Fizyka statystyczna/Idealne gazy kwantowe

Idealne gazy kwantowe

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Promieniowanie ciała doskonale czarnego-gaz fotonowy 2Właściwości termodynamiczne idealnego gazu fermionowego 3Kondensacja Bosego-Einsteina

Promieniowanie ciała doskonale czarnego-gaz fotonowy

Ciało doskonale czarne, możemy sobie wyobrazić jako pewną wnękę z bardzo małą dziurką, przez którą mogą przedostawać się fotony.

Fotony to są kwanty promieniowania, które są bozonami o spinie równej $\hbar \;$, mają masę spoczynkową równą zero, pęd obliczamy z równania de Broglie'a, czyli dla fotonu w zależności od wektora falowego, jest równy: ${\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}\;$. Charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji ε i podlegają statystyce Bosego-Einsteina. Mówimy, że układ znajduje się w stanie w równowagi termodynamicznej, jeśli taka sama ilość fotonów przedostaje się przez tą dziurkę na zewnątrz, jak też do wewnątrz tej komory, tak więc uczynimy. Ilość fotonów w takiej komorze jest stała, tzn. potencjał chemiczny wynosi 0, a potencjał czasowy też jest równy zero, bo w układzie nie zachodzą reakcję jądrowe, czy chemiczne, czy nawet procesy mieszania się składników, z którym jest związane wydzielanie lub pochłonięcie energii, zatem wzory na potencjał chemiczny i czasowy, znając energię swobodną układu napisanych wedle wzoru (3.46), są zapisane:

${\left({{\partial F} \over {\partial N}}\right)}_{V,T,t}=\mu =0$

(25.1)

${\left({{\partial F} \over {\partial t}}\right)}_{V,T,N}=\omega =0$

(25.2)

Ze wzoru (25.1) i (25.2) energia swobodna (3.5) z definicji ekstremum osiąga wartość ekstremalną, tzn. osiąga minimum albo maksimum w zależności od znaku wyższych pochodnych energii swobodnej względem liczby fotonów znajdujących się w układzie. Wzór Plancka na energie kwantu fotonu, który zależy od częstotliwości lub częstotliwości kołowej fotonów, jest:

$E=\hbar \omega$

(25.3)

Wiemy jednak, że całkowita energia układu fotonów w układzie (w wnęce, wewnątrz ciała doskonale czarnego) jest określona jako suma energii wszystkich korpuskułów zwanych fotonami, czyli inaczej mówiąc, jest to suma iloczynu liczby cząstek o danej energii (25.3) pomnożonej przez tą właśnie energię:

$E(\{n_{\vec {k}},{\epsilon }\})=\sum _{\vec {k}}n_{{\vec {k}},\epsilon }\hbar \omega _{\vec {k}}$

(25.4)

Możemy policzyć sumę statystyczną, na podstawie wzoru na średnią energię całkowitą układu (25.4) w kwantowym zespole kanonicznym, jako:

$Z=\prod _{{\vec {k}}_{\epsilon }}\sum _{n_{\vec {k}}=0}^{\infty }e^{n_{kr}\beta \hbar \omega _{k}}=\prod _{{\vec {k}}_{\epsilon }}{1 \over {1-e^{-\beta \hbar \omega _{k}}}}=\left(\prod _{k}{1 \over {1-e^{-\beta \hbar \omega _{k}}}}\right)^{2}$

(25.5)

Dwójka jako wykładnik potęgi w sumie statystycznej (25.5) pojawia się, bo fotony charakteryzują się dwiema wartościami polaryzacji. Wykorzystamy równanie (25.5) do obliczenia energii swobodnej, którego definicja jest podana w punkcie (3.5), ale dla układu statystycznego w zespole kanonicznym kwantowym, zależy ona ogólnie od sumy statystycznej, której definicja jest napisany w punkcie (17.3):

$F=-k_{B}T\ln Z=-2k_{B}T\ln \prod _{k}{1 \over {1-e^{-\beta \hbar \omega _{k}}}}=-2k_{B}T\sum _{k}\ln(1-e^{-\beta \hbar \omega _{k}})$

(25.6)

Promieniowanie we wnętrze podlega klasycznemu równaniu falowemu wynikającego elektrodynamiki klasycznej Maxwella, jego równanie jest przedstawione:

$\nabla ^{2}\phi ({\vec {r}},t)-{{1} \over {c^{2}}}{{\partial ^{2}\psi ({\vec {r}},t)} \over {\partial t^{2}}}=0\;$

(25.7)

Rozwiązaniem równania falowego (25.7) jest rozwiązanie we funkcjach falowych o częstotliwości drgań ω i o licznie falowej "k":

$\psi ({\vec {r}},t)=ue^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}$

(25.8)

