Mechanika teoretyczna/Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

Zdeformowane ciała i ich opis kinematyczny

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Każdemu ciału będziemy przyporządkowali jego współrzędne a_i, one oznaczają współrzędne ciała w chwili t=0, te współrzędne będą grały rolę nazw dla danego punktu masowego. Współrzędną x_i nazywamy współrzędną określoną względem początkowego położenia i określana jest dodatkowo względem czasu:

$x_{i}=x_{i}(a_{j},t)\;$

(9.1)

Prędkość danego punktu masowego określamy jako pochodną cząstkową wielkości położenia danej cząstki, którą charakteryzuje a_j, oczywiście tą wielkość liczymy względem czasu, co możemy napisać sposobem:

$v_{i}={{\partial x_{i}(a_{j},t)} \over {\partial t}}=v_{i}(a_{j},t)\;$

(9.2)

Opis prędkości danej wzorem (9.2) nazywamy opisem według Lagrange'a. Zwykle nie interesuje nas skąd pochodzi element, ale interesuje nas ściśle okreslony punkt, jest to opis prędkości dany przez:

$v_{i}=v_{i}(x_{l},t)\;$

(9.3)

Opis dawany wzorem (9.3) nazywamy opisem Eulera. Każdy punkt masowy w przestrzeni porusza się po pewnej trajektorii , czyli po zbiorze punktów, do której należy do tej trajektorii, a natomiast linią prądu nazywamy takie krzywe linie, do której styczne określa kierunek prędkości dla ściśle określonego punktu płynu. Linie prądu nazywamy takie krzywe w przestrzeni trójwymiarowej, której równanie jest opisywane przez równość stosunków różniczek współrzędnych i prędkości cząstek:

$dx_{1}:dx_{2}:dx_{3}=v_{1}:v_{2}:v_{3}\;$

(9.4)

Przyspieszeniem w znaczeniu Lagranga'e nazywamy przyspieszeniem określanego jako pochodną wielkości (9.2) względem czasu:

$b_{i}={{\partial v_{i}(a_{l},t)} \over {\partial t}}=b_{i}(a_{l},t)\;$

(9.5)

Napiszmy teraz czemu jest równe przyspieszenie w sensie Eulera znając gradient prędkości cząstki w danym punkcie, a także pochodna cząstkową prędkości względem czasu, zatem z definicji różniczki zupełnej możemy napisać tożsamość:

$b_{i}(x_{l},t)={{dv_{i}(x_{l},t)} \over {dt}}={{\partial v_{i}(a_{l},t)} \over {\partial t}}=\sum _{r=1}^{3}{{\partial v_{i}(x_{l},t)} \over {\partial x_{r}}}{{\partial x_{r}(a_{j},t)} \over {\partial t}}+{{\partial v_{i}(x_{l},t)} \over {\partial t}}\;$

(9.6)

Wektorowo związek (9.6) piszemy wedle schematu poniżej wykorzystują definicję gradientu:

${\vec {b}}={{d{\vec {v}}} \over {dt}}={{\partial {\vec {v}}} \over {\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \operatorname {grad} ){\vec {v}}\;$

(9.7)

Ogólnie rzecz biorąc tożsamość podana w punkcie (9.7) jest słuszna dla dowolnego wektora ${\vec {A}}\;$ powstałej z ostatniej tożsamości po podstawieniu tego ostatniego, czyli naszej wielkości wektorowej. Pochodną zupełną względem czasu prędkości nazywa się pochodną substancjalną.

Definicja źródeł i wirów

Załóżmy, że mamy pewne pole prędkości ${\vec {v}}({\vec {r}},t)\;$, wtedy możemy napisać całkę, która charakteryzuje ilość wypływanej cieczy przez powierzchnię S, którą definiujemy jako strumień pola prędkości:

$\int _{S}{\vec {v}}d{\vec {S}}\;$

(9.8)

Infinitezymalny wektor $d{\vec {S}}\;$ nazywamy wektor mówiąca jaka jest infinitezymalna powierzchnia przez którą przepływa ciecz, a zwrot tego wektora jest prostopadły do tej powierzchni i skierowanej jest na zewnątrz naszej powierzchni, jeśli mamy do czynienia z powierzchnią zamkniętą. Jeśli mamy tą powierzchnię, wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wtedy strumień pola prędkości, gdy nie ma źródeł, możemy napisać:

$\oint _{\Sigma }{\vec {v}}d{\vec {S}}=\int _{v}\operatorname {grad} {\vec {v}}dV=0\Rightarrow \operatorname {div} {\vec {v}}=0\;$

(9.9)

Jeśli ciecz podczas jego ruchu ma źródła, to wtedy nie zachodzi (9.9), ale zachodzi:

$Q=\oint _{\Sigma }{\vec {v}}d{\vec {\Sigma }}\neq 0\;$

(9.10)

Patrząc na wzór (9.10) możemy powiedzieć, że jeśli Q>0, to ciecz wypływa z pewnej powierzchni, zaś jeśli Q<0, to ciecz wpływa do wewnątrz powierzchni Σ. Wielkość Q nazywamy wydajnością źródła. Z drugiej jednak strony wydajność źródła Q nazywamy taką wielkość, które jest całką po objętości względem wielkości q:

$Q=\int _{V}qdV\;$

(9.11)

Porównując wzory (9.10) ze wzorem (9.11), korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, możemy napisać tożsamość:

$\oint _{\Sigma }{\vec {v}}d{\vec {S}}=\int _{V}qdV\Rightarrow \int _{V}\operatorname {grad} {\vec {v}}dV=\int qdV\Rightarrow q=\operatorname {grad} {\vec {v}}\;$

(9.12)

Wprowadźmy teraz inną wielkość, która określa wirowość pola prędkości danej cieczy, którą określa cyrkulacja z wielkości, która jest prędkością, jest ona określana wzorem poniżej, którego definicja jest całką po prędkościach względem infinitezymalnego wektora określająca dany element krzywej zamkniętej. Także w naszej cyrkulacji wykorzystamy twierdzenie Stokesa, wtedy będzie to całkowanie po powierzchni ograniczonej przez naszą wspomniana krzywą:

$\Gamma =\oint {\vec {v}}d{\vec {r}}=\int _{S}\operatorname {rot} {\vec {v}}\cdot d{\vec {S}}\;$

(9.13)

Cyrkulacja Γ (9.13) jest związana z rotacją pola prędkości, którą to jest połową rotacji pola prędkości, które opisuje prędkość kątową wirów w danej badanej cieczy:

${\vec {\omega }}={{1} \over {2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}\;$

(9.14)

Aby udowodnić wzór (9.14) napiszmy jak jest związana prędkość ciała z jej prędkością kątową, którego zapis jest taki, że jest iloczynem wektorowym prędkości kątowej i wektora wodzącego, który ma początek w samym środku wirów.

${\vec {v}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\;$

(9.15)

W tym celu prędkość kątową przestawmy w postaci wektorowej ${\vec {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})\;$ i policzmy połówkową wartość rotacji pola prędkości (9.14), która jest opisany wzorem (9.15), który to wykorzystamy przy dowodzie wzoru wspomnianego wcześniej:

${{1} \over {2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}={{1} \over {2}}\operatorname {rot} ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})={{1} \over {2}}\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\nabla _{j}\omega _{l}x_{m}={{1} \over {2}}(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})\nabla _{j}\omega _{l}x_{m}={{1} \over {2}}\left[\left(\nabla _{j}\omega _{i}x_{j}\right)-\nabla _{j}\omega _{j}x_{i}\right]={{1} \over {2}}\left(3\omega _{i}-\omega _{j}\delta _{ji}\right)=\;$
$={{1} \over {2}}\left(3\omega _{i}-\omega _{i}\right)={{1} \over {2}}2\omega _{i}=\omega _{i}={\vec {\omega }}\;$

(9.16)

Jeśli elementy masowe okrążają pewne koła, to wtedy mamy do czynienia z ruchem wirowym, wtedy zachodzi ${\vec {\omega }}\neq 0\;$. Cyrkulację pola prędkości (9.13) nazywamy całkę na podstawie wzoru (9.14), którego to ${\vec {\omega }}\;$ nazywamy polem wirów, wielkość, którą nazywamy strumieniem wirów.

$\int _{S}{\vec {\omega }}\cdot d{\vec {S}}\;$

(9.17)

Przepływy potencjalne w przestrzeni dwuwymiarowej i trójwymiarowej

Rozparzmy teraz przepływ płynu w przestrzeni dwuwymiarowej, w której nie ma wirów i nie ma źródeł, czyli dla którego rotacja i dywergencja tej samej wielkości względem prędkości są równe zero.

