Mechanika teoretyczna/Wprowadzenie do hydrodynamiki

Wprowadzenie do hydrodynamiki

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Równanie Naviera-Stokesa

Będziemy się tutaj zajmować równaniem ogólnym dla hydrodynamiki (10.10), a także korzystając z definicji tensora napięć (10.13), a także wykorzystując twierdzenie o tarciu (11.33) i twierdzenie o prędkości (9.68), jak również wykorzystując związek pomiędzy dwoma parametrami lepkości η i ξ, to na podstawie tego możemy napisać równanie Naviera-Stokesa w postaci skalarnej:

$\rho \left({\dot {v}}_{i}+v_{l}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{l}}}\right)=-{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+\eta {{\partial ^{2}v_{i}} \over {\partial x_{l}\partial x_{l}}}+{{1} \over {3}}\eta {{\partial ^{2}v_{l}} \over {\partial x_{i}\partial x_{l}}}+\rho f_{i}\;$

(13.1)

Równanie (13.1) możemy przepisać w postaci wektorowej:

$\rho ({\dot {\vec {v}}}+({\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\vec {v}})=-\operatorname {grad} p+\eta \Delta {\vec {v}}+{{1} \over {3}}\eta \operatorname {grad} \operatorname {div} {\vec {v}}+\rho {\vec {f}}\;$

(13.2)

Ruch cieczy bez tarcia wewnętrznego

Rozpatrzmy teraz ruch cieczy, której lepkość wewnętrzna cieczy η jest równa zero, wtedy równanie (13.1) będziemy pisać:

$\rho \left({\dot {v}}_{i}+v_{l}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{l}}}\right)=-{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+\rho f_{i}\;$

(13.3)

Przy brzegach naczynia, w której płynie ciecz prędkość, jej do tej powierzchni jest równa zero, co zapisujemy ${\vec {v}}\cdot {\vec {n}}=0\;$. Teraz rozpiszmy drugi wyraz stojący we wzorze napisanego w punkcie (13.3) po prawej stronie w nawiasie:

$v_{l}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{l}}}=v_{l}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{i}}}-v_{l}{{\partial v_{l}} \over {\partial x_{i}}}+v_{l}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{l}}}={{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\left(v_{l}v_{l}\right)-\left(\delta _{ij}\delta _{lk}-\delta _{ik}\delta _{lj}\right)v_{l}{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{j}}}={{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial x_{i}}}\left(v_{l}v_{l}\right)-\epsilon _{ilr}\epsilon _{rjk}v_{l}{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{j}}}\;$

(13.4)

Możemy wykorzystać przeprowadzone obliczenia w (13.4) do wzoru (13.3), wtedy dostajemy jeszcze inny zapis naszego ostatnio wspomnianego wzoru:

$\rho {\dot {v}}_{i}+{{1} \over {2}}{{\partial v_{l}v_{l}} \over {\partial x_{i}}}-\rho \epsilon _{ilr}\epsilon _{rjk}v_{l}{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{j}}}=-{{\partial p} \over {\partial x_{i}}}+\rho f_{i}\;$

(13.5)

Równanie skalarne (13.5), które jest przestawione dla każdej współrzędnej i-tej z osobna, wtedy to równania możemy przestawić w postaci wektorowej:

$\rho {\dot {\vec {v}}}+{{\rho } \over {2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}^{2})-\rho {\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}=-\operatorname {grad} p+\rho {\vec {f}}\;$

(13.6)

Linearyzacja równań hydrodynamiki płynów

Dla spoczywającej ciecz będziemy przeprowadzać linearyzację, zatem załóżmy, że prędkość cieczy, jej gęstość, a także jej ciśnienie są takie przed zaburzeniem:

${\vec {v}}=0\;$

(13.7)

$\rho =\rho _{0}\;$

(13.8)

$p=p_{0}\;$

(13.9)

Załóżmy, że istnieją pewne zaburzenia gęstości ciała, a także jej ciśnienia, a prędkość przed zaburzeniem jest równa prędkości po zaburzeniu (czyli tylko ona nie ulega zaburzeniu), wtedy powiemy:

${\vec {v}}={\vec {v}}^{'}\;$

(13.10)

$p=p_{0}+p^{'}\;$

(13.11)

$\rho =\rho _{0}+\rho ^{'}\;$

(13.12)

Napiszmy teraz równanie ciągłości (10.4) wykorzystując przy tym wzory opisującej parametry płynu przed zaburzeniem (13.7), (13.8) i (13.9), a także wykorzystamy parametry płynu po zaburzeniu (13.10), (13.11) i (13.12), wtedy równanie ciągłości przyjmuje wygląd:

${{\partial } \over {\partial t}}\left(\rho _{0}+\rho ^{'}\right)+\operatorname {div} \left[(\rho _{0}+\rho ^{'}){\vec {v}}\right]=0\;$

(13.13)

