Mechanika teoretyczna/Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym

Teoria sprężystości w przedstawieniu klasycznym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wałek skręceń w teorii sprężystości 2Matematyczny opis fal sprężystych 3Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała

Rozpatrzmy teraz równość (10.12) pomijając w nim wyrazy kwadratowe dotyczące prędkości stojące w drugim wyrazie pod pochodną cząstkową liczoną względem współrzędnej prostokątnego układu współrzędnych, a także zakładając, że gęstość układu podczas naprężeń nie zmienia się i tą gęstość oznaczymy przez ρ₀:

$\rho {{\partial ^{2}s_{i}} \over {\partial t^{2}}}-{{\partial \sigma _{ij}} \over {\partial x_{j}}}=\rho f_{i}\;$

(12.1)

Dalszym krokiem jest skorzystanie z definicji tensora napięć, którego definicja jest przy prawie Hooke'a w punkcie (11.10) i wykorzystaniu własności na tensor deformacji (9.41), w ten sposób równość (12.1) przechodzi w:

$\rho {{\partial ^{2}} \over {\partial t^{2}}}s_{i}-{{\partial } \over {\partial x_{j}}}\left[2\mu {{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial x_{j}}}+{{\partial s_{j}} \over {\partial x_{i}}}\right)+\lambda \delta _{ij}{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{l}}}\right]=\rho f_{i}\Rightarrow \rho {{\partial ^{2}s_{i}} \over {\partial t^{2}}}-\mu {{\partial ^{2}s_{i}} \over {\partial x_{j}\partial x_{j}}}-(\mu +\lambda ){{\partial ^{2}s_{j}} \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}=\rho f_{i}\;$

(12.2)

Równość (12.2), który jest określona przy pomocy wektora deformacji ${\vec {s}}\;$, możemy zapisać w postaci wektorowej używając operatorów gradientu i dywergencji przy pomocy parametrów μ i λ:

$\rho {{\partial } \over {\partial t^{2}}}{\vec {s}}-\mu \Delta {\vec {s}}-(\mu +\lambda )\operatorname {grad} {\mbox{ }}\operatorname {div} {\vec {s}}=\rho {\vec {f}}\;$

(12.3)

Jeśli się ograniczymy do problemów typowo statycznych. tzn. dla problemów całkowicie niezależnych od czasu, zatem na podstawie równości (12.3) napiszmy równość różniczkową pomijać we wspomnianym wzorze drugą pochodną cząstkową wektora deformacji względem czasu:

$\mu \Delta {\vec {s}}+(\mu +\lambda )\operatorname {grad} {\mbox{ }}\operatorname {div} {\vec {s}}+\rho {\vec {f}}=0\;$

(12.4)

Wałek skręceń w teorii sprężystości

(Rys. 12.1) Wałek skręceń, skręcanie sztywno umieszczonego cylindra na podstawie.

Na dolnej podstawie wałka skręceń x₃, z powodów oczywistych mamy s_i=0. Naprężenia na bocznej podstawie z powodów oczywistych liczymy wzorem (10.5), na górnej podstawie wektor przesunięcia ${\vec {s}}\;$ jest określony:

${\vec {s}}={\vec {\varphi }}_{0}\times {\vec {r}}=(-\varphi _{0}x_{2},\varphi _{0}x_{1},0)\;$

(12.5)

Równaniem statycznym (12.4) będziemy opisywali przypadek statyczny wałka skręceń, tzn. przez równość:

${{\partial \sigma _{ij}} \over {\partial x_{j}}}=0\Leftrightarrow \mu {{\partial ^{2}s_{i}} \over {\partial x_{j}\partial x_{j}}}+(\mu +\lambda ){{\partial ^{2}s_{j}} \over {\partial x_{i}\partial x_{j}}}=0\;$

(12.6)

Zdeformowanie ${\vec {s}}\;$ dla różnych punktów wałka skręceń, którego równość określamy przez równość:

${\begin{cases}s_{1}=-\varphi (x_{3})x_{2}\\s_{2}=\varphi (x_{3})x_{1}\\s_{3}=0\\\end{cases}}\;$

(12.7)

Wykorzystując wzór na tensor zdeformowania (9.41), w ten sposób na podstawie składowych wektorów zdeformowania ${\vec {s}}\;$, które określaliśmy w punkcie (12.7), to te tensory deformacji określamy przez:

${\begin{cases}\epsilon _{11}=\epsilon _{22}=\epsilon _{33}=\epsilon _{13}=0\\\epsilon _{13}=-{{1} \over {2}}x_{2}{{d\varphi } \over {dx_{3}}}\\\epsilon _{23}={{1} \over {2}}x_{1}{{d\varphi } \over {dx_{3}}}\\\end{cases}}$

(12.8)

Przy pomocy naszej definicji tensora deformacji (12.8) możemy policzyć je wykorzystując przy tym wzór (11.10):

${\begin{cases}\sigma _{11}=\sigma _{22}=\sigma _{33}=\sigma _{12}=0\\\sigma _{13}=-\mu x_{2}{{d\phi } \over {dx_{3}}}\\\sigma _{23}=\mu x_{1}{{d\phi } \over {dx_{3}}}\\\end{cases}}$

(12.9)

Ponieważ zachodzi warunek statyczności, który jest opisany wzorem (12.6), to na podstawie tychże wzorów (12.9) możemy zapisać:

${\begin{cases}0={{\partial \sigma _{13}} \over {\partial x_{3}}}=-\mu x_{2}{{d^{2}\varphi } \over {dx_{3}^{2}}}\\0={{\partial \sigma _{23}} \over {\partial x_{3}}}=\mu x_{1}{{d^{2}\varphi } \over {dx_{3}^{2}}}\end{cases}}$

(12.10)

Z dwóch równości (12.10) możemy wyznaczyć funkcję φ(x₃) zależną od argumentu x₃, która jest wysokością wałka skręceń:

$\varphi (x_{3})=ax_{3}+b\;$

(12.11)

Ponieważ dla warunków brzegowych równość (12.11), z którego będziemy mogli wyznaczyć parametry a i b, a także z warunków brzegowych możemy zapisać równości, z których wyznaczymy parametry a i b.

$\varphi (0)=b=0\;$

(12.12)

$\varphi (l)=al+b=\varphi _{0}\;$

(12.13)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (12.12) i (12.13) wzór (12.11) możemy zapisać:

$\varphi (x_{3})={{\varphi _{0}} \over {l}}x_{3}\;$

(12.14)

Patrząc na układ równań (12.9) możemy wyznaczyć naprężenia na ścianki boczne wałka skręceń, względem wektora normalnego do powierzchni bocznej tego obiektu, czyli względem wektora ${\vec {n}}=[\cos \varphi ,\sin \varphi ]\;$, a zatem na podstawie tego możemy powiedzieć:

$P_{1}^{(n)}=\sigma _{11}\cos \varphi +\sigma _{12}\sin \varphi =0\;$

(12.15)

$P_{2}^{(n)}=\sigma _{21}\cos \varphi +\sigma _{22}\sin \varphi =0\;$

(12.16)

$P_{3}^{(n)}=\sigma _{31}\cos \varphi +\sigma _{23}\sin \varphi =-\mu R\sin \varphi {{\varphi _{0}} \over {l}}\cos \varphi +\mu R\cos \varphi {{\varphi _{0}} \over {l}}\sin \varphi =0\;$

(12.17)

Rozwiązaniem równania (12.6), który powstaje po podstawieniu uzyskanej tożsamości (12.7) do ostatnio wspomnianego równości w tym tekście, z którego będziemy mogli wyznaczyć wektor przesunięć ${\vec {s}}\;$, jest:

${\begin{cases}s_{1}=-{{\varphi _{0}} \over {l}}x_{2}x_{3}\\s_{2}={{\varphi _{0}} \over {l}}x_{1}x_{3}\\s_{3}=0\end{cases}}$

(12.18)

