x}\;$ definiowanego następująco:

${}_{n}d_{x}:=l_{x}-l_{x+n}=l_{x}\cdot q_{x}.\;$

Symbol ${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$ definiuje się następująco:

${\stackrel {\circ }{e}}_{x}=E(T(x))=\int _{0}^{\infty }t\cdot g(t)dt=\int _{0}^{\infty }{}_{t}p_{x}dt.\;\;$

Dla zmiennej dyskretnej $K(x)\;$ również definiuje się analogiczny symbol:

$e_{x}=E(K(x))=\sum _{k=0}^{\infty }k{}_{k}p_{x}q_{x+k}=\sum _{k=0}^{\infty }{}_{k+1}p_{x}=\sum _{k=1}^{\infty }{}_{k}p_{x}.\;\;$

Ponadto można pokazać, że:

${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\approx e_{x}+{\frac {1}{2}}.\;\;$

${}_{t}p_{x}={\frac {l_{x+t}}{l_{x}}}\;\;$

${}_{t|k}q_{x}={\frac {l_{x+t}-l_{x+t+k}}{l_{x}}}\;$

Ubezpieczyciele do swych kalkulacji korzystają z własnych tablic, które nie są ogólnie dostępne.

Prawdopodobieństwo zgonu dla okresów ułamkowych

Dane demograficzne zebrane w tablicach długości trwania życia mają charakter dyskretny. Dostarczają informację o konkretnych wartościach jedynie dla wartości całkowitych. Gdy chcemy uzyskać dane dla konkretnego momentu pomiędzy tymi wartościami musimy dokonać interpolacji. W podrozdziale niniejszym omówimy trzy podstawowe założenia dla interpolacji stosowanej w ubezpieczeniach na życie.

Nieco bardziej formalnie i korzystając z wprowadzonych oznaczeń ujmujemy to zagadnienie następująco. Znamy rozkład zmiennej $K\;$ i na jego podstawie chcemy interpolować rozkład zmiennej $T\;$. Wprowadzamy oznaczenie $S\;$:

$S:=T-K.\;$

Jednostajny rozkład zgonów w ciągu roku (UDD)

Założenie to określane jest skrótem UDD (ang. uniform distribution of deaths). Już z samej nazwy widać, że przy założeniu tym $S\;$ ma rozkład jednostajny na przedziale jednego roku. Zakładać ponadto będziemy, że zmienne $K\;$ i $S\;$ są niezależne. Z jednostajności rozkładu zgonów w ciągu roku wynika liniowość prawdopodobieństwa ${}_{t}q_{x}\;$ względem $t\;$ w przedziale $(0,1)\;$ czyli

${}_{t}q_{x}=t\cdot {q}_{x}.\;$

Stała intensywność umieralności

Zakładamy tu, że $\mu _{x+t}\;$ ma dla każdego $t\in (0,1)\;$ wartość stałą równą $\mu _{x+{\frac {1}{2}}}=-\ln p_{x}.\;$

Przy tym założeniu zmienne $K\;$ i $S\;$ nie są niezależne.

Założenie Balducciego

Założenie to określone jest wzorem:

${}_{1-t}q_{x+t}=(1-t)\cdot {q}_{x}.\;\;$

Idea tego założenia polega na liniowej interpolacji odwrotności funkcji przeżycia:

${\frac {1}{s(x+t)}}=(1-t)\cdot {\frac {1}{s(x)}}+t\cdot {\frac {1}{s(x+1)}},\quad t\in [0,1].\;\;$

Przy tym założeniu zmienne $K\;$ i $S\;$ nie są niezależne.

Podsumowanie

funkcja	UDD	$\mu =const\;$	Balducci
${}_{t}q_{x}\;$	$tq_{x}\;$	$1-e^{-\mu t}\;$	${\frac {tq_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
${}_{t}p_{x}\;$	$1-tq_{x}\;$	$e^{-\mu t}\;$	${\frac {p_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
${}_{y}q_{x+t}\;$	${\frac {yq_{x}}{1-tq_{x}}}\;$	$1-e^{-\mu y}\;$	${\frac {yq_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
$\mu _{x+t}\;$	${\frac {q_{x}}{1-tq_{x}}}\;$	$\mu \;$	${\frac {q_{x}}{1-(1-t)q_{x}}}\;$
${}_{t}p_{x}\mu _{x+t}\;$	$q_{x}\;$	$e^{-\mu t}\mu \;$	${\frac {p_{x}q_{x}}{({1-(1-t)q_{x}})^{2}}}\;$
${\stackrel {\circ }{e}}_{x}\;$	$e_{x}+{\frac {1}{2}}\;$
$Var(T)\;$	$Var(K)+{\frac {1}{12}}\;$

Tablice specjalne

Tablice długości trwania życia są skonstruowane dla poszczególnych grup zróżnicowanych według różnych czynników. Najważniejszym czynnikiem branym pod uwagę przy zawarciu ubezpieczenia jest wiek początkowy $x\;$. Ubezpieczenia jednak są oferowane często osobom cieszącym się dobrym zdrowiem. Często również przed przystąpieniem do ubezpieczenia wykonywane są badania medyczne. Sytuacja takiej osoby nie jest więc identyczna z sytuacją $x\;$-latka, który wykupił ubezpieczenie kilka lat temu nawet jeśli inne czynniki są identyczne. Aby wziąć to pod uwagę konstruuje się tablice specjalne (selektywne, ang. select life tables). W tablicach takich prawdopodobieństwa śmierci są różne w zależności od wieku przystąpienia do ubezpieczenia. Wprowadza się zatem oznaczenie $q_{[x]+t}\;$ jako prawdopodobieństwo, że osoba $(x+t)\;$, która przystąpiła do ubezpieczenia w wieku $x\;$ umrze w ciągu najbliższego roku. Zachodzi przy tym nierówność

$q_{[x]}<q_{[x]+1}<q_{[x]+2}<\ldots \;$

Po kilku latach (powiedzmy $r\;$) wiek w chwili przystąpienia przestaje mieć tak duże znaczenie i można używać zwykłych tablic. Zachodzi więc

$q_{[x]+k}=q_{x+k}\quad {\text{dla}}\quad k\geqslant r.\;$

Podstawowe ubezpieczenia życiowe

Podobnie jak w przypadku teorii oprocentowania, rozpoczniemy od najprostszych ubezpieczeń w których kwota świadczenia jest równa $1$. Znamy kwotę jaką otrzymamy. Tym więc o co będziemy pytać będzie wartość obecna tego świadczenia. Będziemy więc zastanawiać się nad tym ile trzeba zapłacić jednorazowo (bez uwzględnienia kosztów ubezpieczyciela) by uzyskać dane ubezpieczenie. Kwotę taką będziemy nazywać jednorazową składką netto (NSP – Net Single Premium) Wartość obecna netto ubezpieczeń na życie jest oznaczana literą $A$ z odpowiednimi indeksami określającymi typ ubezpieczenia.

