Statystyka matematyczna/Funkcje charakterystyczne

Funkcje charakterystyczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Wprowadzimy funkcję zwaną funkcją charakterystyczną, która charakteryzuje sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa. Mając funkcję gęstości prawdopodobieństwa można określić funkcję charakterystyczną i odwrotnie, mając funkcję charakterystyczną możemy określić sam rozkład gęstości prawdopodobieństwa.

Wartość oczekiwana z wielkości zespolonej

Załóżmy, że mamy pewną funkcję prostą zespoloną, która jest sumą jej części rzeczywistej i urojonej i której definicją jest:

$z=x+iy\;$

(8.1)

Znając wartości oczekiwane względem funkcji prostych x i y przy pewnej funkcji gęstości prawdopodobieństwa, to jego wartość oczekiwana (8.1), korzystając przy tym z udowodnionej tożsamości (5.3), możemy przedstawić jako sumę wartości oczekiwanej argumentu x i iloczynu jednostki urojonej przez wartości oczekiwanej argumentu y.

$E(z)=E(x)+iE(y)\;$

(8.2)

Funkcja charakterystyczna rozkładu

Funkcją charakterystyczną rozkładu względem zmiennej x definiujemy jak wartość oczekiwana z funkcji eksponencjalnej z argumentu itx.

$\phi (t)=E\left[\exp(itx)\right]=\int _{a}^{x}\exp(itx)f(x)dx$

(8.3)

Przy definiowaniu funkcji (8.3), korzystaliśmy z założenia (8.2). Znając funkcję charakterystyczną rozkładu możemy napisać funkcję gęstości prawdopodobieństwa f(x) na podstawie transformaty Fouriera według funkcji charakterystycznej zdefiniowanej w punkcie (8.3):

$f(x)={{1} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-itx}\phi (t)dt\;$

(8.4)

Dystrybuantę zmiennej x gęstości prawdopodobieństwa f(x) (8.4) definiujemy:

$F(x)-F(a)=\int _{a}^{x}f(x)dx=\int _{\infty }^{+\infty }{{dt} \over {2\pi }}\int _{a}^{x}e^{-itx}dx={{i} \over {2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{{e^{-itx}-e^{-ita}} \over {t}}\phi (t)dt$

(8.5)

Momenty statystyczne λ, a funkcji charakterystyczna rozkładu

Weźmy n-tą pochodną funkcji zespolonej (8.3), którą nazywamy:

$\phi ^{(n)}(t)=i^{n}\int _{a}^{b}x^{n}e^{itx}f(x)=i^{n}E\left[x^{n}\exp(itx)\right]\;$

(8.6)

Policzmy n-tą pochodną funkcji charakterystycznej (8.6) w punkcie t=0, i korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego (3.1), zatem oczywiste jest, że n-ta pochodna funkcji (8.3) w punkcie zerowym jest wprost proporcjonalna do momentu statystycznego λ_n:

$\phi ^{(n)}(0)=i^{n}E\left[x^{n}\right]\Rightarrow \phi ^{(n)}=i^{n}\lambda _{n}$

(8.7)

Momenty statystyczne μ, a funkcja charakterystyczna rozkładu

Zdefiniujmy funkcję charakterystyczną φ_y(t) dla funkcji zdefiniowanej jako $y=x-{\overline {x}}\;$ względem jakieś funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa:

$\phi _{y}(t)=E\left\{\exp[it(x-{\overline {x}})]\right\}\;$

(8.8)

n-ta pochodna funkcji φ_y (8.8) jest napisana wedle:

$\phi _{y}^{(n)}(t)=i^{n}E\left\{(x-{\overline {x}})^{n}\exp[it(x-{\overline {x}})]\right\}$

(8.9)

Następnie policzmy n-tą pochodną (8.8) w punkcie t=0 , korzystając przy tym z definicji momentu statystycznego μ_n względem średniej arytmetycznej przy jego definicji (3.8):

$\phi _{y}^{(n)}(0)=i^{n}E\left\{(x-{\overline {x}})^{n}\right\}=i^{n}\mu _{n}$

(8.10)

Ze wzoru (8.10) wynika, że zerowa pochodna (sama funkcja) jest równa jeden dla t=0, co wynika z normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, czy z definicji momentu statystycznego μ_n, czyli:

$\phi _{y}(0)=1\;$

(8.11)

A jego pierwsza pochodna z własności (3.13) momentu statystycznego o numerze jeden jest równa zero:

$\phi _{y}^{(1)}(0)=0\;$

(8.12)

Także wariacja, z własności (3.14) wzięta z minusem, jest napisana w zależności od drugiej pochodnej funkcji φ_y(t) w tymże punkcie dla t=0:

$\phi _{y}^{(2)}(0)=-\sigma ^{2}(x)\;$

(8.13)

Funkcja charakterystyczna dwóch niezależnych zmiennych

Weźmy pod lupę funkcję w=x+y, gdzie x- to jest zmienna pierwszego rozkładu, y-drugiego rozkładu, zatem funkcję charakterystyczną względem parametru "w", a także korzystając przy tym z własności funkcji eksponencjalnej, możemy napisać:

$\phi _{w}(t)=E\left\{\exp[it(x+y)]\right\}=E\left\{\exp[itx]\exp[ity]\right\}$

(8.14)

Wiedząc, ze parametry x i y są zmiennymi niezależnymi w danym doświadczeniu w układzie statystycznym, wedle wzoru (5.9) możemy ten obiekt (8.14) zapisać:

$\phi _{w}(t)=E\left\{\exp(itx)\right\}E\left\{\exp(ity)\right\}=\phi _{x}(t)\phi _{y}(t)$

(8.15)

---

Funkcja charakterystyczna rozkładu sumy dwóch niezależnych od siebie zmiennych losowych jest równa iloczynowi funkcji charakterystycznych dla tychże zmiennych:

$\phi _{x+y}(t)=\phi _{x}(t)\phi _{y}(t)\;$

(8.16)

Rozkład normalny i jego funkcja charakterystyczna

Przyjmijmy na razie bez dowodu, że funkcja rozkładu normalnego (Gaussa) jednowymiarowego względem zmiennej x przy definicji parametru b=σ(x) w tej funkcji względem wartości średniej parametru a=E(x) przyjmuje formę:

$\rho (x)={{1} \over {{\sqrt {2\pi }}b}}e^{-{{(x-a)^{2}} \over {2b^{2}}}}$

(8.17)

Przy pomocy funkcji rozkładu (8.17) możemy napisać funkcję charakterystyczną (8.3) charakteryzującą ten właśnie wspomniany rozkład:

$\phi (t)={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-{{1} \over {2}}{{(x-a)^{2}} \over {b^{2}}}}d{{x-a} \over {b}}$

(8.18)

Dokonajmy zamiany zmiennych, którego wygląd jest napisany poniżej, z której możemy wyznaczyć zmienną x od zmiennej podstawienia u i od pozostałych parametrów:

$u={{(x-a)} \over {b}}\Rightarrow x=ub+a$

(8.19)

Wtedy funkcja charakterystyczna (8.18) na podstawie definicji podstawienia (8.19) możemy zapisać za pomocą całki względem parametru u.

$\phi (t)={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{ita}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}u^{2}+it(bu+a)}du$

(8.20)

Rozpiszmy wyrażenie pomocnicze, które będzie nam potrzebne do wyznaczenia całki w wyrażeniu (8.20):

$-{{1} \over {2}}u^{2}+itbu=-{{1} \over {2}}(u^{2}-2itbu-t^{2}b^{2})-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}=-{{1} \over {2}}(u-itb)^{2}-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}$

(8.21)

Korzystając z obliczeń (8.21), dochodzimy do wniosku, że funkcja charakterystyczna (8.20) ma się w postaci:

$\phi (t)={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{ita}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}(u-itb)^{2}-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}}du={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{ita}e^{-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{{1} \over {2}}r^{2}}dr={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}e^{ita}e^{-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}}{\sqrt {2\pi }}=e^{ita}e^{-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}}$

(8.22)

---

Funkcja charakterystyczna rozkładu normalnego (Gaussa) na podstawie obliczeń (8.22) przepisuje ostateczną formę na funkcję charakterystyczną rozkładu rozkładu normalnego:

$\phi (t)=e^{ita}e^{-{{1} \over {2}}t^{2}b^{2}}\;$

(8.23)

Dla postaci standardowej , wtedy zachodzi a=0 i b=1, funkcja (8.23) przyjmuje postać:

$\phi (t)=e^{-{{1} \over {2}}t^{2}}\;$

(8.24)

Funkcja charakterystyczna dla postaci standardowej jest to funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa rozkładu normalnego standardowego z dokładnością do czynnika normalizacyjnego.