Mechanika teoretyczna/Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

Równania Lagrange'a drugiego rodzaju i zasada Hamiltona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Zajmować będziemy się tutaj równania Lagrange'a drugiego rodzaju, a także zasadą Hamiltona.

Drugiego rodzaju równanie Lagrange'a a współrzędne uogólnione

Wprowadźmy teraz układ, których istnieją więzy określone równaniami:

$g_{\alpha }(\chi _{a},t)=0{\mbox{ }}\alpha =1,2,..,r,a=1,2,...,3N\;$

(6.1)

Zatem mając równania więzów (6.1) możemy napisać przesunięcia wirtualne, także pochodną czasową prędkości w układzie prostokątnym, wychodząc z definicji o różniczce zupełnej rozpisanej po przez pochodne cząstkowe względem jego argumentów:

$\delta \chi _{a}=\sum _{k=1}^{f}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}\delta q_{k}\;$

(6.2)

${\dot {\chi }}_{a}=\sum _{k=1}^{f}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+{{\partial \chi _{a}} \over {\partial t}}\;$

(6.3)

Wyznaczmy pochodną wielkości (6.3) względem pochodnej współrzędnej prędkości uogólnionej i na podstawie tego możemy napisać:

${{\partial {\dot {\chi }}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}={{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.4)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.2) zasadę d'Alemberta (4.8) dla "f" więzów przestawiamy:

$\sum _{a=1}^{3N}(m{\ddot {\chi }}_{a}-F_{a})\delta \chi _{a}=\sum _{a=1}^{3N}(m_{a}{\ddot {\chi }}_{a}-F_{a})\sum _{k=1}^{f}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}\delta q_{k}=0\;$

(6.5)

Energię kinetyczną w układzie współrzędnych kartezjańskich możemy wyznaczyć jako sumę energii kinetycznej dla każdej osi z osobna opisujących daną cząstkę i sumując każdą tak otrzymaną energię kinetyczną względem każdej cząstki, w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$T(q_{k},{\dot {q}}_{k},t)=\sum _{a=1}^{3N}{{m_{a}} \over {2}}{\dot {\chi }}_{a}^{2}\;$

(6.6)

Dalej należy policzyć pochodną cząstkową wielkości całkowitej energii kinetycznej (6.6) względem k-tego stopnia swobody współrzędnej uogólnionej, a także względem prędkości uogólnionej, zatem po tych operacjach dostajemy równości, z których będziemy korzystać dalej w obliczeniach.

${{\partial T} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\dot {x}}_{a}{{\partial {\dot {x}}_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.7)

${{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\dot {\chi }}_{a}{{\partial {\dot {\chi }}_{a}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\;$

(6.8)

Do dalszego przestawienia wzoru, który jest pochodną energii kinetycznej względem pochodnej współrzędnej uogólnionej, czyli (6.8), do której należy wykorzystać udowodnioną tożsamość zapisaną w punkcie (6.4):

${{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\dot {\chi }}_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.9)

Wyznaczmy teraz pierwszą pochodną zupełną wyrażenia (6.9) względem czasu:

${{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\ddot {x}}_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}+\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\dot {x}}_{a}{{\partial {\dot {\chi }}_{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.10)

Ostatni wyraz występujący w punkcie (6.10) po jego prawej stronie, jest to człon zapisanej w punkcie (6.7), wtedy powyższą równość zapisujemy:

${{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\ddot {x}}_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}+{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}m_{a}{\ddot {x}}_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.11)

Końcowy wzór wynikający z obliczeń (6.11) podstawiamy do wzoru wynikłego z zasady d'Alemberta, wtedy przestawiamy równość:

$\sum _{k=1}^{f}\left({{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}-\sum _{a=1}^{3N}F_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}=0\;$

(6.12)

Wprowadźmy teraz wielkość, którą nazywamy siłą uogólnioną, którego zapis jest jako sumę względem wskaźnika "a" iloczynu funkcji siły F_a przez pochodną χ_a względem współrzędnej q_k:

$\sum _{a=1}^{3N}F_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=Q_{k}\;$

(6.13)

W (6.13) wielkość $\sum _{a=1}^{3}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}{\vec {k}}_{a}={{\partial {\vec {r}}} \over {\partial q_{k}}}={\vec {e}}_{k}\left|\left|{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial q_{k}}}\right|\right|=e_{k}g_{k}\;$, gdzie ${\vec {e}}_{k}\;$ jest wersorem w układzie ogólnie krzywoliniowym o bazie ortonormalnej i $g_{k}=\left|\left|{{\partial {\vec {r}}} \over {\partial q_{k}}}\right|\right|\;$, więc:

$\sum _{a=1}^{3N}F_{a}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{ik}g_{ik}=\sum _{i=1}^{N}g_{ik}\left({\vec {F}}_{i},{\vec {e}}_{ik}\right)=\sum _{i=1}^{N}Q_{ik}=Q_{k}$

(6.14)