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0\;$

(9.18)

$\operatorname {rot} {\vec {v}}=0\;$

(9.19)

Oznaczmy przez prędkość danego punktu masowego po przez potencjał pola prędkości Φ w przestrzeni dwuwymiarowej, która jest gradientem wspomnianego potencjału pola prędkości:

${\vec {v}}=\operatorname {grad} \Phi \;$

(9.20)

Widzimy, że równanie (9.20) jest tak sformułowane, by rotacja pola prędkości (9.19) przyjmowała wartość zerową, co dowód podamy poniżej, wykorzystując definicję rotacji i gradientu.

$\operatorname {rot} {\vec {v}}=\operatorname {rot} \operatorname {grad} \Phi =\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}\Phi ={{1} \over {2}}\left[\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}+\epsilon _{ikj}\nabla _{k}\nabla _{j}\right]\Psi ={{1} \over {2}}\left[\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}-\epsilon _{ijk}\nabla _{j}\nabla _{k}\right]\Psi =0\;$

(9.21)

Rozpatrzmy teraz przestrzeń dwuwymiarową, to zdefiniujemy prędkość danego punktu cieczy, to współrzędne jego zależą do współrzednej x i y w przestrzeni dwuwymiarowej, którego nasz przepływ zachodzi dla z=0, czyli ruch zachodzi w płaszczyźnie zetowej o tej współrzędnej równej zero.

${\vec {v}}=(v_{x}(x,y),v_{y}(x,y))\;$

(9.22)

Jeśli dokonamy podstawienia, której współrzędna iksowa prędkości jest pochodną cząstkową pewnej wielkości Ψ względem współrzędnej igrekowej, a współrzędna igrekowa prędkości jest pochodną cząstkową wielkości Ψ względem współrzędnej iksowej i wziętej z minusem:

$v_{x}={{\partial \Psi } \over {\partial y}}\;$

(9.23)

$v_{y}=-{{\partial \Psi } \over {\partial x}}\;$

(9.24)

Definicje współrzędnych prędkości (9.23) i (9.24) są tak sformułowane, by dywergencja prędkości miała wartość zerową, tzn. spełniającego tożsamość poniżej, do której podstawimy wspomniane wielkości w tym zdaniu, by na końcu udowodnić, że nasze pole prędkości jest polem bezźródłowym:

$\operatorname {div} {\vec {v}}={{\partial v_{x}} \over {\partial x}}+{{\partial v_{y}} \over {\partial y}}={{\partial ^{2}\psi } \over {\partial x\partial y}}-{{\partial ^{2}\psi } \over {\partial y\partial x}}=0\;$

(9.25)

Jeśli wprowadzimy wielkość, której wszystkie współrzędne są równe zero, oprócz ostatniej, która jest równa Ψ, zatem tą wielkość przestawimy wzorem ${\vec {A}}=(0,0,\Psi )\;$, to można zauważyć, że jeśli zachodzą związki prędkości iksowej i igrekowej, tzn. wielkości (9.23) i (9.24), to wtedy dowiemy się, że rotacja wektora ${\vec {A}}\;$ jest równa prędkości dla danego punktu cieczy:

$\operatorname {rot} {\vec {A}}=\left({{\partial A_{x}} \over {\partial y}}-{{\partial A_{y}} \over {\partial z}},{{\partial A_{x}} \over {\partial x}}-{{\partial A_{z}} \over {\partial x}},{{\partial A_{y}} \over {\partial x}}-{{\partial A_{x}} \over {\partial y}}\right)=\left({{\partial \Psi } \over {\partial y}},-{{\partial \Psi } \over {\partial x}},0\right)={\vec {v}}\;$

(9.26)

Patrząc na wzory (9.23) i (9.24), a także na definicję prędkości (9.20) poprzez potencjał pola prędkości Φ, wtedy dostajemy wniosek:

${{\partial \Phi } \over {\partial x}}={{\partial \Psi } \over {\partial y}}\;$

(9.27)

${{\partial \Phi } \over {\partial y}}=-{{\partial \Psi } \over {\partial x}}\;$

(9.28)

Wprowadźmy teraz funkcję W(z) , której częścią rzeczywistą jest funkcja Φ(x,y), a częścią urojoną jest funkcja Ψ(x,y), zatem na podstawie tego możemy zbudować zespoloną funkcję, której zapis:

$W(z)=\Phi (x,y)+i\Psi (x,y)\;$

(9.29)

Określmy teraz prędkość zespoloną, która jest pochodną zupełną wielkości W(z) (9.29) względem jej argumentu z, i wykorzystując przy tym fakt (9.27) i (9.28) i definicję prędkości względem potencjału pola prędkości (9.20):

$w={{dW} \over {dz}}={{\partial (\Phi +i\Psi )} \over {\partial x}}={{\partial (\Phi +i\Psi )} \over {\partial (iy)}}=v_{x}-iv_{y}\;$

(9.30)

Zespolona sprzężona prędkość na powstaje z jej odpowiednika normalnego (9.30), i piszemy go wzorem poniżej.

