Fizyka statystyczna/Cykle (obiegi) termodynamiczne

Cykle (obiegi) termodynamiczne

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Obiegami termodynamicznymi nazywamy szereg dowolnych przemian termodynamicznych, któremu podlega czynnik termodynamiczny,np.: ciśnienie, objętość, temperatura, entropia. Stan czynnika termodynamicznego na końcu pokrywa się ze stanem czynnika na początku.

Sprawność cyklu

(Rys. 11.1) Obieg termodynamiczny w układzie T-S. Biały obszar przedstawia pracę cyklu, czerwony obszar odpowiada ciepłu wymienionemu z chłodnicą

Sprawność cyklu jest to stosunek wartości bezwzględnej pracy wykonanej nad układem przez ciepło oddane cyklowi i wyraża się on:

$\eta ={{|\Delta W|} \over {Q}}\;$

(11.1)

gdzie:

• $Q\;$ jest to energia oddana cyklowi w postaci ciepła
• $\Delta W$-praca wykonana przez cykl.

Zachodzi również z pierwszej zasady termodynamiki z równania (2.2) wynika, że zmiana energii wewnętrznej dla cyklu jest równa zero, bo energia wewnętrzna posiada różniczkę zupełną.

$0=\Delta U=\Delta Q+\Delta W\;$

(11.2)

Z równania (11.2) wynika, że energia wymieniana między układem, a otoczeniem jest równa z minusem pracy wykonanej przez układ.

$\Delta Q=-\Delta W\;$

(11.3)

Pracę możemy wyliczyć przy pomocy wzoru (2.7) i jest to pole na wykresie (p,V) ograniczonej przez cykl wziętej z minusem, gdy cykl odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara lub z plusem gdy odwrotnie.

$\Delta W=\oint dW=-\oint pdV$

(11.4)

A energia przekazywaną między układem a otoczeniem w postaci ciepła w cyklu możemy wyrazić w zmiennych (T,S) jako pole ograniczone przez cykl na wykresie i jest ona równa pracy wykonanej nad cyklem wziętej razem z minusem, co wynika ze wzoru (11.3).

$\Delta Q=\oint TdS=\oint pdV=-\Delta W$

(11.5)

Prosty cykl

Jest to cykl, którego odbywa się zgodnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przejęta przez cykl jest większa lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie większa niż zero, czyli w tym cyklu prostym zachodzi warunek:

$\Delta Q=-\Delta W\geqslant 0\;$

(11.6)

Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła, czyli energię oddaną, przyjętą przez cykl przedstawiamy:

$\Delta Q=Q_{1}+Q_{2}\;$

(11.7)

$Q=Q_{1}\;$

(11.8)

gdzie:

• $Q_{1}\geqslant 0\;$ jest to energia oddawana cyklowi przez grzejnik,
• $Q_{2}\leqslant 0\;$ jest to energia oddawana przez cykl do chłodnicy, i dlatego ma wartość ujemną.

A zatem sprawność cyklu prostego, korzystając przy tym (11.7) (całkowita energia w postaci ciepła wymieniana między układem a otoczeniem), (11.8) (ciepło oddane cyklowi), a także (11.6) (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem i otoczeniem z pracą wykonaną nad cyklem), to wzór (11.1) (sprawność cyklu) przedstawia się jako:

$\eta ^{P}={{|\Delta W|} \over {Q}}={{-\Delta W} \over {Q_{1}}}={{Q_{1}+Q_{2}} \over {Q_{1}}}=1+{{Q_{2}} \over {Q_{1}}}=1-{{|Q_{2}|} \over {Q_{1}}}\leqslant 1\;$

(11.9)

W cyklu prostym sprawność cyklu jest zawsze mniejsza niż jeden i większa niż zero, bo na pewno zachodzi warunek: $Q_{1}-|Q_{2}|\geqslant 0\;$.

Odwrotny cykl

Jest to cykl, który odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara, to całkowita energia oddana lub przyjęta przez cykl jest mniejsza lub równa zero, a praca wykonana nad cyklem jest zawsze nie mniejsza niż zero, czyli w tym cyklu odwrotnym zachodzi warunek:

$\Delta Q=-\Delta W\leqslant 0\;$

(11.10)

Dla cyklu określmy całkowitą energię wymienianą między układem a otoczeniem na w sposób ciepła i energię oddaną cyklowi wedle:

$\Delta Q=Q_{1}+Q_{2}\;$

(11.11)

$Q=Q_{2}\;$

(11.12)

gdzie:

• $Q_{1}\leqslant 0\;$ jest to energia zabierana cyklowi przez grzejnik
• $Q_{2}\geqslant 0\;$ jest to energia oddawana układowi przez chłodnicę.