Stąd wielkość $Q_{k}\;$ jest k-tym stopniem swobody wektora siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym. Widzimy, że siła uogólniona $Q_{k}\;$, bo zachodzi (6.14) (końcowy wniosek), jest addytywna i jest sumą sił uogólnionych od poszczególnych ciał w układzie z więzami. Udowodnijmy addytywność sił uogólnionych, jeżeli na dane ciało dział jakaś liczba sił uogólnionych, na podstawie addytywności sił zwykłych:

$F_{k}=\sum _{i}F_{ik}\Rightarrow Q_{k}=\sum _{a=1}^{3N}\sum _{i}F_{ia}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i}\sum _{a=1}^{3N}F_{ia}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i}Q_{ik}\Rightarrow Q_{k}=\sum _{i}Q_{ik}\;$

(6.15)

A więc k-ty stopień swobody siły uogólnionej działającej na ciała jest sumą wszystkich k-tych stopni swobody sił uogólnionych, nawet tych działających na jedno ciało w liczbie większych niż jeden, w układzie ogólnie krzywoliniowym. Równanie (6.12) jest spełnione dla dowolnego przesunięcia wirtualnego współrzędnej uogólnionej q_k przy definicji siły uogólnionej (6.13):

${{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}=Q_{k}\;$

(6.16)

Równanie (6.16) nosi nawę równania Lagrange'a drugiego rodzaju. Następnie na podstawie obliczeń przestawionych w punkcie (1.93) możemy napisać, że współrzędna siły w układzie kartezjańskim jest równa pochodnej energii potencjalnej ciała względem współrzędnej kartezjańskiej, która to jest napisana wzorem wziętej z prawej strony wzoru z minusem:

$F_{a}=-{{\partial U} \over {\partial \chi _{a}}}+F_{za}\;$

(6.17)

Na podstawie wzoru na siłę w układzie kartezjańskim F_a (6.17) wzór na siłę uogólnioną (6.13) w zalezności od siły potencjalnej i zewnętrznej przestawiamy:

$Q_{k}=\sum _{a=1}^{3N}F_{pa}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}+\sum _{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=-\sum _{a=1}^{3N}{{\partial U} \over {\partial \chi _{a}}}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}+Q_{zk}=-{{\partial U} \over {\partial q_{k}}}+Q_{zk}\;$

(6.18)

Dla siły uogólnionej $Q_{zk}\;$ w (6.18) też zachodzi podobny związek (6.15) jak dla siły uogólnionej $Q_{k}\;$ (6.13), bo na podstawie (6.15), mamy:

$Q_{k}=Q_{zk}+Q_{pk}\;$

(6.19)

Wzór (6.18) spełnia zasadę rozpisu (6.19). Wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną na podstawie (6.18) i definicji siły uogólnionej (6.14), przedstawiamy:

$Q_{zk}=\sum _{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i=1}^{N}g_{ik}({\vec {F}}_{i},{\vec {e}}_{ik})$

(6.20)

Ponieważ zachodzi addytywność siły uogólnionej $Q_{k}\;$ (6.15) to na podstawie (6.19) zachodzi addytywność siły uogólnionej zewnętrznej $Q_{zk}\;$ lub co można sprawdzić bezpośrednio z definicji uogólnionej siły zewnętrznej (6.20), sprawdźmy to:

$Q_{zk}=\sum _{a=1}^{3N}\sum _{i}F_{zia}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i}\sum _{a=1}^{3N}F_{zia}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i}Q_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum _{i}Q_{zik}\;$

(6.21)

Wzór na siłę uogólnioną (6.18) możemy wsadzić do wzoru obrazującej drugie równania Lagrange'a (6.16) i pamiętając jednocześnie, że energia potencjalna nie zależy od czasu i prędkości uogólnionej:

${{d} \over {dt}}{{\partial (T-U)} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial (T-U)} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\;$

(6.22)

Wprowadźmy teraz funkcję Lagrange'a, która jest różnicą energii kinetycznej i potencjalnej:

$L=T-U\;$

(6.23)

Równość (6.22) na podstawie definicji funkcji Lagrange'a (6.23) możemy przepisać w postaci:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\;$

(6.24)

Układ równań (6.24) jest układem f=3N-r równań różnicowych drugiego rzędu, z którego wyznaczać będziemy wzór na współrzędne q_k w zależności jak się zmieniają one w czasie. Równanie (6.24) stosuje się tak samo dla więzów jak i do przypadku braku więzów, o ile są więzy holonomiczne, a same siły konserwatywne.

Równanie Eulera-Lagrange'a (6.24) możemy zapisać w postaci wektorowej w przestrzeni kartezjańskiej opisujący daną cząstkę o numerze "a" w analogii do równania (6.24):

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}_{a}}}-{{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}_{a}}}={\vec {Q}}_{z}\;$

(6.25)

Funkcja Lagrange'a a zasady zachowania

Zasada zachowania energii i translacja w czasie

Nazpiszmy teraz różniczkę zupełną funkcji Lagrange'a, zdefiniowaną w punkcie (6.23) względem czasu, do którego będziemy stosować drugie równanie Lagrange'a (6.24):

