Mechanika teoretyczna/Ruch ciał ograniczonych więzami

Ruch ciał ograniczonych więzami

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Na każde ciało możemy nałożyć pewne ograniczenia, które nazywamy więzami , czyli rozwiązanie ruchu dla naszego punktu masowego powinno spełniać równanie powierzchni:

$g(x,y,z,t)=0\;$

(4.1)

Zaś jeśli punkt ma poruszać się po pewnej krzywej powstałej z przecięcia dwóch powierzchni, to równanie ruchu cząstki powinno spełniać równania płaszczyzn:

$g_{1}(x,y,z,t)=0\;$

(4.2)

$g_{2}(x,y,z,t)=0\;$

(4.3)

Warunki uboczne zależne od czasu, które są jednocześnie więzami będziemy nazywać reonomicznymi, a niezależne od czasu skleronomicznymi. Ruch swodobny jest opisywany przez trzy współrzędne, których każdy warunek na więzy zmniejsza liczbę stopni swobody o jeden, więzy które są zależne od położenia, prędkości i czasu są napisane:

$g({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}},t)=\sum _{i=1}^{3}f_{i}({\vec {r}},t){\dot {\vec {r}}}_{i}+f_{0}({\vec {r}},t)\;$

(4.4)

Jeśli natomiast istnieje taka funkcja G, która spełnia warunek:

$dG({\vec {r}},t)=\left\{\sum _{i}{{\partial G({\vec {r}},t)} \over {\partial {\vec {r}}_{i}}}{\dot {\vec {r}}}_{i}+{{\partial G({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}\right\}dt\;$

(4.5)

I dalej patrząc na wzory (4.4) i (4.5), to możemy powiedzieć:

$f_{i}({\vec {r}},t)={{\partial G({\vec {r}},t)} \over {\partial {\vec {r}}_{i}}}\;$

(4.6)

$f_{0}({\vec {r}},t)={{\partial G({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}\;$

(4.7)

wtedy więzy spełniające warunek (4.5) na podstawie (4.4) nazywamy więzami holonomicznymi i można z nich wyrugować prędkość. Więzy, które nie da się sprowadzić do funkcji G, by mieć (4.5) nazywamy więzami anholonomicznymi.

Zasada d'Alemberta

Wykorzystując drugą zasadę dynamiki Newtona (1.32), dla układu ograniczonego więzami, gdzie przez siłę ${\vec {Z}}\;$ będziemy oznaczać siłę pochodzącą od więzów, zatem możemy sformułować tą naszą zasadę wymienioną w tytule tego podrozdziału:

• Siła reakcji więzów przy wirtualnych przemieszczeniach nie wykonuje pracy, co obrazujemy tą zasadą:

${\vec {Z}}\delta {\vec {r}}=(m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {F}})\delta {\vec {r}}=0\;$

(4.8)

Zasada d'Alemberta jest zgodna z drugą zasadą dynamiki Newtona, gdyż na poruszające się ciało nie działa żadna siła reakcji, wtedy w zasadzie (4.8) dla dowolnego przesunięcia wirtualnego $\delta {\vec {Z}}\;$, czyli przy dowolnych δx, δy i δz, ta zasada sprowadza się do trzech równań Newtona rozpisując je jako trzy równania w postaci skalarnej, na podstawie tego mamy trzy równania, które są równaniami Newtona dla współrzędnych:

$m{\ddot {x}}=F_{x}\;$

(4.9)

$m{\ddot {y}}=F_{y}\;$

(4.10)

$m{\ddot {z}}=F_{z}\;$

(4.11)

Równania Lagrange'a pierwszego rodzaju

Załóżmy, że ciało ma ograniczonych swobodę ruchów, tzn. jego ruch odbywa się po krzywej spełniające dwa równania więzów:

$g_{1}({\vec {r}},t)=0\;$

(4.12)

$g_{2}({\vec {r}},t)=0\;$

(4.13)

Mając na uwadze równania więzów (4.12) i (4.13) możemy napisać je przy pomocy wirtualnych przesunięciach:

$\operatorname {grad} g_{1}\cdot \delta {\vec {r}}=0\;$

(4.14)

$\operatorname {grad} g_{2}\cdot \delta {\vec {r}}=0\;$

(4.15)

Możemy wykorzystać tożsamości (4.14) i (4.15) i pomnożyć je przez współczynniki λ₁ i λ₂, wtedy tak otrzymane wzory możemy wstawić do równości obrazującej zasadę d'Alemberta (4.8):

$\left(m{\ddot {r}}-{\vec {F}}-\lambda _{1}\operatorname {grad} g_{1}-\lambda _{2}\operatorname {grad} g_{2}\right)\delta {\vec {r}}=0\;$

(4.16)