Wstawiamy przypuszczalne rozwiązanie równania falowego (25.8) do równania falowego (25.7), otrzymujemy:

$\left(k^{2}-{{\omega ^{2}} \over {c^{2}}}\right)ue^{i({\vec {k}}{\vec {r}}-\omega t)}=0$

(25.9)

Ponieważ wartość funkcja eksponens jest zawsze różna od zera z definicji tejże funkcji, zatem z równania (25.9) dostajemy zależność między częstością kołową ω fali fotonów znajdujących się we wnęce w zależności od jego liczby falowej k, który jest ilorazem liczby 2π przez długość tejże opisywanej tutaj fali λ, ten opis jest wedle wzoru:

$k^{2}-{{\omega ^{2}} \over {c^{2}}}=0\Rightarrow \omega =ck\;$

(25.10)

Funkcja (25.8) powinna być periodyczna, tzn. wartość funkcji na ściankach we wnęce sześciennego układu powinna być wszędzie stała i powinna spełniać warunek, że wychylenia drgań fali reprezentujący fotony na ściankach tego układu powinno być wszędzie takie same.

$\psi ({\vec {x}}+{\vec {L}})=\psi ({\vec {x}})\;$

(25.11)

Z rozwiązania funkcji falowej (25.8) i warunku brzegowego na tą poprzednio wspomnianą funkcję, czyli (25.11) wynika zależność, która wynika z periodyczności funkcji falowej zakładając przy tym $L_{x}=L_{y}=L_{z}=L=V^{{1} \over {2}}$ (mamy sześcian):

$i{\vec {k}}{\vec {L}}=i2\pi {\vec {l}}\Rightarrow k_{i}={{2\pi } \over {L}}l_{i}$

(25.12)

gdzie:

• $k_{i}\;$ współrzędne wektora falowego o numerze "i" wektora falowego.
• $l_{i}=0,\pm 1,\pm 2,...$ są to pewne stałe całkowite (niedodatnie i nieujemne)

Dochodzimy do wniosku, że liczba falowa jest wielkością skwantowaną i napisaną wedle równania końcowego (25.12). Elementarna objętość zajmowana przez numerowane wektory falowe, którego współrzędne są napisane wedle (25.12) w przestrzeni wektorów falowych ${\vec {k}}\;$, jest równa:

$|\Delta k|=\Delta k_{x}\Delta k_{y}\Delta k_{z}={{(2\pi )^{3}} \over {L^{3}}}={({2\pi })^{3} \over V}$

(25.13)

Liczba stanów w objętości elementarnej $4\pi k^{2}dk$ jest stosunkiem tejże właśnie liczby przez objętość elementarną wyrażoną wzorem (25.13).

${{4\pi k^{2}dk} \over {|\Delta k|}}={{4\pi k^{2}dk} \over {{{(2\pi )}^{3}} \over {V}}}={{V} \over {2\pi ^{2}}}k^{2}dk$

(25.14)

Częstotliwość kołowa fali elektromagnetycznej, pojedyńczego fotonu z warunku (25.10) oraz z definicji skwantowanego wektora falowego (25.12), jest napisana:

$\omega =c|{\vec {k}}|=c{{2\pi } \over {V^{1 \over 3}}}{|{\vec {l}}|}$

(25.15)

Ciśnienie gazu fotonowego można policzyć ze wzoru z fizyki fenomenologicznej (3.44) i korzystając z już policzonej sumy statystycznej (25.6), wtedy to oczekiwane ciśnienie gazu fotonowego panujące we wnęce jest napisane:

$p=-\left({{\partial F} \over {\partial V}}\right)_{TN}=-2k_{B}T\sum _{k}{{\beta \hbar } \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}{{\partial \omega _{k}} \over {\partial V}}$

(25.16)

Pochodna cząstkowa częstotliwości kołowej względem objętości można policzyć wychodząc tylko ze wzoru (25.15):

${{\partial \omega _{k}} \over {\partial V}}=-{{1} \over {3}}c{{2\pi } \over {V^{{4} \over {3}}}}|{\vec {l}}|=-{{1} \over {3}}c{{2\pi } \over {V^{{1} \over {3}}}}|{\vec {l}}|{{1} \over {V}}=-{1 \over 3}{{\omega _{k}} \over {V}}$

(25.17)

Po podstawieniu wzoru (25.17) do równania na ciśnienie gazu fotonowego (25.16), wtedy dochodzimy do wniosku, że ta wielkość jest:

$p=-2k_{B}T\sum _{k}{{\beta \hbar } \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}\left(-{1 \over 3}{{\omega _{k}} \over {V}}\right)={{2} \over {3}}k_{B}T\sum _{\vec {l}}{{\beta \hbar } \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}{{\omega _{k}} \over {V}}$

