Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie Poissona

Twierdzenie o rozkładzie Poissona

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Rozkład Poissona - jest to szczególny przypadek rozkładu Bernoulliego, w którym oznaczymy λ=np=const<∞, który pozostaje stały przy p→ 0 oraz przy n→∞.

Rozkład Poissona

Rozkład Poissona jest szczególnym przypadkiem rozkładu Bernouliego i jest zdefiniowany przy pomocy parametru λ i liczby trafień w pewne zdarzenie o infitezymalnym prawdopodobieństwie p przy nieskończonej ilości doświadczeń:

$P_{k}={{\lambda ^{k}} \over {k!}}e^{-\lambda }$

(17.1)

• gdzie parametr λ jest napisanej wedle schematu poniżej jako iloczyn ilości doświadczeń przez prawdopodobieństwo zdarzenia, które losujemy.

$\lambda =np\;$ dla $p\rightarrow 0$ i $n\rightarrow \infty \;$

(17.2)

Udowodnimy poniżej, że wartość oczekiwana, wariancja, i moment statystyczny rzędu trzeciego są sobie równe, czyli

$E(k)=\sigma ^{2}(k)=\mu _{3}(k)=\lambda \;$

(17.3)

A skośność jest zdefiniowana jako trzecia potęga trzeciego momentu statystycznego μ₃ przez sześcian odchylenia standardowego czyli przez sześcian pierwiastka wariancji:

$\omega ={{1} \over {\sqrt {\lambda }}}\;$

(17.4)

Wyprowadzenie rozkładu Poissona

Ze wzoru na parametr λ wyznaczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, którego to zdarzenie dotyczy wyrażonej poprzez liczbę przeprowadzonych doświadczeń, wtedy:

$p={{\lambda } \over {n}}$

(17.5)

Wykorzystamy wzór na prawdopodobieństwo dyskretne wylosowania k razy pewnej właściwości o prawdopodobieństwie zdarzenia p w n doświadczeniach, którego rozkład jest opisywany przez rozkład rozkład Bernoulliego, do którego wzoru na rozkład (10.2) podstawimy wyrażenie na prawdopodobieństwo uzyskania zdarzenia p (17.5), którego definicja jest zdefiniowana przez stały parametr λ i liczbę przeprowadzonych doświadczeń.

$P_{nk}={n \choose k}p^{k}q^{n-k}={{n!} \over {k!(n-k)!}}{\left({{\lambda } \over {n}}\right)^{k}}{{(1-{{\lambda } \over {n}})^{n}} \over {(1-{{\lambda } \over {n}}})^{k}}={{\lambda ^{k}} \over {k!}}{{n(n-1)(n-2)\cdot ...\cdot (n-k+1)} \over {n^{k}}}{{(1-{{\lambda } \over {n}})^{n}} \over {(1-{{\lambda } \over {n}}})^{k}}=$
$={\lambda ^{k} \over {k!}}{\left({1-{\lambda \over n}}\right)}^{n}{{(1-{{1} \over {n}})(1-{{2} \over {n}})\cdot ...\cdot (1-{{k-1} \over {n}})} \over {({1-{\lambda \over n}})^{k}}}$

(17.6)

W analizie matematycznej znamy granicę podaną poniżej, którą wykorzystamy w obliczeniach w punkcie (17.6):

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1-{{\lambda } \over n}\right)}^{n}=e^{-\lambda }$

(17.7)

Dla obliczeń przeprowadzonych w linijce (17.6) wykorzystamy wyrażenie na eksponens z liczby z minus λ, którego definicja jest podana w punkcie (17.7), dla której nasz rozkład przy nieskończenie małym prawdopodobieństwie "p", tak by był skończony parametr λ, jest napisany:

$P_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }P_{nk}={{\lambda ^{k}} \over {k!}}e^{-\lambda }$

(17.8)

Wyrażenie (17.8) jest definicją rozkładu Poissona.

Normowanie rozkładu Poissona

Sprawdźmy czy rozkład Poissona (17.1) jest wielkością unormowaną według wzoru (2.10), w tym celu wykorzystajmy definicję exp(λ) w postaci nieskończonego szeregu potęgowego:

$1=\sum _{k=0}^{\infty }P_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{{e^{-\lambda }\lambda ^{k}} \over {k!}}=e^{-\lambda }{\left({1+\lambda +{{\lambda ^{2}} \over {2!}}+{{\lambda ^{3}} \over {3!}}}+...\right)}=e^{-\lambda }e^{\lambda }=e^{0}=1$

(17.9)

Czyli rozkład P_k jest rozkładem unormowanym do jedynki, tak jak powinien spełniać każdy rozkład statystyczny.

