Mechanika teoretyczna/Układ ciał ograniczonych więzami

Układ ciał ograniczonych więzami

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Niech mamy N punktów masowych, których współrzędne są określone przez przez zbiór trójek (x_i,y_i,z_i), będziemy je oznaczać przez χ_α, gdzie α będziemy je numerować liczbami od α=1,.2,3,...,3N, zatem równaniem więzów w takim przypadku zależnego od tych trójek jest:

$g_{\beta }({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},...,{\vec {r}}_{N},t)=g_{\beta }(\chi _{\alpha },t)=0\;$

(5.1)

• gdzie β=1,2,...,r. Układ opisywanych powyżej ma f=3N-r stopni swobody.

Jeśli natomiast funkcja g_β nie zależy od czasu, to taki węzeł nazywamy skleronomicznymi, w przeciwnym wypadku są to więzy reonomiczne. Nie wszystkie więzy dadzą się zapisać równaniem (5.1), ale jest grupa więzów , które dadzą się zapisać jako:

$\sum _{\alpha =1}^{3N}g_{\alpha }(\chi _{b},t){{d\chi _{\alpha }} \over {dt}}+g_{0}(x_{b},t)=0\;$

(5.2)

które to więzy opisane powyższym wzorem równania nie dadzą się przestawić w postaci równania, dla którego istnieje funkcja G:

${{dG} \over {dt}}=\sum _{\alpha =1}^{3N}{{\partial G} \over {\partial \chi _{\alpha }}}{{d\chi _{\alpha }} \over {dt}}+{{\partial G} \over {\partial t}}=0\;$

(5.3)

Węzły opisane wzorem (5.2), dla których nie istnieje taka funkcja $G\;$ we wzorze (5.3), nazywamy więzami anholonomicznymi, a węzły dla których funkcja $G\;$ istnieje, czyli istnieje takie równanie (5.3), nazywamy więzami holonomicznymi. A więzy, dla których istnieje tylko składowa prostopadła nazywamy więzami doskonałymi, a jeżeli istnieje tarcie statyczne lub dynamiczne to one nazywamy więzami niedoskonałymi.

Ogólne wyprowadzenie równań Lagrange'a pierwszego rodzaju z zasady d'Alemberta

Dla każdego punktu układu ciał możemy napisać drugą zasadę dynamiki Newtona, z której wyznaczymy siłę reakcji więzów na ten punkt masowy ${\vec {Z}}_{i}\;$:

$m_{i}{\ddot {\vec {r}}}={\vec {F}}_{1}+{\vec {Z}}_{i}\Rightarrow {\vec {Z}}_{i}=m{\ddot {\vec {r}}}-{\vec {F}}\;$

(5.4)

Każde równanie wyprowadzone w wyniku końcowych rozważań (5.4) mnożymy przez wirtualne przesunięcie, bo siły więzów przy wirtualnych ruchach nie wykonują pracy i dodając tak otrzymane równania do siebie dla i=1,..,N, dostajemy wniosek:

$\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}\left(m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}-{\vec {F}}_{i}\right)\delta {\vec {r}}_{i}=0\;$

(5.5)

Napiszmy teraz równania więzów przy wirtualnych przesunięciach dla przesunięć dokonywanych dla czasów w zerowym czasie, czyli w czasie δt=0, który dla tego warunku różniczka warunku brzegowego dla funkcji g_α piszemy:

$\delta g_{\alpha }=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {grad} _{i}\delta {\vec {r}}_{i}=\sum _{\alpha =1}^{3N}{{\partial g_{\alpha }} \over {\partial \chi _{a}}}\delta \chi _{\alpha }=0\;$

(5.6)

Zastosujmy teraz regułę mnożników Lagrange'a i wtedy równość (5.6), dla którego to różniczka więzu jest równa zero, wstawiamy do równości (5.5), otrzymujemy:

