Fizyka statystyczna/Cząstki o innych statystykach

Cząstki o innych statystykach

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Spis treści
1Ułamkowe statystyki 2Uogólnienie zasady Pauliego wykluczania 3Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce

Cząstki o innych statystykach - w naszych rozważaniach rozpatrywaliśmy, gdy pewna skończona liczba cząstek (>1) może obsadzać dany stan kwantowy. Również możliwe jest uogólnienie tego stanu, jako uogólnienia statystyk kwantowych. Oczywiście takie cząstki podlegają tym rozkładom.

Ułamkowe statystyki

Dotychczas mieliśmy do czynienia, gdy funkcja falowa wielu cząstek miała postać symetryczną lub antysymetryczną. Co jest spełnione w trzech wymiarach, wtedy grupą symetrii jest grupa permutacji. W dwóch wymiarach grupą symetrii jest grupa warkoczowa. Ogólna funkcja falowa spełniająca te warunki jest funkcją spełniająca warunek:

$\psi (1,2)=e^{i\theta }\psi (2,1)\;$

(24.1)

Gdy $\theta =0$, to mamy do czynienia z bozonami, czyli funkcję symetryczną wobec przedstawień parametrów. Gdy $\theta =\pi$, to mamy do czynienia z fermionami, czyli funkcja falowa jest funkcją antysymetryczną wobec przedstawień parametrów. Ułamkową statystyką i ułamkowe ładunki charakteryzują się u kwazicząstek obserwowanych w warunkach kwantowego zjawiska Halla, wtedy mamy do czynienia z dwumiarowym gazem elektronowym w umieszczonym silnym prostopadłym polu magnetycznym.

Uogólnienie zasady Pauliego wykluczania

Istnieją próby uogólnienia statystyki dla obiektów trójwymiarowych poprzez uogólnienie zasady Pauliego dla fermionów.

Załóżmy, że mamy skwantowane poziomy o energiach ε_i, ε₂,...,ε_l, a liczba tych poziomów jest "l", i będziemy je oznaczać przez literkę "i". Przez stan w danym poziomie będziemy rozumieć, że ten poziom jest podzielony na d_i części (posiada d_i stanów) czyli za pomocą d_i-1 przegród jest on podzielony.

Według zasady Fermiego, że każde wsadzenie fermionu, zmniejsza liczbę stanów (części w danym poziomie o numerze "i") o jeden, zatem powinno zachodzić:

${{\partial d_{i}} \over {\partial n_{i}}}=-1\;$

(24.2)

gdzie

• d_i- to liczba stanów (części, podzielona za pomocą d_i-1 przegród) w i-tym poziomie.
• n_i to liczba cząstek w stanach w i-tym poziomie.

Uogólnienie zasady Pauliego polega na założeniu, ze zamiast -1 dla fermionów w (24.2) występuje liczba "g", co mamy:

${{\partial d_{i}} \over {\partial n_{i}}}=-g\;$

(24.3)

Wyznaczmy parametr d_i określanego przy pomocy wzoru (24.3), otrzymujemy:

$d_{i}=g_{i}-gn_{i}\;$,bo $g_{i}=d_{i}(n_{i}=0)\;$

(24.4)

gdzie:

• $g_{i}\;$ jest to liczba stanów (części) w danym poziomie, gdy liczba obsadzonych cząstek jest zero $(n_{i}=0)\;$.
• $g\;$ określa, że każde obsadzenie stanów dla poziomu o numerze "i", zmniejsza liczbę stanów o tą właśnie liczbę przy każdym wsadzeniu do niej jakieś cząstki.

Określając liczbę stanów mikroskopowych W_i w danym poziomie (liczba możliwości obsadzenia danego poziomu jest oznaczona przez n_i cząstek), która jest kombinacją z powtórzeniami z d_i stanami, które może obsadzać n_i cząstek.

$W_{i}=C_{d_{i}}^{n_{i}}={d_{i}+n_{i}-1 \choose n_{i}}={{(d_{i}+n_{i}-1)!} \over {n_{i}!(d_{i}-1)!}}={{(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)!} \over {n_{i}!(g_{i}-gn_{i}-1)!}}\;$

(24.5)

Liczbą możliwości obsadzenia danego poziomu jest równa W_i, a liczba ściśle określona możliwych obsadzeń w "l" poziomach, przy założeniach, że te poziomy są obsadzone przez n₁, n₂,..,n_l cząstek, jest napisana:

$W\{n_{i}\}=\prod _{i=1}^{l}W_{i}\;$

(24.6)