(25.18)

Po dalszych przekształceniach wyrażenia (25.18), Wyznaczamy iloczyn ciśnienia panującego w gazie przez jego objętości (objętości wnęki), to:

$pV={2 \over {3}}k_{B}T\sum _{\vec {l}}{{\beta \hbar \omega _{k}} \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}={2 \over 3}\sum _{\vec {l}}{{\hbar \omega _{k}} \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}$

(25.19)

Wyznaczmy energię wewnętrzną gazu fotonowego (gazu we wnęce) korzystając ze statystyki Bosego-Einsteina dla bozonów (21.10) i falowej natury fotonów (mają pewną częstość fali) oraz że fotony są kwantami według Plancka, a także skorzystamy, że fonony występują w dwóch polaryzacjach, zatem energia całkowita układu fotonów ma się wedle:

$U={\overline {E}}=\sum _{{\vec {k}}\epsilon }n_{{\vec {k}},\epsilon }\hbar \omega _{k}=2\sum _{k}{\overline {n}}_{k}\hbar \omega _{k}=2\sum _{\vec {k}}{{\hbar \omega _{k}} \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}$

(25.20)

We wzorze (25.19) możemy wyznaczyć pewien czynnik, zwany energią układu opisany przy pomocy wzoru (25.20):

$pV={{1} \over {3}}U$

(25.21)

Wyznaczmy całkowitą energię wewnętrzną gazu wypromieniowania przez gaz o wszystkich częstościach, korzystając ze wzoru na energię układu fotonów napisanego wcześniej (25.20) oraz ze wzoru na gęstość stanów (25.14), która powstaje podczas zamieniania zwykłej sumy na całkę jako czynnik w tejże całce.

$U=2\sum _{k}{{\hbar \omega _{k}} \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}=2{{V} \over {2{\pi }^{2}}}\int \limits _{0}^{4\pi }{{\hbar \omega _{k}} \over {e^{\beta \hbar \omega _{k}}-1}}k^{2}dk$

(25.22)

Wzór (25.10) podstawiamy do wzoru (25.22) za częstość kołową fotonów, jeśli traktować je jako falę.

$U={{V\hbar c} \over {\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{{k^{3}} \over {e^{\beta \hbar ck}-1}}dk={{V\hbar c} \over {\pi ^{2}{({\beta \hbar c})}^{4}}}\int _{0}^{\infty }{{x^{3}} \over {e^{x}-1}}dx={{\hbar } \over {c^{3}\pi ^{2}}}\left({{k_{B}T} \over {\hbar }}\right)^{4}V\int _{0}^{\infty }{{x^{3}} \over {e^{x}-1}}dx$

(25.23)

Korzystamy z całki przystępnej znanej i policzonej z analizy matematycznej:

$\int \limits _{0}^{\infty }{{x^{3}} \over {e^{x}-1}}dx={{\pi ^{4}} \over {15}}$

(25.24)

Korzystamy z już policzonej całki (25.24) i wykorzystujemy tą całkę do wyliczenia całki we wzorze (25.23), wtedy otrzymujemy zwarte równanie na energię wewnętrzną układów fotonów we wnętrze:

$U={{\hbar \pi ^{2}} \over {c^{3}15}}\left({{k_{B}T} \over {\hbar }}\right)^{4}V$

(25.25)

A energia całkowita wypromieniowana fotonów z cała doskonale czarnego dla wszystkich częstości na jednostkę objętości można policzyć, korzystając ze wzoru (25.25) na energię wewnętrzną dzieląc tą właśnie wielkość przez objętość tego rozważanego ciała.

$u={{U} \over {V}}={{\hbar \pi ^{2}} \over {c^{3}15}}\left({{k_{B}T} \over {\hbar }}\right)^{4}={{8\pi ^{5}k_{B}^{4}} \over {15c^{3}h^{3}}}T^{4}$

(25.26)

Ciepło właściwe pod stałą objętością gazu doskonałego dostajemy, biorąc pochodną cząstkową wyrażenia (25.26) względem temperatury bezwzględnej pod stałą objętością, wtedy mamy wniosek:

$C_{v}={{\hbar \pi ^{2}} \over {c^{3}15}}\left({{k_{B}T} \over {\hbar }}\right)^{3}4{{k_{B}} \over {\hbar }}={{4k_{B}\pi ^{2}} \over {15}}\left({{k_{B}T} \over {\hbar c}}\right)^{3}$

(25.27)

Prawo przedstawione wzorem (25.27) przedstawiające ciepło właściwe w zależności od temperatury nosi nazwę prawa Stefana-Boltzmanna.