$\sum _{\alpha =1}^{3N}\left(m_{\alpha }{\ddot {\chi }}_{\alpha }-F_{\alpha }-\sum _{\beta =1}^{r}\lambda _{\beta }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial \chi _{\alpha }}}\right)\delta \chi _{\alpha }=0\;$

(5.7)

Równanie (5.7) jest spełnione dla dowolnych przesunięć wirtualnych χ_α, stąd możemy wyprowadzić równanie Lagrange pierwszego rodzaju:

$m_{\alpha }{\ddot {\chi }}_{\alpha }-F_{\alpha }-\sum _{\beta =1}^{r}\lambda _{\beta }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial \chi _{\alpha }}}=0\Rightarrow m_{\alpha }{\ddot {\chi }}_{\alpha }=F_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^{r}\lambda _{\beta }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial \chi _{\alpha }}}\;$

(5.8)

Siła reakcji więzów działający na dany punkt masowy, na podstawie równania (5.8) przy porównaniu go ze wzorem wektorowym (5.4), piszemy:

$Z_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{r}\lambda _{\beta }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial \chi _{\alpha }}}=\sum _{\alpha }^{r}\lambda _{\beta }\operatorname {grad} _{\alpha }g_{\beta }\;$

(5.9)

Twierdzenia mówiące ruchu środka ciężkości, zachowawczości momentu pędu, a także i energii

Twierdzenie o środku mas

Załóżmy, że mamy równanie ruchu pojedynczego punktu masowego, na które nań działają siły, które są odpowiedzialne za oddziaływanie pomiędzy punktami masowych ${\vec {F}}_{ij}\;$, a także za oddziaływanie między punktami pochodzące od więzów ${\vec {Z}}_{ij}\;$, a na ciało mogą również działać siły pochodzące od węzłów zewnętrznych $Z_{i}\;$, a także na układ mogą działać siły zewnętrzne ${\vec {F}}_{i}\;$, zatem równanie ruchu wynikające drugiej zasady dynamiki Newtona piszemy:

$m{\ddot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{j=1,j\neq i}^{N}F_{ij}+\sum _{j=1,i\neq i}^{N}{\vec {Z}}_{ij}+{\vec {F}}_{i}+{\vec {Z}}_{i}\;$

(5.10)

Możemy z trzeciej zasady dynamiki Newtona napisać równość na siły pomiędzy punktami a więzami:

${\vec {F}}_{ij}=-{\vec {F}}_{ji}\;$

(5.11)

${\vec {Z}}_{ij}=-{\vec {Z}}_{ji}\;$

(5.12)

Dalej dodajmy wszystkie równania dla każdej cząstki masowej (5.10) i biorąc warunki wynikające z trzeciej zasady dynamiki Newtona (5.11) i (5.12), to możemy napisać równanie różniczkowe wektorowe:

$\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\ddot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}\;$

(5.13)

Jeśli wykorzystamy wzór na położenie środka masy (3.1) i będziemy je stosować dla równości (5.13), wtedy równanie ruchu środka masy jest:

$M{\ddot {\vec {R}}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {F}}_{i}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}\;$

(5.14)

Widzimy że środek mas porusza się tak jak by miał taką masę jak wszystkie punkty masowe wzięte razem i porusza się tak jak by na niego działały wszystkie siły pochodzące od poszczególnych punktów masowych.

Twierdzenie o momencie pędu

Całkowity moment pędu określamy jako sumę momentów pędów pochodzących od poszczególnych punktów masowych wchodzących w skład układu, a całkowity moment siły jest sumą momentów sił działających na ciało. wtedy te wielkości:

${\vec {K}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\dot {\vec {r}}}\;$

(5.15)

${\vec {N}}=\sum _{i=1}^{N}{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {F}}_{i}+{\vec {Z}}_{i})\;$

(5.16)

A zasada łącząca moment pędu (5.15) z momentem sił układów mas (5.16) jest równaniem takim samym jak w punkcie (1.88), zatem możemy powiedzieć twierdzenie:

Pochodna czasowa momentu pędu pędu całego układu jako całość (5.15) jest równa sumie momentów sił zewnętrznych wliczając w to siły reakcji więzów, co to prawo jest sformułowana dla całego układu jako całość.