W równaniu (13.13) po zaniedbaniu członów kwadratowych występujących w dywergencji związanych z poprawką do gęstości cieczy, otrzymujemy:

${{\partial \rho ^{'}} \over {\partial t}}+\rho _{0}\operatorname {div} {\vec {v}}^{'}=0\;$

(13.14)

Następnym krokiem jest skorzystanie ze wzoru (13.5), które jest równaniem Naviera-Stokesa, dalej po wykorzystania związków (13.10), (13.11) i (13.12), to równanie dla zerowej lepkości i bez działania żadnych sił objętościowych piszemy:

$(\rho +\rho ^{'})\left({\dot {v}}_{i}+v_{l}^{'}{{\partial v_{i}^{'}} \over {\partial x_{l}}}\right)=-{{\partial (p_{0}+p^{'})} \over {\partial x_{i}}}\;$

(13.15)

We wzorze (13.15) pomijamy wyrazy kwadratowe, wtedy tą nasza równość przepisujemy po tej wspomnianej operacji:

$\rho _{0}{{\partial {\vec {v}}^{'}} \over {\partial t}}=-\operatorname {grad} p^{'}$

(13.16)

Równanie stanu będziemy linearyzować rozwijając go w szereg Taylora względem gęstości cieczy ρ wokół punktu ρ=ρ₀:

$p=p_{0}+\left({{dp} \over {d\rho }}\right)_{\rho =\rho _{0}}(\rho -\rho _{0})+...\;$

(13.17)

Biorąc definicję ciśnienia (13.11) i gęstości ciała (13.12), wtedy na podstawie (13.17) możemy zauważyć:

$p^{'}=c^{2}\rho ^{'}{\mbox{ dla }}c^{2}=\left({{dp} \over {d\rho }}\right)_{\rho =\rho _{0}}\;$

(13.18)

Wstawiamy uzyskaną równość (13.18) do równania ciągłości (13.14), to dostajemy zależność:

${{1} \over {c^{2}}}{{\partial p^{'}} \over {\partial t^{2}}}=\rho _{0}\operatorname {div} {\vec {v}}^{'}\;$

(13.19)

Równość (13.19) zróżniczkujemy obustronnie cząstkowo względem czasu i do tak otrzymanego równania wykorzystujemy równość różniczkową (13.16):

${{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}p^{'}} \over {\partial t^{2}}}+\rho _{0}\operatorname {div} {{\partial {\vec {v}}^{'}} \over {\partial t}}=0\Rightarrow {{1} \over {c^{2}}}{{\partial p^{'}} \over {\partial t}}-\operatorname {div} \operatorname {grad} p^{'}=0\;$

(13.20)

Równość (13.20) możemy przepisać, wiedząc jednocześnie, że dywergencja gradientu jest to po prostu laplasjan:

${{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}p^{'}} \over {\partial t^{2}}}+\Delta p=0\;$

(13.21)

Równanie (13.21) jest to równanie falowe rozchodzenia się zaburzenia ciśnienia w nieruchomej cieczy lub gazu. Wielkość "c" występującą we równaniu powyżej ma sens prędkości fazowej rozchodzenia się fali dźwiękowej. Jeśli natomiast przyjrzymy się równaniu adiabaty:

$pV^{\kappa }=\operatorname {const} \Rightarrow p=\operatorname {const} \rho ^{\kappa }\;$

(13.22)

Będziemy wykorzystywać równość (13.18), to do wyznaczenia prędkości światła, przy zależności ciśnienia gazu doskonałego od gęstości tego gazu, mamy:

$c^{2}=\left({{dp} \over {d\rho }}\right)_{\rho =\rho _{0}}=\kappa \rho _{0}^{\kappa -1}\operatorname {const} \simeq \kappa \rho _{0}^{\kappa -1}{{p_{0}} \over {\rho _{0}^{\kappa }}}=\kappa {{p_{0}} \over {\rho _{0}}}\Rightarrow c={\sqrt {{\kappa p_{0}} \over {\rho _{0}}}}\;$

(13.23)

Równanie (13.23) jest równaniem opisujących prędkość fali przy adiabatycznym rozszerzalności gazu. Dla dużych amplitud równania fali nie linearyzują się i nie można w taki sposób przypadku opisywać riemannowskiej fali uderzeniowej·

Wyprowadzenie równania Bernoulliego

Będziemy rozpatrywać ruchy bezwirowe cieczy, tzn. dla której rotacja pola prędkości, w każdym punkcie cieczy jest równa zero, zatem równość (13.6) po podzieleniu jej obustronnie przez wielkość ρ, którą jest gęstość cieczy w danym punkcie, przyjmuje postać:

${\dot {\vec {v}}}+{{1} \over {2}}\operatorname {grad} {\vec {v}}^{2}=-\operatorname {grad} {p}+{\vec {f}}=0\;$

(13.24)

