Statystyka matematyczna/Twierdzenie o rozkładzie hipergeometrycznym

Twierdzenie o rozkładzie hipergeometrycznym

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Wzór na rozkład hipergeometryczny 2Wartość oczekiwana rozkładu hipergeometrycznego 3Wariancja rozkładu hipergeometrycznego 4Rozkład Bernoulliego jako szczególny przypadek rozkładu hipergeometrycznego

Rozkład hipergeometrycznym jest to rozkład, w której w "n" losowań ma paść "k" klocków o właściwości $K_{s}\;$ i l klocków o właściwości $L_{s}\;$ podczas losowania z urny mających K klocków.

Wzór na rozkład hipergeometryczny

Załóżmy, że mamy N kul, przy czym K kul ma własność pierwszą, i L kul ma własność drugą, losujemy z takiej kombinacji n kul, ale i kul o własności pierwszej, i l kul o własności drugiej, także ilość wylosowanej z właściwością pierwszą i drugą razem jest równa ilości przeprowadzonych doświadczeń n, czyli powinno być i+l=n, a ilość kul o właściwościach pierwszych i drugich jest równa ilości wszystkich kul N, czyli zachodzi K+L=N, a więc prawdopodobieństwo uzyskania takiego wyniku przy losowaniu pewnej ilości kul o właściwości L i K przy n doświadczeniach jest określana przez formułę:

$W_{i}^{n}={{{K \choose i}{L \choose l}} \over {N \choose n}}={{{K \choose i}{N-K \choose n-i}} \over {N \choose n}}\;$

(16.1)

Wartość oczekiwana rozkładu hipergeometrycznego

Policzmy teraz wartość oczekiwaną rozkładu hipergeometrycznego zdefiniowanej w punkcie (16.1) mówiącej jaka jest średnia z wylosowanych kul o właściwości K, zatem wiedząc, że wspomniany rozkład jest rozkładem dyskretnym, przestawiamy tą średnią wedle definicji (2.11), gdy x_i można zapisać jako zmienna "i":

$E(i)=\sum _{i}iW_{i}^{n}={1 \over {N \choose n}}\sum _{i=1}^{n}i{K \choose i}{N-K \choose n-i}={1 \over {N \choose n}}\sum _{i=1}^{n}i{{K!} \over {i!(K-i)!}}{{(N-K)!} \over {(N-K-n+i)!(n-i)!}}=\;$
$={{n!(N-n)!} \over {N!}}\sum _{i=1}^{n}{{K!} \over {(i-1)!(K-i)!}}{{(N-K)!} \over {(N-K-n+i)!(n-i)!}}\;$

(16.2)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń (16.2), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej:

$E(i)={{{n!(N-n)!} \over {N!}}\sum _{i=0}^{n-1}}{{K!} \over {i!(K-1-i)!}}{{(N-K)!} \over {(N-K-n+(i+1))!(n-1-i)!}}=\;$
$={{n!(N-n)!} \over {N!}}K\sum _{i=0}^{n-1}{{(K-1)!} \over {i!(K-1-i)!}}{{(N-K)!} \over {(N-K-n+(i+1))!(n-1-i)}}=\;$
$=n{{K} \over {N}}{1 \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=1}^{n}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-1-i}=n{{K} \over {N}}{1 \over {N-1 \choose n-1}}{N-1 \choose n-1}=n{{K} \over {N}}\;$

(16.3)

Wartość oczekiwana zmiennej "i" jest wprost proporcjonalna do liczby losować "n", i do ilości kul o właściwości K przez ilość wszystkich kul N. Z definiujmy nową wielkość zwaną jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania kul o właściwości K.

$p={{K} \over {N}}$

(16.4)

Wtedy na podstawie definicji (16.4) wzór (16.3) przyjmuje postać:

$E(i)=np\;$

(16.5)

Czyli ten sam wzór otrzymaliśmy według (16.5) taki sam jak zapisaną w punkcie (10.6), który jest wartością oczekiwaną dla dyskretnego rozkładu rozkładu Bernoulliego.

Wariancja rozkładu hipergeometrycznego

Wariancję w sposób ogólny zapisujemy wedle wzoru (3.19), wtedy musimy policzyć dodatkowo średnią i², a średnią zmiennej losowej "i" już mamy policzoną w punkcie (16.5). Policzmy wartość oczekiwaną kwadratu zmiennej losowej i².

$E(i^{2})=\sum _{i=1}^{n}i^{2}W_{i}^{n}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}{{{K \choose k}{L \choose l}} \over {N \choose n}}={{n!(N-n)!} \over {N!}}\sum _{i=1}^{n}i^{2}{K \choose i}{{N-K} \choose {n-i}}=\;$
$={{n!(N-n)!} \over {N!}}{\sum _{i=1}^{n}{i{{K!} \over {(i-1)!(K-i)!}}}{{(N-K)!} \over {(n-i)!(N-K-n+i)!}}}\;$

(16.6)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1, czyli i=i'+1 do naszych obliczeń (16.6), które przeprowadzamy w celu wyznaczenia jego postaci zwartej:

$E(i^{2})={{n!(N-n)!} \over {N!}}\sum _{i=0}^{n-1}(i+1){{K!} \over {i!(K-i-1)!}}{{(N-K)!} \over {(n-i-1)!(N-K-n+i+1)!}}=\;$
$={{n!(N-n)!} \over {N!}}\sum _{i=0}^{n-1}{\Bigg (}i{{K!} \over {i!(K-i-1)!}}{{(N-K)!} \over {(n-i-1)!(N-K-n+i+1)!}}+\;$
$+{{K!} \over {i!(K-i-1)!}}{{(N-K)!} \over {(n-i-1)!(N-K-n+i+1)!}}{\Bigg )}=n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}i{{(K-1)!} \over {i!(K-1-i)!}}{N-K \choose n-i-1}+\;$
$+n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=0}^{n-1}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-i-1}=n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}{{(K-1)!} \over {(i-1)!(K-1-i)!}}{N-K \choose n-i-1}+\;$
$+n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=0}^{n-1}{K-1 \choose i}{N-K \choose n-i-1}=n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}{{(K-1)!} \over {(i-1)!(K-1-i)!}}{N-K \choose n-i-1}+n{{K} \over {N}}$

(16.7)

Wyznaczmy pierwszy wyraz występującej w końcowych rozważaniach (16.7) w postaci zwartej. Jeśli wyznaczymy jego postać, to wtedy ona posłuży nam do wyznaczania zwiniętej postaci powyższych obliczeń. Za punkt wyjścia weźmy pierwszy składnik sumy (16.7), czyli:

$n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}{{{(K-1)!} \over {(i-1)!(K-i-1)!}}{N-K \choose n-1-i}}\;$

(16.8)

Dokonajmy podstawienia wedle schematu i'=i-1 do naszych obliczeń (16.8).

$n{{K} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=0}^{n-2}{{(K-2)!(K-1)} \over {i!(K-i-2)!}}{N-K \choose n-2-i}=n{{K} \over {N}}(K-1){{1} \over {N-1 \choose n-1}}\sum _{i=0}^{n-2}{K-2 \choose i}{N-K \choose n-2-i}=$
$=n{{K(K-1)} \over {N}}{{1} \over {N-1 \choose n-1}}{N-2 \choose n-2}=n{{K(K-1)} \over {N}}{{1} \over {N-2 \choose n-2}}{{n-1} \over {N-1}}{N-2 \choose n-2}=n{{K(K-1)} \over {N}}{(n-1) \over {N-1}}\;$

(16.9)

Zbierając wszystkie obliczenia przeprowadzonych w punkcie (16.9), które dokonaliśmy dla wyrażenia (16.8), zatem postać zwarta obliczeń (16.7) dla wartości oczekiwanej z wyrażenia i² jest napisana wedle:

$E(i^{2})=n{{K(K-1)(n-1)} \over {N(N-1)}}+n{{K} \over {N}}\;$

(16.10)

A teraz dobierzmy się do liczenia wariancji mając już obliczone wzory na wartość oczekiwaną zmiennej "i" (16.5) i wartości oczekiwanej zmiennej i² (16.10), to na podstawie wzoru (3.19) wielkość wariacji możemy napisać jako:

$\sigma ^{2}(i)=E(i^{2})-E^{2}(i)=n{{K(K-1)(n-1)} \over {N(N-1)}}+n{{K} \over {N}}-n^{2}{{K^{2}} \over {N^{2}}}=\;$
$=n{{K} \over {N^{2}(N-1)}}({{N(K-1)(n-1)}+N(N-1)-nK(N-1)})=\;$
$=n{{K} \over {N^{2}(N-1)}}(NKn-KN-nN+N+N^{2}-N-nKN+nK)=n{{K} \over {N^{2}(N-1)}}{(-KN-nN+N^{2}+nK)}=$
$=n{{K} \over {N^{2}(N-1)}}{(N^{2}-nN-KN+Kn)}\;$

(16.11)

Po krótkich przekształceniach w punkcie (16.11), otrzymujemy wariancję zmiennej losowej "i", czyli kwadrat średniego odchylenie standardowego zapisaną przy pomocy zmiennych n, K, N, których oznaczenia wytłumaczyliśmy powyżej:

$\sigma ^{2}(i)={{nK(N-K)(N-n)} \over {N^{2}(N-1)}}\;$

(16.12)

Rozkład Bernoulliego jako szczególny przypadek rozkładu hipergeometrycznego

Przekształćmy wzór na wariancję σ² zmiennej "i", wychodząc od wzoru (16.12) w taki sposób, by w nim występowały stosunki K/N, co w sposób odpowiedni do poprzedniej tożsamości:

$\sigma ^{2}=n{{K} \over {N}}{\left(1-{K \over N}\right)}{{N-n} \over {N-1}}\;$

(16.13)

Jeśli wykorzystamy definicję wielkosci "p" według wzoru (16.4), a także że prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego przez q=1-p, wtedy wzór (16.13):

$\sigma ^{2}(i)=npq{{N-n} \over {N-1}}\;$

(16.14)

Gdy liczba klocków N jest o wiele większa niż ilość przeprowadzonych doświadczeń na układzie statystycznym, wtedy wzór (16.14) zapisujemy w sposób przybliżony wedle:

$\sigma ^{2}(i)=npq\;\;$

(16.15)

Gdy liczba klocków jest bardzo duża od liczby klocków wylosowanych, to wariancja zmiennej "i" (16.15) przechodzi wariancję w rozkładzie Bernoulliego (10.11), wtedy wartości oczekiwane jak i wariacje w przybliżeniu w tych w dwóch rozkładach są takie same, tzn. (16.5) (rozkład hipergeometrycznym) i (10.6) (rozkład Bernoullego).