Twierdzenie o energii

Mamy sobie równanie (5.8), pomnóżmy to równanie dla obu jego stron przez wyrażenie ${\dot {\chi }}\;$, mamy:

$m_{\alpha }{\ddot {\chi }}_{\alpha }{\dot {\chi }}_{\alpha }=F_{\alpha }{\dot {\chi }}_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^{r}\lambda _{\beta }{\dot {\chi }}_{\alpha }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial \chi _{\alpha }}}\;$

(5.17)

Jeśli równania (5.17) charakteryzujący każdą taką cząstkę pododajemy obustronnie do siebie dla wszystkich punktów układu otrzymując równość:

${{d} \over {dt}}\sum _{\beta =1}^{3N}{{1} \over {2}}m_{\beta }{\dot {\chi }}_{\beta }^{2}=F_{\alpha }{\dot {\chi }}_{\alpha }+\sum _{\beta =1}^{r}\lambda _{\beta }{\dot {\chi }}_{\alpha }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial \chi _{\alpha }}}\;$

(5.18)

Pochodną energii potencjalnej względem czasu nazywamy sumą mocy charakteryzujących wykonywanych przez poszczególne siły dla każdej z sił osobna i to wszystko wziętej z minusem, a także opisujemy różniczkę zupełną równania więzów, a także definicję energii kinetycznej jako sumy energii kinetycznych cząstek wchodzących w skład układu, które to wszystkie te równania piszemy:

$\sum _{\alpha }F_{\alpha }{\dot {\chi }}_{\alpha }=-{{dU} \over {dt}}\;$

(5.19)

$dg_{\beta }=\sum _{\alpha }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial x_{\alpha }}}{\dot {\chi }}_{\alpha }+{{\partial g_{\beta }} \over {\partial t}}\;$

(5.20)

$T=\sum _{\beta =1}^{3N}{{1} \over {2}}m_{\beta }{\ddot {\chi }}_{\beta }^{2}\;$

(5.21)

Na podstawie wzorów (5.19), (5.20) i (5.21) możemy zapisać zasadę zachowania energii w postaci:

${{d} \over {dt}}\left(T+U\right)=-\sum _{\alpha =1}^{r}\lambda _{\beta }{{\partial g_{\beta }} \over {\partial t}}\;$

(5.22)

Zastosowania pierwszego równania Lagrange'a

Ruchomy bloczek

(Rys. 5.1) Ruchomy bloczek

Długość nici, na którą jest owinięty bloczek jest wielkością stałą, zatem mamy pierwsze równanie więzów:

$g=x_{1}+x_{2}-L=0\;$

(5.23)

Gradient funkcji g (5.23) określamy wzorem w postaci dwuwymiarowego wektora:

$\operatorname {grad} g=[1,1]\;$

(5.24)

Równanie Eulera Lagrange'a (5.8) dla mas m₁ i m₂dla każdej zmiennej z osobna dla rozważanej dwuwymiarowej przestrzeni prostokątnej piszemy:

$m_{1}{\ddot {x}}_{1}=m_{1}g+\lambda \;$

(5.25)

$m_{2}{\ddot {x}}_{2}=m_{2}g+\lambda \;$

(5.26)

Równanie więzów (5.23) możemy dwukrotnie zróżniczkować, wtedy otrzymujemy wynikową tożsamość:

${\ddot {x}}_{1}+{\ddot {x}}_{2}=0\;$

(5.27)

Następnym krokiem jest podzielenie równania (5.25) przez m₁, a równania (5.26) przez m₂, i wykorzystaniu tożsamości (5.27), otrzymujemy równość, z którego będziemy wyznaczali parametr λ:

$0=g+{{\lambda } \over {m_{1}}}+g+{{\lambda } \over {m_{2}}}\Rightarrow 2g=-\lambda {{m_{1}+m_{2}} \over {m_{1}m_{2}}}\Rightarrow \lambda =-2g{{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}$

(5.28)

Do równania (5.25) podstawiamy obliczony parametr λ wyprowadzonego w punkcie (5.28) dla ruchomego bloczka:

$m_{1}{\ddot {x}}_{1}=m_{1}g-2g{{m_{1}m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\Rightarrow {\ddot {x}}_{1}=g-2g{{m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\Rightarrow {\ddot {x}}_{1}=g{{m_{1}-m_{2}} \over {m_{1}+m_{2}}}\Rightarrow {\ddot {x}}_{1}(m_{1}+m_{2})=(m_{1}-m_{2})g$

(5.29)

Ruch hantli na tafli lodowej dla z=0

(Rys. 5.2) Ruch hantli na tafli lodowej z więzami poruszających się obu mas w płaszczyźnie dla z=0

Napiszmy sobie równanie więzów, którego to zapis tego równania więzów jest:

$g=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}-l^{2}=0\;$

(5.30)

Mając równanie więzów dla hantli (5.30) możemy napisać równanie ruchu dla masy m₁:

$m_{1}{\ddot {x}}_{1}=2\lambda (x_{1}-x_{2})\;$

(5.31)

$m_{1}{\ddot {y}}_{1}=2\lambda (y_{1}-y_{2})\;$

(5.32)

Mając równanie więzów dla hantli (5.30) możemy napisać równanie ruchu dla masy m₂:

$m_{2}{\ddot {x}}_{2}=-2\lambda (x_{1}-x_{2})\;$

(5.33)

$m_{2}{\ddot {y}}_{2}=-2\lambda (y_{1}-y_{2})\;$

(5.34)

Wykorzystując definicję środka masy (3.1), możemy napisać na podstawie powyższych równań ruchu, tzn. (5.31) z (5.33), a także (5.32) z (5.34) równanie ruchu środka masy:

$M{\ddot {R}}=0\;$

(5.35)

Zgodnie z równaniem (5.35) równanie ruchu punktu środka masy jest rozwiązaniem ruchu jednostajnego prostoliniowego:

${\vec {R}}={\vec {v}}t+{\vec {R}}_{0}\;$

(5.36)

Jeśli złożymy, że hantla porusza się ruchem obrotowym o prędkości kątowej ${\vec {\omega }}\;$, zatem prędkości względem środka masy poszczególnych mas należącej do hantli wyrażamy:

${\dot {r}}_{1}^{'}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{1}^{'}\;$

(5.37)

${\dot {r}}_{2}^{'}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{2}^{'}\;$

(5.38)

Wtedy suma momentów pędu dwóch ciał należącej do hantli (kulek) w układzie środka masy wiedząc, że wektory ${\vec {r}}_{1}^{'}\;$, ${\vec {r}}_{2}^{'}\;$ są prostopadłe do wektora prędkości kątowej ${\vec {\omega }}\;$, jest wyrażona:

${\vec {K}}=\sum _{i=1}^{2}{\vec {r}}_{i}^{'}\times m_{i}({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{i}^{'})=\sum _{i=1}^{2}m_{i}\left({\vec {\omega }}{\vec {r}}_{i}^{'2}-{\vec {r}}_{i}^{'}({\vec {r}}_{i}^{'}{\vec {\omega }})\right)={\vec {\omega }}\left(m_{1}{\vec {r}}_{1}^{'2}+m_{2}{\vec {r}}_{2}^{'2}\right)\;$

(5.39)

Ruch bryły sztywnej wokół osi zetowej z pewną prędkością kątowa

(Rys. 5.3) Obrót ciała wokół osi z pewną prędkością kątowa.