${{d} \over {dt}}L=\sum _{k}{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}+\sum _{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}{\ddot {q}}_{k}+{{\partial L} \over {\partial t}}=\sum _{k}{\dot {q}}_{k}{{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-\sum _{k}Q_{zk}{\dot {q}}_{k}+\sum _{k}{\ddot {q}}_{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}+{{\partial L} \over {\partial t}}=\;$
$={{d} \over {dt}}\left(\sum _{k}{\dot {q}}_{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)+{{\partial L} \over {\partial t}}-\sum _{k}Q_{zk}{\dot {q}}_{k}$

(6.26)

Wyrazy w (6.26), które są pochodnymi zupełnymi i cząstkowymi pewnej funkcji względem czasu umieszczamy po jednej stronie, czyli prawej, a pozostałe wyrazy wsadzamy po jego lewej stronie:

$\sum _{k}Q_{zk}{\dot {q}}_{k}={{d} \over {dt}}\left(\sum _{k}{\dot {q}}_{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-L\right)+{{\partial L} \over {\partial t}}\Rightarrow P_{z}={{d} \over {dt}}\left(\sum _{k}{\dot {q}}_{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-L\right)+{{\partial L} \over {\partial t}}\;$

(6.27)

Wykażemy, że prawa strona równości pod pochodną czasową jest równa całkowitej energii wziętej z minusem, to:

$T=\sum _{a=1}^{3N}{{m_{a}} \over {2}}{\dot {\chi }}_{a}^{2}=\sum _{a=1}^{3N}{{m_{a}} \over {2}}\left(\sum _{k=1}^{f}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}\right)^{2}\;$

(6.28)

Dalej wyznaczmy wyrażenie, które będzie nam bardzo dalej będzie potrzebne, w których jak wiadomo, że całkowita energia potencjalna układu nie zależy od pochodnych współrzędnych uogólnionych:

$\sum _{k=1}^{f}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}{\dot {q}}_{k}=\sum _{k=1}^{f}\sum _{a=1}^{3N}{{m_{a}} \over {2}}2\left(\sum _{s=1}^{f}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{s}}}{\dot {q}}_{s}\right){{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{k}=2\sum _{a=1}^{3N}{{m_{a}} \over {2}}\left(\sum _{s=1}^{f}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{s}}}{\dot {q}}_{s}\right)^{2}=2T\;$

(6.29)

Na samym końcu policzmy wyrażenie występujące z prawej strony wzoru (6.27) pod pochodną względem czasu wykorzystując obliczenia przeprowadzone w punkcie (6.29):

$\sum _{k}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}{\dot {q}}_{k}-L=2T-T+U=T+U=E\;$

(6.30)

Na podstawie obliczeń przeprowadzonych w punkcie (6.27) i (6.30) wykazaliśmy, że jeśli Lagrangian nie zależy od czasu i siły uogólnione zewnętrzne są równe zero, to całkowita energia układu w czasie się nie zmienia.

Translacje przestrzenne a funkcja Lagrange'a

Całkowity Lagrangian układu jest sumą wszystkich energii kinetycznych i potencjalnych dla cząstek wchodzących w skład układu mechanicznego:

$L=\sum _{i=1}^{n}{{m{\dot {{\vec {r}}_{i}^{2}}}} \over {2}}-\sum _{i,j}(|{\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{j}|)\;$

(6.31)

Dokonajmy teraz translacji przestrzennych o wektor ${\vec {a}}=[a_{1},a_{2},a_{3}]\;$ wedle schematu:

${\vec {r}}_{i}^{'}={\vec {r}}_{i}+{\vec {a}}\;$

(6.32)

Zmiana lagrangianu przy przesunięciu o pewien wektor ${\vec {a}}\;$ wyraża się w zależności od współrzędnych, który jest wyrażony przez współrzędne wektora ${\vec {r}}_{i}^{'}\;$, oraz przez współrzędne wektora ${\vec {r}}_{i}\;$ (6.32):

$\partial L=L({\vec {r}}_{i}^{'},{\dot {\vec {r}}}_{i},t)-L({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}}_{i},t)=a_{1}\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial x_{k}}}+a_{2}\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial y_{k}}}+a_{3}{{\partial L} \over {\partial x_{k}}}\;$

(6.33)

Jeśli nasz Lagrangian nie zmienia się podczas dowolnej translakcji w przestrzeni, to powinno zachodzić na pewno dla naszej funkcji $\partial L=0\;$, zatem powinny zachodzić warunki, które tożsamościowo są równe zero:

$\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial x_{k}}}=\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial y_{k}}}=\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial z_{k}}}=0\;$

(6.34)

Jeśli wykorzystamy wzór (6.24) na drugie równanie Lagrange'a, to podstawiając to równanie do trzech tożsamości wyrażonej w jednej linijce (6.34), wtedy po dokonaniu tejże operacji:

${{d} \over {dt}}\left(\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}_{k}}}\right)={{d} \over {dt}}\left(\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial {\dot {y}}_{k}}}\right)={{d} \over {dt}}\left(\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}_{k}}}\right)=0\;$

(6.35)

Na podstawie co wykazaliśmy w punkcie (6.35) możemy napisać:

$\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}_{k}}}=\operatorname {const} \;$

(6.36)

$\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial {\dot {y}}_{k}}}=\operatorname {const} \;$