Siła reakcji więzów we wzorze (4.16) możemy wyrazić przy pomocy współczynników Lagrange'a λ₁ i λ₂:

${\vec {Z}}=\lambda _{1}\operatorname {grad} g_{1}+\lambda _{2}\operatorname {grad} g_{2}\;$

(4.17)

Zatem równanie (4.16) przy dowolnych przesunięciach wirtualnych przestawiamy:

$m{\ddot {r}}={\vec {F}}+\lambda _{1}\operatorname {grad} g_{1}+\lambda _{2}\operatorname {grad} g_{2}\;$

(4.18)

Równanie (4.18) nazywamy równaniem Lagrange'a pierwszego rodzaju, które wraz z więzami (4.12) i (4.13) stanowią jakoby układ równań, z którego nań możemy wyznaczyć parametry λ₁ i λ₂.

Problem zasad zachowania pędu, momentu pędu i energii

Będziemy się zajmowali tutaj zasadami zachowania pędu, momentu pędu, a także i energii.

Zasada zachowania pędu

Drugie prawo Newtona przy pomocy sił normalnych (4.17) do powierzchni, na której poruszało się ciało, piszemy:

${{d} \over {dt}}m{\dot {\vec {r}}}={\vec {F}}+{\vec {Z}}\;$

(4.19)

Jeśli natomiast zachodzi ${\vec {F}}+{\vec {Z}}=0\;$, to ciało poruszające się po danej powierzchni ma pęd stały i niezależny od czasu, to pęd jest całką ruchu.

Zasada zachowania momentu pędu

Równanie na drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego (1.88), gdy na to działa nań siła o wartości ${\vec {F}}+{\vec {Z}}\;$ dla ciała znajdującego się w punkcie ${\vec {r}}\;$, przestawiamy jako:

${\vec {N}}={{d{\vec {K}}} \over {dt}}={\vec {r}}\times \left({\vec {F}}+{\vec {Z}}\right)\;$

(4.20)

Jeśli moment sił działającej na ciało ${\vec {N}}={\vec {r}}\times ({\vec {F}}+{\vec {Z}})\;$ jest równy zeru, to na podstawie tego moment pędu jest wielkością zachowalną.

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii dla przypadku z więzami, którego to równanie Lagrange'a pierwszego rozdzaju (4.18) pomnożymy obustronnie przez prędkość ciała, mamy w postaci:

$m{\vec {v}}{\dot {\vec {v}}}={\vec {F}}{\vec {v}}+(\lambda _{1}\operatorname {grad} g_{1}+\lambda _{2}\operatorname {grad} g_{2}){{d{\vec {r}}} \over {dt}}\;$

(4.21)

Z definicji różniczki zupełnej równań więzów (4.2) i (4.3) mamy:

$0=dg_{1}=\operatorname {grad} {\vec {r}}_{1}d{\vec {r}}+{{\partial g_{1}} \over {dt}}dt\;$

(4.22)

$0=dg_{2}=\operatorname {grad} {\vec {r}}_{2}d{\vec {r}}+{{\partial g_{2}} \over {dt}}dt\;$

(4.23)

Z równań (4.22) i (4.23) wyznaczmy gradienty funkcji (4.2) i (4.3) stosując je do wzoru (4.21) i wykorzystując definicję energii potencjalnej (1.93), otrzymujemy:

${{d(T+U)} \over {dt}}=-\lambda _{1}{{}\partial g_{1} \over {\partial t}}-\lambda _{2}{{\partial g_{2}} \over {\partial t}}\;$

(4.24)

Metodyka układów z więzami według równania Lagrange'a

(Rys. 4.1) Ciało na równi pochyłej

Z rysunku obok możemy napisać tożsamość, która jest więzem opisujących położenia ciała na równi pochyłej, którą to piszemy:

${{y} \over {x}}=\operatorname {tg} \alpha \Rightarrow x\sin \alpha -y\cos \alpha =0\;$

(4.25)

Drugie równanie więzów, gdy współrzędna zetowa kulki na stoczni jest zawsze równa zero, stąd ona nie zmienia się nigdy i przestawiamy ją w postaci:

$g_{2}({\vec {r}})=z=0\;$

(4.26)

Możemy wyznaczyć gradient dla więzu (4.25), którego to przestawiamy w postaci wektora:

$\operatorname {grad} g=[\sin \alpha ,-y\cos \alpha ,0]\;$

(4.27)

Następnym naszym krokiem jest wyznaczenie równań ruchu wykorzystując równania Lagrange'a pierwszego rodzaju dla dwóch więzów (4.18), zatem napiszmy trzy równania opisujących ruch ciała w przestrzeni trójwymiarowej.