Mogą być też różne obsadzenia tych w "l" poziomach, zakładając że liczba ściśle określonych obsadzeń danego l poziomów jest równa $W\{n_{i}\}\;$, liczba możliwych obsadzeń tychże poziomów jest sumą możliwości tych ściśle określonych obsadzeń, mamy tu na myśli, że mamy liczby n₁,n₂,...,n_l ściśle określone, tych zestawów liczb może być bardzo dużo, a liczba wszystkich możliwych zestawów tych liczb wraz z możliwością obsadzeń dla ściśle określonego tego zestawu jest napisana przez:

$W=\sum _{n_{i}}W\{n_{i}\}\;$

(24.7)

Wyprowadzenie wzoru na funkcję rozkładu cząstek o ułamkowej statystyce

Po podstawieniu za entropię w uogólnionej statystyce, która jest statystyczną definicją entropii (12.74), za prawdopodobieństwo termodynamiczne Ω napisane wedle wzoru na W{n_i} (24.6), otrzymujemy:

$S=k_{B}\ln W\{n_{i}\}=k_{B}\ln \prod _{i=1}^{l}W_{i}=k_{B}\sum _{i=1}^{l}\ln W_{i}=k_{B}\sum _{i=1}^{l}\ln {{(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)!} \over {n_{i}!(g_{i}-gn_{i}-1)!}}\;$

(24.8)

We wzorze (24.8) wykorzystamy twierdzenie o logarytmie iloczynu, by potem można było wykorzystać wzór Stirlinga rozpisują po kolei silnie w odpowiedni sposób:

$S=k_{B}\sum _{i=1}^{l}{\big [}(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)\ln(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)-(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)-n_{i}\ln n_{i}+n_{i}+\;$
$-(g_{i}-gn_{i}-1)\ln(g_{i}-gn_{i}-1)+(g_{i}-gn_{i}-1){\big ]}$

(24.9)

Wyznaczmy pochodną entropii wyrażenia (24.9) względem liczby cząstek zajmujący stan o numerze "i" przez liczbę n_i, wtedy ta wielkość:

${{\partial S} \over {\partial n_{i}}}=k_{B}\left[(1-g)\ln(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)+(1-g)-(1-g)-\ln n_{i}-1+1+g\ln(g_{i}-gn_{i}-1)+g-g\right]=\;$
$=k_{B}\left[(1-g)\ln(g_{i}+(1-g)n_{i}-1)-\ln n_{i}+g\ln(g_{i}-gn_{i}-1)\right]\simeq k_{B}\ln {{(g_{i}+(1-g)n_{i})^{1-g}(g_{i}-gn_{i})^{g}} \over {n_{i}}}$

(24.10)

Zbudujmy funkcjonał taki sam jak w (22.4), ale za entropią wsadzamy wzór zdefiniowanej według (24.9), wtedy możemy policzyć pochodną tegoż funkcjonału względem liczby cząstek n_i obsadzających stan "i", która przyjmuje wartość zero, a dlaczego, to wyjaśnione zostało przy tym funkcjonale:

$k_{B}\ln {{(g_{i}+(1-g)n_{i})^{1-g}(g_{i}-gn_{i})^{g}} \over {n_{i}}}-k_{B}B\epsilon _{i}-k_{B}CV_{i}+D=0$

(24.11)

W równaniu (24.11) po podzieleniu jego przez stałą Bolzmanna k_B i przenoszeniu dwóch ostatnich wyrazów związanych ze stałą B i C na jej prawą stronę:

$\ln {{{[g_{i}+(1-g){n_{i}}]}^{1-g}{(g_{i}-g{n_{i}})}^{g}} \over {n_{i}}}=B\epsilon _{i}+CV_{i}+D$

(24.12)

W równaniu (24.12) wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie pod logarytmem naturalnym z lewej strony z wspomnianego równania:

${{{[g_{i}+(1-g){n_{i}}]}^{1-g}{(g_{i}-g{n_{i}})}^{g}} \over {n_{i}}}=e^{B\epsilon _{i}+C}\Rightarrow {[g_{i}+(1-g){n_{i}}]}^{1-g}{(g_{i}-g{n_{i}})}^{g}=n_{i}e^{B\beta \epsilon _{i}+CV_{i}+D}$

(24.13)

Podzielmy obustronnie równanie końcowe wynikowe (24.13) przez parametr g_i, wtedy dostajemy następne równoważne równanie dla niezerowego tego parametru:

${\left[1+(1-g){{n_{i}} \over {g_{i}}}\right]}^{1-g}{\left(1-g{{n_{i}} \over {g_{i}}}\right)}^{g}={{n_{i}} \over {g_{i}}}e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}$

