Fizyka statystyczna/Fluktuacje i ruchy Browna

Fluktuacje i ruchy Browna

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Będziemy się zajmować fluktuacjami energii (zespół kanoniczny i wielki zespół kanoniczny) i fluktuacją ilości cząstek w układzie (wielki zespół kanoniczny).

Definicja fluktuacji bezwzględnej

Fluktuacją nazywamy wartość średnią kwadratową odchylenia wielkości x od jej wartości średniej i będziemy je oznaczać: ${\overline {\delta x}}$, zatem z definicji średniego odchylenia możemy napisać:

${\overline {\delta x}}^{2}={\overline {(x-{\overline {x}})^{2}}}={\overline {x^{2}}}-{{\overline {2x}}{\overline {x}}}+{\overline {{\overline {x}}^{2}}}=({\overline {x^{2}}})-2({\overline {x}})^{2}+({\overline {x}})^{2}=({\overline {x^{2}}})-({\overline {x}})^{2}$

(26.1)

Zatem ze wzoru (26.1) dostajemy równoważne do poprzedniego wyrażenie:

${\overline {\delta x}}={\sqrt {{\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}}$

(26.2)

Na podstawie (26.2) widzimy, że fluktuacja zależy od średniej kwadratu wielkości x i od średniej tegoż wyrażenia, ten wzór (26.2) jest alternatywnym zgodnym wzorem z początkową definicją fluktuacji średniej dla badanego układu.

Definicja fluktuacji względnej

Fluktuacją względną nazywamy wielkość zddefiniowanej za pomocą ilorazu fluktuacji bezwzględnej zdefiniowanej wedle wzoru (26.2) przez wartość statystyczną średnią danego układu, i oznaczmy ją literką "k", omawiana wielkość jest równa:

$k={{\sqrt {\overline {{(\delta x)}^{2}}}} \over {\overline {x}}}={{\sqrt {{\overline {x^{2}}}-{\overline {x}}^{2}}} \over {\overline {x}}}$

(26.3)

Fluktuacje w zespole kanonicznym (T,V,N,t)

Średnia energia układu według zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie (17.4) jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wzorowi wyrażone poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego:

${\overline {E}}={1 \over {Z}}\sum _{i}E_{i}e^{-\beta E_{i}}=-{{1} \over {Z}}{{\partial Z} \over {\partial \beta }}$

(26.4)

A średnia kwadratu energii układu wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu energii jakie układ statystyczny może przyjmować:

${\overline {E^{2}}}={{1} \over {Z}}\sum _{i}E_{i}^{2}e^{-\beta E_{i}}={{1} \over {Z}}{{\partial ^{2}Z} \over {\partial \beta ^{2}}}$

(26.5)

Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, która jak wyprowadzimy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od ciepła właściwego pod stałą objętością:

${\overline {(\delta E)^{2}}}={\overline {E^{2}}}-\left({\overline {E}}\right)^{2}={1 \over Z}{{\partial ^{2}Z} \over {\partial \beta ^{2}}}-{1 \over Z^{2}}{\left({{\partial Z} \over {\partial \beta ^{2}}}\right)^{2}}={{\partial } \over {\partial \beta }}\left({{1} \over {Z}}{{\partial Z} \over {\partial \beta }}\right)=-{{\partial {\overline {E}}} \over {\partial \beta }}=k_{B}T^{2}C_{V}$

(26.6)

W rezultacie na podstawie wzoru (26.6) wzór na kwadrat odchylenia kwadratowego piszemy wedle:

${\overline {(\delta E)^{2}}}=k_{B}T^{2}C_{V}$

(26.7)

Rząd fluktuacji energii

Jeśli energia wewnętrzna na podstawie gazu doskonałego klasycznego jest wyrażona wzorem (17.11) w układzie zamkniętym, którą dla porządku dziennego powtórzymy jego zapis poniżej:

$U=E={{3} \over {2}}Nk_{B}T$

(26.8)

Ciepło właściwe gazu doskonałego o energii wewnętrznej U, zdefiniowanej przy pomocy wzoru (26.8), dla nieoddziaływających klasycznych cząstek jest wielkością niezależna od temperatury, jest wyrażona:

$C_{V}=\left({{\partial U} \over {\partial T}}\right)_{V,N,t}={{3} \over {2}}Nk_{B}$

(26.9)

Względna fluktuacja energii wewnętrznej układu zamkniętego (26.3) przy definicji ciepła właściwego dla tego gazu w tym układzie (26.9) przy wykorzystaniu wzoru na bezwzględną fluktuację energii (26.7), wyraża się:

$k={{\sqrt {\overline {(\delta E)^{2}}}} \over {\overline {E}}}={{\sqrt {k_{B}T^{2}{3 \over 2}Nk_{B}}} \over {{3 \over 2}Nk_{B}T}}={\sqrt {{2} \over {3}}}{{1} \over {\sqrt {N}}}$

(26.10)

Oczywiste jest, że według (26.10), mamy końcowy wzór na względna fluktuację liczby cząstek znajdującej się w układzie:

$k={\sqrt {{2} \over {3}}}{{1} \over {\sqrt {N}}}$

(26.11)

Na podstawie wzoru na względną fluktuację względną (26.11) otrzymamy, że czym większa jest liczba cząstek, to względna fluktuacja energii w danym układzie jest czym mniejsza. Dla liczby cząstek N dążących do nieskończoności względna fluktuacja wynosi zero, czyli nie ma względnych fluktuacji energii.

Fluktuacje w wielkim zespole kanonicznym (T,V,μ,t)

Fluktuacja energii wewnętrznej

Średnia energia układu w wielkim zespołu kanonicznym udowodnionych w punkcie (18.4) jest równa wzorowi wyrażone poprzez wielką sumę statystyczną "Q":

${\overline {E}}={1 \over {Q}}\sum _{i}E_{i}e^{-\beta E_{i}+\alpha \mu N_{i}}=-{{1} \over {Q}}{{\partial Q} \over {\partial \beta }}$

(26.12)

A średnia kwadratu energii układu wyrazimy także przez sumę statystyczną jak w przypadku (26.12) dla naszego wielkiego zespołu kanonicznego jest równa:

${\overline {E^{2}}}={{1} \over {Q}}{{\partial ^{2}Q} \over {\partial \beta ^{2}}}$

(26.13)

Średnia kwadrat fluktuacja energii cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym jak się przekonamy, jest ona proporcjonalna liniowo do kwadratu temperatury bezwzględnej i liniowo do ciepła właściwego pod stałym parametrem równym objętości układu:

${\overline {(\delta E)^{2}}}={\overline {E^{2}}}-\left({\overline {E}}\right)^{2}={1 \over Q}{{\partial ^{2}Q} \over {\partial \beta ^{2}}}-{1 \over Q^{2}}{\left({{\partial Q} \over {\partial \beta }}\right)^{2}}={{\partial } \over {\partial \beta }}\left({{1} \over {Q}}{{\partial Q} \over {\partial \beta }}\right)=-{{\partial {\overline {E}}} \over {\partial \beta }}=k_{B}T^{2}C_{V}$

(26.14)

W rezultacie mamy na podstawie (26.14) równość, którą przepiszemy dla przejrzystości wykładu:

${\overline {(\delta E)^{2}}}=k_{B}T^{2}C_{V}$

(26.15)

Rząd fluktuacji energii

Jeśli energia wewnętrzna dla wielkiego zespołu kanonicznego dla gazu doskonałego klasycznego jest napisana wedle wzoru (18.43) w układzie zamkniętym oraz pamiętając, że ciepło właściwe pod stałą objętością jest takie jak we wzorze (26.9). Korzystając ze wzoru na energię średnią układu (energia wewnętrzna układu cząstek układu statystycznego), to względna fluktuacja energii jest napisana przez wzór zależnych od średniej liczby cząstek znajdujących się w układzie wedle sposobu:

$k={\sqrt {{2} \over {3}}}{{1} \over {\sqrt {\overline {N}}}}$

(26.16)

Na podstawie (26.16), czym większa jest średnia liczba cząstek, to względne fluktuacje energii w danym układzie są czym mniejsze. Dla średniej liczby cząstek układu dążących do nieskończoności nie ma względnych fluktuacji energii.

Fluktuacja liczby cząstek

Średnia liczba cząstek w układzie według wielkiego zespołu kanonicznego, którego wyprowadzenie napisaliśmy w punkcie (18.5) jest ona równoważna do wspomnianego wzoru na tą średnią wyrażonej poprzez sumę statystyczną "Z", ale nie używają logarytmu naturalnego:

${\overline {N}}={{1} \over {Q}}{{\partial Q} \over {\partial \gamma }}$

(26.17)

A średnia kwadratu ilości cząstek w układzie wyrazimy przez sumę statystyczną naszego zespołu kanonicznego:

${\overline {N^{2}}}={{1} \over {Q}}{{\partial ^{2}Q} \over {\partial \gamma ^{2}}}$