Ponieważ rozpatrywaliśmy bryłę stywną, której więzy nie zależą od czasu, zatem na podstawie (5.22) energia całkowita bryły sztywnej nie zmienia, czyli wyrażenie poniżej nie zmienia się czasie:

$T+U=E\;$

(5.40)

Wyznaczmy teraz prędkość określoną jako iloczyn wektorowy prędkości kątowej ciała i położenia danego punktu w danym czasie ruchu, gdzie oba te wielkości są prostopadłe do siebie, jednocześnie policzmy moduł prędkości ciała korzystając z definicji prędkości, którego definicję podamy razem z tym wzorem:

${\dot {\vec {r}}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\;$

(5.41)

$|{\dot {\vec {r}}}|={\sqrt {x_{i}^{2}+y_{i}^{2}}}\omega \;$

(5.42)

Energia kinetyczna całkowita ciała, którą stanowi bryła sztywna, określamy na podstawie wzoru (5.42), zatem także możemy napisać definicje momentu masy (momentu bezwładności ciała):

$T={{1} \over {2}}\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\omega ^{2}={{1} \over {2}}J\omega ^{2}\;$

(5.43)

$J=\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\;$

(5.44)

Gdy mamy bryłę sztywną, to moment masy na podstawie jej dyskretnej postaci (5.44) wprowadzając definicję gęstości masy ciała, czy we wspomnianym wzorze masy należy zastąpić przez infinitezymalne masy, a także tą masę zastąpimy przez iloczyn gęstości masy w tymże punkcie i infinitezymalnej objętości, w której to objętości znajduje się ta masa:

$J=\int \rho (x,y,z)(x^{2}+y^{2})dV\;$

(5.45)

Energię całkowitą (5.40) określamy na podstawie definicji energii kinetycznej w ruchu obrotowym ciała poprzez jego prędkość kątową obrotu ciała wokół obrotu osi, a także mając energię potencjalną ciała U(θ), jako:

$E=T+U={{1} \over {2}}J\omega ^{2}+U(\theta )={{1} \over {2}}J{\dot {\theta }}^{2}+U(\theta )\;$

(5.46)

Ze wzoru (5.46) możemy wyznaczyć różniczkę czasu względem różniczki kąta φ, w ten sposób tak otrzymane równanie będziemy całkować obustronnie jako całkę oznaczoną:

${\dot {\theta }}^{2}={{2} \over {J}}\left(E-U(\theta )\right)\Rightarrow dt={{d\phi } \over {\sqrt {{{2} \over {J}}\left(E-U(\theta )\right)}}}\Rightarrow t-t_{0}=\int _{\theta _{0}}^{\theta }{{d\theta } \over {\sqrt {{{2} \over {J}}\left(E-U(\theta )\right)}}}\;$

(5.47)

Węzłem dla naszej tak ustalonej bryły sztywnej określać będziemy przez równość:

$g=x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}-l_{i}^{2}=0\;$

(5.48)

Siły reakcji więzów nazywamy wzór (5.9), które działają na bryłę sztywną, wykorzystując fakt istnienia więzów (5.48), wtedy siłę więzów piszemy:

${\vec {Z}}_{i}=2\lambda _{i}(x_{i},y_{i},z_{i})=\lambda _{i}{\vec {r}}\;$

(5.49)

Moment sił reakcji więzów jak można udowodnić jest równa zero na podstawie przestawienia siły pochodzącej od więzów (5.49):

${\vec {N}}_{{\vec {Z}}_{i}}={\vec {r}}_{i}\times {\vec {Z}}_{i}=\lambda _{1}{\vec {r}}_{i}\times {\vec {r}}=0\;$

(5.50)