$m{\ddot {x}}=\lambda _{1}\sin \alpha \;$

(4.28)

$m{\ddot {y}}=-\lambda _{1}\cos \alpha -mg\;$

(4.29)

$m{\dot {y}}=\lambda _{2}\;$

(4.30)

Zróżniczkujmy równana więzów, tzn. (4.25) i (4.26), to po dokonaniu tychże operacji otrzymujemy dwie tożsamości:

${\ddot {x}}\sin \alpha -{\ddot {y}}\cos \alpha =0\;$

(4.31)

${\ddot {z}}=0\;$

(4.32)

Równania (4.28), (4.29) i (4.30) możemy przepisać w innej równoważnej postaci wedle schematów:

${\ddot {x}}=\lambda _{1}{{\sin \alpha } \over {m}}\;$

(4.33)

${\ddot {y}}=-\lambda _{1}{{\cos \alpha } \over {m}}-g\;$

(4.34)

${\ddot {z}}={{\lambda _{2}} \over {m}}\;$

(4.35)

Następnie wyznaczmy parametr λ₁ i parametr λ₂ podstawiając wzory (4.33) i (4.34) do równań wynikłych z pierwszego równania więzów (4.31) i podstawiając też równanie (4.35) do równania wynikłego z drugiego równania więzów (4.32), wtedy otrzymujemy tożsamości, z których będziemy mogli wyliczyć wspomniane parametry:

$\lambda _{1}{{\sin \alpha ^{2}} \over {m}}+\lambda _{1}{{\cos ^{2}\alpha } \over {m}}+\cos \alpha g=0\Rightarrow \lambda _{1}=-mg\cos \alpha \;$

(4.36)

$\lambda _{2}=0\;$

(4.37)

Mając już wyliczone parametry λ₁ (4.36) i parametr λ₂ (4.37), to możemy teraz wyznaczyć równania ruchu naszego ciała:

$m{\ddot {x}}=-mg\sin \alpha \cos \alpha \;$

(4.38)

$m{\ddot {y}}=-mg\sin ^{2}\alpha \;$

(4.39)

$m{\ddot {z}}=0\;$

(4.40)

Wprowadźmy teraz nową zmienną, którego definicja jest napisana:

$s=-{{y} \over {\sin \alpha }}=-{{x} \over {\cos \alpha }}\;$

(4.41)

Biorąc tożsamość (4.41) i podstawiając go do równania (4.38) i (4.39), w ten sposób dostajemy jedną równość z tych z dwóch, która opisuje zmienną s, która wraz ze zmienną zetową, opisującą ruch naszej kulki:

${\ddot {s}}=mg\sin \alpha \;$

(4.42)

${\ddot {z}}=0\;$

(4.43)

Zatem z końcowych równań, tzn. z (4.42) i (4.43) z które to wyznaczymy zmienne "s" i "z" w zależności od czasu:

$s=g\sin \alpha {{t^{2}} \over {2}}+v_{0}t+s_{0}\;$

(4.44)

$z=0\;$

(4.45)

Napiszmy teraz czemu jest równa siła reakcji więzów ${\vec {Z}}\;$, na którą to z powierzchni działa na rozważane tutaj ciało poruszające się na równi. znając wartości parametrów λ₁ (4.36) i λ₂ (4.37):

${\vec {Z}}=\lambda _{1}\operatorname {grad} g_{1}+\lambda _{2}\operatorname {grad} g_{2}=(-mg\cos \alpha )\cdot (\sin \alpha ,-\cos \alpha ,0)=(-mg\sin \alpha \cos \alpha ,mg\cos ^{2}\alpha ,0)\;$

(4.46)

Przykładowe zastosowania równań Lagrange'a pierwszego rodzaju

Statyka

Wiemy z równości, że całkowita siła działająca na ciało spoczywająca się na pewnej linii lub powierzchni zachodzi, gdy siła ${\vec {F}}\;$ i siły reakcji więzów ${\vec {Z}}\;$ są sobie równe:

${\vec {F}}=-{\vec {Z}}\;$

(4.47)

Jeśli ciało porusza się po pewnej elipsoidzie, to równanie więzów możemy przedstawić wzorem:

$g(x,y,z)={{x^{2}} \over {a^{2}}}+{{y^{2}} \over {b^{2}}}+{{z^{2}} \over {c^{2}}}-1=0\;$

(4.48)

Siłę reakcji więzów wedle definicji (4.17), który jest wprowadzony dla dwóch więzów, a tutaj mamy jedno równanie więzów, możemy określić pochodzącą od więzów:

${\vec {Z}}=\lambda \operatorname {grad} g=2\lambda \left({{x} \over {a^{2}}},{{y} \over {b^{2}}},{{z} \over {c^{2}}}\right)\;$

(4.49)

