Fizyka statystyczna/Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego

Statystyki Boltzmanna, Fermiego i Bosego

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa oraz miejsca pochodzenia książki i jej jakikolwiek części, a także treści, teksty, tabele, wykresy, rysunki, wzory i inne elementy oraz ich części zawarte w książce, i tą książkę, nawet w postaci przerobionej nie można umieszczać w jakikolwiek formie na czasopismach naukowych, archiwach prac, itp. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji niezależnie, czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

BoksySpis treści

Prawa autorskie • Informacje prawne • Tworzenie podręczników • Tworzenie podręcznika • Edycja kodu

Wyprowadzimy statystykę Bolztmanna bezpośrednio z przesłanek czysto statystycznych, statystyki Fermiego i Diraca wyprowadzone poprzez kombinację bez powtórzeń (statystyka Fermiego) lub przez kombinację z powtórzeniami (statystyka Bosego), korzystając że pochodna entropii przyjmuje wartość maksymalną, czyli pierwsza pochodna wspomnianej funkcji termodynamicznej przyjmuje w tym punkcie wartość zero.

Funkcjonał entropii

Załóżmy, że energie są skwantowane i istnieje l poziomów o energiach Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_l\;} . Średnia energia znajdujących się w układzie cząstek piszemy w zależności o energii poszczególnych poziomów jakie zajmują cząstki obsadzając stany pomnożone przez liczbę cząstek n_i o numerze "i", a liczba cząstek jest sumą tych wszystkich cząstek znajdujących się w tych stanach.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \overline{E}=\sum_{i=1}^ln_i\epsilon_i}

(22.1)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \overline{V}=\sum^l_{i=1}n_iV_i}

(22.2)

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \overline {N}=\sum^l_{i=1}n_i\;}

(22.3)

Napiszmy funkcjonał oparty i uzupełniony o współczynniki Lagrange'a, który spełnia te same właściwości co entropia S.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi\{n_i\}=S+k_BB(\overline{E}-\sum_{i=1}^ln_i\epsilon_i)+k_BC(\overline{V}-\sum_{i=1}^ln_iV_i)+k_BD(\overline{N}-\sum^l_{i=1}n_i)}

(22.4)

Rozkład Boltzmanna

Załóżmy, że istnieje N cząstek w l przegrodach, to wtedy możliwości obsadzeń jest:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle W={{\overline N!}\over{n_1!n_2!...n_l!}}\Rightarrow \ln W=\overline N\ln \overline N-\overline N-\sum_i n_i \ln n_i+\sum_i n_i\Rightarrow \ln W=\overline N\ln \overline N-\sum_in_i\ln n_i\Rightarrow S=k_B\ln W=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =k_B\overline N\ln \overline N-k_B\sum_in_i\ln n_i=-k_B\sum_in_i\ln {{n_i}\over{\overline N}}}

(22.5)

Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki (22.1), (22.2)) i (22.3)), którego definicja S jest dana tutaj wzorem (22.5), ma pochodną cząstkową względem n_i równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, co na podstawie (22.3) zamiast D możemy napisać Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle D-\overline N\;} w (22.4), zatem:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 0={{\partial \phi}\over{\partial n_i}}=-k_B\left(\overline N+\ln {{n_i}\over{\overline N}}\right)-k_BBE_i-k_BCV_i-k_B(D-\overline N)\Rightarrow -k_B\left(\overline N+\ln {{n_i}\over{\overline N}}\right)-k_BBE_i-k_BCV_i+\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle -k_B(D-\overline N)\Rightarrow k_B\ln {{n_i}\over{\overline N}}= -k_B(BE_i+CV_i+D)\Rightarrow n_i=\overline Ne^{-(BE_i+CV_i+D)}\;}

(22.6)

Jak łatwo można sprawdzić, że druga pochodna funkcjonału (22.5) przyjmuje wartość ujemną, co spełnia właściwości maksymalizacji entropii bo wtedy zachodzi:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\partial^2 \phi}\over{\partial n_i^2}}=-k_B{{\overline N}\over{n_i}}<0\;}

Końcowy wzór na liczbę cząstek n_i (22.6) jest to rozkład Boltzmanna.

Statystyka Fermiego

W każdych obsadzanych poziomów istnieje Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle g_j\;} stanów, które można obsadzać w przeróżny sposób przez n_i cząstek, w których w każdej z przegródek (poziomów) może się znajdować conaj wyżej jedna cząstka, liczymy je jako kombinację bez powtórzeń:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle W_i={g_i\choose n_i}={{g_i!}\over{n_i!(g_i-n_i)!}}}

(22.7)

Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych W_i dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle W\{n_i\}=\prod^l_{i=1}W_i=\prod^l_{i=1}{{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}}

(22.8)

Jeśli podstawić do wzoru na entropię (12.74) wyrażenie (22.8), która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga (MMF-5.37):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle S=k_B\ln W\{n_i\}=k_B\ln \prod^l_{i=1}{{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}= k_B\sum^l_{i=1}\ln {{g_i!}\over{n_j!(g_j-n_j)!}}=\;}
Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle =k_B\sum^l_{i=1}\left[g_i\ln g_i-g_i-n_j\ln n_j+n_j-(g_j-n_j)\ln (g_j-n_j)+(g_j-n_j)\right]}

