Statystyka matematyczna/Średnie w matematyce statystycznej

Średnie w matematyce statystycznej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Średnią w matematyce statystycznej nazywamy przepis pozwalający wyliczyć na podstawie n wyników uzyskanych w doświadczeniu, jedną ściśle określoną wartość. Ogólnym przepisem na liczenie średnich jest średnia potęgowa, z której szczególnymi przypadkami są: średnia arytmetyczna, średnia ważona, średnia geometryczna, średnia harmoniczna oraz średnia kwadratowa.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$, to iloraz sumy n zmiennych przez liczbę tych zmiennych.

$S_{A}={\overline {a}}={{\sum _{k=1}^{n}a_{k}} \over {n}}\;$

(1.1)

Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej ważonej (1.4), jeśli przyjmiemy: $p_{i}={{1} \over {n}}\;$, co wynika stąd, że prawdopodobieństwo każdego zdarzenia z osobna (dzięki którym to prawdopodobieństwom chcemy policzyć średnią ważoną) jest jednakowe. Stąd wynika, że mianownik w średniej ważonej dla tego przypadku dla wszystkich n zdarzeń jest równy jeden. Po krótkich rozważaniach dochodzimy do wniosku, że dla równoprawdopodobnych zdarzeń średnia ważona przechodzi w średnią arytmetyczną.

$S_{W}={{\sum _{i=1}^{n}p_{i}a_{i}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}={{\sum _{i=1}^{n}{{1} \over {n}}a_{i}} \over {\sum _{i=1}^{n}{{1} \over {n}}}}=\sum _{i=1}^{n}{{1} \over {n}}a_{i}={{\sum _{i=1}^{n}a_{i}} \over {n}}=S_{A}\;$

(1.2)

Średnia arytmetyczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12) gdy parametr "k" przyjmuje wartość jeden, co można udowodnić następująco:

$S_{P}={\sqrt[{1}]{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1}} \over {n}}}={{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{1}} \over {n}}={{\sum _{i=1}^{n}a_{i}} \over {n}}=S_{A}\;$

(1.3)

Średnia ważona

Przy założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania każdego z wyników $a_{i}\;$ wynosi odpowiednio: $p_{i}\;$, to średnią ważoną definiuje się jako iloraz sumy: n iloczynów prawdopodobieństwa uzyskania wyniku przez wartość uzyskaną w doświadczeniu przez sumę prawdopodobieństw uzyskania poszczególnych wyników.

$S_{W}={{\sum _{k=1}^{n}p_{k}a_{k}} \over {\sum _{k=1}^{n}p_{k}}}\;$

(1.4)

Gdy suma prawdopodobieństw uzyskania n wyników jest zdarzeniem pewnym, to średnia ważoną (1.4) można zapisać wedle schematu:

$S_{W}=\sum _{k=1}^{n}p_{k}a_{k}\;$

(1.5)

Można powiedzieć, że średnia ważona jest szczególnym przypadkiem średniej arytmetycznej, jeśli prawdopodobieństwo uzyskania wszystkich wyników jest równe jeden tak jak w punkcie (1.5) i poszczególne wyniki w średniej arytmetycznej powtarzają się, co pozwala wyliczyć jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania powtarzających się poszczególnych wyników, lub gdy wyniki $a_{i}\;$ są unormowane.

Przyjmijmy, że spełniony jest ten drugi warunek, tzn. zachodzi $a_{ij}\rightarrow {{a_{ij}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\;$, i posługujmy się tą definicją $a_{ij}\;$.