(6.37)

$\sum _{k=1}^{N}{{\partial L} \over {\partial {\dot {z}}_{k}}}=\operatorname {const} \;$

(6.38)

Można wykazać, że pochodna ${{\partial L} \over {\partial {\dot {x}}_{k}}}\;$ jest pędem iksowym cząstki poruszającej się w układzie, który ulega translacji, podobnie mamy z pędem igrekowym i zetowym dla pojedynczej cząstki, zatem prawa (6.36), (6.37) i (6.38) obrazują, że podczas translacji układu o pewien wektor całkowity pęd układu pozostaje zachowany, jeśli lagrangian przy dokonanej translacji (6.31) jest niezmienniczy, zatem całkowity pęd układu cząstek w takim przypadku pozostaje niezmienniczy.

Zasada zachowania momentu pędu

Prędkość w ruchu obrotowym w układzie kulistym już wyprowadziliśmy w punkcie (1.29), zatem całkowity Lagrangian, który jest funkcją energii kinetycznej i potencjalnej, przestawiamy jako:

$L=T-U={{m} \over {2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}\sin \phi +r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-U(r)\;$

(6.39)

Z powyższych wniosków wnioskujemy, że całkowity Lagrangian nie zależy od współrzędnej θ-owej, zatem pochodna cząstkowa Lagrangianu (6.39) względem współrzędnej θ-owej jest równa zero:

$0={{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\theta }}}}={{d} \over {dt}}\left(mr^{2}{\dot {\theta }}\sin ^{2}\phi \right)\;$

(6.40)

Jeśli dodatkowo zauważmy, że zachodzi tożsamość na moment pędu zetowy:

$L_{z}=m({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}})_{z}=m(x{\dot {y}}-{\dot {x}}y)=m{\Bigg [}r\cos \theta \sin \phi \left({\dot {r}}\sin \theta \sin \phi +r{\dot {\theta }}\sin \phi \cos \theta +r{\dot {\phi }}\sin \theta \cos \phi \right)+\;$
$-r\sin \theta \sin \phi \left({\dot {r}}\cos \theta \sin \phi +r{\dot {\theta }}\sin \phi (-\sin \theta )+r{\dot {\phi }}\cos \theta \cos \phi \right){\Bigg ]}=mr^{2}{\dot {\theta }}\sin ^{2}\phi \cos ^{2}\theta +r^{2}{\dot {\theta }}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi =\;$
$=mr^{2}{\dot {\theta }}\sin ^{2}\phi (\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=mr^{2}{\dot {\theta }}\sin ^{2}\phi \;$

(6.41)

Na podstawie obliczeń (6.40), w której pod pochodną występuje wyrażenie, które jest zetowym momentem pędu określonych na podstawie obliczeń (6.41), czyli stąd wynika, że moment zetowy moment pędu jest wielkością zachowaną w wyniku obrotów o pewien kąt.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli Lagrangian $L\;$ nie zależy od współrzędnej uogólnionej q_k, to spełniona jest zasada zachowania:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\;$

(6.42)

Czyli taką współrzędną dla której zachodzi (6.42) nazywamy współrzędną cykliczną.

Wyznaczanie przyspieszenia w dowolnym ortogonalnym układzie współrzędnych

Załóżmy, że mamy do czynienia z ortogonalnym układem współrzędnych, w którym obowiązują wersory o długości jeden oznaczone przez ${\vec {e}}_{k}\;$, gdzie przyrost położenia jest napisany:

$d{\vec {r}}=\sum _{k}g_{k}(q_{i})dq_{k}{\vec {e}}_{k}\;$

(6.43)

Na podstawie (6.42) opis zależy od wersorów, a także ona zależy od różniczek współrzędnych uogólnionych, zatem prędkość danej cząstki w danym prostokątnym układzie współrzędnych jest opisywana:

${\vec {v}}={{d{\vec {r}}} \over {dt}}=\sum _{k}g_{k}(q_{i}){\dot {q}}_{k}{\vec {e}}_{k}\;$

(6.44)

Parametry $g_{k}(q_{i})\;$ są tak np. sformułowane w kulistym układzie współrzędnych, co porównując ze wzorem na prędkość w układzie kulistym danej cząstki (1.29), by można było napisać wzory na parametry występujące we wzorze (6.43):

$g_{1}=1;\;$

(6.45)

$g_{2}=r\sin \phi \;$

(6.46)

$g_{3}=r\;$

(6.47)

Wektory ${\vec {e}}_{k}\;$ tworzą układ wersorów jednostkowym i ortogonalnych do siebie, bo:

${\vec {e}}_{k}{\vec {e}}_{i}=\delta _{ki}\;$

(6.48)

Biorąc na uwagę definicję prędkości w tym naszym omawianym układzie (6.44), a także z własności ortogonalności wersorów (6.48), to możemy wzór na całkowitą energię kinetyczną układu napisać w postaci:

$T={{1} \over {2}}m{\vec {v}}^{2}={{1} \over {2}}m\sum _{k}g_{k}^{2}{\dot {q}}_{k}^{2}\;$

(6.49)