Oznaczmy przez $Z$ wartość obecną wartością obecną netto (NPV – Net Present Value) świadczenia wypłacanego z tytułu danej polisy. Ustalając wartość obecną netto ubezpieczenia nie możemy posłużyć się wzorami deterministycznymi ponieważ są one uzależnione od czynnika losowego. By dokonać wyceny netto ubezpieczenia musimy posłużyć się wartością oczekiwaną zmiennej losowej $Z$. Postępowanie takie jest uzasadnione wnioskami płynącymi z prawa wielkich liczb. Suma wielu realizacji zmiennej losowej $Z$ będzie wraz ze wzrostem ich liczby $n$ dążyć do $n\cdot E(Z)$ a zatem kwota potrzebna na wypłatę świadczeń dużej liczbie ubezpieczonych będzie w przybliżeniu równa wartości oczekiwanej takiej wypłaty przemnożonej przez liczbę wystawionych polis.

Ubezpieczenia na życie według momentu wypłaty świadczenia dzieli się na:

• płatne na koniec roku śmierci
• płatne w chwili śmierci
• płatne na koniec podokresu roku śmierci (miesiąc, kwartał)

Ze względu na okres odpowiedzialności ubezpieczeniowej, ubezpieczenia można podzielić na:

• ubezpieczenia na życie, bezterminowe
• ubezpieczenia na życie, terminowe
• ubezpieczenia na dożycie
• ubezpieczenia na życie i dożycie
• odroczone ubezpieczenia na życie, bezterminowe
• odroczone ubezpieczenia na życie, terminowe

Oprócz ubezpieczeń na kwotę jednostkową rozważa się jeszcze ubezpieczenia:

• rosnące (kwota świadczenia wzrasta o 1 co roku)
• malejące (kwota świadczenia maleje o 1 co roku)

przy czym zmiana wysokości świadczenia może następować w sposób ciągły lub skokowy w okresach rocznych lub podokresach.

Powyższy rysunek ilustruje sposób odczytywania symboli aktuarialnych.

Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci

Ozn.	$E(Z)\;$	$Var(Z)=E(Z^{2})-E^{2}(Z)\;$	$Z\;$
$A_{x}\;$	$\sum \limits _{k=0}^{\infty }v^{k+1}{}_{k}p_{x}\,q_{x+k}\;$	${}^{2}A_{x}-A_{x}^{2}\;$	$v^{k+1}\quad {\text{dla }}k=0,1,\ldots \;$
$A_{x:{\overline {n}}|}^{1}\;$	$\sum \limits _{k=0}^{n-1}v^{k+1}{}_{k}p_{x}\,q_{x+k}\;$	${}^{2}A_{x:{\overline {n}}|}^{1}-\left(A_{x:{\overline {n}}|}^{1}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}v^{k+1}&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,n-1\\0&{\text{dla }}k=n,n+1,n+2,\ldots \end{cases}}\;$
$A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\;$	$v^{n}{}_{n}p_{x}\;$	${}^{2}A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}-\left(A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}0&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,n-1\\v^{n}&{\text{dla }}k=n,n+1,n+2,\ldots \end{cases}}\;$
$A_{x:{\overline {n}}|}\;$	$A_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\;$	${}^{2}A_{x:{\overline {n}}|}-\left(A_{x:{\overline {n}}|}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}v^{k+1}&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,n-1\\v^{n}&{\text{dla }}k=n,n+1,n+2,\ldots \end{cases}}\;$
${}_{m|n}A_{x}\;$	$A_{x:{\overline {n}}|}^{1}-A_{x:{\overline {m}}|}^{1}\;$	${}_{m|n}^{\;\;\;2}A_{x}-\left({}_{m|n}A_{x}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}0&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,m-1\\v^{k+1}&{\text{dla }}k=m,m+1,m+2,\ldots ,m+n-1\\0&{\text{dla }}k=m+n,m+n+1,\ldots \end{cases}}\;$
${}_{m|}A_{x}\;$	$A_{x}-A_{x:{\overline {m}}|}^{1}\;$	${}_{m|}^{\;\;\;2}A_{x}-\left({}_{m|}A_{x}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}0&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,m-1\\v^{k+1}&{\text{dla }}k=m,m+1,m+2,\ldots \\\end{cases}}\;$
$(IA)_{x:{\overline {n}}|}^{1}\;$	$\sum \limits _{k=0}^{n-1}(k+1)v^{k+1}{}_{k}p_{x}\,q_{x+k}\;$		${\begin{cases}(k+1)v^{k+1}&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,n-1\\0&{\text{dla }}k=n,n+1,n+2,\ldots \end{cases}}\;$
$(DA)_{x:{\overline {n}}|}^{1}\;$	$\sum \limits _{k=0}^{n-1}(n-k)v^{k+1}{}_{k}p_{x}\,q_{x+k}\;$		${\begin{cases}(n-k)v^{K+1}&{\text{dla }}k=0,1,\ldots ,n-1\\0&{\text{dla }}k=n,n+1,n+2,\ldots \end{cases}}\;$
$(IA)_{x}\;$	$\sum \limits _{k=0}^{\infty }(k+1)v^{k+1}{}_{k}p_{x}\,q_{x+k}\;$		$(k+1)v^{k+1}\quad {\text{dla }}k=0,1,\ldots \;$

Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci

Ozn.	$E(Z)\;$	$Var(Z)=E(Z^{2})-E^{2}(Z)\;$	$Z\;$
${\bar {A}}_{x}\;$	$\int \limits _{0}^{\infty }v^{t}{}_{t}p_{x}\mu _{x+t}dt\;$	${}^{2}{\bar {A}}_{x}-{\bar {A}}_{x}^{2}\;$	$v^{t}\quad {\text{dla }}t\in (0,+\infty )\;$
${\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}\;$	$\int \limits _{0}^{n}v^{t}{}_{t}p_{x}\mu _{x+t}dt\;$	${}^{2}{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}-\left({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}v^{t}&{\text{dla }}t\in (0,n]\\0&{\text{dla }}t\in (n,+\infty )\end{cases}}\;$
$A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\;$	$v^{n}{}_{n}p_{x}\;$	${}^{2}A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}-\left(A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}0&{\text{dla }}t\in (0,n]\\v^{n}&{\text{dla }}t\in (n,+\infty )\end{cases}}\;$
${\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}\;$	${\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\;$	${}^{2}{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}-\left({\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}v^{t}&{\text{dla }}t\in (0,n]\\v^{n}&{\text{dla }}t\in (n,+\infty )\end{cases}}\;$
${}_{m|n}{\bar {A}}_{x}\;$		${}_{m|n}^{\;\;\;2}A_{x}-\left({}_{m|n}A_{x}\right)^{2}\;$	${\begin{cases}0&{\text{dla }}t\in (0,n]\\v^{n}&{\text{dla }}t\in (n,n+m]\\0&{\text{dla }}t\in (m+n,+\infty )\end{cases}}\;$
$({\bar {I}}{\bar {A}})_{x:{\overline {n}}|}^{1}\;$	$\int \limits _{0}^{n}tv^{t}{}_{t}\,p_{x}\mu _{x+t}dt\;$		${\begin{cases}[t+1]v^{t}&{\text{dla }}t\in (0,n]\\0&{\text{dla }}t\in (n,+\infty )\end{cases}}\;$
$({\bar {D}}{\bar {A}})_{x:{\overline {n}}|}^{1}\;$	$\int \limits _{0}^{n}(n-t)v^{t}{}_{t}\,p_{x}\mu _{x+t}dt\;$		${\begin{cases}(n-[t])v^{t}&{\text{dla }}t\in (0,n]\\0&{\text{dla }}t\in (n,+\infty )\end{cases}}\;$
$({\bar {I}}{\bar {A}})_{x}\;$	$\int \limits _{0}^{\infty }tv^{t}{}_{t}\,p_{x}\mu _{x+t}dt\;$		$tv^{t}\quad {\text{dla }}t>0\;$

Zależności

Wzorów zaprezentowanych poniżej nie będziemy dowodzić. Ograniczymy się jedynie do krótkich interpretacji ułatwiających zapamiętanie.

$A_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}=A_{x:{\overline {n}}|}$

Interpretacja: Ubezpieczenie na życie i dożycie jest sumą ubezpieczenia na życie i ubezpieczenia na dożycie.

$A_{x}=vq_{x}+vp_{x}\cdot A_{x+1}$

Interpretacja: Ubezpieczony $(x)$ może umrzeć w ciągu najbliższego roku (z prawdopodobieństwem $q_{x}$) i otrzymać świadczenie w wysokości $1$, lub przeżyć najbliższy rok (z prawdopodobieństwem $p_{x}$) i być ubezpieczonym $x+1$-latkiem z ubezpieczeniem o wartości $A_{x+1}$. Będzie to za rok więc dyskontujemy czynnikiem dyskontującym $v$.

$A_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}\cdot A_{x+n}=A_{x}$

Interpretacja: Jest to uogólnienie zależności opisanej powyżej. (Pamiętajmy, że $A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}=v^{n}{}_{n}p_{x}$ jest czynnikiem dyskontującym w sensie aktuarialnym tj. z uwzględnieniem prawdopodobieństwa przeżycia.)

$(IA)_{x}=A_{x}+vp_{x}\cdot (IA)_{x+1}$

Interpretacja: Ubezpieczenie o rosnącej kwocie świadczenia zawiera w sobie zwykłe ubezpieczenie na życie. Ponadto po roku dodatkowo pojawia się ubezpieczenie z kwotą rosnącą startującą od jedynki.

$(IA)_{x:{\overline {n}}|}^{1}+(DA)_{x:{\overline {n}}|}^{1}=(n+1)\cdot A_{x:{\overline {n}}|}^{1}$

Interpretacja: Sumy kwot wypłat z tytułu ubezpieczenia z świadczeniem malejącym i rosnącym są w każdym roku jednakowe i równe $n+1$.

Przy założeniu UDD prawdziwe są zależności:

${\bar {A}}_{x}={\frac {i}{\delta }}A_{x},\;$

${\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}={\frac {i}{\delta }}A_{x:{\overline {n}}|}^{1}.\;$

Dla ubezpieczeń na życie i dożycie analogiczna zależność nie zachodzi

${\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}={\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}={\frac {i}{\delta }}A_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}^{\;\;\;1}=\left({\frac {i}{\delta }}-1\right)A_{x:{\overline {n}}|}^{1}+A_{x:{\overline {n}}|}.\;$

Funkcje komutacyjne dla podstawowych ubezpieczeń

W dzisiejszych czasach przechowywanie dużej ilości danych i wykonywanie na nich obliczeń nie stanowi kłopotu za sprawą komputerów. Dawniej jednak istotne znaczenie miało aby dane niezbędne do skalkulowania składki dały się wydrukować na sensownej liczbie stron a sama kalkulacja nie nastręczała zbyt dużych trudności rachunkowych. Nie można więc było tworzyć tablicy zawierającej dane dla każdego wieku i każdego okresu ubezpieczenia. Wymyślono więc funkcje komutacyjne. Mają one obecnie znaczenie jedynie w dydaktyce matematyki ubezpieczeniowej.