$w^{*}=\left({{\partial W} \over {\partial z}}\right)^{*}=v_{x}+iv_{y}\;$

(9.31)

Teraz zbadajmy jak się zmienia wielkość Ψ wzdłuż linii prądu, w tym celu należy rozpisać różniczkę funkcji ψ z twierdzenia o różniczce zupełnej wielkości dwóch zmiennych, i wykorzystując przy tym fakt na linię prądów $dx:dy=v_{x}:v_{y}\;$:

$d\Psi ={{\partial \Psi } \over {\partial x}}dx+{{\partial \Psi } \over {\partial y}}dy=-{{\partial \Phi } \over {\partial y}}dx+{{\partial \Phi } \over {\partial x}}dy=-v_{y}dx+v_{x}dy=-v_{y}{{v_{x}} \over {v_{y}}}dy+v_{x}dy=-v_{x}dy+v_{x}dy=0\;$

(9.32)

Obliczenia wykonane w punkcie (9.32) mówią, że wzdłuż linii prądów wielkość Ψ jest wielkością stałą.

Wprowadzenie tensora deformacji

Nowe położenie cząstki x₁ jest sumą starego położenia cząstki i jego deformacji danego punktu od jej chwili początkowej, co możemy napisać równaniami dla położenia nowego cząstki i różniczki zmiany położeń dwóch najbliższych cząstek naszego ciała po deformacji:

$x_{i}=a_{i}+s_{i}\;$

(9.33)

$dx_{i}=da_{i}+ds_{i}\;$

(9.34)

Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie (9.34) w zależności od różniczki da_i, wiedząc, że pole s_i jest jednoznaczną funkcją położeń początkowych a_i, którą to napiszemy za nawiasem wykorzystując definicję delty Kroneckera. Różniczkę położeń końcowych dwóch najbliższych infinitezymalnie bliskich punktów należących do danego ciała piszemy:

$dx_{j}=da_{j}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}da_{i}=\left(\delta _{ji}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}\right)da_{i}\;$

(9.35)

Tensor ${{\partial s_{i}} \over {\partial a_{j}}}\;$ nazywamy tensorem dystorsji lub tensorem przesunięć. Wyrażenie (9.35) zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, które jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformacją, tzn. między punktami a_i i a_i+da_i, wykorzystując przy tym fakt (9.35):

$d{\tilde {l}}^{2}-dl^{2}=dx_{j}dx_{j}-da_{j}da_{j}=\left(\delta _{ji}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}\right)da_{i}\left(\delta _{jk}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{k}}}\right)da_{k}-da_{j}da_{j}=da_{j}da_{j}+\;$
$+\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial a_{i}}}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}\right)da_{i}da_{k}-da_{i}da_{i}=\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial a_{i}}}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{k}}}\right)da_{i}da_{k}=2\epsilon _{ik}da_{i}da_{k}\;$

(9.36)

Wprowadzimy teraz tensor deformacji ε_ik, który jest z definicji symetryczny ze względu na przestawienie jego wskaźników, który składa się części pierwszego rzędu, z tensorów dystorsji i członu kwadratowego, definicja tego tensora jest:

$\epsilon _{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial a_{i}}}+{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{i}}}{{\partial s_{j}} \over {\partial a_{k}}}\right)\;$

(9.37)

Wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie na różniczkę zmiany początkowych położeń w zależności od różniczki między końcowymi położeniami, wiedząc że s_i jest jednoznaczną funkcją położeń końcowych, i wykorzystując definicję delty Kroneckera, to różniczkę zmiany położeń początkowych w zależności od różniczki położeń końcowych przedstawiamy:

$da_{i}=dx_{i}-ds_{i}=\left(\delta _{ik}-{{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}\right)dx_{k}\;$

(9.38)

