Statystyka matematyczna/Momenty statystyczne dla funkcji złożonej

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Zwykle liczyliśmy momenty statystyczne dla funkcji prostych, tzn. dla funkcji, dla których zachodzi H(x)=x. Tutaj zajmiemy się liczeniem momentów statystycznych dla funkcji różnych od funkcji liniowej, czyli dla funkcji złożonej względem argumentu x, która jest zmienną ciągłą lub dyskretną, zależną od dwóch bądź więcej argumentów dla funkcji złożonej.

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej jednej zmiennej

Ogólnie momentem statystycznym rzędu l danej wielkości względem jej wartość oczekiwanej nazywamy wartość średnią zmiennej (H(x)-E[H(x)])^l:

$\mu _{i}(H)=E\left[{\Big (}H(x)-E[H(x)]{\Big )}^{i}\right]$

(4.1)

• gdzie E[H(x)] jest to wartość oczekiwana funkcji H(x).

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x dyskretnej

Dla zmiennej typu dyskretnego wzór (4.1) przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego dyskretnego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wartościach x_p jakie mogą przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej H(x_p)-E[H(x)] i prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku P(x_p):

$\mu _{i}(H)=\sum _{k=1}^{n}{\Big (}H(x_{k})-E[H(x)]{\Big )}^{i}\operatorname {P} (x_{k})\;$

(4.2)

Moment statystyczny zerowy jest to unormowanie gęstości funkcji prawdopodobieństwa.

Wartość oczekiwaną funkcji H(x) nazywamy przepis, która jest sumą po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji H(x_k) przy prawdopodobieństwie zdefiniowanej wedle wzoru P(x_k).

$E[H(x)]=\sum _{k=1}^{n}H(x_{k})\operatorname {P} (x_{k})\;$

(4.3)

Moment statystyczny, którego przepis jest w (4.2) dla parametru "i" równej jeden jest równy zero, co wynika z warunku normowania funkcji prawdopodobieństwa (2.10) i definicji wartości oczekiwanej funkcji H(x) według (4.3).

Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x) jest sumą po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x_k)-E[H(x)])² przy prawdopodobieństwie określonych pomiarów:

$\sigma ^{2}[H(x)]=\sum _{p=1}^{n}\left\{{\Big (}H(x_{p})-E[H(x)]{\Big )}^{2}\right\}P(x_{p})$

(4.4)

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej zmiennej x ciągłej

Dla zmiennej typu ciągłego wzór (4.1) przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego ciągłego momentem statystycznym rzędu "i" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej H(x)-E[H(x)] i gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku ρ(x). Momentem statystyczny i-tego rzędu dla funkcji ciągłej dla przedziału $x\in (a,b)\;$ określamy:

$\mu _{i}=\int \limits _{a}^{b}{{\Big (}H(x)-E[H(x)]{\Big )}}^{i}\rho (x)dx\;$

(4.5)

Moment statystyczny zerowy jest to unormowanie gęstości funkcji prawdopodobieństwa do jedynki.

Wartość oczekiwaną funkcji H(x) nazywamy przepis, która jest całką po wszystkich x, jakie mogą być uzyskane z doświadczenia względem funkcji H(x) przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle wzoru ρ(x).

$E[H(x)]=\int \limits _{a}^{b}H(x)\rho (x)dx\;$

(4.6)

Moment statystyczny, którego przepis jest w (4.5) dla parametru "i" równej jeden jest równy zero, co wynika z warunku normowania funkcji prawdopodobieństwa (2.13) i definicji wartości oczekiwanej funkcji H(x) według (4.6).

Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x), która jest całką po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x)-E[H(x)])² przy gęstości prawdopodobieństwa określonego pomiaru ρ(x), jest określona:

$\sigma ^{2}[H(x)]=\int {\Big [}H(x)-E[H(x)]{\Big ]}^{2}\rho (x)dx\;$

(4.7)

Uogólnienie momentu statystycznego na przypadek dowolnej jednej zmiennej

Obierzmy funkcję jednej zmiennej H(x), która jest napisana względem parametru "l" jako pewna funkcja potęgowa:

$H(x)=(x-c)^{l}\;\;$

(4.8)

Dla dowolnego typu zmiennej przy prawdopodobieństwie lub gęstości zdarzenie losowego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis:

$\mu _{l}=E\left\{(x-c)^{l}\right\}\;$

(4.9)

Wzór (4.9) nazywamy momentem statystycznym rzędu l względem punktu c.

Niech tym punktem c będzie wartość średnia uzyskanych wyników pomiarów, wtedy moment statystyczny μ_l względem wartości oczekiwanej uzyskanych w wyniku doświadczenia jest wyrażony:

$\mu _{l}=E\left\{(x-{\hat {x}})^{l}\right\}\;$

(4.10)

Jak widzimy, wzory (3.9) i (3.12) są szczególnymi przypadkami wzoru (4.10).

Moment statystyczny rzędu l=1 ma wartość zero, co można udowodnić z definicji normowania funkcji (gęstości funkcji) prawdopodobieństwa z definicji jego wartości oczekiwanej, którą to piszemy ogólnie według:

${\hat {x}}=E(x)\;\;$

(4.11)

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem dwuwymiarowym

Dla zmiennej typu ciągłego wzór przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego ciągłego momentem statystycznym rzędu "i" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x, który należy do przedziału (a,b) i y, które należy do przedziału (c,d), jakie mogą przyjmować w wyniki doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej H(x,y)-E[H(x,y)] i gęstości prawdopodobieństwa uzyskania tego wyniku ρ(x,y): Moment statystyczny i-tego rzędu dla funkcji ciągłej dla przedziału: $x\in (a,b)\;$ określa się:

$\mu _{i}(x,y)=\int _{c}^{d}\int _{b}^{a}{\Big (}H(x,y)-E\left\{H(x,y)\right\}{\Big )}^{i}f(x,y)dxdy\;$

(4.12)

Wartość oczekiwaną funkcji H(x,y) nazywamy przepis, która jest całką po wszystkich x i y jakie mogą być uzyskane z doświadczenia względem funkcji H(x,y) przy gęstości prawdopodobieństwa zdefiniowanej wedle ρ(x,y):

$E\left\{H(x,y)\right\}=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}H(x,y)f(x,y)dxdy\;$

(4.13)

Momentem statystyczny nazywamy przepis, któþrego definicja jest podana w punkcie (4.12) dla parametru "i" większej lub równej zero. Warunkiem normowania funkcji prawdopodobieństwa według wzoru (2.44) jest wzór (4.12) dla i=0. Wzór (4.13) jest definicją wartości oczekiwanej funkcji H(x).

Wariancja pomiaru (rozkładu statystycznego) dla funkcji złożonej H(x,y) jest całką po wszystkich pomiarach uzyskanych z doświadczenia względem funkcji (H(x,y)-E[H(x,y)])² przy gęstości prawdopodobieństwie określonego pomiaru ρ(x,y):

$\sigma ^{2}\left\{H(x,y)\right\}=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}{\Big (}H(x,y)-E\left\{H(x,y)\right\}{\Big )}^{2}f(x,y)dxdy\;$

(4.14)

Moment statystyczny dla dwóch zmiennych

Obierzmy reprezentację funkcji dwuwymiarowej H(x,y) względem argumentu x i y, w których wykładniki potęg są przy x jest "l" i przy y jest "m":

$H(x,y)=x^{l}y^{m}\;\;$

(4.15)

Wówczas wartość oczekiwana funkcji (4.15) piszemy tak jak normalnie jako moment statystyczny λ_lm:

$\lambda _{lm}=E(x^{l}y^{m})\;\;$

(4.16)

Wielkość (4.16) nazywamy momentami rzędu l i m.