(26.18)

A średnia kwadratu liczby cząstek układu wyrazimy przez sumę statystyczna naszego zespołu kanonicznego, i którą policzymy z definicji wartości średniej kwadratu liczby cząstek (26.18) i średniej liczby cząstek (26.17), jakie układ statystyczny może przyjmować:

${\overline {(\delta N)^{2}}}={\overline {N^{2}}}-({\overline {N}})^{2}={1 \over {Q}}{{\partial ^{2}Q} \over {\partial \gamma ^{2}}}-{{1} \over {Q^{2}}}\left({{\partial Q} \over {\partial \gamma }}\right)^{2}={{1} \over {\partial \gamma }}\left({{1} \over {Q}}{{\partial Q} \over {\partial \gamma }}\right)={{\partial {\overline {N}}} \over {\partial \gamma }}=-{{k_{B}T^{2}} \over {\mu }}{{\partial {\overline {N}}} \over {\partial T}}$

(26.19)

Średni kwadrat fluktuacji bezwzględnej ilości cząstek znajdującej się w układzie zamkniętym, które jak wyprowadziliśmy jest zależna liniowo od kwadratu temperatury bezwzględnej układu oraz liniowo od pochodnej cząstkowej średniej liczby cząstek względem temperatury bezwzględnej T panujących w naszym układzie. jest napisana:

${\overline {\delta N}}^{2}=-{{k_{B}T^{2}} \over {\mu }}{{\partial {\overline {N}}} \over {\partial T}}$

(26.20)

Opis ruchów Browna przez Einsteina

Weźmy sobie ruchy Browna, którą będziemy obserwowali w jednym wymiarze, dla której znamy rozkład prawdopodobieństwo. Załóżmy, że w przedziale czasowym (t,t+τ) cząstka zmienia swoje położenie x do x+Δ. Niech mamy N cząstek w układzie, dla których dN cząstek przemieściło się z Δ +Δ+dΔ w przedziale czasowym (t, t+τ). Infinitezymalne prawdopodobieństwo, że takie przesunięcie nastąpiło jest wyrażone poprzez:

$f_{\tau }(\Delta )d\Delta ={{dN} \over {N}}\;$

(26.21)

Prawdopodobieństwow względem małego przemieszczenia jest funkcją parzystą i spełnia warunek f_τ(Δ)=f_τ(-Δ) Całkowite prawdopodobieństwo określoną względem dowolnego przemieszczenia jest równe jedności i jest wyrażona:

$\int _{-\infty }^{\infty }d\Delta f_{\tau }(\Delta )=1\;$

(26.22)

Liczba cząstek, które w przedziale czasowym τ wyszły z przedziału dx piszemy według następującego przestawienia:

$\left(\int _{-\infty }^{-dx}+\int _{dx}^{\infty }\right)d\Delta f_{\tau }(\Delta )n(x+\Delta ,t)dx\;$

(26.23)

Gdy przerwa dx w powyższym wyrażeniu (26.23) dąży do zera, zatem granica całki prawdopodobieństwa staje się zaniedbywalnie mała, wtedy praktycznie 100% cząstek ucieka z przedziału dx. Liczba cząstek znalezione w dx w chwili t+τ, które były tam w przedziale czasowym τ jest zapisane poprzez wzór:

$n(x,t+\tau )dx=\int _{-\infty }^{\infty }d\Delta f_{\tau }(\Delta )n(x+\Delta ,t)dx\;$

(26.24)

Rozłóżmy sobie w szereg Taylora prawą stronę względem Δ, a jego lewą stronę względem τ i w ten sposób otrzymujemy tożsamość:

$n(x,t)+\tau {{\partial n(x,t)} \over {\partial t}}+...=\int _{-\infty }^{\infty }d\Delta f_{\tau }(\Delta )\left[n(x,t)+\Delta {{\partial n(x,t)} \over {\partial x}}+{{\Delta ^{2}} \over {2}}{{\partial ^{2}n(x,t)} \over {\partial x^{2}}}+...\right]\;$

(26.25)

Pierwszy wyraz po prawej stronie jest równa jedności, a dla drugiego wyrazu ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa znika ona, i tylko pozostaje nam trzeci wyraz, bo dalsze wyrazy gwałtowanie maleją do zera dla $\tau \rightarrow 0\;$, zatem w ten sposób otrzymujemy równość:

$\tau {{\partial n(x,t)} \over {\partial t}}={{\partial ^{2}n(x,t)} \over {\partial x^{2}}}{{1} \over {2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\Delta \Delta ^{2}f_{\tau }(\Delta )\;$