Zatem sprawność cyklu odwrotnego, korzystając z (11.11) (całkowita energia wymieniane między układem a otoczeniem na w sposób ciepła), (11.12) (energia na w sposób ciepła oddana cyklowi), a także (11.10) (związek między całkowitym ciepłem wymienianym między układem a otoczeniem a pracą wykonaną nad cyklem) , to wzór (11.1) (sprawność cyklu) przedstawia się jako:

$\eta ^{O}={{|\Delta W|} \over {Q}}={{\Delta W} \over {Q_{2}}}={{-\Delta Q} \over {Q_{2}}}=-{{Q_{1}+Q_{2}} \over {Q_{2}}}=-{{-|Q_{1}|+Q_{2}} \over {Q_{2}}}={{|Q_{1}|} \over {Q_{2}}}-1\geqslant 0\;$

(11.13)

W cyklu odwrotnym sprawność jest większa niż zero, bo zachodzi zawsze warunek $|Q_{1}|-Q_{2}\geqslant 0$.

Cykle Carnota

Cyklem Carnota nazywamy obieg termodynamiczny składający się z dwóch przemian adiabatycznych i dwóch izotermicznych. Prostym cyklem Carnota nazywamy gdy obieg odbywa się zgodnie z kierunkiem ruchu zegara, odwrotnym cyklem Carnota nazywamy, gdy obieg odbywa się odwrotnie ze wskazówkami zegara.

Prosty cykl Carnota

(Rys. 11.2) Cykl Carnota, gdzie: isotherm-izoterma, isentrop-adiabata

(Rys. 11.3) Cykl Carnota, w zmiennych T-S

Cykl Carnota polega na dwóch przemianach izotermicznych oraz dwóch przemianach adiabatycznych.

Proces 1-2 jest to przemiana izotermiczna polegająca sprężaniu izotermicznym, w którym jest oddawana część energia w postaci ciepła do chłodnicy, która jest częścią energii zabieranej z grzejnika, przy czym nie zmienia się jego temperatura, a także jest oddawana do cyklu energia na sposób pracy. Zakładamy że pojemność cieplna chłodnicy jest nieskończenie duża, podobnie jest z grzejnikiem.

Przemiana 2-3 jest to przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym, w którym jest dawana do cyklu energia na w sposób pracy, ale wcale na w sposób ciepła, bo w tym procesie ciepło właściwe jest równe zero, tzn.:$C_{adiabata}=0$.

A także procesie 3-4, w którym jest dawana energia na sposób ciepłą z grzejnika, oraz zabierana jest energia na w sposób pracy, którego pojemność jest nieskończenie duża, tak by jego temperatura nie zmieniała w tym procesie izotermicznego rozprężania się gazu.

Proces 4-1 polega na adiabatycznym rozprężania, z którego jest zabierana energia na sposób pracy, ale nie na w sposób ciepła.

W cyklu Carnota temperatura grzejnika $T_{1}$, jest większa od temperatury chłodnicy $T_{2}$, czyli $T_{1}>T_{2}$.

Odwrotny Cykl Carnota

Jest to odwrotny cykl termodynamiczny, polegających na dwóch przemianach izotermicznych i na dwóch przemianach adiabatycznych.

Na drodze 2-1 ciepło zabierane jest z chłodnicy, w której występuje izotermiczne rozprężanie.

Na 1-4 jest to adiabata w którym występuje adiabatyczne sprężanie gazu bez wymiany ciepła z otoczeniem, tylko energia jest oddawana cyklowi w postaci wykonanej pracy.

Na 4-3 występuje izotermiczne sprężanie gazu w którym energia wewnętrzna gazu nie zmienia się, tylko ciepło jest oddawane przez cykl do grzejnika kosztem wykonanej pracy przez cykl.

Na 3-2 występuje adiabatyczne rozprężanie gazu.

A więc w sumie energia dostarczona do cyklu na w sposób energii i energia na w sposób ciepła dostarczona z chłodnicy jest oddawana do grzejnika dla naszego cyklu odwrotnego, przy czym $|Q_{1}|\geqslant |Q_{2}|$, czyli: $-\Delta W=\Delta Q=Q_{1}+Q_{2}\leqslant 0$, gdzie $\Delta W\geqslant 0$.

