Fizyka statystyczna/Model sieci krystalicznej Debye'a

Model sieci krystalicznej Debye'a

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

Tym razem rozpatrzmy kryształ. Opis ciał krystalicznych, jest problemem dość trudnym, po prostu trzeba znać energię potencjalną poszczególnych jonów wychylonych z położenia równowagi. Trudności te omija się przez wprowadzenie pewnych funkcji, przyjmujących wartość minimalną dla równowagowych położeń jonów. Poszczególne jony sieci krystalicznej zastępuje się fononami, które zachowują się jak fotony. Ponieważ energia swobodna przyjmuje wartość minimalną, to wtedy według wzoru (3.46) potencjał chemiczny pozostaje stały i jest równy zero. Także stała pozostaje objętość, więc wtedy mamy do czynienia z zespołem kanonicznym. A więc średnia statystyczna liczba jonów (21.10) dla bozonów jest wyrażona przez:

${\overline {n_{q\lambda }}}={{1} \over {e^{{\hbar \omega _{q\lambda }} \over {k_{B}T}}-1}}$

(23.1)

Średnia energia drgań jonów sieci krystalicznej, czyli energia wewnętrzna kryształu, czyli suma energia wszystkich fononów dla wszystkich możliwych q i λ jest.

$U=\sum _{q\lambda }\hbar \omega _{q\lambda }{\overline {n_{q\lambda }}}$

(23.2)

Fonony posiadają trzy różne polaryzacje, jako że ośrodku sprężystym mogą się rozchodzić dwie fale poprzeczne i jedna fala podłużna. W rezultacie uzyskujemy widno fononów składające z trzech głównych gałęzi, tzn.: fononów akustycznych. Częstotliwość kołowa fotonów można wyrazić za pomocą prędkości rozchodzenia się drgań sieci krystalicznej, które opiszemy wzorem dla λ=1,2,3.

$\omega _{q\lambda }=v_{\lambda }q\;$

(23.3)

gdzie:

• $q\;$- jest wektorem falowym fali fononów.
• $\omega _{q\lambda }\;$- częstość kołowa fali fononów.
• $v_{\lambda }\;$- prędkość fazowa fononów.

Policzmy energię wewnętrzną sieci krystalicznej, poprzez energię wszystkich fotonów, posiadających pewną energię, korzystając z wzoru (23.1) na rozkład statystyczny liczby fononów, całkowita energia wewnętrzna drgań tychże fononów wedle wzoru (23.2), jest przedstawiona wzorem:

$U=\sum _{q\lambda }{{\hbar \omega _{q\lambda }} \over {e^{{\hbar \omega _{q\lambda }} \over {k_{B}T}}-1}}$

(23.4)

Zamieniając sumowanie na całkę w równaniu (23.4), wtedy to nasze równanie przekształca się we wzór:

$U={{V} \over {{({2\pi })}^{3}}}\sum _{\lambda }\int dq_{x}\int dq_{y}\int dq_{z}{{\hbar \omega _{q\lambda }} \over {e^{{\hbar \omega _{q\lambda }} \over {k_{B}T}}-1}}={{V} \over {{({2\pi })}^{3}}}4\pi \sum _{\lambda }\int \limits _{0}^{\Theta _{D}}{{\hbar \omega _{q\lambda }} \over {e^{{\hbar \omega _{q\lambda }(E)} \over {k_{B}T}}-1}}q^{2}(E)dq(E)$

(23.5)

Trzeba pamiętać, że energia pojedynczego fononu jest napisana wprost proporcjonalnie do częstości kołowej drgań fali fotonów w krysztale i jest napisana przy pomocy wzoru:

$E=\hbar \omega _{q\lambda }$

(23.6)

Zdefiniujmy temperatura Debey'a T zdefiniowanej przy pomocy wielkości Θ_D, którego miano jest w dżulach (J), a ta temperatura jest określona wedle sposobu:

$T={{\Theta _{D}} \over {k_{B}}}$

(23.7)

gdzie:

• $\Theta _{D}\;$ jest to wielkość graniczna, do której wykonujemy całkowanie w wyrażeniu (23.5), a właściwie w granicy górnej w całce występującej w tym wyrażeniu.

