Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie χ²

Twierdzenie o rozkładzie χ²

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden 2Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki

Twierdzenie o rozkładzie $\chi ^{2}\;$ - jest to rozkład statystyczny zmiennej $\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\;$, która opisuje n doświadczeń statystycznych, w którym x_i są to wyniki uzyskane w pojedynczym doświadczeniu. Rozkład $\chi ^{2}\;\;$ można napisać, gdy ilość doświadczeń jest co najmniej skończona (policzalna).

Przypadek szczególny, gdy liczba stopni swobody jest jeden

Rozkład, który rządzi pojedynczą próbą jest to rozkład normalny, wyrażamy wzorem (12.31). Napiszmy czemu jest równe prawdopodobieństwo uzyskania wyniku z przedziału (x₀-χx₀+χ), zatem na podstawie definicji gęstości prawdopodobieństwa wspomnianego rozkładu normalnego prawdopodobieństwo uzyskania wyniku w tym przedziale wyrażamy wzorem poniżej. W jego kolejnych krokach przekształcamy go, tak by wyrazić go jako całkę obliczonej w (0,χ) wiedząc, że ta wspomniana gęstość jest funkcją parzystą względem parametru x_i-x₀.

$F(\chi ^{2})={1 \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int \limits _{x_{0}-\chi }^{x_{0}+\chi }e^{-{{(x_{i}-x_{0})^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}dx_{i}={1 \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{-\chi }^{\chi }e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds={1 \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\left(\int _{0}^{\chi }e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds+\int _{-\chi }^{0}e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds\right)=\;$
$={1 \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\left(\int _{0}^{\chi }e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds-\int _{\chi }^{0}e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds\right)={1 \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\left(\int _{0}^{\chi }e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds+\int _{0}^{\chi }e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds\right)={2 \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int _{0}^{\chi }e^{-{{s^{2}} \over {2\sigma ^{2}}}}ds$

(15.1)

Dokonajmy podstawienia zależnego od t, który jest ilorazem kwadratu zmiennej losowej s=x_i-x₀ przez kwadrat odchylenia standardowego zmiennej x:

${{s}^{2} \over {\sigma ^{2}}}=t\;$

(15.2)

Możemy zróżniczkować podstawienie określane wzorem (15.2), dalej korzystając jeszcze raz ze wspomnianego podstawienia, mamy:

$2sds=dt\cdot \sigma ^{2}\Rightarrow ds={{dt\sigma ^{2}} \over {2s}}={{dt\sigma ^{2}} \over {2\sigma {\sqrt {t}}}}\Rightarrow ds={{dt\sigma } \over {2{\sqrt {t}}}}\;$

(15.3)

Wykorzystajmy podstawienie (15.2) oraz definicję różniczki $ds\;$ według (15.3), to znając wszystkie te formuły, zatem podstawmy je do wzoru na prawdopodobieństwo uzyskania wyniku wyżej określanym przedziale (15.1), otrzymujemy:

$F(\chi ^{2})={{1} \over {{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\int \limits _{0}^{\chi ^{2}}e^{-{{1} \over {2}}t}{{dt\sigma } \over {\sqrt {t}}}={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\chi ^{2}}t^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{1} \over {2}}t}dt={{1} \over {\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\chi ^{2}}t^{-{{1} \over {2}}}e^{-{{1} \over {2}}t}dt\;$

(15.4)

Wykorzystajmy definicję Γ(λ) dla λ=1/2n=1/2, a także znając tożsamość $\Gamma \left({{1} \over {2}}\right)={\sqrt {\pi }}\;\;$, to wtedy wzór na prawdopodobieństwo (15.4) uzyskania pomiaru w przedziale (-χ,χ) jest określone wzorem wynikających z obliczeń, którego wzór dla n=1, jest wyżej określaną formułą.

$F(\chi ^{2})={1 \over {\Gamma (\lambda )2^{\lambda }}}\int \limits _{0}^{\chi ^{2}}t^{\lambda -1}e^{-{1 \over 2}t}dt\;$

(15.5)

A więc jego gęstość prawdopodobieństwa według wzoru na dystrybuantę zdarzenia (15.5) można napisać poprzez różniczkowanie go względem zmiennej losowej χ²:

$\rho (\chi ^{2})={{1} \over {\Gamma (\lambda )2^{\lambda }}}{(\chi ^{2})}^{\lambda -1}e^{-{{1} \over {2}}\chi ^{2}}\;$

(15.6)

Wiemy jednak, że wzór (15.6) jest spełniony dla jednego przeprowadzonego doświadczenia, ale można udowodnić, że ten nasz wzór jest spełniony dla dowolnej ilości prób, tzn. n≥ 1.