Sprawność prostego i odwrotnego cyklu Carnota

Niech w prostym cyklu Carnota określonym krancom od 1 do 4 odpowiadają określone współrzędne (p,V,T),a zatem mamy:$1-(p_{1},V_{1},T_{2}),2-(p_{2},V_{2},T_{2}),3-(p_{3},V_{3},T_{1}),4-(p_{4},V_{4},T_{1})\;$ Policzmy dla poszczególnych przedziałach krańców odpowiednie prace wykonane przez gaz doskonały. Równanie gazu doskonałego przedstawia się jako (7.7) . Będziemy również korzystać z równań adiabaty względem ściśle określonych dwóch parametrów termodynamicznych.

Wyznaczmy prace wykonywaną przez gaz doskonały pomiędzy stanami, na które wskazują wskaźniki z prawej strony na dole. Praca wykonana między punktami 1-2 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od $V_{1}\;$ do $V_{2}\;$ jest wyrażona:

$W_{12}=-\int _{1}^{2}pdV=-nRT_{2}\int _{1}^{2}V^{-1}dV=-nRT_{2}\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}$

(11.14)

Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 2-3 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od $V_{2}\;$ do $V_{3}\;$ jest wyrażona:

$W_{23}=-\int _{2}^{3}pdV=-C_{23}\int _{2}^{3}V^{-\kappa }dV=-{{C_{23}} \over {1-\kappa }}\left[V^{-\kappa +1}\right]_{2}^{3}=-{{C_{23}} \over {1-\kappa }}\left(V_{3}^{-\kappa +1}-V_{2}^{\kappa }\right)$

(11.15)

Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 3-4 podczas przemiany adiabatycznej przy zmianie jego objętości od $V_{3}\;$ do $V_{4}\;$:

$W_{34}=-\int _{3}^{4}pdV=-nRT_{1}\int _{3}^{4}V^{-1}dV=-nRT_{1}\ln {{V_{4}} \over {V_{3}}}$

(11.16)

Praca wykonana przez gaz doskonały między punktami 4-1 podczas przemiany izotermicznej przy zmianie jego objętości od $V_{4}\;$ do $V_{1}\;$.

$W_{41}=-\int _{4}^{1}pdV=-C_{23}\int _{4}^{1}V^{-\kappa }dV=-{{C_{41}} \over {1-\kappa }}\left[V^{-\kappa +1}\right]_{4}^{1}=$ $=-{{C_{41}} \over {1-\kappa }}\left(V_{1}^{-\kappa +1}-V_{4}^{\kappa }\right)$

(11.17)

W poniższym równaniu wykorzystujemy równanie adiabaty (7.43), zatem określmy $W_{A}\;$ jako sumę prac między punktami 2-3 oraz 4-1:

$W_{A}=W_{23}+W_{41}=-{{C_{23}} \over {1-\kappa }}\left(V_{3}^{-\kappa +1}-V_{2}^{-\kappa +1}\right)+-{{C_{41}} \over {1-\kappa }}\left(V_{1}^{-\kappa +1}-V_{4}^{\kappa -1}\right)=$

$=-{{T_{1}V_{3}^{\kappa -1}} \over {1-\kappa }}\left(V_{3}^{-\kappa +1}-V_{2}^{-\kappa +1}\right)+-{{T_{1}V_{4}^{\kappa -1}} \over {1-\kappa }}\left(V_{1}^{-\kappa +1}-V_{4}^{-\kappa +1}\right)=-{{T_{1}} \over {1-\kappa }}+{{T_{1}V_{3}^{\kappa -1}V_{2}^{-\kappa }} \over {1-\kappa }}-{{T_{1}V_{4}^{\kappa -1}V_{1}^{-\kappa +1}} \over {1-\kappa }}+{{T_{1}} \over {1-\kappa }}=$

$={{T_{1}V_{3}^{\kappa -1}V_{2}^{-\kappa +1}} \over {1-\kappa }}-{{T_{1}V_{4}^{\kappa -1}V_{1}^{-\kappa +1}} \over {1-\kappa }}$

(11.18)

Z równania adiabaty w zmiennych temperatura-objętość napisanych wedle wzoru (7.44) można połączyć punkt 2 z punktem 3:

$T_{2}V_{2}^{\kappa -1}=T_{1}V_{3}^{\kappa -1}$

(11.19)

Również też dla tego samego równania adiabaty, ale dla innej linii w cyklu Carnota można połączyć punkt 4 z punktem 1.