Właściwości termodynamiczne idealnego gazu fermionowego

Wiemy, że fermiony nie mogą znajdować się w stanie kwantowym w liczbie większym niż 1, nie tak jak cząstki zwane bozonami. Liczba fermionów znajdujących się wstanie A może znajdować się co najwyżej jeden fermion, czyli zero lub jeden. Licząc wielką sumę statystyczną skorzystajmy ze wzoru (21.5) pamiętając, że mamy do czynienia z fotonami, a potencjał czasowy jest równy zero, ze względu, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, i procesy wydzielania lub pochłonięcia się energii wyniku mieszania się składników, tam nie zachodzą, ale za to fermiony od zewnątrz mogą dochodzić.

$Q=\prod _{N=0}^{\infty }\sum _{n_{k}}e^{-\beta {(\epsilon _{k}-\mu )N}}=\prod _{k}\sum _{n_{k}=0,1}\left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right)$

(25.28)

Po wstawieniu za wielką sumę statystyczną wyliczoną w punkcie (25.28) do wzoru łączące potencjał termodynamiczny z iloczynem ciśnienia punującego w gazie fermionowym przez jego objętość jaką ten gaz zajmuje, ta opisywana formuła jest napisana wzorem (18.38), wtedy dochodzimy do wniosku:

$pV=k_{B}T\ln Q(\alpha ,\beta )\Rightarrow pV=k_{B}T\sum _{k}\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right)$

(25.29)

Będziemy korzystać tutaj ze wzoru, znanego z mechaniki klasycznej na energię kinetyczną cząstki napisanej w zależności od jego pędu klasycznego według Newtona:

$E={{p^{2}} \over {2m}}$

(25.30)

Wzór znanego z teorii o falach de Broglie'a, który stanowi jakoby przelicznik długości fali na pęd posiadanej przez ciało, a jeśli mamy pęd, to mamy jego całkowitą posiadaną energię przez ściśle określoną cząstkę, a wiec pęd naszego ciała w zależności od jego długości fali, jeśli te cząstki traktować jako fale, jest równy:

$p={h \over \lambda }$

(25.31)

Oczywiście jest, że z definicji liczby falowej zdefiniowaną przez długość fali mamy tożsamość:

${h \over {\lambda }}={{\hbar 2\pi } \over {\lambda }}=\hbar k$

(25.32)

Możemy wyznaczyć pęd cząstki, znając jego liczbę falową, tzn. podstawiając wzór (25.32) do wzoru na pęd cząstki (25.31), wtedy dochodzimy do zależności pędu cząstki w zależności od jego liczby falowej posiadanej przez falę stowarzyszoną z tą cząstką.

$p=\hbar k\;$

(25.33)

Aby otrzymać wzór na energię kinetyczną cząstki należy wzór na pęd (25.33) podstawić do wzoru na energię cząstki kwantowej (25.30), ostatecznie:

$\epsilon _{k}=E={{\hbar ^{2}k^{2}} \over {2m}}\;$

(25.34)

Pamiętając, że wyrażenie (25.13) stanowi elementarną objętość w przestrzeni fazowej, zatem liczba stanów w elementarnej przestrzeni fazowej jest napisana poprzez wzór (25.14):

$D(\epsilon _{k})d\epsilon _{k}={{V} \over {(2\pi )^{3}}}d^{3}{\vec {k}}={{V} \over {(2\pi )^{3}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta \int _{0}^{\pi }d\phi \sin \phi k^{2}dk={{V} \over {(2\pi )^{3}}}4\pi k^{2}dk={{V} \over {2\pi ^{2}}}k^{2}dk$

(25.35)

Ze wzoru (25.34) wyznaczmy kwadrat wektora falowego, oczywiście jest, że wtedy otrzymujemy:

$k^{2}={{2m\epsilon _{k}} \over {\hbar ^{2}}}$

(25.36)

Zróżniczkujmy obie strony tożsamości (25.36), tzn. prawą i lewą stronę tegoż wspomnianego równania, to otrzymane równanie dzielimy przez liczbę dwa, mamy:

$2kdk=2{m \over {\hbar ^{2}}}d\epsilon _{k}\Rightarrow kdk={m \over {\hbar ^{2}}}d\epsilon _{k}$

(25.37)

Z równania (25.36) wyznaczmy wartość wektora falowego w zależności od energii pojedynczej cząstki:

$k={\sqrt {{2m\epsilon _{k}} \over {\hbar ^{2}}}}=\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}{\sqrt {\epsilon _{k}}}$

(25.38)

Mając wzór (25.38) i końcowy wzór (25.37), wtedy za pomocą tychże tożsamości możemy policzyć wyrażenie pomocnicze, które nam będzie potrzebne w dalszych rachunkach:

$k^{2}dk=kkdk=\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{{1} \over {2}}{\sqrt {\epsilon _{k}}}{m \over {\hbar ^{2}}}d\epsilon _{k}={{1} \over {2}}\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}{\sqrt {\epsilon _{k}}}d\epsilon _{k}$

(25.39)

Wyznaczmy liczbę stanów opisywanych przez wzór (25.35) wykorzystując obliczoną tożsamość (25.39), zatem dochodzimy do wniosku, że gęstość stanów jest wyrażona przez wyrażenie:

$D(\epsilon _{k})d\epsilon _{k}={{V} \over {2\pi ^{2}}}k^{2}dk={{V} \over {4\pi ^{2}}}\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}{\sqrt {\epsilon _{k}}}d\epsilon _{k}$

(25.40)

Uwzględniając sumę po spinach fermionu, tzn zgodną lub niezgodnie z kierunkiem ruchu fermionu, czyli nasz czynnik wynosi 2. Wyznaczmy sumę występującą wyrażeniu (25.29), w tym celu policzmy wyrażenie pomocnicze:

$\sum _{\vec {k}}\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right)=2\int _{0}^{\infty }D(\epsilon _{k})d\epsilon _{k}\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right)=2{{V} \over {4\pi ^{2}}}\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right){\sqrt {\epsilon _{k}}}d\epsilon _{k}=\;$
$={{V} \over {2\pi ^{2}}}\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{{3} \over {2}}\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right){\sqrt {\epsilon _{k}}}d\epsilon _{k}$

(25.41)

Wzór (25.41) możemy podstawić do prawej części wzoru za sumę (25.29), jednocześnie tą równość dzielimy obustronnie przez iloczyn stałej Boltzmanna i temperatury bezwzględnej, stąd mamy równość:

${{pV} \over {k_{B}T}}={{V} \over {2\pi ^{2}}}{({{2m} \over {\hbar ^{2}}})}^{3 \over 2}\int \limits _{0}^{\infty }d\epsilon _{k}{\sqrt {\epsilon _{k}}}\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right)$

(25.42)

A teraz całkujemy przez części całkę występującą po prawej stronie równości (25.42), względem zmiennej ε_k; pamiętając, że otrzymane wyrażenie niecałkowe występujące w wyrażeniu poniżej jest zawsze równe zero:

${{pV} \over {k_{B}T}}={{V} \over {2\pi ^{2}}}{\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)}^{3 \over 2}\left\{{{2 \over 3}{|\epsilon ^{3 \over 2}\ln(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )})|_{0}^{\infty }}}+{{2} \over {3k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }{{\epsilon ^{3 \over 2}} \over {e^{\beta (e_{k}-\mu )}+1}}\right\}={{V} \over {2\pi ^{2}}}{\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)}^{3 \over 2}{{2} \over {3k_{B}T}}\int \limits _{0}^{\infty }{{\epsilon ^{3 \over 2}} \over {e^{\beta (\epsilon _{k}-\mu )}+1}}$

(25.43)

A teraz napiszmy, czemu jest równa średnia energia wszystkich cząstek (fermionów) w układzie, w tym celu napiszmy przekształcenia ogólne na cząstkach zwanych fermionami:

${\overline {E}}=U={{1} \over {Q}}\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{k}\epsilon _{k}e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}={{1} \over Q}\sum _{N=0}^{\infty }\sum _{i}\left(\left(\epsilon _{k}-\mu N\right)+\mu N\right)e^{-\beta (\epsilon _{i}-\mu N)}=-\left({{\partial \ln Q} \over {\partial \beta }}\right)_{pV}+\mu {\overline {N}}=\;$
$=-{{\partial } \over {\partial \beta }}\sum _{\vec {k}}\ln \left(1+e^{-\beta (\epsilon _{k}-\mu )}\right)+\mu \sum _{\vec {k}}n(\epsilon _{k})=\sum _{\vec {k}}{{\epsilon _{k}-\mu } \over {e^{\beta (\epsilon -\mu )}+1}}+\mu \sum _{\vec {k}}n(\epsilon _{k})=\sum _{\vec {k}}\left[{{\epsilon _{k}-\mu } \over {e^{\beta (\epsilon _{k}-\mu )}+1}}+{{\mu } \over {e^{\beta (\epsilon _{k}-\mu )}+1}}\right]$

(25.44)

Z przekształceń (25.44) dostajemy, że energia wewnętrzna układu fermionów jest równa sumie iloczynu liczby cząstek n(ε_k) o energii ε_k przez tą właśnie energię sumując po wszystkich parametrach "k" jakie może przyjmować układ kwantowy badanego zespołu fermionów.