(24.14)

Wprowadźmy nowe zmienne, które definiujemy przy pomocy ilorazu ilości cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", czyli n_i przez g_i, która mówi ile jest stanów na danym poziomie kwantowym o pewnej energii ε_k zajmujących objętości V_k, gdy liczba obsadzonych cząstek wynosi zero, zatem:

${{n_{i}} \over {g_{i}}}={\overline {n}}_{i}$

(24.15)

Na podstawie definicji nowej zmiennej (24.15), co możemy podstawić go do równania (24.14), wtedy on przyjmuje postać:

$(1+(1-g){\overline {n}}_{i})^{1-g}(1-g{\overline {n}}_{i})^{g}={\overline {n}}_{i}e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}$

(24.16)

Stałe B, C i D wyznaczamy podobnie jak dla funkcjonału (22.21), co stąd można napisać (22.23), (22.25), i (22.26), zatem wtedy wzór (24.16) można narysować w poniższych statystykach. Na podstawie (24.16) można utworzyć przykładowe statystyki:

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
$(1+(1-g){\overline {n}}_{i})^{1-g}(1-g{\overline {n}}_{i})^{g}={\overline {n}}_{i}e^{\beta \epsilon _{i}}$ (24.17)	$(1+(1-g){\overline {n}}_{i})^{1-g}(1-g{\overline {n}}_{i})^{g}={\overline {n}}_{i}e^{\beta (\epsilon _{i}-\mu )}$ (24.18)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
$(1+(1-g){\overline {n}}_{i})^{1-g}(1-g{\overline {n}}_{i})^{g}={\overline {n}}_{i}e^{\beta (\epsilon _{i}+pV_{i})}$]J3	$(1+(1-g){\overline {n}}_{i})^{1-g}(1-g{\overline {n}}_{i})^{g}={\overline {n}}_{i}e^{\beta (\epsilon _{i}+pV_{i}-\mu )}$ (24.19)

Jeśli we wzorze (24.16) zachodzi g=0, to mamy do czynienia z bozonami, wtedy:

$(1+{\overline {n}}_{i})={\overline {n}}_{i}e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D)}\Rightarrow 1={\overline {n}}_{i}\left(e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}-1\right)\Rightarrow {\overline {n}}_{i}={{1} \over {e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}-1}}$

(24.20)

Równanie (24.20) jest rozkładem Bosego-Einsteina.

A jeśli zachodzi w (24.16) g=1 to, wtedy mamy do czynienia z fermionami, dochodzimy do wniosku, że dla tego przypadku zachodzi na pewno:

$(1-{\overline {n}}_{i})={\overline {n}}_{i}e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D)}\Rightarrow 1={\overline {n}}_{i}\left(1+e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}\right)\Rightarrow {\overline {n}}_{i}={{1} \over {1+e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}}}$

(24.21)

Równanie końcowe (24.21) jest rozkładem Fermiego-Diraca.

Z definiujmy nową zmienną ω_i, które przedstawimy tutaj poniżej w pierwszej linijce, w której definiujemy liczbę cząstek znajdującej się na poziomie o numerze "i" i definiujemy ją jako odwrotność sumy naszej nowej zmiennej ω_i i parametru g występującej we wzorze (24.3):

${\overline {n}}_{i}={{1} \over {\omega _{i}+g}}$

(24.22)

Dokonajmy podstawienia napisanego według (24.22) do wyrażenia (24.16) do jego lewej strony:

$\left[1+(1-g){{1} \over {\omega _{i}+g}}\right]^{1-g}\left[1-g{{1} \over {\omega _{i}+g}}\right]^{g}=\left[{{\omega _{i}+g+1-g} \over {\omega _{i}+g}}\right]^{1-g}\left[{{\omega _{i}+g-g} \over {\omega _{i}+g}}\right]^{g}={{\left(\omega _{i}+1\right)^{1-g}\left(\omega _{i}\right)^{g}} \over {\omega _{i}+g}}$

(24.23)

Równanie (24.16) przy pomocy już obliczonego wyrażenia (24.23), który jest lewą stroną wspomnianej równości, piszemy:

${{\left(\omega _{i}+1\right)^{1-g}\left(\omega _{i}\right)^{g}} \over {\omega _{i}+g}}={{e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}} \over {\omega _{i}+1}}\Rightarrow (\omega _{i}+1)^{1-g}(\omega _{i})^{g}=e^{B\epsilon _{i}+CV_{i}+D}$

(24.24)

Ze wzoru (24.24) możemy wyznaczyć parametr ω_i względem parametru n_i przedstawiający liczbę cząstek znajdujących się w stanie "i", gdy każde obsadzenie zmniejsza liczbę cząstek o "g".