Rozpatrzmy teraz wzór dla jednego ciała na drugie równanie Lagrange'a (6.16), które określimy za pomocą energii kinetycznej i siły uogólnionej, a wzór na siłę uogólnioną według (6.14), także wykorzystajmy drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), w takim razie dla układu ogólnie krzywoliniowego mamy:

${{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}=m{{d} \over {dt}}(g_{k}^{2}{\dot {q}}_{k})-m\sum _{i}g_{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{i}^{2}=mg_{k}^{2}{\ddot {q}}_{k}+2mg_{k}{{dg_{k}} \over {dt}}{\dot {q}}_{k}-m\sum _{i}g_{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{i}^{2}=mg_{k}^{2}{\ddot {q}}_{k}+\;$
$+2mg_{k}\sum _{i}{{\partial g_{k}} \over {\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{k}-m\sum _{i}g_{i}{{\partial g_{i}} \over {\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{i}^{2}=g_{k}F_{k}=g_{k}ma_{k}\;$

(6.50)

Z drugiej jednak strony wzór na przyspieszenie dowolnej cząstki możemy otrzymać ze wzoru fizycznego, słusznego w dowolnym układzie ogólnie krzywoliniowym, z (6.44) licząc pochodną zupełną względem czasu dla obu jego stron, zatem:

${\vec {a}}=\sum _{k}g_{k}{\ddot {q}}_{k}{\vec {e}}_{k}+\sum _{k}{\dot {q}}_{k}{{d} \over {dt}}\left(g_{k}{\vec {e}}_{k}\right)$

(6.51)

Ostatni człon w powyższym wzorze jest bardzo trudny do obliczenia, ale możemy wyznaczyć jego współczynnik liniowej kombinacji porównując współczynniki stojące przy ${\ddot {q}}_{k}\;$ we wzorze (6.51) i we równaniu na drugie równanie Lagrange'a (6.50), stąd:

${\vec {a}}=\sum _{k}{\vec {e}}_{k}{{1} \over {mg_{k}}}\left({{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}\right)\Rightarrow \sum _{k}a_{k}{\vec {e}}_{k}=\sum _{k}{\vec {e}}_{k}{{1} \over {mg_{k}}}\left({{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}\right)\Rightarrow a_{k}={{1} \over {mg_{k}}}\left({{d} \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial T} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(6.52)

Równość (6.52) zachodzi, bo jak powiedzieliśmy dla (6.13) (tutaj wszystkie siły uwzględniono w $Q_{k}\;$, czyli $U=0\;$, a więc $L=T-U=T-0=T\;$), że $Q_{k}\;$ jest k-tą współrzędną siły uogólnionej w układzie ogólnie krzywoliniowym, wykorzystując wzór na drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), też wiedząc, że zachodzi w zależności od współrzędnych przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym:

$\sum _{k}a_{k}{\vec {e}}_{k}={\vec {a}}\;$

(6.53)

Podstawiając (6.53) do pierwszego równania (6.52) dostajemy drugie równanie też tam. To co napisano w drugim równaniu (6.52) i z definicji ortonormalności wersorów ${\vec {e}}_{k}\;$ (6.48) mamy trzecie równanie w (6.52), czyli równanie końcowe w (6.52) jest prawdziwe i przedstawia wzór na k-tą współrzędną przyśpieszenia w układzie ogólnie krzywoliniowym. Energia kinetyczna w układzie kulistym dla ciała jest określona na podstawie wzoru (1.29):

$T={{m} \over {2}}\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\phi {\dot {\theta }}^{2}\right)\;$

(6.54)

Jeśli podstawimy wzór (6.54) do wzoru (6.52) przy oznaczeniach (6.45), (6.46) i (6.47), zatem w ten sposób otrzymujemy wzór na przyspieszenie w układzie kulistym dla danego ciała, które już określaliśmy według wzoru (1.31).

Zasada Hamiltona, a drugie równanie Lagrange'a

Weźmy sobie całkę działania, które określamy za pomocą wzoru, w której funkcją podcałkową jest funkcją Lagrange'a zdefiniowanej w punkcie (6.23), zatem ta nasza całka:

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{k},{\dot {q}}_{k},t)dt\;$

(6.55)

Całkę działania (6.55) będziemy tak formułować, by wariacja funkcji S była równa zero, czyli przyjmujemy zasadę Hamiltona, czyli zasadę najmniejszego działania. Na podstawie obliczeń przeprowadzonych na funkcjach Lagrange'a w książce do Metod matematycznych fizyki określamy wzór, że wariacja funkcjonału S jest równa zero, zatem Lagrangian występujący w (6.55) spełnia wniosek (MMF-17.13), w którym występuje funkcja F, którą tutaj zastąpimy przez L, zatem w końcowych perypetiach otrzymujemy wzór skalarny (6.24) lub wzór wektorowy (6.25) dla przestrzeni kartezjańskiej, a więc to udowodnijmy i wszystkie wnioski do tego, co zachodzą z teorii ruchu:

$0=\delta S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({{\partial L} \over {\partial q_{k}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)dt\delta q_{k}\Rightarrow {{\partial L} \over {\partial q_{k}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}=0\;$