$T_{2}V_{1}^{\kappa -1}=T_{1}V_{4}^{\kappa -1}$

(11.20)

Wykorzystujemy równania (11.19) i (11.20), wtedy równanie (11.18) przyjmuje postać poniżej i jak się przekonamy, to wyrażenie jest równe zero:

$W_{A}={{T_{2}V_{2}^{\kappa -1}V_{2}^{-\kappa +1}-T_{2}V_{1}^{\kappa -1}V_{1}^{-\kappa +1}} \over {1-\kappa }}={{T_{2}-T_{2}} \over {1-\kappa }}=0$

(11.21)

Dochodzimy, że praca wykonana między punktami 2-3 i 4-1 nic nie wnosi do cyklu Carnota. Wyznaczmy prace w cyklu w sumie dla punktów 1-2 i dla 3-4, wtedy

$W_{T}=W_{12}+W_{34}=-nRT_{2}\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}-nRT_{1}\ln {{V_{4}} \over {V_{3}}}$

(11.22)

Z równania adiabaty w zmiennych T,V dla cyklu Carnota mamy wzory można połączyć punkty 1-4 i 2-3, wtedy otrzymujemy dwie poniższe tożsamości łączące wspomniane punkty:

$T_{2}V_{4}^{\kappa -1}=T_{1}V_{1}^{\kappa -1}$

(11.23)

$T_{2}V_{3}^{\kappa -1}=T_{1}V_{2}^{\kappa -1}$

(11.24)

Podzielmy stronami równania (11.23) i (11.24) przez siebie, wtedy otrzymujemy:

${{V_{3}} \over {V_{4}}}={{V_{2}} \over {V_{1}}}$

(11.25)

Zależność (11.25) mówiący, że stosunek objętości w punktach 3-4 jest taki sam jak stosunek objętości w punktach 2-1, i ten stosunek wykorzystujemy w równaniu (11.22), tzn. podstawiając do niego, wtedy dochodzimy do wniosku:

$W_{T}=-nRT_{2}\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}+nRT_{1}\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}=nR(T_{1}-T_{2})\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}$

(11.26)

Policzmy sprawność cyklu prostego Carnota:

$\eta _{C}^{P}={{-W_{T}-W_{A}} \over {-W_{34}}}={{-nR(T_{1}-T_{2})\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}} \over {nRT_{1}\ln {{V_{4}} \over {V_{3}}}}}={{-nR(T_{1}-T_{2})\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}} \over {-nRT_{1}\ln {{V_{2}} \over {V_{1}}}}}={{T_{1}-T_{2}} \over {T_{1}}}$

(11.27)

Sprawność cyklu prostego Carnota przedstawia się jako:

$\eta _{C}^{P}={{T_{1}-T_{2}} \over {T_{1}}}$

(11.28)

Wyznaczmy sprawność cyklu odwrotnego Carnota, ale przedtem policzmy prace: $W_{T}^{O}$ i $W_{A}^{O}$, tak ja poprzednio (11.21), (11.26) dla cyklu prostego, poprzez zamianę 1 na 2 i 2 na 1, wtedy otrzymujemy naszą sprawność:

$\eta _{C}^{O}={{W_{T}^{0}+W_{A}^{0}} \over {-W_{12}}}={{nR(T_{1}-T_{2})\ln {{V_{1}} \over {V_{2}}}} \over {nRT_{2}\ln {{V_{1}} \over {V_{2}}}}}={{T_{1}-T_{2}} \over {T_{2}}}$

(11.29)

Sprawność cyklu odwrotnego Carnota przedstawia się jako:

$\eta _{C}^{O}={{T_{1}-T_{2}} \over {T_{2}}}$

(11.30)

Udowodniliśmy powyżej, że praca wykonana przez obie przemiany adiabatyczne, tzn.:2-3 oraz 4-1 jest sumarycznie równa zero. A zatem praca i ciepło czy to dostarczone do układu czy oddawane jest tylko wynikiem dwóch przemian izotermicznych.

Widzimy, że sprawności cyklu Carnota jak i prostego i odwrotnego jest zależna zarówno od temperatury grzejnika T₁, jak i od temperatury chłodnicy T₂.

Sprawność prostego dowolnego cyklu względem prostego cyklu Carnota

Dla dowolnej przemiany odwracalnej, czy to dla cyklu prostego lub odwrotnego zmiana entropii jest równa zero, ponieważ entropia posiada różniczkę zupełną:

$\Delta S_{C}=0\;$

(11.31)

a także cykl Carnota jest cyklem odwracalnym. Zmiana entropii dla grzejnika i chłodnicy, gdzie $\Delta S_{GC}$, to zmiana entropii grzejnika i chłodnicy, razem z cyklem wyraża się według:

$\Delta S_{C}+\Delta S_{GC}\geqslant 0\Rightarrow \Delta S_{GC}\geqslant 0$

(11.32)

