Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego

Twierdzenie o rozkładzie Bernoulliego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Rozkład statystyczny 2Wartość oczekiwana 3Odchylenie standardowe rozkładu Bernoulliego 4Zestaw momentów statystycznych

Prawdopodobieństwo Bernoulliego - jest to rozkład przedstawiający jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania w n próbach właściwości K przy jego trafieniach w ilości k. W tym rozkładzie wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania właściwości K w pojedynczym doświadczeniu jest równe p, a zdarzenia przeciwnego do K jest równe 1-p.

Rozkład statystyczny

Załóżmy, że ropatrujemy, że losowano właściwość K na ściśle określonych urnach, z ilością trafień k, w ściśle określonej kolejności z jakimi dokonano tychże trafień. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe:

$P_{nk}=p^{k}q^{n-k}\;$

(10.1)

Ponieważ we wzorze (10.1) założono, że trafienia lub nie trafienia przeprowadzono w ścisłej kolejności, ale tak nie musi być. Ilość ścisłych takich kolejności jest ${n \choose k}\;$, zatem prawdopodobieństwo trafienia w zdarzenie K w ilości k w dowolnej kolejności jest iloczynem prawdopodobieństwa (10.1) przez wspomniany ostatnio symbol Newtona, zatem prawdopodobieństwo w rozkładzie Bernoullego piszemy:

$P_{nk}={n \choose k}p^{k}q^{n-k}\;$

(10.2)

Wartość oczekiwana

Średnią oczekiwaną dla rozkładu prawdopodobieństwa Bernoulliego P_nk przedstawiamy jako średnią trafienia w właściwość K, i zapisujemy ją jako sumę po wszystkich możliwych k od zera do n względem iloczynu prawdopodobieństwa rozważanego rozkładu przez ilość trafień k.

$E(k)=\sum _{k=1}^{n}kP_{nk}\;$

(10.3)

Podstawiamy za prawdopodobieństwo uzyskania k trafień w n doświadczeniach właściwości K, czyli P_nk do wzoru na wartość oczekiwaną tego rozkładu (10.3):

$E(k)=\sum _{k=1}^{n}k{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}k{{n!} \over {(n-k)!k!}}p^{k}q^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}{{n!} \over {(n-k)!(k-1)!}}p^{k}q^{n-k}\;$

(10.4)

W obliczeniach dokonujemy podstawienia k-1=k^', zatem mamy:

$E(k)=\sum _{k=0}^{n-1}{{n!} \over {(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}=np\sum _{k=0}^{n-1}{n-1 \choose k}p^{k}q^{n-1-k}=np\cdot 1=np\;$

(10.5)

Otrzymujemy, że wartość oczekiwana dla rozkładu Bernoulliego na podstawie obliczeń (10.5) jest iloczynem prawdopodobieństwa p uzyskania właściwości K w n doświadczeniach przeprowadzonej na pewnej urnie.

$E(k)=np\;$

(10.6)

Odchylenie standardowe rozkładu Bernoulliego

Możemy wyznaczyć wariancję rozkładu Bernoulliego (10.2), korzystając ze wzoru opisującego rozkład dyskretny (3.19) wyrażającego go względem wartości oczekiwanej uzyskania kwadratu ilości trafień k² i względem wartości oczekiwanej ilości trafień przedstawionych w punkcie (10.6), jako:

$\sigma ^{2}(k)=E(k^{2})-E^{2}(k)\;$

(10.7)

Następnie policzymy wartość oczekiwaną kwadratu ilości trafień, którego definicja jest w punkcie poniżej wykorzystując prawdopodobieństwo rozkładu Bernoulliego:

$E(k^{2})=\sum _{k=0}^{n}k^{2}P_{nk}=\sum _{k=0}^{n}k^{2}{n \choose k}p^{k}q^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}kk{{n!} \over {(n-k)!k!}}p^{k}q^{n-k}=\sum _{k=1}^{n}k{{n!} \over {(n-k)!(k-1)!}}p^{k}q^{n-k}\;$

(10.8)

Dokonujemy podstawienia we wniosku (10.8) wedle schematu: k-1=k^':

$E(k^{2})=\sum _{k=0}^{n-1}(k+1){{n!} \over {(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}=\sum _{k=0}^{n-1}k{{n!} \over {(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}+\sum _{k=0}^{n-1}{{n!} \over {(n-k-1)!k!}}p^{k+1}q^{n-1-k}=\;$
$=np\sum _{k=0}^{n-1}k{{(n-1)!} \over {(n-1-k)!k!}}p^{k}q^{n-1-k}+np\sum _{k=0}^{n-1}{{(n-1)!} \over {(n-1-k)!k!}}p^{k}q^{n-1-k}\;$

(10.9)

Po krótkich przekształceniach w punkcie (10.9) dostajemy, że wartość oczekiwana kwadratu ilości trafień jest wyrażona:

$E(k^{2})=np(n-1)p+np=n^{2}p^{2}-np^{2}+np\;$

(10.10)

A zatem podstawiając wartości oczekiwane (10.6) i (10.10) do wzoru wariancję ilości trafień (10.7), zatem nasza ta rozważana wielkość można określić według:

$\sigma ^{2}(k)=n^{2}p^{2}-np^{2}+np-n^{2}p^{2}=np-np^{2}=np(1-p)=npq\;$

(10.11)

Zestaw momentów statystycznych

Wartość oczekiwaną ilości trafień i wariacja ilości trafień k w n doświadczeniach właściwości K są napisane według wzorów (10.6) i (10.11). Te wzory również wyprowadzimy za pomocą rozkładu zero-jedynkowego. Jeśli przyjmować będziemy, że losujemy jedynkę z prawdopodobieństwem p a zero z prawdopodobieństwem 1-p, to wartość oczekiwana tego zdarzenia jest napisana wedle obliczeń:

$E(x_{i})=1\cdot p+0\cdot q=p\;$

(10.12)

Wzór (10.12) określa wartość oczekiwaną dla pojedynczego zdarzenia, zatem dla n losować mamy $x=\sum _{i}x_{i}\;$, gdzie $x\;$ jest to ilość wylosowanych jedynek, korzystając przy tym (5.3), wyrażamy przez równanie:

$E(x)=\sum _{i=1}^{n}E(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}p=np\;$

(10.13)

Wariancja dla pojedynczego doświadczenia jest określona przy tych samych warunkach co powyżej przy liczeniu wartości oczekiwanej pojedynczego pomiaru zera lub jedynki:

$\sigma ^{2}(x_{i})=(1-p)^{2}p+(0-p)^{2}q=p-2p^{2}+p^{3}+p^{2}(1-p)=p-2p^{2}+p^{3}+p^{2}-p^{3}=p-p^{2}=p(1-p)=pq\;$

(10.14)

Wariancja dla każdego doświadczenia z n jest taka sama, a więc korzystając ze wzoru (5.17) przy założeniu, że te n doświadczeń są względem siebie niezależne, wtedy kowariancja tych dwóch różnych zdarzeń jest równa zero, zatem całkowita wariancja n doświadczeń jest wyrażona:

$\sigma ^{2}(x)=npq\;$

(10.15)

Otrzymaliśmy takie same wzory na wartość oczekiwaną (10.13) i wariancję (10.15), co w punktach (10.6) i (10.11) stosując intuicyjną metodę liczenia wartości oczekiwanej i wariancji.