(6.56)

Przyjmijmy, że lagrangian jest sumą lagrangianu normalnego $L=T-U\;$ i odpowiedzialnego za siły zewnętrzne, które w szczególnym przypadku też w nim są siły oddziaływań, więc w przypadku lagrangianu w (6.56) zastępując według:

$L\rightarrow L+L_{z}\;$

(6.57)

Na podstawie wynikającej z zasady wariacyjnej (6.56) i zastępowania (6.57) oraz zakładamy, że $L_{z}\;$ jest zależne od prędkości i położenia ciał, otrzymujemy:

${{d} \over {dt}}{{\partial (L+L_{z})} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial (L+L_{z})} \over {\partial q_{k}}}=0\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(6.58)

A ponieważ zachodzi wynikająca z teorii ruchu (6.24) i wynikająca z teorii lagrangianu (6.58), mamy:

$Q_{zk}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\right)={{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\;$

(6.59)

Wzór (6.59) jest przepisem jak liczyć k-ty stopień swobody sił uogólnionych w układzie ogólnie krzywoliniowym znając lagrangian sił oddziaływań oraz sił zewnętrznych $L_{z}\;$, która jest zależna od prędkości i położenia. Gdy $L_{z}\;$ nie jest zależne od prędkości, tylko od położenia, w takim razie wzór (6.59) przyjmuje formę:

$Q_{zk}={{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.60)

Na podstawie wzoru na siłę uogólnioną $Q_{k}\;$ (6.59) wzór (6.58) przyjmuje formę o wyglądzie (6.24), aby dla jasności wykładu przepiszemy ten wzór:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\;$

(6.61)

Udowodnijmy addytywność siły uogólnionej $Q_{zk}\;$ z teorii lagrangianu wiedząc, że zachodzi z teorii ruchu (6.21), gdy na dane ciało działa jakaś ich liczba, zatem:

$Q_{zk}=\left({{\partial } \over {\partial q_{k}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\sum _{i}L_{zi}=\sum _{i}\left({{\partial } \over {\partial q_{k}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)L_{zi}=\sum _{i}Q_{zik}\Rightarrow Q_{zk}=\sum _{i}Q_{zik}\;$

(6.62)

Na podstawie (6.62) siła uogólniona zewnętrzna jest addytywna, która występuje we wzorze (6.61). Czyli to co chcieliśmy na samym początku tego rozdziału udowodniliśmy. Wzory (6.61), (6.59) i (6.60) oraz (6.62) są słuszne, gdy $L=T-U\;$, a dla innych przypadków $L\;$ też są słuszne, a my to chcemy udowodnić, dla tych przypadków mamy równania poniżej. Na podstawie tych wniosków też jest słuszny wzór (6.56) przed zamianą według (6.57). Zastępujmy w definicji siły uogólnionej w (6.59) w równaniu (6.61) według:

$L_{z}\rightarrow L_{oiz}+L_{z}\;$

(6.63)

Wtedy na podstawie (6.63) wzór kocowy w (6.58) przyjmuje formę:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial } \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial } \over {\partial q_{k}}}\right)(L_{oiz}+L_{z})\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{oiz}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{oiz}} \over {\partial q_{k}}}\right)-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\right)\Rightarrow \;$
$\Rightarrow {{d} \over {dt}}{{\partial (L+L_{oiz})} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial (L+L_{oiz})} \over {\partial q_{k}}}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\right)\;$

(6.64)

W (6.64) (końcowa tożsamość) zastąpmy według procedury $L+L_{oiz}\rightarrow L\;$, a my dla jasności wykładu napiszmy równanie, które jest słuszne dla dowolnej postaci lagrangianu, a ono nazwiemy drugą uogólnioną zasadą Lagrange'a wynikającą z zasady wariacyjnej, a ono jest w postaci (6.65) (podobne do wzoru (6.24) i (6.61)), a wzór na siłę uogólnioną zewnętrzną przepiszmy jako (6.66) (podobny do wzoru (6.59)) zależną od lagrangianu siły zewnętrznej $L_{z}\;$, a gdy lagrangian siły zewnętrznej nie zależy od prędkości, wtedy siła uogólniona przedstawiamy jako (6.67) (podobny do wzoru (6.60)), a lagrangian całkowity $L_{c}\;$ (6.68) jest sumą lagrangianu $L\;$ i lagrangianu siły zewnętrznej $L_{z}\;$, czyli te wzory piszemy:

${{d} \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L} \over {\partial q_{k}}}=Q_{zk}\;$

(6.65)

$Q_{zk}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\right)={{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}-{{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}\;$

(6.66)

$Q_{zk}={{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\;$

(6.67)

$L_{c}=L+L_{z}\;$

(6.68)

Określmy postać wzoru na siłę uogólnioną zewnętrzną dla (6.66) i (6.67) oraz podobnego do (6.59) i (6.60) podobnym wzorem do (6.20), więc:

$\sum _{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{i=1}^{N}g_{ik}({\vec {F}}_{zi},{\vec {e}}_{ik})=\sum _{i=1}^{N}Q_{ik}=Q_{zk}\;$

(6.69)

