Statystyka matematyczna/Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne

Momenty statystyczne ciągłe i dyskretne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy liczyć pewne wielkości, które są funkcją pewnych wyników uzyskanych w doświadczeniu, charakteryzujących sam pomiar tychże wielkości.

Moment statystyczny λ rzędu l

Ogólnie momentem rzędu "l" nazywamy wielkość, która jest wartością oczekiwaną zmiennej potęgowej x^l:

$\lambda _{l}=E\left\{x^{l}\right\}$

(3.1)

Rozważając dla zmiennej typu dyskretnego:

Dla zmiennej typu dyskretnego wzór (3.1) definiujemy przez prawdopodobieństwo zdarzenie losowego dyskretnego, którego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wskaźnikach p, dla którego numerujemy kolejno otrzymane wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej x_p podniesionej do potęgi "l" i prawdopodobieństwa P(x_p):

$\lambda _{l}=\sum _{p=1}^{n}x_{p}^{l}P(x_{p})$

(3.2)

Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden , którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru (3.2):

$\lambda _{1}={\hat {x}}=E(x)=\sum _{p=1}^{n}x_{p}P(x_{p})\;$

(3.3)

Momentem statystycznym rzędu "l" równe zero nazywamy normowaniem funkcji prawdopodobieństwa do jedynki (2.10), którego dla tego "l" przepis piszemy według (3.2):

$\lambda _{0}=\sum _{p=1}^{n}x^{0}P(x_{p})=\sum _{p=1}^{n}P(x_{p})=1\;$

(3.4)

Rozważając dla zmiennej typu ciągłego:

Dla zmiennej typu dyskretnego wzór (3.1) definiujemy przez prawdopodobieństwo zdarzenia losowego ciągłego, którego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako całkę po wszystkich możliwych wartościach x, jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją podcałkową jest iloczyn zmiennej losowej x i prawdopodobieństwa f(x):

$\lambda _{l}=\int _{a}^{b}x^{l}f(x)dx$

(3.5)

Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden, którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru (3.5):

$\lambda _{1}={\hat {x}}=E(x)=\int _{a}^{b}xf(x)dx\;$

(3.6)

Momentem statystycznym rzędu "l" równej zero nazywamy normowaniem funkcji prawdopodobieństwa do jedynki (2.13), którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru (3.5):

$\lambda _{0}=\int _{a}^{b}x^{0}f(x)dx=\int _{a}^{b}f(x)dx=1\;$

(3.7)

Momenty statystyczne μ względem wartości średniej

Ogólnie momentem statystycznym rzędu l danej wielkości nazywamy wartość oczekiwana, która jest wartością średniej zmiennej (x-E(x))^l:

$\mu _{l}=E\left\{(x-{\hat {x}})^{l}\right\}$

(3.8)

Przypadek zmiennej dyskretnej:

Dla zmiennej typu dyskretnego wzór (3.8) przy prawdopodobieństwie zdarzenie losowego dyskretnego momentem statystycznym rzędu "l" definiujemy przepis jako sumę po wszystkich możliwych wartościach "i" jakie może przyjmować wyniki z doświadczenia ściśle określonego, którego funkcją pod sumą jest iloczyn zmiennej losowej x_i-E(x) podniesionej do potęgi "l" i prawdopodobieństwa P(x_p):

$\mu _{l}=\sum _{i=1}^{n}{(x_{i}-{\hat {x}})}^{l}P(x_{i})$

(3.9)

Moment statystyczny rzędu zerowego jest to warunek normowania funkcji prawdopodobieństwa i jest równy jeden, tak jak w przypadku (3.4).

Następnie policzmy dyskretny jedynkowy i dwójkowy moment statystyczny:

Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden , którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru (3.9):

$\mu _{1}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {x}})P(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}P(x_{i})-{\hat {x}}\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})={\hat {x}}-{\hat {x}}=0\;$

(3.10)

Udowodniliśmy, że jedynkowy moment statystyczny jest równy zero z warunku normowania funkcji (2.10) i z definicji wartości średniej (2.11).

Wariancją nazywamy drugi moment statystyczny liczony według ogólnego przepisu (3.9) dla tego "l":

$\sigma (x)^{2}=\mu _{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\hat {x}})^{2}P(x_{i})$

(3.11)

Dla zmiennej typu ciągłego:

Jeśli zmienna "x" jest zmienną ciągłą, należącą do przedziału (a,b), wówczas n-ty moment statystyczny (3.6) piszemy wedle:

$\mu _{l}=\int \limits _{a}^{b}(x-{\hat {x}})^{l}\rho (x)dx$

(3.12)

Moment statystyczny rzędu zerowego jest to warunek normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa, i który jest równy jeden.

Następnie policzmy ciągły jedynkowy i dwójkowy moment statystyczny:

Wartością oczekiwaną nazywamy momentem statystycznym rzędu "l" równej jeden, którego dla tego "l" przepis jest wedle wzoru (3.12):

$\mu _{1}=\int _{a}^{b}(x-{\hat {x}})^{1}\rho (x)dx=\int _{a}^{b}x\rho (x)dx-{\hat {x}}\int _{a}^{b}\rho (x)dx={\hat {x}}-{\hat {x}}=0$

(3.13)

Zatem udowodniliśmy, że jedynkowy moment statystyczny ma wartość równą zero.