Zmiana entropii w dowolnym układzie termodynamicznym jest zawsze większa lub równa zero, z drugiej zasady termodynamiki całkowita zmiana entropii w cyklu jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy. Ciepło dostarczone do cyklu przez grzejnik Q₁ dla grzejnika jest to ciepło oddane, wiec jest przyjęte w nim ze znakiem minus, podobnie jest dla chłodnicy, cykl oddaje ciepło do chłodnicy, więc ono ma znak ujemny, ale ponieważ dla chłodnicy jest to ciepło przyjęte , to określamy je ze znakiem minus, zatem dochodzimy do wniosku:

${{-Q_{1}} \over {T_{1}}}+{{-Q_{2}} \over {T_{2}}}\geqslant 0$

(11.33)

Z (11.33), które otrzymaliśmy z drugiej zasady termodynamiki, to wtedy możemy napisać, iloraz energii ciepła oddawanego do chłodnicy Q₂ przez cykl, przez ciepło oddawane do cyklu Q₁ przez grzejnik:

${{Q_{2}} \over {Q_{1}}}\leqslant -{{T_{2}} \over {T_{1}}}$

(11.34)

Na podstawie wzoru na sprawność cyklu prostego (11.9) i nierówności (11.34) możemy napisać sprawność dowolnego cyklu:

$\eta =1+{{Q_{2}} \over {Q_{1}}}\leqslant 1-{{T_{2}} \over {T_{1}}}={{T_{1}-T_{2}} \over {T_{1}}}$

(11.35)

Ostatecznie z (11.35) sprawność tego samego cyklu względem sprawności w cyklu Carnota (11.28) jest wyrażona wzorem:

$\eta ^{P}\leqslant {{T_{1}-T_{2}} \over {T_{1}}}>0$, bo $T_{1}>T_{2}\;$

(11.36)

Sprawność dowolnego prostego cyklu (11.36) jest zawsze mniejsza lub równa od sprawności cyklu Carnota.

Sprawność odwrotnego dowolnego cyklu względem odwrotnego cyklu Carnota

Zmiana entropii cyklu Carnota jest równa zero $\Delta S_{C}=0\;$, bo jest cyklem odwracalnym i entropia posiada różniczkę zupełną. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy jest zawsze większa od zera lub jej równa zgodnie z drugą zasadą termodynamiki. Jeśli weźmiemy energie oddawane do grzejnika i zabierane od chłodnicy, i te energię oznaczać będziemy odpowiednim znakiem. A energie $Q_{1}\;$ i $Q_{2}\;$ mają odpowiednie znaki względem czy energia jest oddawana lub dodawana do naszego badanego cyklu. Energia jest oddawana do grzejnika od cyklu, więc ona posiada wartość ujemną względem cyklu, zatem przed $Q_{1}\;$ musi postawić dodatkowy znak minus, jeśli przedstawić względem grzejnika (bo dla grzejnika ciepło -Q₁ ma wartość dodatnią), a od chłodnicy do cyklu jest oddawana energia w postaci ciepła, więc znak tej energii względem cyklu jest dodatni, zatem przez $Q_{2}\;$ musi występować znak minus by mięć tą energię względem chłodnicy (bo dla chłodnicy to ciepło jest od niego zabierane, więc -Q₂ ma wartość ujemną), zatem całkowita zmiana entropii jest sumą zmian entropii grzejnika i chłodnicy i z drugiej zasady termodynamiki jest zawsze nie mniejsza niż zero.

${{-Q_{1}} \over {T_{1}}}+{{-Q_{2}} \over {T_{2}}}\geqslant 0$

(11.37)

Po pomnożeniu przez $-1$ i po przegrupowaniu wyrazów w nierówności (11.37), tak by energia w postaci ciepła oddawana grzejnikowi Q₁ znajdowała się na jego lewej stronie, a energia w postaci ciepła zabierana z chłodnicy Q₂ była po prawej stronie, zatem dochodzimy do wniosku:

${{Q_{1}} \over {T_{1}}}\leqslant -{{Q_{2}} \over {T_{2}}}$

(11.38)

Po podzieleniu przez $Q_{2}>0\;$, która dla cyklu odwrotnego ma wartość dodatnią i pomnożeniu przez wartość zawsze dodatnią,tzn. $T_{1}\;$ obu stron równania (11.38), wtedy dostajemy:

${{Q_{1}} \over {Q_{2}}}\leqslant -{{T_{1}} \over {T_{2}}}$

(11.39)

Jeśli skorzystamy z nierówności (11.39) możemy otrzymać sprawności dowolnego cyklu odwrotnego względem sprawności odwrotnego cyklu Carnota (11.30):

$\eta =-{{Q_{1}+Q_{2}} \over {Q_{2}}}=-{{Q_{1}} \over {Q_{2}}}-1\geqslant {{T_{1}} \over {T_{2}}}-1={{T_{1}-T_{2}} \over {T_{2}}}$

(11.40)

Ostatecznie z dysput (11.40) wynika, że sprawność dowolnego cyklu jest zawsze nie mnieJsza niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota (11.30).