Wyrażenie (9.38) zawiera nie tylko same deformacje, ale też same obroty, aby otrzymać wyrażenie, które zawiera same deformacje należy napisać obiekt, która jest różnicą kwadratów dwóch odległości, tzn. nowych odległości między punktami ciała po deformacji i ciała przed deformację, tzn. pomiędzy punktami x_i i x_i+dx_i, wykorzystując przy tym wspomniane wyrażenie, wtedy powiemy:

$d{\tilde {l}}^{2}-dl^{2}=dx_{i}dx_{i}-da_{i}da_{i}=dx_{i}dx_{i}-\left(\delta _{ij}-{{\partial s_{i}} \over {\partial x_{j}}}\right)dx_{j}\left(\delta _{ik}-{{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}\right)dx_{k}=2{\overline {\epsilon }}_{ik}\;$

(9.39)

Tensor deformacji ${\overline {\epsilon }}_{ik}\;$ nazywamy w tym przypadku tensor:

${\overline {\epsilon }}_{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial x_{i}}}-{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{i}}}{{\partial s_{l}} \over {\partial x_{k}}}\right)\;$

(9.40)

Jeśli dodatkowo ograniczymy się do małej deformacji ciała deformowanego ${{\partial s_{l}} \over {\partial a_{i}}}<<1\;$, to w wyrażeniach na tensory deformacji (9.37) i (9.40) możemy pominąć wyrazy kwadratowe, w ten sposób dostajemy wzory na przybliżone tensory deformacji $\epsilon _{ik}\;$ i ${\overline {\epsilon }}_{ik}\;$:

$\epsilon _{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial a_{l}}}\right)\;$

(9.41)

${\tilde {\epsilon }}_{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial s_{l}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial x_{k}} \over {\partial x_{l}}}\right)\;$

(9.42)

Tensor dystorsji możemy rozłożyć na jej część symetryczną ε_ik, który jest tensorem symetrycznym i asymetryczną D_ik, który jest tensorem asymetrycznym:

${{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}={{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial a_{i}}}\right)+{{1} \over {2}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}-{{\partial s_{k}} \over {\partial s_{l}}}\right)=\epsilon _{ik}+D_{ik}\;$

(9.43)

By zobaczyć co ze sobą reprezentuje tensor asymetryczny $D_{ik}\;$ możemy wyznaczyć wektor ${\vec {D}}\;$, który ma trzy niezależne elementy, a jego definicja jest:

$D_{l}={{1} \over {2}}\epsilon _{lik}D_{ik}={{1} \over {4}}\epsilon _{lik}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}-{{\partial s_{k}} \over {\partial a_{i}}}\right)={{1} \over {4}}\epsilon _{lik}{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}-{{1} \over {4}}\epsilon _{lki}{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}={{1} \over {4}}\epsilon _{lik}{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}+{{1} \over {4}}\epsilon _{lik}{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}=-{{1} \over {2}}\epsilon _{lki}{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}\;$

(9.44)

Równość (9.44) możemy zapisać w postaci zwartej przy pomocy wektora ${\vec {s}}\;$ i definicji operatora rotacji, który to poniższy tensor jest rotacją wielkości ${\vec {s}}\;$, i całość jest pomnożona przez połowę jedynki i wziętej razem z minusem:

${\vec {D}}=-{{1} \over {2}}\operatorname {rot} {\vec {s}}\;$

(9.45)

Napiszmy teraz elementy tensora asymetrycznego D_ik, przestawionego w punkcie (9.43) (pierwsza równość poniżej), patrząc na definicję wielkości D_l napisanego w punkcie (9.44) (druga równość poniżej), którego elementy możemy przestawić jako:

$D_{ik}={\begin{bmatrix}0&D_{12}&D_{13}\\-D_{12}&0&D_{23}\\-D_{13}&-D_{23}&0\end{bmatrix}}={{1} \over {2}}{\begin{bmatrix}0&D_{3}&-D_{2}\\-D_{3}&0&D_{1}\\D_{2}&-D_{1}&0\end{bmatrix}}\;$

(9.46)

Jeśli wprowadzimy infinitezymalne przesunięcie pochodzące od sztywnego obrotu otoczenia punktu ${\vec {a}}\;$ wokół osi równoległej wyznaczonej przez wektor $\operatorname {rot} {\vec {s}}\;$ i przechodzącej przez punkt określany przez wektor ${\vec {a}}\;$, i wykorzystując fakt (9.46), co piszemy je:

$ds_{i}=D_{ik}da_{k}=-\epsilon _{ijk}D_{l}a_{k}\Rightarrow d{\vec {s}}=-{\vec {D}}\times d{\vec {a}}={{1} \over {2}}\operatorname {rot} {\vec {s}}\times d{\vec {a}}\;$

(9.47)

Tensor deformacji i jego sens fizyczny

Aby z ilustrować sens fizyczny tensora deformacji, dla którego będziemy rozpatrywać będziemy wydłużenie liniowe, skręcenia, a także przypadek na rozszerzalnością objętościowa i to wszystko dotyczy ciał fizyczny, którego będziemy mieli na uwadze.