Tensory naprężeń (12.9), na podstawie definicji funkcji φ(x₃) napisanego w punkcie (12.14) i naprężenia dla wektora normalnego ${\vec {n}}=(0,0,1)\;$ dla x₃=l, określamy przez:

$\sigma _{13}=-\mu x_{2}{{\varphi _{0}} \over {l}}\Rightarrow P_{1}=-\mu x_{2}{{\varphi _{0}} \over {l}}\;$

(12.19)

$\sigma _{23}=\mu x_{1}{{\varphi _{0}} \over {l}}\Rightarrow P_{2}=\mu x_{1}{{\varphi _{0}} \over {l}}\;$

(12.20)

$P_{3}=0\;$

(12.21)

Siły działające na walek skręceń są prostopadłe do osi x₃, bo iloczyn skalarny wektora naprężeń i ${\vec {r}}=[x_{1},x_{2},0]\;$ jest równy zero, a oto jego dowód:

$[P_{1},P_{2},P_{3}][x_{1},x_{2},0]=-\mu x_{2}x_{1}{{\varphi _{0}} \over {l}}+\mu x_{1}{{\varphi } \over {l}}x_{2}=0\;$

(12.22)

Wyznaczmy teraz moment sił działający na walec skręceń z jego definicji, a także znając definicję składowych naprężeń P₁, P₂, P₃, które to będziemy mogli wykorzystać do wyznaczania trzeciej składowej momentu pędu M_s:

$M_{s}=\int \left(x_{1}P_{2}-x_{3}P_{1}\right)ds=\int \mu {{\varphi _{0}} \over {l}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)ds=\int \mu {{\varphi _{0}} \over {l}}r^{2}rd\varphi =\mu {{\varphi _{0}} \over {l}}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{R}r^{3}dr=\mu {{\varphi _{0}} \over {l}}=\mu {{\varphi _{0}} \over {l}}2\pi {{R^{4}} \over {4}}=\;$
$=\mu {{\pi R^{4}} \over {2l}}\varphi _{0}\;$

(12.23)

Jeśli na pręt działa siła o momencie pędu wyznaczonego z punktu (12.23), co stąd możemy wyznaczyć kąt φ₀, który w zależności od momentu pędu piszemy przez:

$\varphi _{0}={{2lM_{3}} \over {\mu \pi R^{4}}}\;$

(12.24)

Matematyczny opis fal sprężystych

Równanie, które określa przesunięcie danego punktu względem danego punktu s_i jest opisywane przez równość (12.2), którą ogólne rozwiązanie spełnia wspomnianą równość, jest w postaci:

$s_{i}=f({\vec {n}}{\vec {r}}-ct)\;$

(12.25)

Stosując metodę analizy Fouriera możemy rozłożyć na składowe powyższe rozwiązanie równania (12.25), który pod eksponensem występuje argumentem z wyrażenia ${\vec {n}}{\vec {r}}-ct\;$. Zakładając przy tym, że mamy ${\vec {k}}=(k,0,0)\;$:

${\vec {s}}={\vec {A}}e^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}={\vec {A}}e^{i(kx-\omega t)}\;$

(12.26)

Rozwiązanie (12.26) możemy podstawić do równości (12.2), otrzymujemy wtedy równość algebraiczną:

$-\rho _{0}\omega ^{2}A_{i}+\mu k^{2}A_{i}+(\mu +\lambda )k^{2}\delta _{i1}A_{i}=0\;$

(12.27)

Rozwiązanie równości (12.27) jest to rozwiązanie, dla którego A_i musi być niezerowe, zatem wyznacznik powstały z równania (12.27) musi mieć wartość zerową:

${\begin{vmatrix}(2\mu +\lambda )k^{2}-\rho _{0}\omega ^{2}&0&0\\0&\mu k^{2}-\rho _{0}\omega ^{2}&0\\0&0&\mu k^{2}-\rho _{0}\omega ^{2}\end{vmatrix}}=0\;$

(12.28)