Dla pola prędkości bezwirowego możemy wprowadzić potencjał prędkości Φ, którego definicja jest podana w punkcie (9.20), a także wprowadzimy, że wielkość ${\vec {f}}\;$ jest gradientem potencjału U wziętej z minusem (10.24), a także wykorzystamy definicję wielkości ${\mathcal {P}}\;$, czyli poprzez (10.38), a co z niego wynika równość (10.41), to na podstawie tychże rozważanych rozważań dochodzimy do wniosku:

${{\partial } \over {\partial x_{i}}}\left[{\dot {\Phi }}+{{1} \over {2}}{{\partial \Phi } \over {\partial x_{k}}}{{\partial \Phi } \over {\partial x_{k}}}+{\mathcal {P}}+U\right]=0\;$

(13.25)

Wyrażenie stojące pod pochodną cząstkową w równości (13.25) jest równa wielkości stałej zależnej od czasu:

${\dot {\Phi }}+{{1} \over {2}}{\vec {v}}^{2}+{\mathcal {P}}+U=C(t)\;$

(13.26)

Dla przepływów stacjonarnych równość (13.26), dla której pochodna funkcji Φ znika, a stała C(t) nie zależy od czasu, piszemy w postaci wzoru wynikowego:

${{1} \over {2}}{\vec {v}}^{2}+{\mathcal {P}}+U=C\;$

(13.27)

Jeśli przepływ jest stacjonarny, to z równania (13.6) i wcześniejszych rozważań możemy powiedzieć, że całka po pewnej krzywej jest napisana:

$\int _{V}\left\{\operatorname {grad} \left({{1} \over {2}}{\vec {v}}^{2}+{\mathcal {P}}+U\right)-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}}\right\}\cdot d{\vec {r}}=0\;$

(13.28)

Ponieważ linie prądu są równoległe do prędkości ruchu danego punktu cieczy, to wtedy $({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})\cdot d{\vec {r}}=0\;$, to stąd podobnie jak poprzednio wynika równość jak w punkcie (13.27), tylko dla ${\dot {\Phi }}\;$ równego zero.

Gdy ograniczmy się do przepływów stacjonarnych, to wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi równość, którą piszemy na podstawie ${\dot {\vec {v}}}=0\;$, $\rho =\rho _{0}\;$ i ${\mathcal {P}}={{p} \over {\rho _{0}}}\;$, czyli mamy ciecz nieściśliwą, zatem równanie Bernoulliego możemy przepisać do postaci:

${{\rho _{0}} \over {2}}v^{2}+p+\rho _{0}U=C\;$

(13.29)

Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju

(Rys. 13.1) Przepływ cieczy przez rurkę o zmiennym przekroju

Rozpatrzmy teraz przepływ cieczy przez rurkę według prawa ciągłości (10.4), gdy w danym punkcie gęstość cieczy nie zmienia się w czasie, zatem w takim przypadku równanie ciągłości jest napisane przez:

$\operatorname {div} (\rho {\vec {v}})=0\;$

(13.30)

Wykorzystując prawo Ostrogradskiego-Gaussa możemy powiedzieć na podstawie (13.30):

$0=\int \operatorname {div} (\rho {\vec {v}})=\oint _{t_{1}}^{t_{2}}\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}=\int _{S_{2}}\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}_{2}-\int _{S_{1}}\rho {\vec {v}}d{\vec {S}}_{1}\;$

(13.31)

Całka powierzchniowa strumienia na powierzchni rury jest równa zero, bo nie istnieje składowa normalna prędkości do tej naszej powierzchni wedle rozważanego rysunku (bo ciecz nie wycieka z rury), zatem jedynymi strumieniami i zarazem całkami pochodzącymi od przekroju pierwszego i drugiego wedle rysunku obok, które przestawiamy je wzorem (13.31), są strumieniami pochodzącymi od przekrojów powstałych w dwóch różnych częściach:

$\rho _{2}S_{2}v_{2}=\rho _{1}S_{1}v_{1}=\operatorname {const} \;$

(13.32)

Dla rozważanego przypadku możemy napisać równanie Bernoulliego (13.27), którą zapisujemy przy pomocy wzoru poniżej, z którego wyznaczymy różniczkę obu jego stron:

${{1} \over {2}}v^{2}=-\int _{p_{0}}^{p}{{dp} \over {\rho }}\Rightarrow vdv=-{{dp} \over {\rho }}\Rightarrow dv={{dp} \over {\rho v}}\;$

(13.33)

Ponieważ iloczyn ρSv jest wielkością stałą, to możemy wziąć logarytm tejże wielkości i zróżniczkować go otrzymując własność:

${{d\rho } \over {\rho }}+{{dS} \over {S}}+{{dv} \over {v}}=0\;$

(13.34)

Równość końcową wynikową (13.33) podstawiamy do wzoru wyprowadzonego w punkcie (13.34):