(22.9)

Wyznaczmy pochodną cząstkową entropii (22.9) względem n_i, która jest ilością cząstek w stanie "i":

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\partial S}\over{\partial n_j}}=k_B\left[-\ln n_j-1+1+\ln (g_j-n_j)+1-1\right]=k_B\left[-\ln n_j+\ln(g_j-n_j)\right]}

(22.10)

Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a (tutaj zachodzą związki (22.1), (22.2) i (22.3)), którego definicja S jest dana tutaj wzorem (22.9), ma pochodną cząstkową równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają. Jeśli w naszym funkcjonale na S (22.9) dobierzemy współczynniki Lagrange'a co dostając wzór (22.4) wtedy pochodna funkcjonału po przyrównaniu go do zera przyjmuje postać:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 0={{\partial\phi}\over{\partial n_i}}=k_B\left[-\ln n_j+\ln(g_j-n_j)\right]-k_BB\epsilon_i-k_BCV_i-k_BD\Rightarrow \ln\left({{g_j}\over{n_j}}-1\right)=B\epsilon_i+CV_i+D}

(22.11)

Z równości (22.11) z pewnością możemy napisać tożsamość:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{g_j}\over{n_j}}-1=e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\Rightarrow {{g_j}\over{n_j}}=e^{A\epsilon_i+CV_i+D}+1}

(22.12)

Ostatecznie z tożsamości końcowej wyznaczonej w punkcie (22.12) otrzymujemy liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i" o energii ε_i, gdy w tym wstanie istnieje g_i przegród.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}+1}}}

(22.13)

Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Fermiego druga pochodna funkcjonału (22.5) ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii, bo wtedy

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\partial^2\phi}\over{\partial n_i^2}}=k_B\left(-{{1}\over{n_j}}-{{1}\over{g_j-n_j}}\right)<0}

Równanie (22.13) przedstawia rozkład Fermiego (liczby cząstek zajmującej dany poziom o energii Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \epsilon_i\;} ) w zależności od energii ε_i danego poziomu.

Statystyka Bosego

Załóżmy, że poziomy są skwantowane, które są podzielona na l poziomów. W każdym poziomie znajduje się Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle g_i\;} stanów. Każdy stan może być wybierany więcej niż jeden raz. Liczba możliwych obsadzeń danego stanu jest kombinacją z powtórzeniami. Liczba tych sposobów jest wyrażona:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle W_i=C^{n_i}_{g_i}={ n_i+g_j-1\choose n_i}={{(n_j+g_j-1)!}\over{n_i!(g_j-1)!}}}

(22.14)

Liczba wszystkich możliwych możliwości obsadzenia poszczególnych poziomów jest iloczynem wszystkich możliwych W_i dla każdego poziomu z osobna, czyli dla i=1,2...,l:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle W\{n_i\}=\prod_{i=1}^l {{(n_i+g_i-1)!}\over{n_i!(g_i-1)!}}}

(22.15)

Jeśli podstawić do wzoru na entropię (12.74) wyrażenie (22.15), która jest prawdopodobieństwem termodynamicznym, to otrzymamy wyrażenie do którego wykorzystamy wzór o logarytmie iloczynu, by potem było można wykorzystać wzór Stirlinga (MMF-5.37):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle S=k_B\ln W\{n_i\}=k_B\sum^l_{i=1}\left[(n_i+g_i-1)\ln(n_i+g_i-1)-(n_i+g_i-1)-n_i\ln n_i+n_i-(g_i-1)\ln(g_i-1)+(g_i-1)\right]}

(22.16)

Pochodna cząstkowa entropii (22.16) względem liczby cząstek obsadzających dany poziom o numerze i, czyli względem n_i, jest wyrażona przez wzór:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\partial S}\over{\partial n_i}}=k_B\left[\ln(n_i+g_i-1)+1-1-\ln n_i-1+1\right]=k_B\left[\ln(n_i+g_i-1)-\ln n_i\right]=k_B\ln\left[1+{{g_i-1}\over{n_i}}\right]\simeq k_B\ln\left[1+{{g_i}\over{n_i}}\right]}

(22.17)

Funkcjonał zbudowany w oparciu o mnożniki Lagrange'a, którą definiujemy wzorem (22.4), w którym wykorzystamy definicję entropii zapisaną według (22.16), ma pochodną cząstkową względem n_i równą zero, bo pochodna entropii przyjmuje wartość zero, co wynika, że entropia układu musi przyjmować wartość ekstremalną, a mnożniki Lagrange'a nic w tym nie zmieniają, zatem mając wzór (22.15) możemy napisać:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 0={{\partial\phi}\over{\partial n_i}}=k_B\ln\left[1+{{g_i}\over{n_i}}\right]-k_BB\epsilon_i-k_BCV_i-k_BD}

(22.18)