Widzimy, że równanie (4.37) może być spełnione jedynie, gdy x=y=0, i z=±c. Jeśli siła reakcji więzów posiada potencjał U, wtedy:

$dU=\operatorname {grad} Ud{\vec {r}}={\vec {Z}}d{\vec {r}}\Rightarrow \operatorname {grad} U=\lambda \operatorname {grad} g\;$

(4.50)

Poruszanie się powierzchni sfery ciała bez udziału sił

Równanie więzów określać będziemy teraz jako równanie kuli w przestrzeni trójwymiarowej wedle:

$g=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}=0\;$

(4.51)

Wtedy równanie na siłę więzów (4.17) określimy dla jednego więzu, zamiast dla dwóch, jak pierwotnie wyprowadzone zostało w tym module, to wzór na siłę reakcji więzów zapisujemy:

${\vec {Z}}=\lambda \operatorname {grad} g=2\lambda {\vec {r}}\;$

(4.52)

Moment sił (1.86) działający ze strony więzów (4.52), który jest opisany tutaj dla sił pochodzących od więzów wzorem (4.52), jest określony:

${\vec {N}}={\vec {r}}\times {\vec {Z}}=2\lambda {\vec {r}}\times {\vec {r}}=0\;$

(4.53)

Z zerowania się momentu sił (4.53) możemy napisać, że moment pędu opisujących nasze ciało poruszające się wewnątrz kuli jest wielkością zachowawczą.

Ruch ciała po obracającej się linijce

(Rys. 4.2) Ruch ciała po obracającej się linijce.

Określmy teraz dwa równania więzów dla ciała poruszającego po pewnej linijce obracające się z prędkością kątową ω:

$g_{1}=z=0\;$

(4.54)

$\theta -\omega t=0\;$

(4.55)

Wykorzystując definicję operatora ∇ we współrzędnych cylindrycznych (MMF-7.19), to możemy opisać gradienty funkcji (4.54) i (4.55) następująco:

$\operatorname {grad} {g}_{1}={\vec {e}}_{z}\;$

(4.56)

$\operatorname {grad} {g}_{2}=\left({\vec {e}}_{\rho }{{\partial } \over {\partial \rho }}+{\vec {e}}_{\theta }{{1} \over {\rho }}{{\partial } \over {\partial \theta }}+{\vec {e}}_{z}{{\partial } \over {\partial z}}\right)g_{2}={{1} \over {\rho }}{\vec {e}}_{\theta }\;$

(4.57)

Wykorzystując wzór (1.24) możemy napisać trzy równania więzów:

$m{\ddot {\rho }}-m\rho {\dot {\theta }}^{2}=0\;$

(4.58)

$m\rho {\ddot {\theta }}+2m{\dot {\rho }}{\dot {\theta }}={{\lambda _{2}} \over {\rho }}\;$

(4.59)

$m{\ddot {z}}=\lambda _{1}\;$

(4.60)

Z wyżej napisanych tożsamości, które obrazują pierwsze równanie Lagrange'a, wykorzystując rachunek więzów (4.54) i (4.55), możemy napisać:

$m{\ddot {\rho }}-m\rho \omega ^{2}=0\;$

(4.61)

$2m{\dot {\rho }}\omega ={{\lambda _{2}} \over {\rho }}\Rightarrow \lambda _{2}=2m\rho {\dot {\rho }}\omega \;$

(4.62)

$\lambda _{1}=0\;$

(4.63)

Równanie (4.61), która jest równaniem zależnym od drugiej pochodnej zmiennej ρ rozwiązaniem jest równanie zależne od częstotliwości kołowej ω z jaką prędkością porusza się ciało na linijce i tym samym linijka:

$\rho =Ae^{\omega t}+Be^{-\omega t}\;$

(4.64)

Z warunków początkowych dla t=0 mamy $\rho =\rho _{0}\;$ i ${\dot {\rho }}_{0}=0\;$, zatem na podstawie tego możemy napisać równości brzegowe, by wyznaczyć stałe A i B występujące w równaniu (4.64):

$A+B=\rho _{0}\;$

(4.65)

$A\omega -\omega B=0\Rightarrow A=B\;$

(4.66)

Z równości (4.65) i (4.66) możemy napisać warunki na stałe A i B występujące we wzorze na ρ (4.64):

$A=B={{\rho _{0}} \over {2}}\;$

(4.67)

W uwagach końcowych napiszmy jak się zmieniają się współrzędne w układzie cylindrycznym dla poruszającego się ciała po linijce.

$\rho ={{1} \over {2}}\rho _{0}\left(e^{\omega t}+e^{-\omega t}\right)\;$

(4.68)

$\theta =\omega t\;$

(4.69)

$z=0\;$

(4.70)