$U=\sum _{\vec {k}}\epsilon _{k}n(\epsilon _{k})$

(25.45)

Wyznaczmy sumę (25.45) na energię układu fermionów, wtedy należy uwzględnić sumowanie po spinach (zgodną i odwrotną z kierunkiem ruchu fermionu), tak jak w obliczeniach (25.41), zatem ta energia jest:

$U=2\int _{0}^{\infty }D(\epsilon _{k}){{\epsilon _{k}d\epsilon _{k}} \over {e^{\beta (\epsilon _{k}-\mu )}+1}}={{V} \over {2\pi ^{2}}}{\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)}^{3 \over 2}\int _{0}^{\infty }{{\epsilon _{k}^{3 \over 2}} \over {e^{\beta (\epsilon _{k}-\mu )}+1}}d\epsilon _{k}$

(25.46)

Równanie na energię wewnętrzną U (25.46) wstawiamy do wzoru (25.43), wtedy dostajemy równanie wiążące ciśnienie, objętość gazy fermionowego z jego energią wewnętrzną (energią układu fermionów):

$pV={{2} \over {3}}U$

(25.47)

Kondensacja Bosego-Einsteina

Rozważmy idealny nierelatywistyczny gaz bozonowy o liczbie cząstek N. Masa pojedynczej cząstki wynosi m. W gazie idealnym zakładamy, że nie ma oddziaływania między pojedynczymi atomami (cząsteczkami). Energia pojedynczego atomu jest równa według wyrażenia zależnego od liczby falowej "k" jeśli traktować je jako fale według teorii korpuskularno-falowej (25.34). Średnia liczba wszystkich cząstek znajdujących się w naszym badanym układzie kwantowym jest wyrażona przez sumę liczby cząstek znajdujących się na poszczególnych poziomach o energiach tychże poziomów równych ε_k określonych wedle wzoru (21.10).

$N=\sum _{k}{\overline {n}}_{k}\;$

(25.48)

Wiemy, że zawsze bozony podlegają statystyce Bosego-Einsteina, więc średnią liczbę cząstek, pamiętając, że reakcje chemiczne, czy jądrowe, tam nie zachodzą, wtedy $\omega =0\;$, czyli możemy zapisać wedle schematu liczbę cząstek bozonów:

$N=\sum _{k}{{1} \over {e^{\beta (\epsilon _{k}-\mu )}-1}}$

(25.49)

Rozważmy, liczbę cząstek N₀ znajdujących się w stanie, gdy energia tego poziomu ε_k jest równa zero, która jest napisana:

$N_{0}={{1} \over {e^{-\beta \mu }-1}}$

(25.50)

Jeśli przyjmiemy oznaczenia zmiennej z w zależności od potencjału chemicznego panującego w układzie wymieniającego cząstki z otoczeniem i względem parametry β, która jest zależna od temperatury bezwzględnej, zatem to oznaczenie w końcu zapisujemy:

$e^{\beta \mu }={{1} \over {z}}$

(25.51)

Aby N₀, była istotnie większa od zera, to musi zachodzić N₀>0, to zgodnie z naszym założeniem liczba "z" powinna być z zakresu od zera do jedynki w przedziale obustronnie otwartym. Dla tych "z" funkcja (25.50) przyjmuje wartość istotnie dodatnią, i tylko wtedy występuje kondensacja Bosego-Einsteina. Wzór na średnią liczbę cząstek znajdujących się w układzie wedle wyrażenia (25.49), zamieniając w nim sumowanie na całkę wprowadzając w tej całce po tej zamianie gęstość stanów D(ε_k), jest:

$N=\sum _{k}{{1} \over {z^{-1}e^{\beta \epsilon _{k}}-1}}=\int \limits _{0}^{\infty }D(\epsilon _{k})d\epsilon _{k}{{1} \over {z^{-1}e^{\beta \epsilon _{k}}-1}}$

(25.52)

Podstawiając za gęstość stanów D(ε_k)dε_k wyrażenie wyprowadzone wcześniej, które jest słuszne na klasycznych cząstek kwantowych, a więc dla cząstek uczestniczących w kondensacji Bosego-Einsteina, określonych wedle wzoru (25.40), wtedy tą liczbę N przedstawiamy wzorem:

$N={{V} \over {4\pi ^{2}}}{\left({{2m} \over {\hbar ^{2}}}\right)}^{3 \over 2}\int \limits _{0}^{\infty }{{{\sqrt {\epsilon _{k}}}d\epsilon _{k}} \over {{{1} \over {z}}e^{\beta \epsilon _{k}}-1}}={{V} \over {4\pi ^{2}}}{\left({{2m} \over {\hbar ^{2}\beta }}\right)}^{3 \over 2}\int \limits _{0}^{\infty }{{{\sqrt {\epsilon _{k}\beta }}d(\beta \epsilon _{k})} \over {{{1} \over {z}}e^{\beta \epsilon _{k}}-1}}={{V} \over {4\pi ^{2}}}\left({{2mk_{B}T} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{3 \over 2}\int \limits _{0}^{\infty }dx{{\sqrt {x}} \over {{{1} \over {z}}e^{x}-1}}$