Przyjmijmy też, że dla wyników pomiarów $a_{ij}\;$, dla takich samych i zachodzi: $a_{ik_{1}}=a_{ik_{2}}=a_{i}\;$, czyli mają taką samą wartość. Oznaczmy liczbę takich samych wyników, czyli o takim samym i, przez $n_{i}\;$. Zatem, wiedząc że $\sum _{i=1}^{n}n_{i}=N\;$, dostajemy:

$S_{A}={{\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n_{i}}{{a_{ij}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}} \over {\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}={{\sum _{i=1}^{n}n_{i}{{a_{i}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}} \over {N}}=\sum _{i=1}^{n}{{n_{i}} \over {N}}{{a_{i}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}={{\sum _{i=1}^{n}p_{i}a_{i}} \over {\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}=S_{W}\;$

(1.6)

W obliczeniach (1.6) udowodniliśmy, że średnia arytmetyczna przechodzi w średnią ważoną przy unormowanych wynikach a_ij.

Średnia geometryczna

Średnia geometryczna, nazywana również ważoną średnią geometryczną liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$, jest to pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu n liczb $a_{k}\;$:

$S_{g}={\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\;$

(1.7)

Bardzo ważne twierdzenie, mówiące o tym, że średnia geometryczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12) dla rzędu zerowego, i ta tożsamość dla parametru "k" dążącego do zera przedstawia się:

$\lim _{k\rightarrow 0}{\sqrt[{k}]{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}} \over {n}}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}\;$

(1.8)

Dowód wzoru (1.8) dla k nieskończenie bliskiemu zero wykorzystuje regułę de l'Hospitala.

$\ln \lim _{k\rightarrow 0}{\sqrt[{k}]{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}} \over {n}}}=\lim _{k\rightarrow 0}\ln {\sqrt[{k}]{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}} \over {n}}}=\lim _{k\rightarrow 0}{{\ln {{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}} \over {n}}} \over {k}}=\lim _{k\rightarrow 0}{{n} \over {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}}}{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}\ln a_{i}} \over {n}}={{n} \over {\sum _{i=1}^{n}1}}{{\sum _{i=1}^{n}1\cdot \ln a_{i}} \over {n}}=\;$
$={{\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}} \over {n}}={{\ln \prod _{i=1}^{n}a_{i}} \over {n}}\;=\;\ln \left({\prod _{i=1}^{n}a_{i}}\right)^{{1} \over {n}}=\ln {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}a_{i}}}\;$

Co kończy dowód tego twierdzenia.

Średnia harmoniczna

Średnia harmoniczna, zwana również ważoną średnią harmoniczną, jest to iloraz ilości pomiarów, których jest "n", dla których liczymy tą naszą średnią, przez sumę odwrotności tychże liczb:

$S_{H}={{n} \over {\sum _{k=1}^{n}{{1} \over {a_{k}}}}}\;$

(1.9)

Średnia harmoniczna jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12), gdy parametr "k" jest równy minus jeden (-1).

$S_{P}={\sqrt[{-1}]{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{-1}} \over {n}}}=\left({{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{-1}} \over {n}}\right)^{-1}={{n} \over {\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{-1}}}={{n} \over {\sum _{i=1}^{n}{{1} \over {a_{i}}}}}=S_{H}\;$

(1.10)

Średnia kwadratowa

Średnia kwadratowa to przykład miary statystycznej liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$. Jest to pierwiastek ilorazu sumy kwadratów n tychże liczb przez ich liczbę.

$S_{K}={\sqrt {{\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{\;2}} \over {n}}}\;$

(1.11)

Średnia kwadratowa jest szczególnym przypadkiem średniej potęgowej (1.12), gdy parametr "k" jest równy dwa (k=2).

Średnia potęgowa

Średnią potęgową (lub średnią uogólnioną) liczb $a_{1},a_{2},...,a_{n}\;$ nazywamy pierwiastek k-tego stopnia ilorazu sumy k-tych potęg n tychże liczb przez ich liczbę.

Wzór_średnia_potęgowa

$S_{P}={\sqrt[{k}]{{\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}} \over {n}}}\;$

(1.12)

Średnia potęgowa jest szczególnym rozdzajem innych średnich, które podaliśmy wcześniej w tym rozdziale o średnich w matematyce statystycznej.