Wariancją nazywamy drugi moment statystyczny liczony według przepisu (3.12) i którego definicja jest:

$\sigma ^{2}(x)=\mu _{2}=\int _{a}^{b}(x-{\hat {x}})^{2}\rho (x)dx$

(3.14)

Momenty statystyczne ciągłe μ dla dwóch zmiennych

Momentem statystycznym n-zmiennych nazywamy wzór (3.8) dla zmiennej "x" i przestawmy ją względem prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej x wedle schematu (2.41):

$\mu _{i}(x)=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}(x-{\hat {x}})^{i}f(x,y)dxdy=\int _{b}^{a}(x-{\hat {x}})^{i}g(x)dx$

(3.15)

Momentem statystycznym n-zmiennych nazywamy wzór (3.8) dla zmiennej "y" i przestawmy ją względem prawdopodobieństwa uzyskania zmiennej y wedle schematu (2.42):

$\mu _{i}(y)=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}(y-{\hat {y}})^{i}f(x,y)dxdy=\int _{d}^{c}(y-{\hat {y}})^{i}h(y)dy$

(3.16)

Wartością oczekiwaną funkcji względem x określa wzór (2.45), a względem y wzór (2.46), natomiast wariancje określa dla zmiennej x, którego definicja (2.47), i dla y, którego definicja (2.48).

Momenty statystyczne (3.15) oraz (3.16) przyjmują wartość jeden dla $i=0\;$ i jest to warunek normowania gęstości funkcji prawdopodobieństwa $\rho (x)\;$ dla tych momentów statystycznych.

Rozważane momenty statystyczne, tym razem rzędu pierwszego, jak można udowodnić są równe zero z definicji normowania funkcji gęstości prawdopodobieństwa oraz wartości oczekiwanych.

Momenty statystyczne ciągłe dla n-zmiennych

Momentem statystycznym n-zmiennych nazywamy wzór (3.8), gdy funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest f(x₁,x₂,...,x_n) i w nim jest to całka po całej zmienności wszystkich zmiennych x_k. Przedstawmy ją w zależności od gęstości prawdopodobieństwa zmiennej x_k, czyli g(x_k) według wzoru (2.52):

$\mu _{i}(x_{k})=\int _{a_{1}}^{b_{1}}\int _{a_{2}}^{b_{2}}...\int _{a_{n}}^{b_{n}}\left(x_{k}-{\hat {x}}_{k}\right)^{i}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})dx_{1}dx_{2}...dx_{n}=\int _{a_{k}}^{b_{k}}(x_{k}-{\hat {x}}_{k})^{i}g(x_{k})dx$

(3.17)

Wartość oczekiwana możemy wyznaczyć dla argumentu x_k według wzoru (2.55), a wariancję wedle (2.56).

Związek pomiędzy drugim a pierwszym momentem statystycznym

Wyprowadzając wzór na drugi moment statystyczny σ²(x)=μ₂(x) wedle przepisu (3.8), dla x ciągłego lub dyskretnego, i korzystając z tego, że x₀=E(x), wtedy wariancję wyrażamy:

$\sigma ^{2}(x)=E\left((x-{\hat {x}})^{2}\right)\;=\;E(x^{2})+{\hat {x}}^{2}-2{\hat {x}}E(x)=E(x^{2})+E^{2}(x)-2E(x)E(x)=E(x^{2})-E^{2}(x)\;$

(3.18)

Ostatecznie otrzymujemy zależność na wariancję, mając wartość oczekiwaną kwadratu zmiennej losowej E(x²) oraz samą wartość oczekiwaną E(x) tej samej zmiennej też losowej.

$\sigma ^{2}(x)=E(x^{2})-E^{2}(x)\;\;$

(3.19)

Wzór (3.19) dla funkcji prostej (linowej), o współczynniku liniowym równej jeden, uogólnimy na przypadek funkcji złożonej, której szczególnym przypadkiem jest funkcji liniowa H(x)=x. Oznacza to, że używamy podstawienia zmiennej x funkcją H(x) we wzorze (3.19):

$\sigma _{H(x)}^{2}=E\left\{{\Big (}H(x)-E[H(x)]{\Big )}^{2}\right\}\;=\;E\left\{H^{2}(x)\right\}-E^{2}\left\{H(x)\right\}\;$

(3.20)

Gdy mamy do czynienia z funkcją n-wymiarową, tzn. $H({\vec {x}})=H(x_{1},x_{2},...,x_{n})\;$, to wariancję względem tej funkcji można zapisać analogicznie do (3.20):

$\sigma _{H({\vec {x}})}^{2}=E\left\{{\Big (}H({\vec {x}})-E[H({\vec {x}})]{\Big )}^{2}\right\}\;=\;E\left\{H^{2}({\vec {x}})\right\}-E^{2}\left\{H({\vec {x}})\right\}\;$

(3.21)