$\eta ^{O}\geqslant {{T_{1}-T_{2}} \over {T_{2}}}\geqslant 0$

(11.41)

Sprawność dowolnego odwrotnego cyklu Carnota jest zawsze większa lub równa sprawności odwrotnego cyklu Carnota.

Silnik cieplny

(Rys. 11.4) Schemat energetyczny silnika cieplnego

Jest to urządzenie, która zamienia energię w postaci ciepła częściowo w energię mechaniczną. Silniki cieplne pobierają energię z grzejnika i oddają część tej energii do chłodnicy, a reszta energii jest zamieniana na pracę. Ilość energii jaki zyskuje silnik jest zawsze większa od zera, a praca jest wykonywana przez silnik. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację:

$0\leqslant \Delta Q=-\Delta W\;$

(11.42)

Silniki cieplne działają w oparciu o prosty cykl, którego sprawność jest mniejsza od cyklu Carnota (11.30). Jeśli oznaczymy $T_{1}$ jako temperatura grzejnika, a $T_{2}$ temperatura chłodnicy, to całkowita sprawność silnika spełnia warunek:

$\eta ^{P}={{W} \over {Q_{H}}}={{Q_{H}-Q_{C}} \over {Q_{H}}}\leqslant {{T_{H}-T_{C}} \over {T_{H}}}$

(11.43)

gdzie

• $Q_{H}$-jest to ciepło oddane z grzejnika do silnika cieplnego,
• $Q_{C}$-jest to ciepło oddane z silnika do chłodnicy,
• $T_{H}$-to temperatura grzejnika, $T_{C}$-temperatura chłodnicy.

Zachodzi:

$Q_{H}-Q_{C}=|W|\geqslant 0$

(11.44)

.

Maksymalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek:

$\Delta S_{H}=-\Delta S_{C}\;$

(11.45)

Pompa ciepła

(Rys. 11.5) Schemat prostej sprężarkowej pompy ciepła 1) skraplacz, 2) zawór dławiący (lub kapilara), 3) parownik, 4) sprężarka.

Jest to obieg termodynamiczny przebiegającej odwrotnie ze wskazówkami zegara, polega na przekazywaniu energii od chłodnicy kosztem wykonanej pracy, która jest dodatnia i dalej ona jest przekazywana do grzejnika wraz z tym ciepłem pochodzących z chłodnicy. Ilość energii przezywana do grzejnika w postaci ciepła jest większa niż ciepło odbierane od chłodnicy. Tak to się dzieje, bo trzeba uwzględnić energii wykonaną w postaci pracy, która jest przekazywana do cyklu. Relacja między pracą, a energią cieplną jaką zyskuje silnik spełnia relację:

$0\leqslant \Delta W=-\Delta Q$

(11.46)

gdzie:

$\Delta Q=Q_{H}+Q_{C}\;$

(11.47)

Sprawność pomp cieplnych jest większa lub równa niż sprawność odwrotnego cyklu Carnota (11.28) i wynosi:

$\eta ^{O}={{W} \over {Q_{C}}}={{|Q_{H}|-Q_{C}} \over {Q_{C}}}\geqslant {{T_{H}-T_{C}} \over {T_{C}}}$

(11.48)

Minimalną sprawność jaką uzyskuje silnik w którym sumaryczna zmiana entropii grzejnika i chłodnicy uzyskuje wartość zero i wtedy silnik ma sprawność odwrotnego cyklu Carnota. Zmiana entropii grzejnika i chłodnicy spełnia wtedy warunek:

$\Delta S_{H}=-\Delta S_{C}\;$

(11.49)

Cykl Diesla

(Rys. 11.6) Cykl Diesla w układzie p-V

Cyklem Diesla (obieg Diesla) nazywamy prosty (prawozbieżny) obieg termodynamiczny, w którym występują dwa cykle adiabatyczne, jedna izochora i izobara. Cykl Diesla jest obiegiem porównawczym silnika wysokoprężnego (silnika Diesla).

1 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu izobarycznym gazu przy ciśnieniu $p_{3}\;$ od objętości:$V_{1}\;$ do $V_{2}\;$, przy czym tutaj występuje ochładzanie gazu

2 - jest to przemiana polegająca na rozprężaniu adiabatycznym gazy od objętości $V_{2}\;$ i ciśnieniu $p_{3}\;$ do objętości $V_{3}\;$ i ciśnienia $p_{2}\;$.