Wyznacznik równania (12.28) możemy policzyć w taki sposób by później z niego można było policzyć dwie częstotliwości kołowe:

$[(2\mu +\lambda )k^{2}-\rho _{0}\omega ^{2}](\mu k^{2}-\rho _{0}\omega ^{2})^{2}=0\;$

(12.29)

Z równości (12.29) możemy wyznaczyć wzory na wartość wektora falowego:

$k_{1}^{2}={{\rho _{0}} \over {2\mu +\lambda }}\omega ^{2}={{\omega ^{2}} \over {c_{1}^{2}}}\;$

(12.30)

$k_{2}^{2}={{\rho _{0}} \over {\mu }}\omega ^{2}={{\omega ^{2}} \over {c_{2}^{2}}}\;$

(12.31)

Równaniu falowym o wartości liczby falowej (12.30) odpowiada amplituda ${\vec {A}}^{(1)}\;$, a równaniu falowemu o wartości wektora falowego (12.31) odpowiada wektor amplitudy ${\vec {A}}^{(2)}\;$, co te amplitudy piszemy:

${\vec {A}}^{(1)}=(A_{1},0,0)\;$

(12.32)

${\vec {A}}^{(2)}=(0,A_{2},A_{3})\;$

(12.33)

Fala odpowiadająca amplitudzie (12.32) odpowiada fali podłużnej, a fala odpowiadająca fali poprzecznej odpowiada amplituda (12.33), zatem w takim przypadku prędkości opisywane przez te fale są zapisane:

$c_{1}={\sqrt {{2\mu +\lambda } \over {\rho _{0}}}}\;$

(12.34)

$c_{2}={\sqrt {{\mu } \over {\rho _{0}}}}\;$

(12.35)

Całkowite odkształcenie pochodzące od fal sprężystych poprzecznych ${\vec {s}}_{1}\;$ i podłużnych ${\vec {s}}_{2}\;$ jest to fala, która opisuje sumę fal tych dwóch rodzajów w postaci związku:

${\vec {s}}={\vec {s}}_{1}+{\vec {s}}_{2}=\underbrace {{\vec {A}}_{1}e^{i({\vec {k}}_{1}{\vec {r}}-\omega t)}} _{{\vec {s}}_{1}}+\underbrace {{\vec {A}}_{2}e^{i({\vec {k}}_{2}{\vec {r}}-\omega t)}} _{{\vec {s}}_{2}}\;$

(12.36)

Patrząc na rozwiązania na amplitudy rozwiązań fali sprężystej, czyli na (12.32) i (12.33) dowiadujemy się, że dla fali podłużnej możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość dla rotacji i dywergencji pola przesunięć:

$\operatorname {rot} {\vec {s}}_{1}=0\;$

(12.37)

$\operatorname {div} {\vec {s}}_{1}\neq 0\;$

(12.38)

Dla fali poprzecznej możemy powiedzieć, że jest odwrotnie jak w przypadku fal podłużnych, tzn., której przypadek opisujemy:

$\operatorname {div} {\vec {s}}_{2}=0\;$

(12.39)

$\operatorname {rot} {\vec {s}}_{2}\neq 0\;$

(12.40)

Jeśli wykorzystamy tożsamość, którego dowodu nie będziemy przeprowadzać, co jest wykładem metod matematycznych fizyki:

$\operatorname {rot} \operatorname {rot} {\vec {s}}=\operatorname {grad} \operatorname {div} {\vec {s}}-\Delta {\vec {s}}\;$

(12.41)

Wtedy równość (12.3) możemy przepisać do równości:

$\rho _{0}{{\partial ^{2}{\vec {s}}} \over {\partial t^{2}}}=\mu \operatorname {rot} \operatorname {rot} {\vec {s}}-(2\mu +\lambda )\operatorname {grad} \operatorname {div} {\vec {s}}=0\;$

(12.42)

Jeśli do równania (12.42) podstawimy superpozycję dwóch fal sprężystych poprzecznych i jednej podłużnej, to w ten sposób otrzymamy wzór, którego wygląd przy korzystaniu wzoru (12.41) jest:

$\rho _{0}\left({{\partial ^{2}{\vec {s}}_{1}} \over {\partial t^{2}}}+{{\partial ^{2}{\vec {s}}_{2}} \over {\partial t^{2}}}\right)=(2\mu +\lambda )\Delta {\vec {s}}_{1}+\mu \Delta {\vec {s}}_{2}\;$

(12.43)

Równanie (12.43) możemy rozłożyć na dwa przypadki, które stanowią jakoby dwa równania falowe:

$\Delta {\vec {s}}_{1}-{{1} \over {c_{1}^{2}}}{{\partial ^{2}{\vec {s}}_{1}} \over {\partial t^{2}}}=0{\mbox{ gdzie: }}c_{1}={\sqrt {{2\mu +\lambda } \over {\rho _{0}}}}\;$

(12.44)

$\Delta {\vec {s}}_{1}-{{1} \over {c_{2}^{2}}}{{\partial ^{2}{\vec {s}}_{2}} \over {\partial t^{2}}}=0{\mbox{ gdzie: }}c_{2}={\sqrt {{\mu } \over {\rho _{0}}}}\;$

(12.45)

Wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć ${\vec {s}}_{1}\;$ dla fali poprzecznej, to na podstawie tego możemy powiedzieć:

$\operatorname {rot} {\vec {s}}_{1}=\operatorname {rot} {\vec {A}}_{1}e^{i({\vec {k}}_{1}{\vec {r}}-\omega t)}=\epsilon _{ijk}\nabla _{j}A_{1k}e^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}=i\epsilon _{ijk}A_{1k}k_{j}e^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}=i{\vec {k}}_{1}\times {\vec {s}}_{1}=0\;$

(12.46)

Na podstawie założenia (12.37) i wywodów (12.46) otrzymujemy, że fala ${\vec {s}}_{1}\;$ jest falą podłużną. A także wyznaczmy teraz rotację wektora pola przesunięć ${\vec {s}}_{2}\;$ dla fali podłużnej:

$\operatorname {div} {\vec {s}}_{2}=\nabla _{j}A_{2j}e^{i({\vec {k}}_{2}{\vec {r}}-\omega t)}=i{\vec {k}}_{2}\cdot {\vec {s}}_{2}=0\;$

(12.47)

Na podstawie założenia (12.39) i wywodów (12.47) otrzymujemy, że fala ${\vec {s}}_{2}\;$ jest falą poprzeczną.

Rachunek wariacyjny dla równania ruchu dla zdeformowanego ciała

Energia kinetyczna i potencjalna ciała zdeformowanego nazywamy całki, które przestawimy wzorami kolejno (10.35) i (10.36), do obliczeń włączamy część lagrangianu, którą całkujemy po objętości, a także drugi składnik, który całkujemy po powierzchni:

$L=\int _{V}\left({{\rho } \over {2}}{\dot {s}}_{i}{\dot {s}}_{i}-\Phi +\rho f_{i}s_{i}\right)dV+\oint {\overline {f}}_{i}s_{i}dS\;$

(12.48)

Naszym celem jest napisanie funkcjonału opartego o lagrangian (12.48) i napisanie jego wariacji, które tutaj będziemy rozpatrywać, która jest równa zero, zatem:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\wedge \delta S=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=0\;$

(12.49)

Wariacja funkcjonału S (12.49) jest tak zbudowana, by wariacja wielkości δs_i na końcach naszego przedziału była równa zero, tzn. dla czasów t₁ i t₂, co piszemy:

$\delta s_{i}(t_{1})=\delta s_{i}(t_{2})=0\;$

(12.50)

Napiszmy teraz funkcję Φ, którego definicja jest podana w punkcie przy prawie Hooke'a (11.6), wtedy możemy napisać wykorzystując przy tym definicję tensora deformacji (9.42):

$\Phi ={{1} \over {2}}c_{iklm}\epsilon _{ik}\epsilon _{lm}={{1} \over {2}}c_{iklm}{{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right){{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)={{1} \over {2}}c_{iklm}{{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{m}}}\;$