Przyjmuje się następujące oznaczenia

${\begin{aligned}D_{x}&:=v^{x}l_{x}\\C_{x}&:=v^{x+1}d_{x}\\M_{x}&:=\sum _{k=0}^{\infty }C_{x+k}\\R_{x}&:=\sum _{k=0}^{\infty }M_{x+k}=\sum _{k=0}^{\infty }(k+1)C_{x+k}\end{aligned}}$

Wtedy wartości aktuarialne poszczególnych ubezpieczeń oblicza się następująco

${\begin{aligned}A_{x}&:={\frac {M_{x}}{D_{x}}}\\A_{x:{\overline {n}}|}^{1}&:={\frac {M_{x}-M_{x+n}}{D_{x}}}\\A_{x:{\overline {n}}|}^{\,\,\,1}&:={\frac {D_{x+n}}{D_{x}}}\\A_{x:{\overline {n}}|}&:={\frac {M_{x}-M_{x+n}+D_{x+n}}{D_{x}}}\end{aligned}}$

Renty życiowe (Life annuities)

Renty są ciągami płatności. W matematyce ubezpieczeniowej również i one są uzależnione długością trwania życia. Za pomocą rent opisywać będziemy przepływy finansowe zarówno od ubezpieczonego do ubezpieczyciela (jak to ma miejsce w przypadku składek) jak i od ubezpieczyciela do ubezpieczonego (jak to ma miejsce w przypadku świadczeń emerytalnych).

Podobnie jak w przypadku wartości obecnej ubezpieczeń mamy tu do czynienia z podziałem rent wg różnych czynników.

Wg długości trwania renty dzielimy na:

• terminowe,
• bezterminowe,
• terminowe odroczone,
• bezterminowe odroczone.

Wg czasu dokonywania płatności renty dzielimy na płatne:

• na początku roku lub jego podokresu okresu,
• na koniec roku lub jego podokresu okresu,
• w sposób ciągły.

Renty dyskretne

symbol	wartość	relacja	nazwa
${\ddot {a}}_{x}\,$	$\sum _{k=0}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$	$1=d{\ddot {a}}_{x}+A_{x}\,$	bezterminowa, płatna na początku każdego roku
$a_{x}\,$	$\sum _{k=1}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		bezterminowa, płatna na końcu każdego roku
${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}\,$	$\sum _{k=0}^{n-1}v^{k}{}_{k}p_{x}\,$	$1=d{\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}+A_{x:{\overline {n}}|}\,$	$n$-letnia, płatna na początku każdego roku
$a_{x:{\overline {n}}|}\,$	$\sum _{k=1}^{n}v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		$n$-letnia, płatna na końcu każdego roku
${}_{n|}{\ddot {a}}_{x}\,$	$\sum _{k=n}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		bezterminowa, płatna na początku każdego roku, odroczona o $n$ lat
${}_{n|}a_{x}\,$	$\sum _{k=n+1}^{\infty }v^{k}{}_{k}p_{x}\,$		bezterminowa, płatna na końcu każdego roku, odroczona o $n$ lat

W powyższej tabeli prócz wzorów definicyjnych podano również relacje jakie zachodzą pomiędzy rentami a wartościami obecnymi ubezpieczeń na życie. Sens tych relacji można wyjaśnić na następującym przykładzie:

$1=d{\ddot {a}}_{x}+A_{x}.$

Interpretacja tego wzoru może być następująca. Zaciągnięto dług na kwotę $1$. Dłużnik spłaca same odsetki na początku każdego roku (w wysokości $d$). Ponieważ dłużnik może umrzeć przed uregulowaniem długu, wykupił ubezpieczenie gwarantujące uregulowanie pozostałej do spłaty należności. Następuje to na koniec roku śmierci ubezpieczonego.

Renty ciągłe

symbol	wartość	relacja
${\bar {a}}_{x}\,$	$\int _{0}^{\infty }v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$	$1=\delta {\bar {a}}_{x}+{\bar {A}}_{x}\,$
${\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}\,$	$\int _{0}^{n}v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$	$1=\delta {\bar {a}}_{x:{\overline {n}}|}+{\bar {A}}_{x:{\overline {n}}|}\,$
${}_{n|}{\bar {a}}_{x}\,$	$\int _{n}^{\infty }v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$
${}_{m|n}{\bar {a}}_{x}\,$	$\int _{m}^{m+n}\!\!v^{t}{}_{t}p_{x}dt\,$

Renty płatne częściej niż raz w roku

${\ddot {a}}_{x}^{(m)}=\alpha (m){\ddot {a}}_{x}-\beta (m),$

gdzie

$\alpha (m)={\frac {i\cdot d}{i^{(m)}\cdot d^{(m)}}},\qquad \beta (m)={\frac {i-i^{(m)}}{i^{(m)}\cdot d^{(m)}}}.$

W większości wypadków (dla niewielkiego $\delta$) można się posłużyć praktycznym przybliżeniem wynikającym z rozwinięcia powyższych wzorów w szereg Taylora:

$\alpha (m)=1,\qquad \beta (m)={\frac {m-1}{2m}}.$

Funkcje komutacyjne dla rent

${\ddot {a}}_{x}={\frac {N_{x}}{D_{x}}}$

${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}={\frac {N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}}$

gdzie

$D_{x}=v^{x}l_{x}$
$N_{x}=\sum _{k=0}^{\infty }D_{x+k}$

Składki netto (Net premiums)

Umowa ubezpieczeniowa jest umową dwustronną pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym. Określa ona jakie obowiązki z jakich wywiązać musi się każda ze stron. Z jednej więc strony określone są świadczenia wypłacane przez ubezpieczyciela, a z drugiej składki czyli płatności jakie odprowadza ubezpieczycielowi ubezpieczony. Zarówno świadczenia jak i składki mogą mieć charakter jednorazowych płatności lub ich ciągu o stałej lub zmiennej wartości. W sytuacji kalkulacji netto świadczenia i składki są sobie w sensie aktuarialnym równoważne. Oznacza to, że wartości oczekiwane przepływów finansowych będą równe.

