Statystyka matematyczna/Błędy pomiarowe w fizyce

Błędy pomiarowe w fizyce

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Poznamy różne metody liczenia błędów pomiarowych dla danych uzyskanych z doświadczenia, a także na podstawie nich błędy pomiarowe wielkości bezpośrednich obliczonych z tychże danych. Będziemy przyjmować, że ${\overline {x}}\;$ jest to średnia arytmetyczna zdefiniowana wzorem (1.1), a x_i jest to i-ty wynik pomiaru uzyskanego w naszym doświadczeniu. Odchylenie standardowe jest określone według wzoru $|\Delta x_{i}|=|x_{i}-{\overline {x}}|\;$.

Średnie odchylenie kwadratowe

Jeśli poszczególne pomiary różnych wielkości fizycznych są niezależne od siebie, to na podstawie znajomości średnich arytmetycznych tych niezależnych pomiarów można wyliczyć wielkość pośrednią $y=f({\vec {x}})\;$, a jej odchylenie standardowe wyznaczamy za pomocą odchyleń standardowych pomiarów bezpośrednich uzyskanych w doświadczeniu, którego odchylenie standardowe zmiennej y jest napisane wzorem (5.38). Biorąc we wspomnianym wzorze notację Δz=σ(z), to błąd statystyczny funkcji uzyskanej $f({\vec {x}})\;$ zależy od błędów pomiarowych w zależności od błędów jego argumentów.

$|\Delta f({\vec {x}})|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{{\left({{\partial f({\vec {x}})} \over {\partial x_{i}}}\right)}^{2}}{|\Delta x_{i}|}^{2}}}$

(18.1)

Określanie błędów pomiarowych metodą różniczki zupełnej

To jest metoda, w której w fizyce doświadczalnej określa się błąd pewnej skomplikowanej zmiennej, mając na uwadze n zmiennych, tzn. x_i, które są niezależne od siebie. Z wiadomości o analizie matematycznej różniczkę funkcji f można rozłożyć jako sumę n składników, w których każda jest iloczynem pochodnej cząstkowej funkcji f względem i-tej zmiennej x_i pomnożonej przez różniczkę x_i.

$df({\vec {x}})=\sum _{i=1}^{n}{{\partial f({\vec {x}})} \over {\partial x_{i}}}dx_{i}$

(18.2)

Będziemy dokonywali zastępowania wszystkich wyrazów z różniczkami ich wartościami bezwzględnymi z pewnych delt jakiś zmiennych dla której liczymy błąd:

$|\Delta f({\vec {x}})|=|\sum _{i=1}^{n}{{\partial f({\vec {x}})} \over {\partial x_{i}}}\cdot \Delta x_{i}|\leq \sum _{i=1}^{n}\left|{{\partial f({\vec {x}})} \over {\partial x_{i}}}\right|\cdot |\Delta x_{i}|$

(18.3)

Maksymalny błąd funkcji złożonej $f({\vec {x}})\;$ w zależności od błędów jego argumentów, jest określony według końcowych rozważań przeprowadzonych w punkcie (18.3):

$|\Delta f({\vec {x}})|=\sum _{i=1}^{n}\left|{{\partial f({\vec {x}})} \over {\partial x_{i}}}\right|\cdot |\Delta x_{i}|$

(18.4)

Odchylenia Δ x_i powinny być małe, ponieważ dla ich dużych wartości szereg Taylora staje się rozbieżny i liczenie błędu pomiarowego prowadzi na manowce.

Błąd przeciętny

Błędem przeciętnym nazywamy wielkość zdefiniowana jako stosunek wartości bezwzględnej odchyleń wyników pomiarów od jej wartości średniej policzonej wzorem (1.1) przez liczbę wszystkich dokonanych pomiarów.

$|\Delta x|={\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}-{\overline {x}}|} \over {n}}$

(18.5)

Średni błąd kwadratowy pomiaru

Średnim błędem kwadratowym nazywamy pierwiastkiem stosunku sumy kwadratów odchyleń poszczególnych pomiarów od wartości średniej policzonej wzorem (1.1) przez liczbę wszystkich pomiarów.

$|\Delta x|={\sqrt {{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}} \over {n}}}$

(18.6)

Średni błąd pomiarowy wyników

Średnim błędem pomiarów uzyskanych w doświadczeniu, w której panuje rozkład normalny jest obliczany wedle wzoru (6.17) i jest określona jako pierwiastek ilorazu sumy kwadratu odchyleń pomiarów od wartości średniej policzonej wedle wzoru (1.1) przez liczbę pomiarów minus jeden:

$|\Delta x|={\sqrt {{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}} \over {n-1}}}$

(18.7)

Średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej

Średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej nazywamy błąd średniej arytmetycznej w zależności od błędu pomiaru okreslanej jako ten błąd (18.7) przez pierwiastek liczby przeprowadzonych pomiarów, co wynika ze wzoru (6.11).

$|\Delta {\overline {x}}|={{|\Delta x|} \over {\sqrt {n}}}={\sqrt {{\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}} \over {n(n-1)}}}$

(18.8)