(12.51)

Możemy policzyć wariację funkcji S, którego to wariacja i sama funkcja S jest napisana w punkcie (12.49), zatem tą naszą wariację naszej funkcji S piszemy:

$0=\delta S=S(s_{i}+\delta s_{i})-S(s_{i})=\;$
$=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\Bigg \{}{\Bigg [}\int _{V}{\Bigg (}{{\rho } \over {2}}({\dot {s}}_{i}+\delta {\dot {s}}_{i})({\dot {s}}_{i}+\delta {\dot {s}}_{i})-{{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial x_{k}}}(s_{i}+\delta s_{i}){{\partial } \over {\partial x_{m}}}(s_{l}+\delta s_{l})+\rho f_{i}(s_{i}+\delta s_{i}){\Bigg )}dV+\oint _{S}{\overline {f}}_{i}(s_{i}+\delta s_{i})dS{\Bigg ]}+\;$
$-{\Bigg [}\int _{V}{\Bigg (}{{\rho } \over {2}}{\dot {s}}_{i}{\dot {s}}_{i}-{{1} \over {2}}c_{iklm}{{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{m}}}+\rho f_{i}s_{i}{\Bigg )}dV+\oint {\overline {f}}_{i}s_{i}dS{\Bigg ]}{\Bigg \}}dt=\;$
$=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\Bigg [}\int _{V}{\Bigg (}\rho {\dot {s}}_{i}\delta {\dot {s}}_{i}+{{\partial (\rho {\dot {s}}_{j}{\dot {s}}_{j})} \over {\partial s_{i}}}\delta s_{i}-c_{iklm}{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{m}}}{{\partial \delta s_{i}} \over {\partial x_{k}}}+\rho f_{i}\delta s_{i}+{{\partial (\rho f_{j})} \over {\partial s_{i}}}s_{j}\delta s_{i}{\Bigg )}+\oint _{S}\left({\overline {f}}_{i}\delta s_{i}+{{\partial {\overline {f}}_{j}} \over {\partial s_{i}}}s_{j}\delta s_{i}\right)dS{\Bigg ]}dt$

(12.52)

W obliczeniach przeprowadzonych w punkcie (12.52) pomijaliśmy wyrazy δs_i rzędu wyższego rzędu niż pierwszego i skorzystaliśmy z symetrii modułu sprężystości w prawie Hooke'a (11.1). Dalszym naszym krokiem jest wyznaczenie pierwszych dwóch wyrazów występujących w punkcie (12.52) w nawiasie klamrowym, zatem teraz dokonajmy teraz tychże obliczeń:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\rho {\dot {s}}_{i}\delta {\dot {s}}_{i}dVdt=\rho {\dot {s}}_{i}\delta s_{i}{\Bigg |}_{t_{1}}^{t_{2}}dV-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{d(\rho {\dot {s}})} \over {dt}}\delta s_{i}dVdt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\rho {\ddot {s}}\delta s_{i}dVdt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {\rho }}{\dot {s}}\delta s_{i}dVdt\;$

(12.53)

Dalszym naszym krokiem jest skorzystanie z prawa Hooke'a, którego definicja jest w punkcie (11.1), stąd na podstawie tego możemy powiedzieć, że zachodzi:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}c_{iklm}{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{m}}}{{\partial \delta s_{i}} \over {\partial x_{k}}}dVdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}c_{iklm}{{1} \over {2}}\left({{\partial s_{l}} \over {\partial x_{m}}}+{{\partial s_{m}} \over {\partial x_{l}}}\right){{\partial \delta s_{i}} \over {\partial x_{k}}}dVdt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sigma _{ik}{{\partial \delta s_{i}} \over {\partial x_{k}}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[(\sigma _{ik}\delta s_{i})_{,k}-\sigma _{ik,k}\delta s_{i}\right]dVdt=\;$
$=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sigma _{ik}\delta s_{i}dS_{k}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{{\partial \sigma _{ik}} \over {\partial x_{k}}}\delta s_{i}dVdt$