Wprowadzimy teraz pojęcie straty ubezpieczyciela. Wielkość tą jest zmienną losową oznaczaną literą $L$ (ang. total loss) i będącą różnicą między wypłaconymi świadczeniami i zebranymi składkami dla danego ubezpieczonego. Składki będą ustalone na poziomie netto jeśli spełniona będzie równość

$E(L)=0.\;$

Literą używaną do oznaczania składek netto jest litera $P$ od angielskiego net premium.

Przykład

Obliczenie składki netto zobrazujemy na przykładzie bezterminowej polisy na życie, z wypłatą świadczenia na koniec roku zgonu. Przyjmijmy, że opłacane ono będzie stałą składką $P_{x}$ na początku każdego roku. Wtedy stratę ubezpieczyciela można wyrazić za pomocą całkowitej liczby $K$ pozostałych lat życia jako różnicę zdyskontowanej wypłaty świadczenia oraz wartości obecnej renty przemnożonej przez wartość składki

$L=v^{K+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1\,}}|}.\;$

Wiemy, że musi zachodzić $E(L)=0$ zatem

${\begin{aligned}E(L)&=0\\E(v^{K+1}-P_{x}{\ddot {a}}_{{\overline {K+1\,}}|})&=0\\E(v^{K+1})-P_{x}E({\ddot {a}}_{{\overline {K+1\,}}|})&=0\\A_{x}-P_{x}{\ddot {a}}_{x}&=0\\P_{x}&={\frac {A_{x}}{{\ddot {a}}_{x}}}.\\\end{aligned}}\;$

Przykład

Obliczmy składkę dla produktu ubezpieczeniowego wystawianego dla osoby płci męskiej w wieku 24 lat, opłacanego równymi składkami na początku roku do wieku 65 lat, w którym świadczenie jest dożywotnią rentą wypłacaną od 65 roku życia. Przyjmijmy techniczną stopę oprocentowania $i=5\%$. Do kalkulacji należy posłużyć się tablicami trwania życia publikowanymi corocznie przez GUS w Monitorze Polskim. Jak zmieni się składka gdy wiek końca okresu składkowego i początku otrzymywania świadczeń zmieni się z 65 na 67 lat.

Rozwiązanie:

$v={\frac {1}{1+i}}={\frac {1}{1{,}05}}\approx 0{,}952$

$x=24\quad n=65-24=41$

Potrzebować będziemy następujących wartości:

• ${}_{41|}{\ddot {a}}_{24}$ wartość obecna renty bezterminowej odroczonej na 41 lat dla 24 latka, płatnej na początku każdego roku
• ${\ddot {a}}_{24:{\overline {41|}}}$ wartość obecna renty terminowej 41-letniej płatnej na początku każdego roku

Skorzystamy tu z własności

${}_{m|}{\ddot {a}}_{x}={}_{m}p_{x}v^{m}{\ddot {a}}_{x+m}$

${}_{m}p_{x}={\frac {l_{x+m}}{l_{x}}}={\frac {l_{65}}{l_{24}}}={\frac {72021}{98490}}\approx 0{,}731$

Wartości poszczególnych rent możemy obliczyć za pomocą funkcji komutacyjnych

${\ddot {a}}_{x}={\frac {N_{x}}{D_{x}}}$
${\ddot {a}}_{x:{\overline {n}}|}={\frac {N_{x}-N_{x+n}}{D_{x}}}$

gdzie

$D_{x}=v^{x}l_{x}$
$N_{x}=\sum _{k=0}^{\infty }D_{x+k}$

W praktyce z konieczności sumowanie w powyższym wzorze odbywa się nie do nieskończoności tylko do maksymalnego wieku objętego tabelą.

Rezerwy składek netto (Net premium reserves)

Jak dotąd opisaliśmy za pomocą aparatu matematycznego zawarcie ubezpieczenia, napływanie składek i wypłacanie świadczeń. Wydawać by się mogło, że można na tym poprzestać. W tym rozdziale przekonamy się, że tak nie jest. Ubezpieczyciel powinien w każdym momencie znać wartość rezerw składek netto czyli kwoty jaką dysponuje na pokrycie nieuchronnie zbliżających się świadczeń jakie będzie musiał wypłacić z tytułu jego ubezpieczenia. Wiedza ta potrzebna jest nie tylko po to by zapanować nad zarządzanym kapitałem. Jest ona niezbędna w sytuacji konwersji polisy czyli zmiany jej warunków z uwzględnieniem dotychczas wniesionych składek. Przykładowo w sytuacji gdy ubezpieczony przez wiele lat regularnie wnosił składki, a w pewnym momencie nie jest już w stanie tego robić, to często taka polisa przekształcana jest w polisę bezskładkową o odpowiednio niższej kwocie świadczenia.

Dodatkowo jak się przekonamy rezerwy netto to nie tylko suma składek wniesionych przez ubezpieczonego. Produkty oferowane przez ubezpieczycieli zawierają w sobie zawsze element ryzyka. Jest ono związane m.in. z możliwością zgonu poza okresem objętym ubezpieczeniem, długością trwania wypłaty świadczenia w postaci renty lub długością trwania okresu opłacania składek. Istotnym czynnikiem kształtujących wysokość rezerwy jest właśnie to ryzyko.

Definicja i podstawowe wzory

W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie straty ubezpieczyciela $L$. Tu uogólnimy nieco to pojęcie wprowadzając pojęcie straty ${}_{k}L$ ubezpieczyciela po $k$ latach od wystawienia polisy. Tę zmienną losową definiuje się tak samo jak zwykłą stratę (czyli stratę w chwili zawarcia ubezpieczenia) z tą tylko różnicą, że przyjmuje się warunek, że ubezpieczony przeżyje $k$ lat od chwili zawarcia ubezpieczenia.

Rezerwą nazywać będziemy wartość oczekiwaną tej straty.

