Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym

Twierdzenie o rozkładzie wielomianowym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

Rozkład wielomianowy jest uogólnieniem rozkładu dwumianowego, tym razem mamy zamiast dwóch mamy "l" właściwości, w które trafiamy w n doświadczeniach. Ilość poszczególnych trafień jest k_j w właściwość o numerze "j" Wszystkie ilości trafień powinny spełniać warunek:

$\sum _{j=1}^{l}k_{j}=n\;$

(11.1)

Wzór na prawdopodobieństwo w rozkładzie wielomianowy względem ilości trafień w poszczególne trafienia k₁,k₂,...,k_l, znając prawdopodobieństwa zdarzeń o numerach kolejno j=1,...,l, w których prawdopodobieństwo uzyskania w pojedynczym doświadczeniu poszczególnych właściwości jest napisane kolejno p₁,p₂,...,p_l, przy ilości przeprowadzonych doświadczeń, których jest "n", jest napisane:

$W_{(k_{1},k_{2},...,k_{l})}^{n}={{n!} \over {\,\prod _{j=1}^{l}k_{j}!\,}}\prod _{j=1}^{l}p_{j}^{k_{j}}\;$

(11.2)

Dla rozkładu dwumianowego, który jest bardzo podobny jest do równania Bernoullego, wzór (11.2) dla l=2 przechodzi we:

$W_{(k,n-k)}^{n}={{n!} \over {k!(n-k)!}}p^{k}q^{n-k}\;$

(11.3)

Załóżmy, że mamy n doświadczeń, w których trafiamy w pewne właściwości, jeśli trafimy w tą właściwość, to ją oznaczamy jako jeden, w przeciwnym przypadku jako zero. Zatem wartość oczekiwaną dla rozkładu wielomianowego trafienia właściwości o numerze "i" jest określone przez wyrażenie:

$E^{k}(x_{i})=0p_{1}+0p_{2}+...+1p_{i}+...+0p_{l}=p_{i}\;$

(11.4)

Dla n przeprowadzonych doświadczeń wartość oczekiwana losowania właściwości Kⁱ jest określona na podstawie wzoru (5.3) dla przeprowadzonych n doświadczeniach:

$E(x_{i})=\sum _{k=1}^{n}E^{k}(x_{i})=\sum _{k=1}^{n}p_{i}=np_{i}\;$

(11.5)

Wartość oczekiwana zdarzenia K_i o numerze "i" dla rozkładu wielomianowego jest równa wzorowi (11.5). Korzystając z tej właściwości rozkładu wielomianowego, to wyznaczmy elementy macierzy kowariancji dla elementów diagonalnych (czyli liczymy wariancję) dla pojedynczego doświadczenia, wtedy oczywiste jest:

$c_{ii}^{k}=E\{(x_{i}-p_{i})^{2}\}=(1-p_{i})^{2}p_{i}+(0-p_{i})^{2}(1-p_{i})\,=(1+p_{i}^{2}-2p_{i})p_{i}+p_{i}^{2}-p_{i}^{3}=p_{i}+p_{i}^{3}-2p_{i}^{2}+p_{i}^{2}-p_{i}^{3}=p_{i}-p_{i}^{2}=\;$
$=p_{i}(1-p_{i})\;$

(11.6)

Dla przeprowadzonych n doświadczeń, wiedząc, że poszczególne doświadczenia są niezależne od siebie, zatem kowariancja różnych doświadczeń względem siebie dla tego samego rozkładu jest równa zero dla uzyskania tego samego wyniku, na podstawie wzoru (5.17) mamy wzór na elementy diagonalne kowariancji, które są z definicji wariancjami statystycznymi uzyskania odpowiednich wyników o właściwości K_i.

$c_{ii}=\sum _{k=1}^{n}c_{ii}^{k}=\sum _{k=1}^{n}p_{i}(1-p_{i})=np_{i}(1-p_{i})\;$

(11.7)

Korzystając z tej samej wartości oczekiwanej co w (11.6), czyli z (11.4), to możemy przeprowadzić obliczenia dla pozadiagonalnych elementów macierzy kowariancji c_ij, czyli dla elementów, dla których zachodzi i≠j:

$c_{ij}^{k}=(1-p_{i})(1-p_{j})(p_{i}+p_{j})+(-p_{i})(1-p_{j})(1-p_{i}+p_{j})+(1-p_{i})(-p_{j})(1-p_{j}+p_{i})+p_{i}p_{j}(1-p_{i}-p_{j})=\;$
$=-p_{i}(1-p_{j})+p_{i}(1-p_{j})(p_{i}-p_{j})-p_{j}(1-p_{i})+p_{j}(1-p_{i})+p_{j}(1-p_{i})(p_{j}-p_{i})+(1-p_{i})(1-p_{j})(p_{i}+p_{j})+\;$
$+p_{i}p_{j}-p_{i}p_{j}(p_{i}+p_{j})=(p_{i}-p_{j}){\Big [}p_{i}(1-p_{j})-p_{j}(1-p_{i}){\Big ]}-p_{i}+p_{i}p_{j}-p_{j}+p_{i}p_{j}+(p_{i}+p_{j})(1-p_{i}-p_{j}+p_{i}p_{j}-p_{i}p_{j})+\;$
$+p_{i}p_{j}=(p_{i}-p_{j}){\Big [}p_{i}-p_{j}-p_{i}+p_{j}+p_{i}p_{j}{\Big ]}-p_{i}-p_{j}+p_{i}p_{j}+p_{i}p_{j}+(p_{i}+p_{j})(1-p_{i}-p_{j})+p_{i}p_{j}=\;$
$=p_{i}^{2}+p_{j}^{2}-2p_{i}p_{j}-p_{o}-p_{j}+2p_{i}p_{j}+p_{i}+p_{j}-(p_{i}+p_{j})^{2}+p_{i}p_{j}=p_{i}^{2}+p_{j}^{2}-p_{i}^{2}-p_{j}^{2}-2p_{i}p_{j}+p_{i}p_{j}=-2p_{i}p_{j}+p_{i}p_{j}=\;$
$=-p_{i}p_{j}\;$

(11.8)

Zgodnie ze wzorem na wariancję (diagonalne elementy kowariancji) (11.7) i wzorem na pozadiagonalne elementy kowariancji) (11.8) możemy otrzymać ogólny wzór na dowolne elementy kowariancji dla pojedynczego doświadczenia, którego dowód przeprowadzimy poniżej, czy się zgadza z powyższymi wzorami udowodnionymi powyżej.

$c_{ij}^{k}=p_{i}(\delta _{ij}-p_{j})\;$

(11.9)

Gdy i=j, to diagonalne elementy macierzy kowariancji (11.9) przyjmują postać:

$c_{ii}^{k}=p_{i}(1-p_{i})\;$

co zgadza się ze wzorem (11.6).

Gdy i≠ j, to macierz kowariancji dla jednego doświadczenia (11.9) przedstawia się:

$c_{ij}^{k}=p_{i}(0-p_{j})=-p_{i}p_{j}\;$

co zgadza się ze wzorem (11.8).

Zatem wzór na macierz kowariancji (11.9) pojedynczego doświadczenia jest macierzą poprawną względem jej szczególnych przypadków.

Macierz kowariancji opisujący n doświadczeń [c_ij] jest sumą n macierzy kowariancji, które opisują poszczególne doświadczenia, którego elementy dla każdego małego doświadczenia są (11.9) i tą ogólną macierz kowariancji zapisujemy jako [c_ij]=Σ_{{{1}}}[c^k_ij]. Jak to udowodniono dla i=j, właściwość macierzy kowariancji została udowodniona w punkcie (11.7), gdy i≠j, to elementy n macierzy kowariancji o tych samych wskaźnikach dodają się do siebie, podobnie jest dla diagonalnych elementów macierzy kowariancji (wariancje):

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}c_{ij}^{k}=\sum _{k=1}^{n}p_{i}(\delta _{ij}-p_{j})=np_{i}(\delta _{ij}-p_{j})\;$

(11.10)

Ostatecznie, macierzą kowariancji nazywamy na podstawie jej końcowego przedstawienia (11.10) wyrażenie:

$C=[c_{ij}]_{n\times n}=[np_{i}(\delta _{ij}-p_{j})]_{n\times n}\;$

(11.11)

Wiadomo, że z definicji (4.34), że macierz kowariancji jest macierzą symetryczną, a więc definicja macierzy (11.11) powinna to spełniać. Elementy na diagonalnej są z samej siebie z definicji symetryczne, a zatem sprawdźmy czy elementy pozadiagonalne są symetryczne względem siebie.

$c_{ij}=np_{i}(\delta _{ij}-p_{j})=-np_{i}p_{j}=-np_{j}p_{i}=np_{j}(\delta _{ji}-p_{i})=c_{ji}\;$

(11.12)

Z rozważań w punkcie (11.12), że pozadiagonalne elementy kowariancji są elementami symetrycznymi, zatem dostajemy, że w ogólności macierz kowariancji dla rozkładu wielomianowego jest macierzą symetryczną, co nie powinno być dla nas zdziwieniem.

$c_{ij}=c_{ji}\;$

(11.13)