W równaniu (22.16) dokonując prostych przekształceń, dochodzimy do wniosku:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle 1+{{g_i}\over{n_i}}=e^{B\epsilon_i+CV_i+D}\Rightarrow {{g_i}\over{n_i}}=e^{B\epsilon_i+C}-1}

(22.19)

Z równości (22.19) dostajemy wzór na rozkład cząstek zwanych bozonami, które obsadzają dany poziom o energii ε_i, gdzie w tym poziomie liczba stanów jest równa g_i.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{B\epsilon_i+CV_i+D}-1}}}

(22.20)

Jak można sprawdzić, że w rozkładzie Bosego druga pochodna funkcjonału (22.5) ma wartość ujemną, co spełnia warunki maksymalizacji entropii bo wtedy:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle {{\partial^2\phi}\over{\partial n_i^2}}=-k_B{{1}\over{1+{{g_i}\over{n_i}}}}{{g_i}\over{n_i^2}}<0\;}

Równanie (22.20) jest wzorem na rozkład Bosego.

Wyznaczanie parametrów B i C w rozkładach Boltzmanna, Fermiego i Bosego

Funkcjonał napisanej w punckie (22.4) możemy zapisać względem średniej energii i liczby cząstek należących do układu, tak by po tych przekształceniach otrzymać wzór:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \phi\{n_i\}=\ln A(T)+B\overline{E}+C\overline{V}+D\overline{N}=\ln\Omega}

(22.21)

Z równania (22.21) możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo termodynamiczne układu statystycznego, jeśli średnia energia i liczba cząstek jest jakaś tam:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \Omega=A(T)e^{B\overline{E}+C\overline V+D\overline{N}}}

(22.22)

Z definicji temperatury statystycznej napisanej wedle wzoru (12.1) dla definicji prawdopodobieństwa termodynamicznego dla rozkładu Fermiego lub Bosego wyrażających się wzorem (22.22), wtedy możemy wyznaczyć stałą "B" występujących we wzorze (22.21):

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle B={{1}\over{k_BT}}=\beta\;}

(22.23)

Również można napisać korzystając z definicji stałej B (22.23) średnią wartość, która jest zależna tylko od temperatury:

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \beta\overline{E}+C\overline V+D\overline{N}=\operatorname{const}}

(22.24)

Gdy C i D są równe zero mamy zespół kanoniczny, gdy tylko C jest równe zero to mamy wielki zespół kanoniczny, gdy D jest równe zero mamy statystykę (T,P,N) a gdy C i D są nierówne zero to mamy statystykę (T,p,μ). Jeśli przyjmiemy, że stała C jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania (22.24) cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą C, która jest wyrażona w zależności od parametru β i ciśnienia p.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \beta{{\partial \overline E}\over{\partial \overline V}}+C=0\Rightarrow -\beta p+C=0\Rightarrow C=\beta p\;}

(22.25)

Jeśli przyjmiemy, że stała D jest nierówna zero to zróżniczkujmy obje strony równania (22.24) cząstkowo względem średniej liczby cząstek, wtedy otrzymamy naszą poszukiwaną stałą D, która jest wyrażona w zależności od parametru β i potencjału chemicznego μ.

Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle \beta{{\partial\overline{E}}\over{\partial\overline{N}}}+D=0\Rightarrow D=-\beta\mu\;}

(22.26)

Rozkład Boltzmanna zdefiniowanej w punkcie (22.6), rozkład Fermiego zdefiniowanej w punkcie (22.13) i Bosego zdefiniowanej w punkcie (22.20) możemy zapisać po uzupełnienia w nich za definicję stałej "B" wzór (22.21), stałej "C" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór (22.23) i stałej "D" (jeśli ta stała jest nierówna zero) wzór (22.24), to wtedy:

Zespół	Rozkład Boltzmanna	Rozkład Fermiego	Rozkład Bosego
Zespół kanoniczny (T,V,N)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i=Ne^{-\beta\epsilon_i}} (22.27)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta\epsilon_i}+1}}} (22.28)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta\epsilon_i}-1}}} (22.29)
Wielki zespół kanoniczny (T,V,μ)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i=\overline Ne^{-\beta(\epsilon_i-\mu)}} (22.30)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}+1}}} (22.31)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i-\mu)}-1}}} (22.32)
Zespół kanoniczny (T,p,N)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i=Ne^{-\beta(\epsilon_i+pV_i)}} (22.33)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}+1}}} (22.34)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i)}-1}}} (22.35)
Zespół kanoniczny (T,p,μ)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i=\overline Ne^{-\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}} (22.36)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}+1}}} (22.37)	Parser nie mógł rozpoznać (SVG (MathML może zostać włączone przez wtyczkę w przeglądarce): Nieprawidłowa odpowiedź („Math extension cannot connect to Restbase.”) z serwera „http://localhost:6011/pl.wikibooks.org/v1/v1/”:): {\displaystyle n_i={{g_i}\over{e^{\beta(\epsilon_i+pV_i-\mu)}-1}}} (22.38)