${}_{k}V_{x}:=E({}_{k}L).\;$

Ponieważ ${}_{0}L=L$ więc zachodzi oczywiście ${}_{0}V_{x}=E(L)=0.$

Przykład

${}_{k}V_{x:{\overline {n}}|}=A_{x+k:{\overline {n-k}}|}-P_{x:{\overline {n}}|}{\ddot {a}}_{x+k:{\overline {n-k}}|},\quad {\text{dla}}\quad k=0,1,\ldots ,n-1\;$

Wzory

Poniżej przedstawiamy podstawowe wzory służące do kalkulacji rezerw:

${}_{k}V_{x}=A_{x+k}-P_{x}{\ddot {a}}_{x+k};$

${}_{k}V_{x}=1-(P_{x}+d){\ddot {a}}_{x+k}\;$

${}_{k}V_{x}={\Big (}1-{\frac {P_{x}}{P_{x+k}}}{\Big )}A_{x+k}\;$

${}_{k}V_{x}=(P_{x+k}-P_{x}){\ddot {a}}_{x+k}\;$

${}_{k}V_{x}={\frac {P_{x+k}-P_{x}}{P_{x+k}+d}}\;$

${}_{k}V_{x}={\frac {A_{x+k}-A_{x}}{1-A_{x}}}\;$

${}_{k}V_{x}=1-{\frac {{\ddot {a}}_{x+k}}{{\ddot {a}}_{x}}}\;$

Składki i rezerwy brutto

Matematyka ubezpieczeń życiowych/Składki i rezerwy brutto

Wielorakie szkodowości (Multiple decrements)

Inwalidztwo, utrata możliwości zarobkowania, choroba wymagająca długotrwałego kosztownego leczenia a także inne porównywalne zdarzenia losowe mogą być czasem podobnie dotkliwe dla rodziny ubezpieczonego jak jego śmierć. Zakłady ubezpieczeń na życie oferują obecnie ubezpieczenia uwzględniające również i takie zdarzenia losowe. Aby móc zajmować się takimi ubezpieczeniami niezbędny jest matematyczny model uwzględniający wystąpienie jednego z kilku zdarzeń będących podstawą wypłaty świadczenia w odpowiedniej dla danej szkody wysokości. Jest to model szkodowości wielorakiej (ang. multiple decrement model).

Ubezpieczenia grupowe

Matematyka ubezpieczeń życiowych/Ubezpieczenia grupowe

Fundusze emerytalne

Matematyka ubezpieczeń życiowych/Fundusze emerytalne

Literatura

Literatura

1. Bowers N.L.J., Gerber H.U., Hickman J.C., Jones D.A., Nesbit C.J.: Actuarial Mathematics. Itasca: The Society of Actuaries, 1986. ISBN 0-938959-10-7.
2. Gerber H.U: Life Insurance Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1995. ISBN 0-387-52944-6.
3. Skałba M.: Ubezpieczenia na życie, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999. ISBN 83-204-2460-7.

WWW

Powiązane tematycznie hasła Wikipedii

• Matematyka ubezpieczeniowa
• Aktuariusz
• Intensywność umieralności
• Prawo umieralności de Moivre'a
• Prawo umieralności Makehama-Gompertza
• Prawo umieralności Weibulla
• Oczekiwana dalsza długość trwania życia

Egzaminy aktuarialne w sieci

• http://www.wne.uw.edu.pl/old/edukacja_aktuarialna/egz_aktu/
• http://www.knf.gov.pl/dla_rynku/egzaminy/Aktuariusze_egzaminy/Egzaminy_aktuarialne/index.html
• http://forum.actuary.pl/viewforum.php?f=8
• http://www.aktuariusze.net.pl

Strony różne

• Tablice trwania życia
• [1][2] – Rozporządzenie Ministra Finansów z dnia 20 listopada 2003 r. w sprawie zakresu obowiązujących tematów egzaminów aktuarialnych oraz trybu przeprowadzania tych egzaminów (Dz. U. z dnia 12 grudnia 2003 r.)
• [3] – artykuł na temat notacji aktuarialnej

Licencja

Version 1.2, November 2002

Copyright (C) 2000,2001,2002  Free Software Foundation, Inc.
51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA  02110-1301  USA
Everyone is permitted to copy and distribute verbatim copies
of this license document, but changing it is not allowed.

0. PREAMBLE

The purpose of this License is to make a manual, textbook, or other functional and useful document "free" in the sense of freedom: to assure everyone the effective freedom to copy and redistribute it, with or without modifying it, either commercially or noncommercially. Secondarily, this License preserves for the author and publisher a way to get credit for their work, while not being considered responsible for modifications made by others.

This License is a kind of "copyleft", which means that derivative works of the document must themselves be free in the same sense. It complements the GNU General Public License, which is a copyleft license designed for free software.

We have designed this License in order to use it for manuals for free software, because free software needs free documentation: a free program should come with manuals providing the same freedoms that the software does. But this License is not limited to software manuals; it can be used for any textual work, regardless of subject matter or whether it is published as a printed book. We recommend this License principally for works whose purpose is instruction or reference.

1. APPLICABILITY AND DEFINITIONS

This License applies to any manual or other work, in any medium, that contains a notice placed by the copyright holder saying it can be distributed under the terms of this License. Such a notice grants a world-wide, royalty-free license, unlimited in duration, to use that work under the conditions stated herein. The "Document", below, refers to any such manual or work. Any member of the public is a licensee, and is addressed as "you". You accept the license if you copy, modify or distribute the work in a way requiring permission under copyright law.

A "Modified Version" of the Document means any work containing the Document or a portion of it, either copied verbatim, or with modifications and/or translated into another language.

A "Secondary Section" is a named appendix or a front-matter section of the Document that deals exclusively with the relationship of the publishers or authors of the Document to the Document's overall subject (or to related matters) and contains nothing that could fall directly within that overall subject. (Thus, if the Document is in part a textbook of mathematics, a Secondary Section may not explain any mathematics.) The relationship could be a matter of historical connection with the subject or with related matters, or of legal, commercial, philosophical, ethical or political position regarding them.

The "Invariant Sections" are certain Secondary Sections whose titles are designated, as being those of Invariant Sections, in the notice that says that the Document is released under this License. If a section does not fit the above definition of Secondary then it is not allowed to be designated as Invariant. The Document may contain zero Invariant Sections. If the Document does not identify any Invariant Sections then there are none.