Wydłużenie liniowe ciał fizycznych

Wydłużenie liniowe ε ciał nazywamy wielkość, jego przepis jest:

$\epsilon ={{d{\tilde {l}}-dl} \over {dl}}\;$

(9.48)

Z równania (9.36) możemy napisać tożsamość jako kwadrat infinitezymalnych odległości blisko siebie położonych punktów w ciele po deformacji poprzez kwadrat długości pomiędzy dwoma tymi samymi punktami przed deformacją, wtedy nasz wzór możemy zapisać jako poniżej, wtedy możemy podzielić tą równość przez infinitezymalną długość między naszymi punktami dl²:

$d{\tilde {l}}^{2}=dl^{2}+2\epsilon _{ik}da_{i}da_{k}\Rightarrow \left({{d{\tilde {l}}} \over {dl}}\right)^{2}=1+2\epsilon _{ik}{{da_{i}} \over {dl}}{{da_{k}} \over {dl}}=1+2\epsilon _{ik}e_{i}e_{k}\;$

(9.49)

• gdzie e_i są to elementy składowe wektora ${\vec {e}}\;$, którego odkształcenie jest w kierunku wektora ${\vec {e}}\;$. W takim bodź razem wielkość (9.48) możemy zapisać:

$\epsilon ={{d{\tilde {l}}} \over {dl}}-1={\sqrt {1+2\epsilon _{ik}e_{i}e_{k}}}-1=\epsilon _{ik}e_{i}e_{k}\;$

(9.50)

Wielkość ε daje nam względną zmianę długości ciała względem jej wydłużenia początkowego w kierunku wektora ${\vec {e}}\;$, tensor ε_ik ma tylko elementy diagonalne, którego to elementy charakteryzują wydłużenie ciała względem danej osi symetrii charakteryzujących dane ciało fizyczne, to macierzowo piszemy elementy wspomnianego tensora deformacji:

$\epsilon _{ik}={\begin{bmatrix}\epsilon _{1}&0&0\\0&\epsilon _{2}&0\\0&0&\epsilon _{3}\end{bmatrix}}\;$

(9.51)

Wielkości ε_i występujące w macierzy na ε_ik są elementami własnymi tensora deformacji i je nazywamy głównymi dylatacjami.

Skręcenia

(Rys. 9.1) Deformacja ciała w wyniku skręcenia, czyli zmiana kąta pomiędzy osiami x i y.

Rozparzmy sobie dwa kierunku, które to wektory określające te kierunki są do siebie prostopadłe i są zdefiniowane w sposób:

${\vec {e}}_{1}={{d{\vec {a}}_{1}} \over {dl_{1}}}\;$

(9.52)

${\vec {e}}_{2}={{d{\vec {a}}_{2}} \over {dl_{2}}}\;$

(9.53)

Określmy sobie teraz kąt θ, którego definicja jest napisana wzorem poniżej, który to kąt jest bliski kątowi prostemu:

$\theta ={{\pi } \over {2}}-\phi \;$

(9.54)

Wiemy, że kąt pomiędzy ściankami zmienia się, które jest określony przez (9.54), zatem z oczywistych powodów z definicji iloczynu skalarnego możemy zapisać warunek:

$dx_{1i}dx_{2i}=d{\tilde {l}}_{1}d{\tilde {l}}_{2}\cos \theta \;$

(9.55)

• gdzie z oczywistych powodów wielkości $d{\tilde {l}}_{1}\;$ i $d{\tilde {l}}_{2}\;$ możemy zapisać:

$d{\tilde {l}}_{1}={\sqrt {dx_{1i}dx_{1i}}}\;$

(9.56)

$d{\tilde {l}}_{2}={\sqrt {dx_{2i}dx_{2i}}}\;$

(9.57)

Infinitezymalny iloczyn dx_1idx_2i zapisujemy wzorem według (9.35), do którego wykorzystamy fakt, że iloczyn skalarny położeń początkowych danych dwóch punktów masowych umieszczonych na rozważanych dwóch różnych bokach jest równy zero:

$dx_{1i}dx_{2i}=\left(\delta _{ik}+{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{k}}}\right)da_{1k}\left(\delta _{il}+{{\partial s_{i}} \over {\partial a_{l}}}\right)da_{2l}=2\epsilon _{kl}da_{1k}da_{2l}\;$

(9.58)

Z definicji wydłużenia liniowego możemy wyznaczyć końcowe wydłużenie względem wydłużenia początkowego ciała niedeformowanego:

$d{\tilde {l}}=(1+\epsilon )dl\;$

(9.59)

Nasz kosinus możemy zapisać wychodząc od wzoru (9.55), z którego wyznaczymy kosinus kąta θ, i do którego wykorzystamy definicję wydłużenia $d{\tilde {l}}\;$ (9.59) i iloczynu skalarnego dwóch różniczek położeń końcowych danych punktów masowych umieszczonych na dwóch różnych bokach mającej ten sam początek (9.58):

$\cos \theta ={{2\epsilon _{ik}{{\partial a_{1l}} \over {dl_{1}}}{{a_{2l}} \over {dl_{2}}}} \over {(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})}}={{2\epsilon _{ik}e_{1i}e_{2k}} \over {(1+\epsilon _{1})(1+\epsilon _{2})}}\simeq 2\epsilon _{ik}e_{1i}e_{2k}\;$

(9.60)

Napiszmy teraz wektory jednostkowe określonych przed deformacją rozważanego ciała dla dwóch rozważanych boków ${\vec {e}}_{1}=(1,0,0)\;$, ${\vec {e}}_{2}=(0,1,0)\;$, wtedy współczynnik γ na podstawie definicji kata θ (9.54), a także definicji wektorów (9.52) i (9.53), możemy napisać tożsamość:

$\sin \phi =\cos \left({{\pi } \over {2}}+\phi \right)=\cos \theta =2\epsilon _{12}=\gamma \;$

(9.61)

Wielkość określoną wzorem (9.61) nazywamy skręceniem, która dla małych skręceń, czyli dla małych wartości kata φ, możemy napisać:

$\sin \varphi \simeq \varphi =\gamma \;$

(9.62)

Przypadek rozszerzalności objętościowej

Dylatacją objętości, czy też względną zmianą objętości nazywamy wielkość, którą określimy wzorem poniżej, która z definicji jest ilorazem bezwzględnej zmiany infinityzymalnych objętości po i przed deformacją przez objętość infinitezymalną przed deformacją, wtedy piszemy naszą wielkość:

$\theta ={{d{\tilde {V}}-dV} \over {dV}}={{d{\tilde {V}}} \over {dV}}-1={{dx_{1}} \over {da_{1}}}{{dx_{2}} \over {da_{2}}}{{dx_{3}} \over {da_{3}}}-1\;$

(9.63)

Względna zmiana długości ciała definiujemy wzorem podobnym do wzoru (9.59), ale tym razem mamy dx_i=(1+ε_ii)da_i, stąd tożsamość na względną zmianę objętości przy pominięciu członów kwadratowych dla współczynnika rozszerzalności objętościowej, a także przy wykorzystaniu faktu istnienia tylko elementów diagonalnych (9.41), określamy:

$\theta =(1+\epsilon _{11})(1+\epsilon _{22})(1+\epsilon _{33})-1\simeq \epsilon _{11}+\epsilon _{22}+\epsilon _{22}={{\partial s_{k}} \over {\partial x_{k}}}=\operatorname {div} {\vec {s}}\;$

(9.64)

Rozkład tensora deformacjii na część zachowująca objętość i je niezachowująca

Tesnor deformacji zapiszmy w postaci wzoru, w którym dokonamy rozkładu na jej część, która zachowuje objętość, a także na jego część, która jej nie zachowuje, zatem nasz tensor deformacji napiszmy jako:

$\epsilon _{ik}={\tilde {\epsilon }}_{ik}+{{1} \over {3}}\epsilon _{ll}\delta _{ik}={\tilde {\epsilon }}_{ik}+{{1} \over {3}}\theta \delta _{ik}\;$

(9.65)

Możemy zauważyć, że tensor ${\tilde {\epsilon }}_{ik}\;$ jest tak zbudowany, którego ślad jest równy zero, a oto dowód:

${\tilde {\epsilon }}_{ll}=\epsilon _{ll}-{{1} \over {3}}\epsilon _{ll}\delta _{ll}=\epsilon _{ll}-{{1} \over {3}}\epsilon _{ll}3=0\;$

(9.66)

Widzimy, że tensor ${\tilde {\epsilon }}_{ik}\;$ ma zerowy ślad, zatem na podstawie wyników uzyskanych w punkcie (9.64) dochodzimy do wniosku, że tensor opisuje takie deformacje ciała, które nie zmieniają objętości. A cześć tensora deformacji ε_ik, czyli: 1/3θδ_ik opisuje takie transformacje, które odpowiadają rozciąganiu, a także kurczeniu, zatem ten człon opisuje jednocześnie zmiany objętości, która charakteryzuje dane ciało.

Wprowadzenie do tensora prędkości deformacji

Mamy sobie tensor prędkości przesunięć ${{\partial v_{j}} \over {\partial x_{k}}}\;$, który to rozkładamy na jej część symetryczną i asymetryczną, któego zapis jest:

${{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}={{1} \over {2}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)+{{1} \over {2}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)\;$

(9.67)

Wzór na tensor prędkości przesunięć nazywamy tensor składająca się z jej części symetrycznej (wartość tego tensora nie zmienia się wcale po przestawieniu wskaźników między sobą) i asymetrycznej (wartość tego tensora zmienia się po przestawieniu wskaźników między sobą, a mianowicie pojawia się znak minus przed takim tensorem po dokonanym przestawieniu). Symetryczną częścią występującej we wzorze (9.67) nazywamy tensorem prędkości deformacji:

$\mathrm {N} _{ik}={{1} \over {2}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)\;$

(9.68)

Ślad tensora Ν_ik (9.68) nazywamy sumowanie po elementach jego diagonalnych, którego zapis tego śladu jest napisany jako sumą po elementach po wskaźniku l, w którym te właśnie składniki są pochodnymi cząstkowymi l-tej współrzędnej prędkości względem współrzędnej l-tej współrzędnej położenia:

$\mathrm {N} _{ll}={{\partial v_{l}} \over {\partial x_{l}}}=\operatorname {div} {\vec {v}}\;$

(9.69)

Widzimy, że w ramach przybliżenia liniowego pochodna czasowa cząstkowa tensora deformacji (9.41) jest to po prostu tensor prędkości deformacji na podstawie:

$v_{i}={\dot {s}}_{i}={{\partial s_{i}(a_{i},t)} \over {\partial t}}={{\partial s_{i}(x_{r},t)} \over {\partial x_{r}}}{{\partial x_{r}(a_{i},t)} \over {\partial t}}+{{\partial s_{i}(x_{i},t)} \over {\partial t}}=(v_{r}\nabla _{r})s_{i}+{{\partial s_{i}(x_{i},t)} \over {\partial t}}\Rightarrow v_{i}={\dot {s}}_{i}={{\partial s_{i}(a_{i},t)} \over {\partial t}}\simeq {{\partial s_{i}(x_{i},t)} \over {\partial t}}\;$

(9.70)

bo w (9.70) wyraz $(v_{r}\nabla _{r})s_{i}\;$ pomijamy, bo jest bardzo mały. Napiszmy pochodną cząstkową tensora deformacji względem czasu:

${{\partial \epsilon _{ik}(x_{l},t)} \over {\partial t}}={{1} \over {2}}{{\partial } \over {\partial t}}\left({{\partial s_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial s_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)\simeq {{1} \over {2}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)=\mathrm {N} _{ik}\;$

(9.71)

Zajmijmy się teraz częścią asymetryczną tensora prędkości przesunięć i zbadajmy wyrażenie, które powstaje o ten właśnie człon, wykorzystując przy tym fakt, że zachodzi (9.14), co możemy już zacząć te obliczenia.

${{1} \over {2}}\epsilon _{lik}\left[{{1} \over {2}}\left({{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}\right)\right]={{1} \over {4}}\epsilon _{lik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}-{{1} \over {2}}\epsilon _{lki}{{\partial v_{k}} \over {\partial x_{i}}}={{1} \over {4}}\epsilon _{lik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}+{{1} \over {4}}\epsilon _{lik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}={{1} \over {2}}\epsilon _{lik}{{\partial v_{i}} \over {\partial x_{k}}}={{1} \over {2}}\operatorname {rot} {\vec {v}}={\vec {\omega }}\;$

(9.72)