Czyli jak we wzorze (6.20) k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym siły uogólnionej zewnętrznej jest według (6.69), bo tak jest na podstawie (6.63), że stara siła uogólniona zewnętrzna (stare $Q_{zk}\;$) wynikającego ze starego $L_{z}\;$ jest sumą siły uogólnionej $Q_{oizk}\;$ z $L_{oiz}\;$ i nowej siły uogólnionej zewnętrznej (nowe $Q_{zk}\;$) z nowego $L_{z}\;$, co uwidaczniamy na podstawie rachunku:

$Q_{zk}\rightarrow \sum _{a=1}^{3N}(F_{oiza}+F_{za}){{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=\sum _{a=1}^{3N}F_{oiza}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}+\sum _{a=1}^{3N}F_{za}{{\partial \chi _{a}} \over {\partial q_{k}}}=Q_{oizk}+Q_{zk}\Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk}\;$

(6.70)

Stąd z (6.70) mamy (6.69) dla nowego $Q_{zk}\;$, stąd na podstawie (6.21) k-ty stopień swobody w układzie ogólnie krzywoliniowym nowej siły uogólnionej zewnętrznej $Q_{zk}\;$ w (6.70) jest addytywny. To też można udowodnić z teorii lagrangianu:

$Q_{zk}=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial (L_{oiz}+L_{z})} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial (L_{oiz}+L_{z})} \over {\partial q_{k}}}\right)=-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{oiz}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{oiz}} \over {\partial q_{k}}}\right)-\left({{d} \over {dt}}{{\partial L_{z}} \over {\partial {\dot {q}}_{k}}}-{{\partial L_{z}} \over {\partial q_{k}}}\right)=Q_{oizk}+Q_{zk}\Rightarrow \;$
$\Rightarrow Q_{zk}\rightarrow Q_{oizk}+Q_{zk}\;$

(6.71)

W (6.71) z teorii lagrangianu wychodzi taki sam wniosek co z (6.70) z teorii ruchu, stąd definitywnie siła uogólniona zewnętrzna w (6.66) i (6.67) spełnia zasadę addytywności na podstawie wniosku addytywności starej siły uogólnionej zewnętrznej wynikającej z rachunku (6.62) (teoria lagrangianu) oraz (6.21) (teoria ruchu).

Zasada zachowania momentu pędu, inne podejście

(Rys. 6.1) Obrót wektora o pewien odcinek względem kąta δφ

By wyprowadzić zasadę zachowania momentu pędu z zasad czysto wariacyjnych należy z rysunku obok napisać pewne tożsamości, co wtedy możemy powiedzieć, że zachodzi tożsamość skalarna na nieskończenie małe przesunięcie, które jest iloczynem promienia r, sinusa kąta θ i wariacji kata φ:

$|\delta {\vec {r}}|=r\sin \theta \delta \delta \phi \;$

(6.72)

Wektor $\delta {\vec {r}}\;$ jest prostopadły do płaszczyzny określonej przez wektory ${\vec {r}}\;$ i $\delta {\vec {\phi }}\;$, wtedy wzór (6.73) możemy zapisać w formie jako iloczyn wektorowy wariacji kąta ${\vec {\phi }}\;$ i wektora promienia ${\vec {r}}\;$:

$\delta {\vec {r}}=\delta {\vec {\phi }}\times {\vec {r}}\;$

(6.73)

Równość (6.74) możemy zróżniczkować obustronnie względem czasu i w ten sposób otrzymać wariację prędkości, która jest równa iloczynowi wektorowemu wariacji kąta ${\vec {\phi }}\;$ i prędkości ${\vec {v}}\;$:

$\delta {\vec {v}}=\delta {\vec {\phi }}\times {\vec {v}}\;$

(6.74)

Będziemy tutaj wyprowadzać zasadę zachowania momentu pędu, z warunku, że wariacja lagrangianu jest stała i jest równa zero, tzn. powinno zachodzić:

$\delta L=\sum _{a}\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {r}}_{a}}}\delta {\vec {r}}_{a}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}_{a}}}\delta {\vec {v}}_{a}\right)\;$

(6.75)

Wykorzystamy teraz wzór (6.25), a także definicję pędu uogólnionego, a także wzoru na wariację położenia (6.73) i wariację prędkości (6.74), w ten sposób mamy tożsamość wynikająca z (6.75):

$\sum _{a}\left({\dot {p}}_{a}\times (\delta {\vec {\phi }}\times {\vec {r}}_{a}\right)+{\vec {p}}_{a}(\delta {\vec {\phi }}\times {\vec {v}}_{a}))=0\;$

(6.76)

Możemy dokonać cyklicznej zmiany czynników w iloczynach mieszanych występujących we tożsamości (6.76) i wykorzystując równoległość wektora prędkości i pędu w nim:

$\delta {\vec {\phi }}\cdot \sum _{a}({\vec {r}}_{a}\times {\dot {\vec {p}}}+{\vec {v}}_{a}\times {\vec {v}})=\delta {\vec {\phi }}\cdot {{d} \over {dt}}\sum _{a}({\vec {r}}_{a}\times {\vec {p}}_{a})=0\;$