${{dS} \over {S}}=-{{d\rho } \over {\rho }}+{{dp} \over {\rho v^{2}}}\Rightarrow {{dS} \over {S}}={{dp} \over {\rho v^{2}}}\left(1-v^{2}{{d\rho } \over {dp}}\right)\;$

(13.35)

Wielkość występująca w punkcie (13.18), która jest kwadratem prędkości rozchodzenia się dźwięku, wykorzystujemy do równości (13.35) i jeszcze raz wykorzystując tożsamość różniczkową (13.33), mamy:

${{dS} \over {S}}={{dv} \over {v}}\left(1-{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)\Rightarrow {{dS} \over {S}}={{dv} \over {v}}\left(-1+{{v^{2}} \over {c^{2}}}\right)\;$

(13.36)

Równanie (13.36) jest to równanie Hugoniota. A stosunek przepływu prędkości cieczy przez prędkość dźwięku nazywamy liczbą Macha, i piszemy ją:

$m={{v} \over {c}}\;$

(13.37)

Dla cieczy nieściśliwej, w której gęstość cieczy w danym punkcie pozostaje niezmieniona i wtedy różniczka zmiany gęstości cieczy nieściśliwej ρ jest równa zero, wtedy prędkość rozchodzenia się dźwięku (13.18) w takiej cieczy jest nieskończoną wielkością, wtedy równość (13.36) możemy przepisać:

${{dS} \over {S}}={{dp} \over {\rho v^{2}}}=-{{dv} \over {v}}\;$

(13.38)

Zależność ciśnienia barometrycznego wraz z objętością

Tutaj wykorzystamy wzór na twierdzenie Bernoulliego (13.27), które będziemy mogli wykorzystać wiedząc, że różne punkty w takiej przestrzeni są w spoczynku, zatem to nasze prawo zapisujemy w postaci:

$\int _{p_{0}}^{p}{{dp} \over {\rho }}+gh=0\;$

(13.39)

Zakładamy, że nasza atmosfera ma stałą temperaturę, więc w niej mogą zachodzić zmiany izotermiczne, wtedy wzór izotermy będziemy mogli zapisać:

${{p} \over {\rho }}={{p_{0}} \over {\rho _{0}}}\Rightarrow \rho =p{{\rho _{0}} \over {p_{0}}}\;$

(13.40)

Końcową równość (13.40) będziemy mogli podstawić do wzoru (13.39), w tak otrzymanym wzorze możemy z całkować obie jego strony:

${{p_{0}} \over {\rho _{0}}}\int _{p_{0}}^{p}{{dp} \over {p}}+gh=0\Rightarrow {{p_{0}} \over {\rho _{0}}}\ln {{p} \over {p_{0}}}=-gh\;$

(13.41)

Z równości (13.41) możemy wyznaczyć jak się zmienia ciśnienie gazu wraz z wysokością i przekonamy się, że ta wielkość zależy od wysokości cieczy:

$p=p_{0}\exp \left(-{{\rho _{0}g} \over {p_{0}}}h\right)\;$

(13.42)

Przepływy cieczy lepkiej, równanie Hagena-Poiseuille'a

Będziemy opisywać ciecze nieściśliwe, w której nie ma źródeł, wtedy $\operatorname {div} {\vec {v}}=0\;$, siły objętościowe są równe zero, a także prędkość cząstki w danym punkcie się nie zmienia, zatem równanie Naviera-Stokesa (13.6) przechodzi w równość wektorową:

$\rho ({\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\vec {v}})=-\operatorname {grad} p+\eta \Delta {\vec {v}}\;$

(13.43)

Załóżmy, że mamy rurę o promieniu R, przez którą przepływa ciecz lepka, zatem na podstawie tego prędkość cieczy przy brzegach rury jest równa zero, między końcami rury powinna być różnica ciśnień, tzn. powinno zachodzić:

$p=p_{1}{\mbox{ dla }}x_{3}=0\;$

(13.44)

$p=p_{2}{\mbox{ dla }}x_{3}=l\;$

(13.45)

Symetrie rury narzucają, że wszystkie współrzędne prędkości cieczy są równe zero, oprócz trzeciej współrzędnej prędkości, która natomiast jest nie równa zero, co z własności bezródłowości cieczy dochodzimy natomiast do wniosku:

${{\partial v_{3}} \over {\partial x_{3}}}=0\;$

(13.46)

Z równości różniczkowej (13.46) wynika, że prędkość cieczy, zależy tylko od promienia "r", który opisuje odległość od środka rury, ta prędkość jest wyrażona:

$v_{3}=v_{3}(x_{1},x_{2})=v_{3}(r)\;$

(13.47)

W równości (13.43), jeśli mamy do czynienia z dużą lepkością, to wtedy człon kwadratowy prędkości znika, wynika natychmiast równość:

$0=-\operatorname {grad} p+\eta \Delta {\vec {v}}\;$

(13.48)