Widzimy na podstawie wniosku, że jedynymi momentami siły, które działają na ciało są momenty pędu określone przez siły zewnętrzne, zatem z definicji drugiej zasady dynamiki Newtona dla ruchu obrotowego możemy wyznaczyć teraz całkowity moment pędu zetowy dla ciała, który stanowi bryłę sztywną:

${\vec {K}}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times {\dot {\vec {r}}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}\times ({\vec {\omega }}/times{\vec {r}}_{i})=\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}^{2}{\vec {\omega }}-\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}({\vec {r}}_{i}{\vec {w}})=\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}){\vec {\omega }}={\vec {\omega }}\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})=J{\vec {\omega }}\;$

(5.51)

Całkowity moment sił działający na bryłę sztywną jest to moment sił pochodzących od sił zewnętrznych na podstawie wniosku (5.50), zatem na podstawie drugiej zasady dynamiki ruchu obrotowego (1.88), którą określamy dla naszego przypadku wzorem:

${{d(J\omega )} \over {dt}}=J{\dot {\omega }}=\sum _{i}({\vec {r}}_{i}\times {\vec {F}}_{i})\;$

(5.52)

Wahadło fizyczne

(Rys. 5.4) Rysunek obrazujący wahadło fizyczne

Siłą zewnętrzną działający na wahadło fizyczne jest to siła grawitacji:

${\vec {F}}={\vec {Q}}=(mg,0,0)\;$

(5.53)

Wektorem wodzącym naszego punktu środka masy ${\vec {R}}\;$ naszego ciała określamy przez wzór:

${\vec {R}}=(R\cos \theta ,R\sin \theta )\;$

(5.54)

Moment siły środka masy możemy określać na podstawie siły grawitacji działającej na nasze ciała obracające się wokół pewnej osi:

${\vec {N}}_{z}=({\vec {R}}\times {\vec {F}})_{z}=-\sum _{i}m_{i}gy_{i}=-MgR_{y}=-MgR\sin \theta \;$

(5.55)

Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego, wprowadzając długość zredukowaną, które tutaj będziemy oznaczać przez l, możemy napisać:

$J{\ddot {\theta }}=-Mgs\sin \theta \Rightarrow \underbrace {{J} \over {Ms}} _{l}{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta \Rightarrow l{\ddot {\theta }}=-g\sin \theta \;$

(5.56)

Twierdzenie Steinera

Obliczenia przeprowadźmy dla przypadku dyskretnego rozkładu masy, zatem moment masy względem osi nowej i starej możemy przestawić wedle:

$J=\sum _{i}m_{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})\;$

(5.57)

${\overline {J}}=\sum _{i}m_{i}({\overline {x}}_{i}^{2}+{\overline {y}}_{i}^{2})\;$

(5.58)

Współrzędne nowej osi względem starej osi, którego ta nowa oś względem jej odpowiednika starego jest przesunięta o wektor [a,b], zatem te współrzędne:

${\overline {x}}_{i}=x_{i}-a\;$

(5.59)

${\overline {y}}_{i}=y_{i}-b\;$

(5.60)

Moment masy względem nowej osi (5.58) określać będziemy na podstawie (5.59) i (5.60) wzorem w postaci:

${\overline {J}}=\sum _{i}m_{i}({\overline {x}}_{i}^{2}+{\overline {y}}_{i}^{2})=\sum _{i}m_{i}({x}_{i}^{2}+y_{i}^{2})+\sum _{i}m_{i}(a^{2}+b^{2})-2a\sum _{i}m_{i}x_{i}-2b\sum _{i}my_{i}\;$

(5.61)

Jeśli stara oś przechodzi przez środek układu współrzędnych, to wtedy trzeci i czwarty składnik znika na podstawie definicji środka masy, zatem moment masy ciała względem osi nie przechodzącej przez środek masy jest równa momentowi masy ciała przechodzącej przez środek masy (5.57) i momentu samego środka masy względem naszej nowej osi.

${\overline {J}}=J_{s}+Ms^{2}\;$

(5.62)