Wiadomo, że w równości (23.3) można wyznaczyć z niego wielkość q:

$\omega _{q\lambda }=v_{\lambda }q\Rightarrow q={{\omega _{q\lambda }} \over {v_{\lambda }}}$

(23.8)

Podstawiając równanie na wektor falowy fononów (23.8) do równania na energię wewnętrzną drgającego kryształu (23.5), wtedy dostajemy wniosek:

$U={{V} \over {{({2\pi })}^{3}}}4\pi \sum _{\lambda }\int \limits _{0}^{\Theta _{D}}{{\hbar \omega _{q\lambda }(E)} \over {e^{{\hbar \omega _{q\lambda }(E)} \over {k_{B}T}}-1}}{{\omega _{q\lambda }^{2}(E)} \over {v_{\lambda }^{3}}}d\omega _{q\lambda }(E)$

(23.9)

Dokonajmy podstawienia napisanego poniżej do wzoru (23.9), którego podstawienie jest stosunkiem energii fononu drgań sieci krystalicznej (23.6) przez iloczynu stałej Boltzmanna przez temperaturę bezwzględną (w kelwinach).

$\eta ={{\hbar \omega _{\lambda q}} \over {k_{B}T}}$

(23.10)

Tym razem wzór (23.9), po zmianie zmiennej całkującej wyrażonej przy pomocy formuły (23.10), wtedy nasze wspomniane wyrażenie na energię wewnętrzną U jest teraz wyrażona:

$U=\sum _{\lambda }{{1} \over {v_{\lambda }^{3}}}{{V} \over {2\pi ^{2}}}{{k_{B}^{4}T^{4}} \over {\hbar ^{3}}}\int \limits _{0}^{{\Theta } \over {k_{B}T}}d\eta {{\eta ^{3}} \over {e^{\eta }-1}}$

(23.11)

W niskich temperaturach, całkowanie na U można rozciągnąć do nieskończoności. Całka daje wtedy wartość stałą niezależną do temperatury, wtedy powinno być, że energia wewnętrzna drgań kryształu jest wprost proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury bezwzględnej:

$U\sim T^{4}\;$

(23.12)

Z definicji pojemności cieplnej dla niskich temperatur pochodna funkcji energii wewnętrznej (23.12) jest wprost proporcjonalna do trzeciej potęgi temperatury bezwzględnej i dla temperatury zera bezwzględnego pojemności cieplna dla stałej temperatury jest równa zero, czyli te wnioski prowadzą do:

$C_{v}\sim T^{3}\;$

(23.13)

W wysokich temperaturach zachodzi T>>Θ_Dk_B, wtedy można dokonać rozwinięcia funkcji podanej poniżej w szereg Taylora względem wyrazów liniowych. Wyrazy w tym kwadratowe i wyższe pomijamy.

$e^{\omega _{q\lambda } \over {k_{B}T}}-1\simeq {\omega _{q\lambda } \over {k_{B}T}}=\eta$

(23.14)

We wzorze (23.11) (energia wewnętrzna) po użyciu przybliżenia (23.14), w wysokich temperaturach piszemy:

$U=\sum _{\lambda }{{1} \over {v_{\lambda }^{3}}}{{V} \over {2\pi ^{2}}}{{k_{B}^{4}T^{4}} \over {\hbar ^{3}}}\int \limits _{0}^{{\Theta } \over {k_{B}T}}\eta ^{2}d\eta =\sum _{\lambda }{{1} \over {v_{\lambda }^{3}}}{{V} \over {2\pi ^{2}}}{{k_{B}^{4}T^{4}} \over {\hbar ^{3}}}{{1} \over {3}}{}\left({{\Theta } \over {k_{B}T}}\right)^{3}=\sum _{\lambda }{{1} \over {v_{\lambda }^{3}}}{{V} \over {2\pi ^{2}}}{{k_{B}T} \over {\hbar ^{3}}}{{1} \over {3}}\Theta ^{3}$

(23.15)

W wysokich temperaturach według obliczeń (23.15) energia wewnętrzna drgań kryształu jest wprost proporcjonalna do temperatury bezwzględnej, co jest przedstawione:

$U\sim T\;$

(23.16)

Stąd jego ciepło właściwe z definicji pod stałą objętością według proporcjonalności (23.16) jest wielkością stałą i wynoszącą:

$C_{v}=const\;$

(23.17)

Wynik ten tzn. proporcjonalność ciepłą właściwego ciał stałych do trzeciej potęgi temperatury według (23.13) w niskich temperaturach i brak tej zależności dla wysokich temperatur według (23.17) objaśnia zagadkowe przez wiele lat zachowanie ciepła właściwego pod stałą objętością C_v dla ciał stałych.