The "Cover Texts" are certain short passages of text that are listed, as Front-Cover Texts or Back-Cover Texts, in the notice that says that the Document is released under this License. A Front-Cover Text may be at most 5 words, and a Back-Cover Text may be at most 25 words.

A "Transparent" copy of the Document means a machine-readable copy, represented in a format whose specification is available to the general public, that is suitable for revising the document straightforwardly with generic text editors or (for images composed of pixels) generic paint programs or (for drawings) some widely available drawing editor, and that is suitable for input to text formatters or for automatic translation to a variety of formats suitable for input to text formatters. A copy made in an otherwise Transparent file format whose markup, or absence of markup, has been arranged to thwart or discourage subsequent modification by readers is not Transparent. An image format is not Transparent if used for any substantial amount of text. A copy that is not "Transparent" is called "Opaque".

Examples of suitable formats for Transparent copies include plain ASCII without markup, Texinfo input format, LaTeX input format, SGML or XML using a publicly available DTD, and standard-conforming simple HTML, PostScript or PDF designed for human modification. Examples of transparent image formats include PNG, XCF and JPG. Opaque formats include proprietary formats that can be read and edited only by proprietary word processors, SGML or XML for which the DTD and/or processing tools are not generally available, and the machine-generated HTML, PostScript or PDF produced by some word processors for output purposes only.

The "Title Page" means, for a printed book, the title page itself, plus such following pages as are needed to hold, legibly, the material this License requires to appear in the title page. For works in formats which do not have any title page as such, "Title Page" means the text near the most prominent appearance of the work's title, preceding the beginning of the body of the text.

A section "Entitled XYZ" means a named subunit of the Document whose title either is precisely XYZ or contains XYZ in parentheses following text that translates XYZ in another language. (Here XYZ stands for a specific section name mentioned below, such as "Acknowledgements", "Dedications", "Endorsements", or "History".) To "Preserve the Title" of such a section when you modify the Document means that it remains a section "Entitled XYZ" according to this definition.

The Document may include Warranty Disclaimers next to the notice which states that this License applies to the Document. These Warranty Disclaimers are considered to be included by reference in this License, but only as regards disclaiming warranties: any other implication that these Warranty Disclaimers may have is void and has no effect on the meaning of this License.

2. VERBATIM COPYING

You may copy and distribute the Document in any medium, either commercially or noncommercially, provided that this License, the copyright notices, and the license notice saying this License applies to the Document are reproduced in all copies, and that you add no other conditions whatsoever to those of this License. You may not use technical measures to obstruct or control the reading or further copying of the copies you make or distribute. However, you may accept compensation in exchange for copies. If you distribute a large enough number of copies you must also follow the conditions in section 3.

You may also lend copies, under the same conditions stated above, and you may publicly display copies.

3. COPYING IN QUANTITY

If you publish printed copies (or copies in media that commonly have printed covers) of the Document, numbering more than 100, and the Document's license notice requires Cover Texts, you must enclose the copies in covers that carry, clearly and legibly, all these Cover Texts: Front-Cover Texts on the front cover, and Back-Cover Texts on the back cover. Both covers must also clearly and legibly identify you as the publisher of these copies. The front cover must present the full title with all words of the title equally prominent and visible. You may add other material on the covers in addition. Copying with changes limited to the covers, as long as they preserve the title of the Document and satisfy these conditions, can be treated as verbatim copying in other respects.

If the required texts for either cover are too voluminous to fit legibly, you should put the first ones listed (as many as fit reasonably) on the actual cover, and continue the rest onto adjacent pages.

If you publish or distribute Opaque copies of the Document numbering more than 100, you must either include a machine-readable Transparent copy along with each Opaque copy, or state in or with each Opaque copy a computer-network location from which the general network-using public has access to download using public-standard network protocols a complete Transparent copy of the Document, free of added material. If you use the latter option, you must take reasonably prudent steps, when you begin distribution of Opaque copies in quantity, to ensure that this Transparent copy will remain thus accessible at the stated location until at least one year after the last time you distribute an Opaque copy (directly or through your agents or retailers) of that edition to the public.

It is requested, but not required, that you contact the authors of the Document well before redistributing any large number of copies, to give them a chance to provide you with an updated version of the Document.

4. MODIFICATIONS

You may copy and distribute a Modified Version of the Document under the conditions of sections 2 and 3 above, provided that you release the Modified Version under precisely this License, with the Modified Version filling the role of the Document, thus licensing distribution and modification of the Modified Version to whoever possesses a copy of it. In addition, you must do these things in the Modified Version:

• A. Use in the Title Page (and on the covers, if any) a title distinct from that of the Document, and from those of previous versions (which should, if there were any, be listed in the History section of the Document). You may use the same title as a previous version if the original publisher of that version gives permission.
• B. List on the Title Page, as authors, one or more persons or entities responsible for authorship of the modifications in the Modified Version, together with at least five of the principal authors of the Document (all of its principal authors, if it has fewer than five), unless they release you from this requirement.
• C. State on the Title page the name of the publisher of the Modified Version, as the publisher.
• D. Preserve all the copyright notices of the Document.
• E. Add an appropriate copyright notice for your modifications adjacent to the other copyright notices.
• F. Include, immediately after the copyright notices, a license notice giving the public permission to use the Modified Version under the terms of this License, in the form shown in the Addendum below.
• G. Preserve in that license notice the full lists of Invariant Sections and required Cover Texts given in the Document's license notice.
• H. Include an unaltered copy of this License.
• I. Preserve the section Entitled "History", Preserve its Title, and add to it an item stating at least the title, year, new authors, and publisher of the Modified Version as given on the Title Page. If there is no section Entitled "History" in the Document, create one stating the title, year, authors, and publisher of the Document as given on its Title Page, then add an item describing the Modified Version as stated in the previous sentence.
• J. Preserve the network location, if any, given in the Document for public access to a Transparent copy of the Document, and likewise the network locations given in the Document for previous versions it was based on. These may be placed in the "History" section. You may omit a network location for a work that was published at least four years before the Document itself, or if the original publisher of the version it refers to gives permission.
• K. For any section Entitled "Acknowledgements" or "Dedications", Preserve the Title of the section, and preserve in the section all the substance and tone of each of the contributor acknowledgements and/or dedications given therein.
• L. Preserve all the Invariant Sections of the Document, unaltered in their text and in their titles. Section numbers or the equivalent are not considered part of the section titles.
• M. Delete any section Entitled "Endorsements". Such a section may not be included in the Modified Version.
• N. Do not retitle any existing section to be Entitled "Endorsements" or to conflict in title with any Invariant Section.
• O. Preserve any Warranty Disclaimers.