(12.54)

Obliczenia przeprowadzone w punkcie (12.53) i w punkcie (12.54) wstawiamy do obliczeń końcowych przeprowadzonych w punkcie (12.52) to na podstawie tego uzyskujemy równość:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}\left\{-\rho {\ddot {s}}_{i}+{{\partial \sigma _{ik}} \over {\partial x_{k}}}+\rho f_{i}+{{\partial (\rho {\dot {s}}_{j}{\dot {s}}_{j})} \over {\partial s_{i}}}-{\dot {\rho }}{\dot {s}}_{i}+{{\partial (\rho f_{j})} \over {\partial s_{i}}}s_{j}\right\}\delta s_{i}dVdt+\;$
$-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\oint _{S}\left\{\sigma _{ik}n_{k}-{\overline {f}}_{i}-{{\partial {\overline {f}}_{j}} \over {\partial s_{i}}}s_{j}\right\}\delta s_{i}dSdt=0\;$

(12.55)

Równość (12.55) napiszmy przenosząc wyrazy przyszłego cechowania na prawą stronę, by po lewej stronie zostały wyrazy przyszłego równania ruchu, a to przedstawienie dyktujemy w postaci:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}\left\{-\rho {\ddot {s}}_{i}+{{\partial \sigma _{ik}} \over {\partial x_{k}}}+\rho f_{i}\right\}\delta s_{i}dVdt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\oint _{S}\left\{\sigma _{ik}n_{k}-{\overline {f}}_{i}\right\}\delta s_{i}dSdt=\;$
$=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt{\Bigg [}\int _{V}\left({{\partial (\rho {\dot {s}}_{j}{\dot {s}}_{j})} \over {\partial s_{i}}}-{\dot {\rho }}{\dot {s}}_{i}+{{\partial (\rho f_{j})} \over {\partial s_{i}}}s_{j}\right)dV+\oint _{S}{{\partial {\overline {f}}_{j}} \over {\partial s_{i}}}s_{j}dS{\Bigg ]}\;$

(12.56)

Gdy w (12.56) przyjmiemy, że deformacje $s_{i}\;$ i prędkość deformacji ${\dot {s}}_{i}\;$ są równe zero, w takim razie dochodzimy do wniosku, że prawa strona jest równa zero, zatem cechowanie w teorii sprężystości piszemy:

$\int _{V}\left({{\partial (\rho {\dot {s}}_{j}{\dot {s}}_{j})} \over {\partial s_{i}}}-{\dot {\rho }}{\dot {s}}_{i}+{{\partial (\rho f_{j})} \over {\partial s_{i}}}s_{j}\right)dV+\oint _{S}{{\partial {\overline {f}}_{j}} \over {\partial s_{i}}}s_{j}dS=0\;$

(12.57)

Na podstawie (12.56) i definicji cechowania (12.57), wzór na równanie ruchu przyjmuje formę:

$\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\int _{V}\left\{-\rho {\ddot {s}}_{i}+{{\partial \sigma _{ik}} \over {\partial x_{k}}}+\rho f_{i}\right\}\delta s_{i}dVdt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}\oint _{S}\left\{\sigma _{ik}n_{k}-{\overline {f}}_{i}\right\}\delta s_{i}dSdt=0$

(12.58)

Równość całkowa (12.58) jest równa tożsamościowo zero dla dowolnego δs_i, zatem na podstawie tego otrzymujemy dwie bardzo ważne równości:

$\rho {\dot {s}}_{i}={{\partial \sigma _{ik}} \over {\partial x_{k}}}+\rho f_{i}\;$

(12.59)

$\sigma _{ik}n_{k}={\overline {f}}_{i}\;$

(12.60)

Wzór (12.59) symbolizuje prawo ruchu dla poszczególnych punktów masowych w ciele zdeformowanym, który jest napisany w punkcie (10.10), a wzór (12.60) jest to powtórzeniem wzoru (10.5).