Wartość oczekiwana rozkładu Poissona

Wartością oczekiwaną względem zmiennej "k" dla rozkładu dyskretnego, czyli rozkładu Poissona (17.1), którą liczymy według jego przestawienia (2.11), zapisujemy sposobem:

$E(k)=\sum _{k=0}^{\infty }kP_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kP_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }k{{\lambda ^{k}} \over {k!}}e^{-\lambda }=\sum _{k=1}^{\infty }{{\lambda ^{k}} \over {(k-1)!}}e^{-\lambda }=\lambda \sum _{k=1}^{\infty }{{\lambda ^{k-1}} \over {(k-1)!}}e^{-\lambda }\;$

(17.10)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń (17.10), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej:

$E(k)=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{{\lambda ^{k}} \over {k!}}=\lambda e^{\lambda }e^{-\lambda }=\lambda \;$

(17.11)

Z obliczeń końcowych wynikających z (17.11) wynika, że wartość oczekiwana zmiennej k w postaci zwartej jest równa parametrowi λ z definiowanej w punkcie (17.2).

$E(k)=\lambda \;$

(17.12)

Wariancja w rozkładzie Poissona

Policzmy wartość czekiwaną zmiennej k², z definicji wartości oczekiwanej dla tej zmiennej dostajemy wzór poniżej, z którego w tym samym punkcie będziemy przeprowadzać obliczenia:

$E(k^{2})=\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}{{\lambda ^{k}} \over {k!}}e^{-\lambda }=\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}{{\lambda ^{k}} \over {k!}}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }k{{\lambda ^{k}} \over {(k-1)!}}=e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=1}^{\infty }k{{\lambda ^{k-1}} \over {(k-1)!}}$

(17.13)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu k'=k-1 do naszych obliczeń (17.14), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej:

$E(k^{2})=e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=0}^{\infty }(k+1){{\lambda ^{k}} \over {k!}}=e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=0}^{\infty }k{{\lambda ^{k}} \over {k!}}+e^{-\lambda }\lambda \sum _{k=0}^{\infty }{{\lambda ^{k}} \over {k!}}=\lambda ^{2}+\lambda =\lambda (\lambda +1)\;$

(17.14)

Korzystając z metody liczenia wariancji według (3.19) i zbierając wyniki, tzn. wartość oczekiwaną zmiennej k² (17.14) oraz wartość oczekiwaną zmienne k (17.12), wtedy ta nasza liczona wielkość statystyczna jest liczona wedle schematu:

$\sigma ^{2}=E(k^{2})-E^{2}(k)=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda \;$

(17.15)

Z końcowych obliczeń (17.15) dostajemy wariację zmiennej losowej w rozkładzie Poissona napisanej wedle wzoru, którą przepisujemy dla przejrzystości wykładu:

$\sigma ^{2}=\lambda \;$

(17.16)

Udowodniliśmy, że wariancja rozkładu Poissona (17.16) jest taka sama jak jej wartość oczekiwana (17.12).

Moment trzeci rozkładu Poissona i jego skośność

Momentem statystycznym rzędu trzeciego zdefiniowanej na podstawie (3.9) nazywamy metodę, którego przepis jest poniżej. Wyrażmy ją za pomocą wartości oczekiwanej zmiennej losowej k³, k² i na końcu zmiennej k.

$\mu _{3}=E\left[\left(k-E(k)\right)^{3}\right]=E(k^{3})-3E(k^{2})E(k)+3E(k)E^{2}(k)-E^{3}(k)\;$

(17.17)

Policzmy wartość oczekiwaną wyrażenie k³ względem rozkładu Poissona, czyli E(k³), więc do dzieła:

$E(k^{3})=\sum _{k=1}^{\infty }k^{3}{{\lambda ^{k}} \over {k!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{\infty }k^{2}{{\lambda ^{k-1}} \over {(k-1)!}}$

(17.18)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu k'=k-1 do naszych obliczeń (17.18), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia postaci zwartej do wspomnianego wzoru, zatem otrzymujemy:

$E(k^{3})=\lambda e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{({k^{2}+2k+1})}{{\lambda ^{k}} \over {k!}}=\lambda (\lambda ^{2}+\lambda )+2\lambda ^{2}+\lambda =\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda \;$

(17.19)

To teraz policzmy γ₃ (moment trzeciego stopnia) zbierając wyniki razem z (17.19) , (17.14) i ostatni wzór (17.12), wtedy trzeci moment statystyczny przedstawia się:

$\mu _{3}=\lambda ^{3}+3\lambda ^{2}+\lambda -3\lambda ^{3}-3\lambda ^{2}+3\lambda ^{3}-\lambda ^{3}=\lambda \;$

(17.20)

Skośność nazywamy stosunek trzeciego momentu statystycznego przez sześcian odchylenia standardowego, zatem z definicji według rozkładu Poissona przedstawia się ono według:

$\omega ={\mu _{3}^{3} \over \sigma ^{3}}={\lambda \over {\lambda ^{3 \over 2}}}=\lambda ^{-{1 \over 2}}\;$

(17.21)

Skośność (17.21) jest to odwrotność pierwiastka z wartości oczekiwanej λ (17.12) w rozkładzie Poissona.