3 - jest to przemiana polegająca izochorycznym chłodzeniu gazu przy objętości $V_{3}\;$ od ciśnienia $p_{2}\;$ do ciśnienia $p_{1}\;$

4 - jest to przemiana polegająca na adiabatycznym sprężaniu gazu od objętości $V_{3}\;$ i ciśnieniu $p_{1}\;$ do objętości $V_{1}\;$ i ciśnienia $p_{3}\;$.

Sprawność cyklu Diesla

Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Diesla w celu wyznaczenia jego sprawności. Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 1 jest równe, na którym ciśnienie pozostaje stałe i jest równe $p_{3}\;$:

$Q_{1}=C_{p}n\int _{V_{1}}^{V_{2}}dT=C_{p}n\int _{V_{1}}^{V_{2}}d{{pV} \over {nR}}={{C_{p}p_{3}} \over {R}}(V_{2}-V_{1})>0\;$

(11.50)

Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 2 na odcinku adiabatycznym jest równe:

$Q_{2}=0\;$

(11.51)

Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 3 na którym objętość jest stała i wynosi $V_{3}\;$ a ciśnienie zmienia się od $p_{2}\;$ do $p_{1}\;$, zatem ta energia jest równa:

$Q_{3}=C_{V}n\int _{p_{2}}^{p_{1}}dT=C_{V}n\int _{p_{2}}^{p_{1}}d{{pV} \over {nR}}={{C_{v}V_{3}} \over {R}}(p_{1}-p_{2})<0\;$

(11.52)

Ciepło oddawane cyklowi na odcinku 4, który jest odcinkiem adiabatycznym jest równe:

$Q_{4}=0\;$

(11.53)

Współczynnik sprawności prostego cyklu Diesla, korzystając przy tym ze wzoru (11.9), jest równy:

$\eta ={{Q_{3}+Q_{1}} \over {Q_{1}}}={{{{C_{v}V_{3}} \over {R}}(p_{1}-p_{2})+{{C_{p}p_{3}} \over {R}}(V_{2}-V_{1})} \over {{{C_{p}p_{3}} \over {R}}(V_{2}-V_{1})}}=1-{{C_{v}} \over {C_{p}}}{{{{p_{2}} \over {p_{3}}}-{{p_{1}} \over {p_{3}}}} \over {{{V_{2}} \over {V_{3}}}-{{V_{1}} \over {V_{3}}}}}\;$

(11.54)

Z równań adiabaty zachodzą łączące punkty krańcowe na odcinku 2 oraz 4 można napisać dwa brzegowe warunki:

$p_{3}V_{2}^{\kappa }=p_{2}V_{3}^{\kappa }\Rightarrow {{p_{2}} \over {p_{3}}}=\left({{V_{2}} \over {V_{3}}}\right)^{\kappa }\;$

(11.55)

$p_{1}V_{3}^{\kappa }=p_{3}V_{1}^{\kappa }\Rightarrow {{p_{1}} \over {p_{3}}}=\left({{V_{1}} \over {V_{3}}}\right)^{\kappa }\;$

(11.56)

Wykorzystujemy równanie (11.55) i (11.56), zatem sprawność cyklu prostego Diesla (11.54) jest wyrażona:

$\eta =1-{{C_{v}} \over {C_{p}}}{{\left({{V_{2}} \over {V_{3}}}\right)^{\kappa }-\left({{V_{1}} \over {V_{3}}}\right)^{\kappa }} \over {{{V_{2}} \over {V_{3}}}-{{V_{1}} \over {V_{3}}}}}=1-{{C_{v}} \over {C_{p}}}\left({{V_{2}} \over {V_{3}}}\right)^{\kappa -1}{{1-\left({{V_{1}} \over {V_{2}}}\right)^{\kappa }} \over {1-{{V_{1}} \over {V_{2}}}}}\;$

(11.57)

Sprawność cyklu Diesla według (11.57) wyraża się:

$\eta =1-{{C_{v}} \over {C_{p}}}\left({{V_{2}} \over {V_{3}}}\right)^{\kappa -1}{{1-\left({{V_{1}} \over {V_{2}}}\right)^{\kappa }} \over {1-{{V_{1}} \over {V_{2}}}}}\;$

(11.58)

gdzie :

• $\kappa \;$ dla gazu doskonałego zachodzi (7.44).

Cykl Otta

(Rys. 11.7) Cykl Otta w układzie p-V

Cykl Otta - odwracalny cykl termodynamiczny w którym występują cztery z procesów elementarnych:

0 - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu $p_{1}\;$ od objętości $V_{1}\;$ do $V_{2}\;$

1 - przemiana polegająca na ogrzewaniu izochorycznym, przy objętości $V_{2}\;$, od ciśnienia $p_{1}\;$ do $p_{3}\;$.