(6.77)

Patrząc na równość (6.77) dowiadujemy się, że dla układu odosobnionego pozostaje stała wielkość:

${\vec {N}}=\sum _{a}({\vec {r}}_{a}\times {\vec {p}}_{a})\;$

(6.78)

Napiszmy, czemu jest równy moment pędu w nowym nieporuszającym się układzie odniesienia, jeśli znamy jego odpowiednik w starym układzie odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem dwóch różnych początków, wtedy:

${\vec {N}}^{'}=\sum _{a}({\vec {r}}_{a}^{'}\times {\vec {p}}_{a}^{'})=\sum _{a}{\vec {r}}\times {\vec {p}}_{a}-{\vec {a}}\times \sum _{a}{\vec {p}}_{a}={\vec {N}}-{\vec {a}}\times {\vec {P}}\;$

(6.79)

Wyznaczmy czemu jest równy moment pędu w nowym poruszającym się układzie odniesienia względem starego układu odniesienia, gdy moment pędu liczymy względem tego samego początku, ale pędy takich samych punktów masowych są w tych dwóch układach różne ze względu na prędkość nowego układu odniesienia:

${\vec {N}}^{'}=\sum _{a}m_{a}({\vec {r}}_{a}\times {\vec {v}}_{a})=\sum _{a}m_{a}({\vec {r}}_{a}\times {\vec {v}}_{a}^{'})-\sum _{a}m_{a}({\vec {r}}_{a}\times {\vec {V}})={\vec {N}}-\left(\sum _{a}m_{a}{\vec {r}}_{a}\right)\times {\vec {V}}\;$

(6.80)

Do wzoru końcowego (6.80) wykorzystamy definicję położenia środka masy poprzez położenia poszczególnych punktów masowych i ich mas (3.1):

${\vec {N}}^{'}={\vec {N}}-M{\vec {R}}\times {\vec {V}}\;$

(6.81)

Widzimy, że moment pędu układów cząstek w nowym układzie odniesienia jest różnicą momentu pędu względem starego układu odniesienia i momentu pędu środka masy.

• Wyznaczymy teraz definicję zetowego momentu pędu w zależności od lagrangianu L.

Moment pędu zetowy w układzie cylindrycznym przestawiamy:

$N_{z}=\sum _{a}m_{a}(x_{a}{\dot {y}}_{a}-y_{a}{\dot {x}}_{a})=\sum _{a}m_{a}r_{a}^{2}{\dot {\theta }}_{a}\;$

(6.82)

Lagrangian w układzie cylindrycznym przestawiamy poprzez definicję energii kinetycznej w tym układzie i energii potencjalnej:

$L={{1} \over {2}}\sum _{a}m_{a}({\dot {r}}_{a}^{2}+r_{a}^{2}{\dot {\theta }}_{a}^{2}+{\dot {z}}_{a}^{2})-U\;$

(6.83)

Patrząc na definicję momentu lagrangianu zapisanej w układzie cylindrycznym (6.83), wtedy moment sił zetowy (6.82) możemy zapisać jako:

$N_{z}=\sum _{a}{{\partial L} \over {\partial {\dot {\theta }}_{a}}}\;$

(6.84)

Masa zredukowana układu dwóch cząstek

Lagrangian układu dwóch mas znajdujących się wzajemnym polu potencjalnym określamy jako różnicę energii kinetycznej dla dwóch mas i energii potencjalnej:

$L={{1} \over {2}}m_{1}{\dot {\vec {r}}}_{1}+{{1} \over {2}}m_{1}{\dot {\vec {r}}}_{2}-U(|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|)\;$

(6.85)

Zakładając, że środek mas znajduje się w środku układu współrzędnych, to ich położenie względne masy pierwszej względem drugiej i z definicji środka masy, mamy dwa równania:

${\vec {r}}={\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}\;$

(6.86)

$0=m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}\;$

(6.87)

Z równań (6.86) i (6.87) możemy otrzymać położenia poszczególnych mas znając położenie względne masy pierwszej względem drugiej:

${\vec {r}}_{1}={{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\;$

(6.88)

${\vec {r}}_{2}=-{{m_{1}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\;$

(6.89)

Wzory na poszczególne położenia mas w układzie środka masy, tzn. (6.88) i (6.89) podstawiamy do definicji Lagrangianu dla tychże mas (6.85):

$L={{1} \over {2}}m_{1}{{m_{2}^{2}} \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}{\dot {\vec {r}}}^{2}+{{1} \over {2}}m_{2}{{m_{1}^{2}} \over {(m_{1}+m_{2})^{2}}}{\dot {\vec {r}}}^{2}-U(|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|)={{1} \over {2}}{{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}{\dot {\vec {r}}}^{2}-U(r)={{1} \over {2}}m{\dot {\vec {r}}}-U(r)$

(6.90)

W obliczeniach (6.90) wprowadziliśmy masę zredukowaną:

$m={{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\;$

(6.91)

Widzimy, że wprowadzając pojęcie masy zredukowanej możemy formalnie opisywać ruch ciała o masie m w polu zewnętrznym U(r) względem nieruchomego układu współrzędnych.