If the Modified Version includes new front-matter sections or appendices that qualify as Secondary Sections and contain no material copied from the Document, you may at your option designate some or all of these sections as invariant. To do this, add their titles to the list of Invariant Sections in the Modified Version's license notice. These titles must be distinct from any other section titles.

You may add a section Entitled "Endorsements", provided it contains nothing but endorsements of your Modified Version by various parties--for example, statements of peer review or that the text has been approved by an organization as the authoritative definition of a standard.

You may add a passage of up to five words as a Front-Cover Text, and a passage of up to 25 words as a Back-Cover Text, to the end of the list of Cover Texts in the Modified Version. Only one passage of Front-Cover Text and one of Back-Cover Text may be added by (or through arrangements made by) any one entity. If the Document already includes a cover text for the same cover, previously added by you or by arrangement made by the same entity you are acting on behalf of, you may not add another; but you may replace the old one, on explicit permission from the previous publisher that added the old one.

The author(s) and publisher(s) of the Document do not by this License give permission to use their names for publicity for or to assert or imply endorsement of any Modified Version.

5. COMBINING DOCUMENTS

You may combine the Document with other documents released under this License, under the terms defined in section 4 above for modified versions, provided that you include in the combination all of the Invariant Sections of all of the original documents, unmodified, and list them all as Invariant Sections of your combined work in its license notice, and that you preserve all their Warranty Disclaimers.

The combined work need only contain one copy of this License, and multiple identical Invariant Sections may be replaced with a single copy. If there are multiple Invariant Sections with the same name but different contents, make the title of each such section unique by adding at the end of it, in parentheses, the name of the original author or publisher of that section if known, or else a unique number. Make the same adjustment to the section titles in the list of Invariant Sections in the license notice of the combined work.

In the combination, you must combine any sections Entitled "History" in the various original documents, forming one section Entitled "History"; likewise combine any sections Entitled "Acknowledgements", and any sections Entitled "Dedications". You must delete all sections Entitled "Endorsements."

6. COLLECTIONS OF DOCUMENTS

You may make a collection consisting of the Document and other documents released under this License, and replace the individual copies of this License in the various documents with a single copy that is included in the collection, provided that you follow the rules of this License for verbatim copying of each of the documents in all other respects.

You may extract a single document from such a collection, and distribute it individually under this License, provided you insert a copy of this License into the extracted document, and follow this License in all other respects regarding verbatim copying of that document.

7. AGGREGATION WITH INDEPENDENT WORKS

A compilation of the Document or its derivatives with other separate and independent documents or works, in or on a volume of a storage or distribution medium, is called an "aggregate" if the copyright resulting from the compilation is not used to limit the legal rights of the compilation's users beyond what the individual works permit. When the Document is included in an aggregate, this License does not apply to the other works in the aggregate which are not themselves derivative works of the Document.

If the Cover Text requirement of section 3 is applicable to these copies of the Document, then if the Document is less than one half of the entire aggregate, the Document's Cover Texts may be placed on covers that bracket the Document within the aggregate, or the electronic equivalent of covers if the Document is in electronic form. Otherwise they must appear on printed covers that bracket the whole aggregate.

8. TRANSLATION

Translation is considered a kind of modification, so you may distribute translations of the Document under the terms of section 4. Replacing Invariant Sections with translations requires special permission from their copyright holders, but you may include translations of some or all Invariant Sections in addition to the original versions of these Invariant Sections. You may include a translation of this License, and all the license notices in the Document, and any Warranty Disclaimers, provided that you also include the original English version of this License and the original versions of those notices and disclaimers. In case of a disagreement between the translation and the original version of this License or a notice or disclaimer, the original version will prevail.

If a section in the Document is Entitled "Acknowledgements", "Dedications", or "History", the requirement (section 4) to Preserve its Title (section 1) will typically require changing the actual title.

9. TERMINATION

You may not copy, modify, sublicense, or distribute the Document except as expressly provided for under this License. Any other attempt to copy, modify, sublicense or distribute the Document is void, and will automatically terminate your rights under this License. However, parties who have received copies, or rights, from you under this License will not have their licenses terminated so long as such parties remain in full compliance.

10. FUTURE REVISIONS OF THIS LICENSE

The Free Software Foundation may publish new, revised versions of the GNU Free Documentation License from time to time. Such new versions will be similar in spirit to the present version, but may differ in detail to address new problems or concerns. See http://www.gnu.org/copyleft/.

Each version of the License is given a distinguishing version number. If the Document specifies that a particular numbered version of this License "or any later version" applies to it, you have the option of following the terms and conditions either of that specified version or of any later version that has been published (not as a draft) by the Free Software Foundation. If the Document does not specify a version number of this License, you may choose any version ever published (not as a draft) by the Free Software Foundation.

How to use this License for your documents

To use this License in a document you have written, include a copy of the License in the document and put the following copyright and license notices just after the title page:

Copyright (c)  YEAR  YOUR NAME.
Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document
under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2
or any later version published by the Free Software Foundation;
with no Invariant Sections, no Front-Cover Texts, and no Back-Cover Texts.
A copy of the license is included in the section entitled "GNU
Free Documentation License".

If you have Invariant Sections, Front-Cover Texts and Back-Cover Texts, replace the "with...Texts." line with this:

with the Invariant Sections being LIST THEIR TITLES, with the
Front-Cover Texts being LIST, and with the Back-Cover Texts being LIST.

If you have Invariant Sections without Cover Texts, or some other combination of the three, merge those two alternatives to suit the situation.

If your document contains nontrivial examples of program code, we recommend releasing these examples in parallel under your choice of free software license, such as the GNU General Public License, to permit their use in free software.