2 - przemiana polegająca na sprężaniu adiabatycznym (na wykresie 3), od ciśnienia $p_{3}\;$ i objętości $V_{2}\;$ do ciśnienia $p_{4}\;$ i objętości $V_{1}\;$.

3 - przemiana polegająca na chłodzeniu izochorycznym przy objętości $V_{1}\;$, od ciśnienia $p_{4}\;$ do ciśnienia $p_{2}\;$

4 - rozprężaniu adiabatycznym od ciśnienia $p_{2}\;$ przy objętości $V_{1}\;$ do ciśnienia $p_{1}\;$ przy objętości $V_{2}\;$.

5 - przemiana polegająca na ogrzewaniu izobarycznym przy ciśnieniu $p_{1}\;$ od objętości $V_{2}\;$ do $V_{1}\;$

Sprawność cyklu Otta

Będziemy przeprowadzać obliczenia dla cyklu Otta w celu wyznaczenia sprawności tegoż obiegu. Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 4 i 2 na tych odcinkach adiabatycznych jest równe:

$Q_{4}=Q_{2}=0\;\;$

(11.59)

Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 1, w którym objętość się nie zmienia i wynosi $V_{2}\;$, a ciśnienie zmienia się od $p_{1}\;$ do $p_{3}\;$ i ta energia jest zatem równe:

$Q_{1}=C_{v}n\int dT=C_{v}n\int d\left({{pV} \over {nR}}\right)={{C_{v}} \over {R}}V_{2}(p_{3}-p_{1})>0\;\;$

(11.60)

Ciepło oddawane przez cykl na odcinku 3, w którym objętość się nie zmienia i wynosi $V_{1}\;$ a cisnienie zmienia się od $p_{4}\;$ do $p_{2}\;$, ta energia jest równe:

$Q_{3}=C_{v}n\int dT=C_{v}n\int d\left({{pV} \over {nR}}\right)={{C_{v}} \over {R}}V_{1}(p_{2}-p_{4})<0\;\;$

(11.61)

Sprawność cyklu Otta, który jest cyklem odwrotnym na podstawie wzoru (11.13) i na podstawie wcześniejszych obliczeń wyraża się:

$\eta ={{-Q_{1}-Q_{3}} \over {Q_{1}}}=-1-{{Q_{3}} \over {Q_{1}}}=-1-{{{{C_{v}} \over {R}}V_{1}(p_{2}-p_{4})} \over {{{C_{v}} \over {R}}V_{2}(p_{3}-p_{1})}}=-1-{{V_{1}} \over {V_{2}}}{{(p_{2}-p_{4})} \over {p_{3}-p_{1}}}\;\;$

(11.62)

Z równań adiabaty łączące krańcowe punkty na przemianach 2 oraz 4 zachodzą warunki:

$p_{4}V_{1}^{\kappa }=p_{3}V_{2}^{\kappa }$

(11.63)

$p_{2}V_{1}^{\kappa }=p_{1}V_{2}^{\kappa }$

(11.64)

Z równań (11.63) (przemiana 2) i (11.64) (przemiana 4) wynika równanie:

$(p_{2}-p_{4})V_{1}^{\kappa }=(p_{1}-p_{3})V_{2}^{\kappa }\Rightarrow {{p_{2}-p_{4}} \over {p_{3}-p_{1}}}=-\left({{V_{2}} \over {V_{1}}}\right)^{\kappa }\;\;$

(11.65)

Wykorzystujemy równanie (11.65) i podstawiając to równanie do wzoru sprawność cyklu (11.62), mamy:

$\eta =-1-{{V_{1}} \over {V_{2}}}{{p_{2}-p_{4}} \over {p_{3}-p_{1}}}=-1+{{V_{1}} \over {V_{2}}}\left({{V_{2}} \over {V_{1}}}\right)^{\kappa }=-1+\left({{V_{2}} \over {V_{1}}}\right)^{\kappa -1}\;\;$

(11.66)

Stała $\kappa \;$ jest wyrażona wzorem (7.44). Ostatecznie sprawność cyklu Otta według (11.66) przedstawia się ostatecznie:

$\eta =\left({{V_{2}} \over {V_{1}}}\right)^{\kappa -1}-1\;\;$

(11.67)

Sprawność cyklu Otta jest zależna od objętości $V_{1}\;$ i $V_{2}\;$ i od współczynnika $\kappa \;$, który dla gazu doskonałego jest większa niż jeden według wzoru (7.44) i związku (7.46), zatem sprawność cyklu Otta jest zawsze większa niż zero, tak jak powinno.