Równość (13.48), którego postać rozpisujemy względem trzech współrzędnych i pamiętając, że trzecia tylko współrzędna prędkości jest nierówna zero, przechodzi w równość:

${\begin{cases}{{\partial p} \over {\partial x_{1}}}=0\\{{\partial p} \over {\partial x_{2}}}=0\\{{\partial p} \over {\partial x_{3}}}=\eta \left({{\partial ^{2}v_{3}} \over {\partial x_{1}^{2}}}+{{\partial ^{2}v_{3}} \over {\partial x_{2}^{2}}}\right)\end{cases}}\;$

(13.49)

Z pierwszej, drugiej i trzeciej równości wynika zależność, że współrzędna ciśnienia nie zależy od współrzędnej x₁ i współrzędnej x₂, a zależy natomiast od trzeciej współrzędnej x₃, a pochodna ciśnienia względem trzeciej współrzędnej jest równa wielkości stałej na podstawie trzeciej równości układu równań (13.49), bo prędkość v₃ zależy natomiast od dwóch pierwszych współrzędnych, wtedy powiemy:

${{\partial p} \over {\partial x_{3}}}=C=\eta \left({{\partial ^{2}v_{3}} \over {\partial x_{1}^{2}}}+{{\partial ^{2}v_{3}} \over {\partial x_{2}^{2}}}\right)\;$

(13.50)

Na podstawie zależności (13.50) możemy napisać równość, która wynika z warunków brzegowych (13.44) i (13.45) i zależności ciśnienia od długości rury x₃, jest ona zależna od różnicy ciśnień na obu jego końcach, tzn. p₁-p₂, a także jest zależna ona od długości rurki "l":

$p=Cx_{3}+\operatorname {const} \Rightarrow p=-{{p_{1}-p_{2}} \over {l}}x_{3}+p_{1}{\mbox{, }}C=-{{p_{1}-p_{2}} \over {l}}\;$

(13.51)

Jeśli wykorzystamy przedstawienie (MMF-7.36) laplasjanu we współrzędnych radialnych, to wtedy równość (13.50), na podstawie otrzymanej tożsamości na stałą C podanej w punkcie (13.51) możemy napisać:

$-{{p_{1}-p_{2}} \over {\eta l}}={{1} \over {r}}{{d} \over {dr}}\left(r{{dv_{3}} \over {dr}}\right)\;$

(13.52)

Równość (13.50) możemy napisać w tożsamość na trzecią współrzędną prędkości zależnej od promienia, który wskazuje na prędkość cieczy zależną od środka rury poprzez zmienną "r":

$r{{dv_{3}} \over {dr}}=-{{p_{1}-p_{2}} \over {2\eta l}}r^{2}+c_{2}\Rightarrow v_{3}=-{{p_{1}-p_{2}} \over {4\eta l}}r^{2}+c_{2}\ln r+c_{1}\;$

(13.53)

Prędkość kuli na osi jest skończona, wiec stąd dochodzimy, że stała c₂ jest równa zero, ale ponieważ na obrzeżach rurki prędkość v₃ jest równa zero, wtedy rysujemy:

$v_{3}(R)=-{{p_{1}-p_{2}} \over {4\eta l}}R^{2}+c_{1}=0\Rightarrow c_{1}={{p_{1}-p_{2}} \over {4\eta l}}R^{2}\;$

(13.54)

Wykorzystując wzór na stałą c₁ (13.54) i wzór na stałą c₂, która jest zawsze zerowa, to wtedy na podstawie tego możemy wyznaczyć prędkość cieczy od odległości od środka symetrii rury "r" według tożsamości końcowej wynikowej (13.53):

$v_{3}(r)=-{{p_{2}-p_{1}} \over {4\eta l}}(R^{2}-r^{2})\;$

(13.55)

Wyznaczmy teraz ilość cieczy wypływającej z rury, którego prędkość jest opisywana wzorem Hagena-Poiseuille'a (13.55), to:

$Q=\int \rho v_{3}dS=\rho {{p_{1}-p_{2}} \over {4\eta l}}\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }(R^{2}-r^{2})rdrd\theta =2\pi \rho {{p_{1}-p_{2}} \over {4\eta l}}\left({{1} \over {2}}R^{4}-{{1} \over {4}}R^{4}\right)={{\pi R^{4}\rho } \over {8\eta l}}(p_{1}-p_{2})\;$

(13.56)

Średnią prędkości cieczy w rurze definiujemy jako iloraz dwóch ściśle określonych całek i jak się przekonamy jest równa połowie prędkości cieczy w środku na linii symetrii rurki:

${\vec {v}}_{3}={{\int \rho v_{3}dS} \over {\int \rho dS}}={{Q} \over {\pi R^{2}}}={{R^{2}(p_{1}-p_{2})} \over {8\eta l}}={{1} \over {2}}v_{3}(0)\;$

(13.57)

Różnica ciśnienia dla obu końcach rurek wyrażamy przy pomocy wzoru na średnią prędkość wypływającej cieczy (13.57) w postaci:

$p_{1}-p_{2}={{8\eta l} \over {R^{2}}}{\overline {v}}\;$

(13.58)

Siła działająca na rurkę ze strony cieczy, na podstawie jej prędkości średniej wypływania z rury cieczy, określamy:

$F_{3}=(p_{1}-p_{2})\pi R^{2}={{8\eta l} \over {R^{2}}}{\overline {v}}_{3}\pi R^{2}=8\pi \eta l{\overline {v}}_{3}\;$

(13.59)

Poruszająca się kulka w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością

Kulka poruszająca się w nieściśliwej cieczy ze stałą prędkością v₀ można rozważyć tak jak by kulka spoczywała, a ciecz opływa wokół niej, w której nieskończenie daleko od kulki prędkość cieczy jest równa v₀. Będziemy rozważać, że prędkość tej cieczy nie zależy od czasu dla danego punktu przestrzeni, a także rozpatrywać będziemy ciecz, w której nie występują pewne źródła cieczy, czyli według naszych omówień ciecz jest nieściśliwa, zatem według naszych ustaleń równanie (13.2) możemy przepisać jakie jest równanie ruchu cieczy, przy uwagach wyżej wprowadzonych:

$\rho ({\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\vec {v}}=-\operatorname {grad} p+\eta \Delta {\vec {v}}\;$

(13.60)

W cieczy Naviera-Stokesa człon kwadratowy jest o wiele mniejszy od członu z lepkością, jak tutaj będziemy zakładać dla przypadku dużej lepkości, czyli zachodzi właściwość:

$\rho ({\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\vec {v}}<<\eta \Delta {\vec {v}}\;$

(13.61)

Zatem równanie (13.60) na podstawie warunku (13.61) możemy zapisać:

$\operatorname {grad} p=\eta \Delta {\vec {v}}\;$

(13.62)

Podziałajmy obustronnie równość (13.62) operatorem rotacji i dostajemy wniosek:

$\operatorname {rot} \operatorname {grad} p=\eta \operatorname {rot} \Delta {\vec {v}}\Rightarrow 0=\eta \operatorname {rot} \Delta {\vec {v}}\;$

(13.63)

Równaniem różniczkowym, który jest równaniem jednorodnym w stosunku do (13.62), jest to równanie na prędkość ${\vec {v}}_{2}\;$, której laplasjan prędkości ${\vec {v}}_{2}\;$ jest równy zero:

$\Delta {\vec {v}}_{2}=0\;$

(13.64)

Rozwiązaniem szczególnym rozwiązania równości (13.62) spełniające (13.63) jest rozwiązaniem, które dla linii pola tej prędkości jest polem bezwirowym, bo rotacja tak zdefiniowanej prędkości była równa zero:

${\vec {v}}_{1}=\operatorname {grad} \Phi \;$

(13.65)

Zatem całkowita prędkość cieczy spełniająca równanie różniczkowe (13.62) jest sumą prędkości opisaną wzorem (13.65), która jest polem bezwirowym, a także prędkości wynikłej z równości (13.64):

${\vec {v}}={\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}=\operatorname {grad} \Phi +{\vec {v}}_{2}\;$

(13.66)

Ponieważ prędkość płynu ${\vec {v}}_{0}\;$ jest prędkością wyróżnioną, zatem prędkość ${\vec {v}}_{2}\;$ możemy przestawić jako iloczyn prędkości cieczy daleko od źródła ${\vec {v}}_{0}\;$ i funkcji r, która jest odległością od środka kuli:

${\vec {v}}_{2}={\vec {v}}_{0}g(r)\;$

(13.67)

Jeśli wzór (13.67) wstawimy do wzoru (13.64), na podstawie tego mamy równość, to otrzymany laplasjan funkcji g(r) występujących we wzorze (13.67) jest równy zero:

$\Delta g(r)=0\;$

(13.68)

Ponieważ funkcja występująca pod operatorem Δ jest funkcją zależną od współrzędnej tylko radialnej, to wtedy na podstawie wzoru (MMF-7.36) możemy zapisać równoważną do równości (13.68) postać, z którego wyznaczymy funkcję g(r):

${{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(rg)=0\Rightarrow g={{a} \over {r}}+b\;$

(13.69)

Ponieważ dla warunków brzegowych będziemy przyjmować, że g(∞)=0, czyli w równaniu (13.69) należy przyjąć, że zachodzi b=0. Zatem na podstawie tego możemy napisać całkowitą prędkość cieczy, biorąc (13.67) i (13.66), dla danego punktu cieczy odległej od środka kuli o "r":

${\vec {v}}=\operatorname {grad} \Phi +{\vec {v}}_{0}{{a} \over {r}}\;$

(13.70)

Ponieważ ciecz opływająca nie ma źródeł, czyli dywergencja prędkości określonych w punkcie (13.70) jest równa zero, bo mamy ciecz nieściśliwą, co piszemy:

$0=\operatorname {div} {\vec {v}}\;$

(13.71)

to wtedy prędkość opisana wzorem (13.70) podstawiamy do równości (13.71). wtedy dostajemy tożsamość na laplasjan funkcji Φ, który jest w definicji prędkości ${\vec {v}}_{1}\;$ (13.65):

$\Delta \Phi =a{{{\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}}} \over {r^{3}}}\;$

(13.72)

Będziemy szukali rozwiązania równania (13.72) dla którego zachodzi ${\vec {v}}=(0,0,v_{0})\;$ w postaci funkcji zależnej od prędkości v₀ i funkcji f(r), a także od trzeciej współrzędnej kartezjańskiej:

$\Phi ={\vec {v}}_{0}{\vec {r}}f(r)=v_{0}x_{3}f(r)\;$

(13.73)

Dalszym krokiem jest wyznaczenie laplasjanu z wyrażeniu funkcji Φ, wychodząc od wzoru (13.73), wtedy otrzymujemy, że laplasjan funkcji Φ jest zależny od wektora prędkości ${\vec {v}}_{0}\;$, wektora wodzącego danego punktu cieczy ${\vec {r}}\;$ i położenia radialnego:

$\Delta \Phi =\nabla _{i}\nabla _{i}v_{0}x_{3}f(r)=\nabla _{j}(v_{0}x_{3}\nabla _{j}f(r))+v_{0}\nabla _{z}f(r)=v_{0}\nabla _{z}f(r)+v_{0}x_{3}\Delta f(r)+v_{0}\nabla _{z}f(r)=v_{0}x_{3}\Delta f(r)+2v_{0}{{\partial f(r)} \over {\partial x_{3}}}=\;$
$=v_{0}x_{3}\Delta f(r)+2v_{0}{{\partial f} \over {\partial r}}{{\partial r} \over {\partial x_{3}}}=v_{0}x_{3}{{1} \over {r}}{{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(rf)+2v_{0}x_{3}{{1} \over {r}}{{\partial f} \over {\partial r}}={{{\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}}} \over {r}}\left({{\partial ^{2}(rf)} \over {\partial r^{2}}}+2{{\partial f} \over {\partial r}}\right)$

(13.74)

Dalej możemy porównać wyrażenia napisane wzorami (13.72) i (13.73) do siebie, bo one oznaczają to samo, wtedy otrzymujemy równanie różniczkowe, z którego będziemy wyznaczali funkcję f(r) zależną od r:

${{\partial ^{2}} \over {\partial r^{2}}}(rf)+2{{\partial f} \over {\partial r}}={{a} \over {r^{2}}}\;$

(13.75)

Rozwiązaniem równania (13.75) jest rozwiązanie zapisane w postaci poniżej, co nie musimy tutaj sprawdzać na ławach tejże książki, jest to funkcja względem parametrów A, B i a, która jest też zależna od odległości r od środka rozważanej kulki:

$f(r)=A+{{B} \over {r^{3}}}-{{a} \over {2r}}\;$

(13.76)

Wyznaczmy teraz prędkość ${\vec {v}}_{2}\;$ ze wzoru (13.65) mając funkcję Φ zdefiniowanego według wzoru (13.73), w ten sposób mając funkcję f(r), która będzie nam potrzebna do wyznaczenia tejże prędkości, mamy:

${\vec {v}}_{1}=\operatorname {grad} \Phi =\operatorname {grad} \left({\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}}f(r)\right)={\vec {v}}_{0}f(r)+({\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}})f^{'}(r){{\vec {r}} \over {r}}\;$

(13.77)

Równość (13.77) podstawiamy do wzoru (13.70) i otrzymujemy równość na prędkość cieczy odległej od kulki o wektor ${\vec {r}}\;$ i prędkości ${\vec {v}}_{0}\;$, który zależy natomiast od funkcji f(r):

${\vec {v}}={\vec {v}}_{0}f(r)+({\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}})f^{'}(r){{\vec {r}} \over {r}}+a{{{\vec {v}}_{0}} \over {r}}\;$

(13.78)

Ponieważ prędkość cieczy nieskończenie daleko od kulki jest równa ${\vec {v}}_{0}\;$, co piszemy:

$\lim _{r\rightarrow \infty }{\vec {v}}(r)={\vec {v}}_{0}\;$

(13.79)

Do wzoru (13.78) możemy napisać warunki graniczne na prędkość cieczy dla r nieskończonego według (13.79), czyli bardzo daleko od kulki o promieniu R, otrzymujemy wtedy dwie tożsamości:

$\lim _{r\rightarrow \infty }f(r)=1\;$

(13.80)

$\lim _{r\rightarrow \infty }rf^{'}(r)=0\;$

(13.81)