${\overline {n}}_{i}(\omega _{i}+g)=1\Rightarrow \omega _{i}+g={{1} \over {{\overline {n}}_{i}}}\Rightarrow \omega _{i}={{1} \over {{\overline {n}}_{i}}}-g$

(24.25)

Wiadomo jednak, że ω_i jest liczbą nieujemną, wtedy na podstawie wzoru (24.22) dostajemy nierówność na liczbę cząstek znajdujących się w stanie o numerze "i", gdy znamy parametr wcześniej omówiony "g" :

$n_{i}\leq {{1} \over {g}}$

(24.26)

Dla temperatury zera bezwzględnego wyznaczmy czemu jest równe wyrażenie poniżej w zależności od energii danego poziomu ε_i zajmujących objętości V_k. A oto przykłady funkcji eksponencjalnej występującej w (24.16):

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
$e^{{\epsilon _{i}} \over {k_{B}T}}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}<0\\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}>0\end{cases}}$ (24.27)	$e^{{\epsilon _{i}} \over {k_{B}T}}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}<\mu \\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}>\mu \end{cases}}$ (24.28)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
$e^{{\epsilon _{i}} \over {k_{B}T}}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}<0\\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}>0\end{cases}}$ (24.29)	$e^{{\epsilon _{i}} \over {k_{B}T}}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}<\mu \\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}>\mu \end{cases}}$ (24.30)

Korzystać będziemy z równości (24.25), a także będziemy rozważać równanie (24.16), wtedy parametr ω_i przyjmuje postać dla temperatury bezwzględnej równej zero kelwinów dla przykładowych rozkładów:

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
$\omega _{i}={\begin{cases}0{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}<0\\\infty {\mbox{ dla }}\epsilon _{i}>0\end{cases}}$ (24.31)	$\omega _{i}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}<\mu \\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}>\mu \end{cases}}$ (24.32)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
$\omega _{i}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}<0\\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}>0\end{cases}}$ (24.33)	$\omega _{i}={\begin{cases}0{\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}<\mu \\\infty {\mbox{ gdy }}\epsilon _{i}+pV_{i}>\mu \end{cases}}$ (24.34)

Korzystać będziemy z własności parametru ω_i policzonego w punkcie (24.25) dla temperatury w kelwinach równej zero, wtedy funkcja (24.22) dla tej temperatury przestawia się wedle schematu w zależności od energii poziomu w danym stanie o numerze "i".

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
${\overline {n}}_{i}={\begin{cases}{{1} \over {g}}{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}<\epsilon _{F}=0\\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}>\epsilon _{F}=0\end{cases}}$ (24.35)	${\overline {n}}_{i}={\begin{cases}{{1} \over {g}}{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}<\epsilon _{F}=\mu \\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}>\epsilon _{F}=\mu \end{cases}}$ (24.36)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
${\overline {n}}_{i}={\begin{cases}{{1} \over {g}}{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}+pV_{i}<\epsilon _{F}=0\\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}+pV_{i}>\epsilon _{F}=0\end{cases}}$ (24.37)	${\overline {n}}_{i}={\begin{cases}{{1} \over {g}}{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}+pV_{i}<\epsilon _{F}=\mu \\0{\mbox{ dla }}\epsilon _{i}+pV_{i}>\epsilon _{F}=\mu \end{cases}}$ (24.38)

gdzie:

• ε_F oznacza poziom Fermiego, takiego że ε_F>0 dla parametru g różnej od zera.

Substancje oparte na ułamkowej statystyce mają średnią liczbę cząstek w temperaturze zera bezwzględnego równą:

Rozkład kanoniczny (T,V,N)	Wielki rozkład kanoniczny (T,V,μ)
$N=\sum _{i}^{\epsilon _{i}\leq \epsilon _{F}=0}{{1} \over {g}}$ (24.39)	$N=\sum _{i}^{\epsilon _{i}\leq \epsilon _{F}=\mu }{{1} \over {g}}$ (24.40)
Rozkład kanoniczny (T,p,N)	Rozkład kanoniczny (T,p,μ)
$N=\sum _{i}^{\epsilon _{i}+pV_{i}\leq \epsilon _{F}=0}{{1} \over {g}}$ (24.41)	$N=\sum _{i}^{\epsilon _{i}+pV_{i}\leq \epsilon _{F}=\mu }{{1} \over {g}}$ (24.42)