Momenty statystyczne względem pewnych punktów dla dwóch zmiennych

Obierzmy teraz jeszcze inną reprezentację funkcji H(x,y), też dla dwóch zmiennych co (4.15), ale względem punktów a i b, którego przepis tej funkcji jest w postaci:

$H(x,y)=(x-a)^{l}(y-b)^{m}\;\;$

(4.17)

Momentem statystycznym μ_lm funkcji (4.17) rzędu l i m, względem punktów a i b, nazywamy wartość oczekiwaną tejże funkcji:

$\mu _{lm}=E\left\{(x-a)^{l}(y-b)^{m}\right\}\;$

(4.18)

Szczególne znaczenie mają momenty statystyczne policzone względem λ₁₀ i λ₀₁. Oznaczmy a=λ₁₀=E(x) oraz b=λ₀₁=E(y). Zatem wzór (4.18), gdy te punkty a i b są kolejno wartościami oczekiwanymi zmiennych losowych x i y.

$\mu _{lm}=E\left\{(x-\lambda _{10})^{l}(y-\lambda _{01})^{m}\right\}\;$

(4.19)

Momenty statystyczne dla funkcji złożonej z argumentem n-wymiarowym

Momentem statystycznym i-tego rzędu dla funkcji ciągłej z argumentem n-wymiarowym: ${\vec {x}}=\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)\;\;$ nazywamy wyrażenie:

$\mu _{i}(x_{1},x_{2},..,x_{n})=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}...\int _{a_{n}}^{b_{n}}{\Big [}H(x_{1},x_{2},...,x_{n})-E\left\{H\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right)\right\}{\Big ]}^{i}\cdot \;f(x_{1},x_{2},..,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}\;\;$

(4.20)

Wartością oczekiwaną funkcji $H(x_{1},x_{2},...,x_{n})\;\;$ nazywamy wyrażenie:

$E\left\{H(x_{1},x_{2},...,x_{n})\right\}=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}...\int _{a_{n}}^{b_{n}}H(x_{1},x_{2},..,x_{n})f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}\;$

(4.21)

Wariancja jest to drugi moment statystyczny według (4.12):

$\sigma ^{2}(x_{1},x_{2},..,x_{n})=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}...\int _{a_{n}}^{b_{n}}\left[H(x_{1},x_{2},...,x_{n})-E{\Big \{}H\left(x_{1},x_{2},...,x_{n}\right){\Big \}}\right]^{2}f(x_{1},x_{2},..,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}\;\;$

(4.22)

Momenty statystyczne dla wielu zmiennych

Obierzmy funkcję n zmiennych H(x₁,x₂,...,x_n) nazywamy funkcję zdefiniowanej za pomocą iloczynu odpowiednich potęg x_k^l_k:

$H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{1}^{l_{1}}x_{2}^{l_{2}}...x_{n}^{l_{n}}\;$

(4.23)

Momentami statystycznymi rzędu l₁,l₂,..,l_n nazywamy wartość średnią funkcji złożonej napsanej w punkcie (4.23) wedle:

$\lambda _{l_{1}l_{2}...l_{n}}=E\left\{x_{1}^{l_{1}}x_{2}^{l_{2}}...x_{n}^{l_{n}}\right\}\;$

(4.24)

Wartościami oczekiwanymi zmiennych x₁,x₂,..,x_n nazywamy zdefiniowane momenty statystyczne, jako wartości oczekiwane pewnych zmiennych x_k, w których numery momentu statystycznego (4.24) są wszystkie równe zero, oprócz tylko jednej wartości l_k dla jakiegoś k:

${\begin{matrix}\lambda _{10...0}=E(x_{1})={\hat {x}}_{1},{\mbox{ }}\lambda _{01...0}=E(x_{2})={\hat {x}}_{2},{\mbox{ }}\cdots ,\lambda _{00...1}=E(x_{n})={\hat {x}}_{n}\end{matrix}}\;$

(4.25)

Momenty statystyczne względem pewnego punktu dla wektora n-wymiarowego

Obierzmy teraz funkcję n zmiennych względem punktu $(a_{1},a_{2},...,a_{n})\;$, wtedy:

$H(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(x_{1}-a_{1})^{l_{1}}(x_{2}-a_{2})^{l_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{l_{n}}\;\;$

(4.26)

Momentami statystycznymi rzędu $l_{1},l_{2},..l_{n}\;$ względem (4.20) nazywamy wyrażenia zdefiniowane:

$\mu _{l_{1}l_{2}...l_{n}}=E\left\{(x_{1}-a_{1})^{l_{1}}(x_{2}-a_{2})^{l_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{l_{n}}\right\}\;$

(4.27)

Jeśli rozważanym punktem (a₁, a₂,...,a_n) jest n-wymiarowy wektor wartości oczekiwanych zdefiniowanych w (4.21), wówczas nasz moment (4.27) przyjmuje postać:

$\mu _{l_{1}l_{2}...l_{n}}=E\left\{(x_{1}-{\hat {x}}_{1})^{l_{1}}(x_{2}-{\hat {x}}_{2})^{l_{2}}...(x_{n}-{\hat {x}}_{n})^{l_{n}}\right\}\;$

(4.28)

Definicja wariancji przez moment statystyczny μ

Jeśli skorzystamy z definicji momentów statystycznych (4.24), wtedy dla poszczególnych przypadków dla różnych zmiennych x_i wariancja względem jej wartości oczekiwanej jest zdefiniowana jako:

${\begin{matrix}\mu _{20...0}=E\left\{(x_{1}-{\hat {x}}_{1})^{2}\right\},{\mbox{ }}\mu _{02...0}=E\left\{(x_{2}-{\hat {x}}_{2})^{2}\right\},...,\mu _{00...2}=E\left\{(x_{n}-{\hat {x}}_{n})^{2}\right\}\end{matrix}}\;$

(4.29)

Definicja kowariancji przez moment statystyczny μ

Korzystając z momentów statystycznych (4.27) przy funkcji H(x₁,x₂,...,x_n) zdefiniowanej w punkcie (4.26), można zdefiniować kowariancję względem elementów n-wymiarowego wektora dla a_i i b_j, jeśli wszystkie liczby l_k w (4.27) są równe zero oprócz dwóch:

$\mu _{00...1_{i}...1_{j}...0}=E\left\{(x_{i}-a_{j})(x_{j}-a_{j})\right\}\;$

(4.30)

Jeśli naszymi punktami a_i, b_j są wartości oczekiwane elementów x_i oraz x_j, to kowariancję c_ij na podstawie wzoru (4.30), pokazując jednocześnie, że on jest równy pewnemu momentowi statystycznemu względem pewnych wartości oczekiwanych, piszemy.

$\mu _{00...1_{i}...1_{j}...0}=E\left\{(x_{i}-{\hat {x}}_{i})(x_{j}-{\hat {x}}_{j})\right\}=c_{ij}\;$

(4.31)

Macierz o elementach c_ij definiujemy przepisując dla przejrzystości wykładu jego elementy:

$c_{ij}=E\left\{(x_{i}-{\hat {x}}_{i})(x_{j}-{\hat {x}}_{j})\right\}\;$

(4.32)

Jeśli zdefiniujemy wektor pionowy zmiennych losowych n zmiennych, które uzyskamy w pewnym doświadczeniu, to wtedy mamy:

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\;$

(4.33)

to definicja macierzy kowariancji korzystając z definicji jego elementów (4.32) i z definicji macierzy transponowanej:

$C=E\left\{(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} -{\hat {\mathbf {x} }})^{T}\right\}\;$

(4.34)

Momenty statystyczne gdy H(x) =x

Momenty statystyczne wokół funkcji prostych są szczególnym przypadkiem momentów statystycznych funkcji złożonych dla jednowymiarowego przypadku, tzn. gdy H(x)=x, niezależnie czy x jest ciągłe czy dyskretne. Należy wtedy dla wzorów (4.3) i (4.4) lub (4.6) i (4.7) dokonać tego podstawienia w tym przypadku.