Z warunku (13.80) dla funkcji (13.76) otrzymujemy, że stała A jest równa jeden (A=1). Także będziemy szukać innych warunków granicznych, że prędkość cieczy na powierzchni kuli jest równa zero, czyli jeszcze raz patrząc na wzór (13.78), wtedy możemy powiedzieć, że zachodzą następne warunki graniczne:

$f(R)+{{a} \over {R}}=0\;$

(13.82)

$f^{'}(R)=0\;$

(13.83)

Wzór (13.76) możemy podstawić do wzorów (13.82) i do (13.83), wtedy dostajemy równości, które są zależne od parametrów B i a, a także od promienia rozważanej kulki:

$1+{{B} \over {R^{3}}}-{{a} \over {2R}}+{{a} \over {R}}=0\Rightarrow 1+{{B} \over {R^{3}}}+{{a} \over {2R}}=0\;$

(13.84)

$-3{{B} \over {R^{4}}}+{{a} \over {2R^{2}}}=0\Rightarrow B={{1} \over {6}}aR^{2}\;$

(13.85)

Wzór końcowy (13.85) podstawiamy do wzoru (13.84), i dalej możemy wyznaczyć parametr "a" w zależności od parametru R, która jest promieniem kulki:

$1+{{a} \over {6R}}+{{a} \over {2R}}=0\Rightarrow 1+{{4a} \over {6R}}=0\Rightarrow 1+{{2a} \over {3R}}=0\Rightarrow a=-{{3} \over {2}}R\;$

(13.86)

A równość na stałą B (13.85), do której podstawiamy wzór na stałą "a" wyznaczoną w punkcie (13.86), otrzymujemy w ten sposób wzór na tą właśnie stałą zależną od promienia kulki R:

$B={{1} \over {6}}aR^{2}={{1} \over {6}}(-1){{3} \over {2}}RR^{2}=-{{1} \over {4}}R^{3}\;$

(13.87)

Prędkość ${\vec {v}}_{1}\;$ (13.77) możemy policzyć wykorzystując definicję funkcji f(r) (13.76) i mając także, że A=1 i (13.86) jako definicję stałej "a" i (13.87) jako definicja stałej B, co stąd możemy wyliczyć całkowitą wspomnianą prędkość wedle schematu:

${\vec {v}}_{1}={\vec {v}}_{0}\left(1-{{1} \over {4}}{{R^{3}} \over {r^{3}}}+{{3} \over {4}}{{R} \over {r}}\right)+({\vec {v}}\cdot {\vec {r}}){{\vec {r}} \over {r^{3}}}{{3} \over {4}}R\left({{R^{2}} \over {r^{2}}}-1\right)\;$

(13.88)

Równanie Naviera-Stokesa (13.63), który to schematycznie możemy napisać wykorzystując fakt (13.66), a także fakt (13.64):

$\operatorname {grad} p=\eta \Delta \left({\vec {v}}_{2}+\operatorname {grad} \Phi \right)\Rightarrow \operatorname {grad} p=\eta \operatorname {grad} \Delta \Phi \;$

(13.89)

Końcową równość (13.89) możemy przecałkować obustronnie, wykorzystując przy tym, że laplasjan wielkości Φ dla naszego przypadku jest zdefiniowany wzorem (13.72), a także wzór na definicję stałej "a" jest według (13.86):

$p=p_{0}+\eta \Delta \Phi \Rightarrow p=p_{0}-{{3} \over {2}}\eta R{{{\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}}} \over {r^{3}}}\;$

(13.90)

Możemy teraz policzyć całkowitą siłę wykorzystując wzór (13.90), wiedząc że całka po ciśnieniu p₀ jest równa zero, wtedy powiemy:

${\vec {F}}=\oint _{S}pd{\vec {S}}=-{{3} \over {2}}\eta R\oint _{S}{{{\vec {v}}_{0}\cdot {\vec {r}}} \over {r^{3}}}d{\vec {S}}=-{{3} \over {2}}\eta R\oint {{1} \over {r^{3}}}\left[{\vec {r}}\times (d{\vec {S}}\times {\vec {v}}_{0})+{\vec {v}}_{0}({\vec {r}}d{\vec {S}})\right]=-{{3} \over {2}}\eta {\vec {v}}_{0}R\oint {{\vec {r}} \over {r^{3}}}d{\vec {S}}=\;$
$=-{{3} \over {2}}\eta {\vec {v}}_{0}R\int {{1} \over {r^{2}}}r^{2}d\Omega =-{{3} \over {2}}\eta {\vec {v}}_{0}R4\pi =-6\pi \eta R{\vec {v}}_{0}\Rightarrow {\vec {F}}=-6\pi \eta R{\vec {v}}_{0}\;$

(13.91)

Widzimy, że na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (13.91) możemy powiedzieć, że siła działająca na kulkę pochodzącą ze strony cieczy jest skierowana przeciwnie niż prędkość kulki, która się porusza się z prędkością ${\vec {v}}_{0}\;$.