Przypadek gdy liczba prób jest różna od jedynki

Policzmy funkcję charakterystyczną przy podanej funkcji gęstości prawdopodobieństwa (15.6), z definicji tejże funkcji charakterystycznej określanej jako wartość oczekiwaną funkcji eksponencjalnej exp(itx), co wedle definicji (8.3) możemy go napisać w postaci nieobliczonej jeszcze, co dokonamy w późniejszych etapach, dalej przedstawimy go w postaci pewnej całki:

$\phi _{\chi ^{2}}(t)=\int _{0}^{\infty }e^{it\chi ^{2}}\rho (\chi ^{2})d\chi ^{2}={{1} \over {\Gamma (\lambda )2^{\lambda }}}\int _{0}^{\infty }(\chi ^{2})^{\lambda -1}e^{-{{1} \over {2}}\chi ^{2}+it\chi ^{2}}d\chi ^{2}\;$

(15.7)

Dokonajmy podstawienia, która będzie nam potrzebna we wzorze na funkcję charakterystyczną względem zmiennej losowej χ², które to podstawienie oznaczymy jako zmienną ν zdefiniowanej poprzez parametr t:

$\left({{1} \over {2}}-it\right)\chi ^{2}=\nu \Rightarrow {{1-2it} \over {2}}\chi ^{2}=\nu \;$

(15.8)

Podstawienie (15.8) wykorzystujemy do wzoru na funkcję charakterystyczną (15.7), stąd mamy:

$\phi _{\chi ^{2}}(t)={{1} \over {\Gamma (\lambda )2^{\lambda }}}\int _{0}^{\infty }{{\nu ^{\lambda -1}\nu ^{\lambda -1}} \over {(1-2it)^{\lambda -1}}}e^{-\nu }{{d\nu 2} \over {1-2it}}={{1} \over {\Gamma (\lambda )2^{\lambda }}}(1-2it)^{-\lambda }\int _{0}^{\infty }\nu ^{\lambda -1}e^{-\nu }d\nu =(1-2it)^{-\lambda }\Gamma ^{-1}(\lambda )\Gamma (\lambda )=\;$
$=(1-2it)^{-\lambda }\Rightarrow \phi _{\chi ^{2}}(t)=(1-2it)^{-\lambda }\;$

(15.9)

Funkcją charakterystyczną rozkładu zmiennej χ² jest funkcją napisaną w (15.9). Funkcja charakterystyczna powiedziana jest w punkcie (15.9) przy parametrze λ, udowodnimy, że ona jest spełniona dla dowolnego n naturalnego większego od zera. Dla dowolnego n zmienną losową χ² określamy jako sumę po n doświadczeniach przeprowadzonych nad statystycznym układem poszczególnych wyników pomiarów podniesionych do kwadratu.

$\chi ^{2}=\sum _{p=1}^{n}x_{p}^{2}\;$

(15.10)

Dla λ=1/2n, gdy oczywiście zachodzi n=1, to wtedy możemy określić z funkcji charakterystycznej (15.9) ściśle określoną gęstość prawdopodobieństwa dla dowolnego "n". Jeśli λ=1/2, to z funkcji (15.9) na postawie twierdzenia (8.16) otrzymujemy przypadek n>1 poprzez wymnożenie funkcji charakterystycznych (15.9) dla n=1 przez siebie charakteryzują różne ale pojedyncze doświadczenia, stąd otrzymujemy funkcję charakterystyczną dla n≥1, wtedy zmienną losową jest (15.10), tzn.:

$\phi _{\chi ^{2}}=\prod _{i=1}^{n}\phi _{\chi _{i}^{2}}=\prod _{i=1}^{n}(1-2it)^{-\lambda _{i}}=(1-2it)^{-\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}=(1-2it)^{-\sum _{i=1}^{n}{{1} \over {2}}n_{i}}=(1-2it)^{-{{1} \over {2}}\sum _{i=1}^{n}(n_{i}=1)}=(1-2it)^{-{{1} \over {2}}n}\;$
$=(1-2it)^{-\lambda }$

(15.11)

Na podstawie (15.11) i (15.10) dochodzimy do wniosku, że funkcją charakterystyczną (15.9) opisująca badany rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (15.10) jest (15.11), stąd rozkład gęstości prawdopodobieństwa (15.6) jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej χ²(15.10) o dystrybuancie (15.5) dla n≥1.