(25.53)

Zauważmy, że bezmyślnie zamiana sumowania na całkowanie, prowadzi do błędu, gdyż gubimy wszystkie bozony obsadzająca stan zerowy, tzn. dla stanu dla którego jego energia ε_k jest równa zero, gdyż ta funkcja podcałkowa nie uwzględnia tego opisywanego w tychże dysputach stanu cząstek o tej energii. W tym celu prowadźmy oznaczenia liczby cząstek na jednostkę objętości V z ogólnej liczby cząstek i liczby cząstek na jednostkę objętości n₀ ulegająca kondensacji Bosego-Einsteina.

$n={{N} \over {V}}$

(25.54)

$n_{0}={{N_{0}} \over {V}}$

(25.55)

I dlatego wzór (25.53) napisanych przy pomocy wzoru na n (25.54) (całkowita liczba bozonów znajdująca się w układzie) i n₀ (25.55) (liczba bozonów ulegająca omawianej kondensacji przy energii cząstek dla tego poziomu dla kondensatu jest równa zero) wyraża się:

$n=n_{0}+{{V} \over {4\pi ^{2}}}\left({{2mk_{B}T} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{3 \over 2}\int \limits _{0}^{\infty }dx{{\sqrt {x}} \over {{{1} \over {z}}e^{x}-1}}$

(25.56)

Wyznaczmy całkę pomocniczą znajdująca się we równaniu (25.56) po prawej jego stronie wspomnianego równania:

$\int \limits _{0}^{\infty }dx{{\sqrt {x}} \over {{{1} \over {z}}e^{x}-1}}=\int \limits _{0}^{\infty }dx{{\sqrt {x}} \over {{{1} \over {z}}e^{x}-1}}{{ze^{-x}} \over {ze^{-x}}}=\int \limits _{0}^{\infty }dx{{{\sqrt {x}}ze^{-x}} \over {1-ze^{-x}}}=\int \limits _{0}^{\infty }dxze^{-x}{\sqrt {x}}\sum _{l=0}^{\infty }z^{l}e^{-lx}=\sum _{0}^{\infty }z^{l+1}\int \limits _{0}^{\infty }{\sqrt {x}}e^{-(l+1)x}dx=\;$
$=\sum _{l=1}^{\infty }z^{l}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\sqrt {x}}e^{-lx}$

(25.57)

Następnie dokonajmy podstawienia wedle schematu u=lx w obliczeniach pomocniczych (25.57), dostajemy:

$\sum _{l=1}^{\infty }{{z^{l}} \over {l^{3 \over 2}}}\int \limits _{0}^{\infty }duu^{1 \over 2}e^{-u}$

(25.58)

Całka przystępna znana w analizie matematycznej podajemy poniżej, która będzie nam potrzebna w dalszych obliczeniach:

$\int \limits _{0}^{\infty }duu^{1 \over 2}e^{-u}={{1} \over {2}}{\sqrt {\pi }}$

(25.59)

Obliczoną całkę (25.59) wsadzamy do (25.58), a to z kolei wsadzamy do wzoru (25.57), otrzymujemy:

$n=n_{0}+{{1} \over {2}}{{\sqrt {\pi }} \over {4\pi ^{2}}}\left({{2mk_{B}T} \over {\hbar ^{2}}}\right)^{3 \over 2}\sum _{l=1}^{\infty }{{z^{l}} \over {l^{3 \over 2}}}$

(25.60)

Oznaczmy wyrażenie stojące z prawej strony wzoru (25.60) zależne od parametru "z" zdefiniowanej wedle (25.51) jako funkcję g_3/2(z):

$\sum _{l=1}^{\infty }{{z^{l}} \over {l^{3 \over 2}}}=g_{3 \over 2}(z)$

(25.61)

Równość (25.60), na podstawie podstawienia do niego wzoru (25.61), wtedy dostajemy wzór na "n" w zależności od n₀ i liczby "z" zdefiniowanej wedle (25.51), jest:

$n=n_{0}+\left({{mk_{B}T} \over {2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3 \over 2}g_{3 \over 2}(z)$

(25.62)

Liczba bozonów o pędzie zerowym na jednostkę objętości zależne z oczywistych powodów od parametru z zdefiniowanej wedle (25.51), jakie zajmują te bozony jest oczywiście wyrażona przez:

$n_{0}={{1} \over {V}}{{1} \over {{1 \over z}-1}}$

(25.63)

Oznaczmy jako parametr λ, który jest zdefiniowany wedle schematu poniżej, zależnej od masy tychże bozonów i temperatury układów bozonów:

$\lambda ={1 \over {\sqrt {{mk_{B}T} \over {2\hbar ^{2}\pi }}}}\Rightarrow \lambda ={\sqrt {{2\hbar ^{2}\pi } \over {mk_{B}T}}}$

(25.64)

Wyrażenie (25.62) na podstawie oznaczenia przez parametr λ (25.64) jest napisane:

$n=n_{0}+{1 \over {\lambda ^{3}}}g_{3 \over 2}(z)$

(25.65)

Po przekształceniu wyrażenie (25.65) tak by ten obiekt pomnożyć przez stałą λ³, wtedy dochodzimy do wyrażenia równoważnego do poprzedniego:

$n_{0}\lambda ^{3}=n\lambda ^{3}-g_{3 \over 2}(z)$

(25.66)

Temperatura przy której n₀ jest istotnie różna od zera, to dla z→ 1. Wiemy, że funkcja g_3/2 jest funkcją rosnącą według jego definicji (25.61), ponieważ funkcje potęgowe w nim występujące są funkcjami potęgowymi rosnącymi, i wartość maksymalną przyjmuje dla parametru "z" jest dla z równej jeden dla wcześniej określonego przedziału zmienności zmiennej "z". Kondensacja występuje przy spełnionym warunku z→ 1, wtedy n₀ jest równe zero, zatem wzór (25.66) przy tych warunkach przyjmuje postać:

$n\lambda _{kr}^{3}=g_{3 \over 2}(1)$

(25.67)

A zatem przy pomocy wzoru dla oznaczenia λ (25.64) wzór (25.67) można zapisać w takowej postaci:

$n\left({{2\hbar ^{2}\pi } \over {mk_{B}T_{kr}}}\right)^{3 \over 2}=g_{3 \over 2}(1)\Rightarrow \left({{2\hbar ^{2}\pi } \over {mk_{B}}}\right)^{3 \over 2}={{g_{3 \over 2}(1)T_{kr}^{{3} \over {2}}} \over {n}}$

(25.68)

Temperaturę krytyczną T_kr na podstawie równania (25.68) można zapisać:

$T_{kr}={{n^{2 \over 3}2\hbar ^{2}\pi } \over {mk_{B}g_{3 \over 2}^{2 \over 3}(1)}}$

(25.69)

Wiadomo, że w kondensacie Bosego-Einsteina, jeśli skorzystamy ze wzoru (25.67) dla temperatury krytycznej, w której zaczyna się tworzyć kondensat Bosego-Einsteina, wtedy n₀=0, a liczba cząstek "n" w zależności od temperatury krytycznej jest zapisana:

$n={{g_{{3} \over {2}}(1)} \over {\lambda _{kr}^{3}}}\Rightarrow n=\left({{mk_{B}T_{kr}} \over {2\hbar ^{2}\pi }}\right)^{3 \over 2}g_{3 \over 2}(1)$

(25.70)

Wzór (25.62) zapisanej na ogólną liczbę cząstek bozonów w badanym układzie na podstawie (25.70) przyjmuje inną równoważną do poprzedniego postać:

$n=n_{0}+n\left({{T} \over {T_{kr}}}\right)^{3 \over 2}{{g_{3 \over 2}(z)} \over {g_{3 \over 2}(1)}}$

(25.71)

Wyznaczamy wielkość n₀ we wzorze na całkowitą liczbę cząstek znajdujących się w układzie bozonów w zależności od liczby cząstek ulegających kondensacji (25.71), zatem dochodzimy do wniosku, że liczba cząstek ulegająca kondensacji spełnia tożsamość:

$n_{0}=n\left\{1-\left({{T} \over {T_{kr}}}\right)^{3 \over 2}{{g_{3 \over 2}(z)} \over {g_{3 \over 2}(1)}}\right\}$

(25.72)

W bezpośrednim otoczeniu $T_{kr}$, przyjmujemy zgodnie dyskusją wcześniejszą, że parametr "z" jest równy jeden, wtedy wzór (25.72) po wzajemnym skróceniu funkcji g_3/2(1) dostajemy przepis na liczbę cząstek ulegająca kondensacji w otoczeniu wspomnianego punktu:

${{n_{0}} \over {n}}={{N_{0}} \over {N}}={\begin{cases}0&{\mbox{ dla }}T>T_{kr}\\1-{\left({T \over T_{kr}}\right)}^{3 \over 2}&{\mbox{ dla }}T<T_{kr}\end{cases}}$

(25.73)

Podkreślmy na zakończenie, że bozony dla temperatury bezwzględnej T>T_kr tworzą osobną fazę niż dla temperatury bezwzględnej T<T_kr, wtedy tą ostatnią fazę nazywamy kondensatem Bosego-Einsteina.