(26.26)

Stałą występujące we wzorze (26.26), którą oznaczymy przez D, i określimy ją względem wielkości infinitezymalnej wielkości τ, którą możemy przepisać według:

$D=\lim _{\tau \rightarrow 0}{{1} \over {2\tau }}\int _{-\infty }^{\infty }d\Delta \Delta ^{2}f_{\tau }(\Delta )\;$

(26.27)

Przy definicji stałej D (26.27) dla równości (26.25) otrzymujemy stąd wniosek, która jest związkiem łączącym pierwszą pochodną koncentracji cząstek względem czasu z drugą pochodną koncentracji względem współrzędnej iksowej, który jest opisem ruchów Browna dany przez Einsteina:

${{\partial n(x,t)} \over {\partial t}}=D{{\partial ^{2}n(x,t)} \over {\partial x^{2}}}\;$

(26.28)

Równanie (26.28) możemy uogólnić z jednego do trzech wymiarach zastępując w powyższych x przez ${\vec {r}}\;$, a całka pojedynczą przez całkę potrójną, i w ten sposób równość (26.24) po dokonaniu pewnych operacji według wcześniejszych wspomnień rozkładając go w szereg Taylora otrzymamy równość:

$n(x,t)+\tau {{\partial n(x,t)} \over {\partial t}}+...=\iiint d{\vec {\Delta }}f_{\tau }({\vec {\Delta }}){\Bigg [}n(x,t)+{\vec {\Delta }}\nabla n({\vec {r}},t)+{{(\Delta _{x})^{2}} \over {2}}{{\partial ^{2}n({\vec {r}},t)} \over {\partial x^{2}}}+{{(\Delta _{y})^{2}} \over {2}}{{\partial ^{2}n({\vec {r}},t)} \over {\partial y^{2}}}+\;$
$+{{(\Delta _{z})^{2}} \over {2}}{{\partial ^{2}n({\vec {r}},t)} \over {\partial z^{2}}}+...{\Bigg ]}\;$

(26.29)

Pierwsza całka występująca po jego prawej stronie jest równa jedności pomnożonej przez n(x,t), druga całka jest równa zero ze względu na parzystość funkcji gęstości prawdopodobieństwa, zatem dla Δ_x=Δ_y=Δ_z=Δ da nam w ostatecznych rozrachunkach:

${{\partial n({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}=\nabla ^{2}n({\vec {r}},t){{1} \over {2\tau }}\iiint d{\vec {\Delta }}\Delta ^{2}f_{\tau }({\vec {\Delta }})\;$

(26.30)

Wtedy definicja parametru D dla trzech wymiarów możemy przepisać go na podstawie (26.30) przy pomocy definicji definicji gęstości prawdopodobieństwa napisanej dla trzech wymiarów:

$D=\lim _{\tau \rightarrow 0}{{1} \over {2\tau }}\iiint d{\vec {\Delta }}\Delta ^{2}f_{\tau }({\vec {\Delta }})\;$

(26.31)

Równanie opisujące w trzech wymiarach możemy przestawić, czyli (26.30), przy definicji parametru D (26.31), w postaci:

${{\partial n({\vec {r}},t)} \over {\partial t}}=D\nabla ^{2}n({\vec {r}},t)\;$

(26.32)

Związek współczynnika dyfuzji z temperaturą bezwzględną

Równanie ciągłości napisane w trzech wymiarach napisanej dla koncentracji cząstek powiązane z gęstością prądu piszemy:

$\nabla {\vec {j}}+{{\partial n} \over {\partial t}}=0\;$

(26.33)

Pochodną czasową koncentracji cząstek piszemy przy pomocy równania (26.32), które podstawiamy do tożsamości różniczkowej (26.33) i w ten sposób możemy otrzymać tożsamość na gęstość prądu:

$\nabla \left({\vec {j}}+D\nabla n\right)=0\Rightarrow {\vec {j}}=-D\nabla n\;$

(26.34)

Cząstka poruszająca się w płynie osiąga stacjonarną gęstość dryfu proporcjonalne do działającej siły zewnętrznej, który tutaj przestawiamy poprzez współczynnik proporcjonalności η zwanej współczynnikiem ruchliwości:

${\vec {u}}=\eta {\vec {F}}_{zew}\;$

(26.35)

Gęstość dryfu ${\vec {j}}\;$ musi kompensować z gęstością dryfu $n{\vec {u}}\;$, który prowadzi do gradientu gęstości n, czyli te prądy muszą być w równowadze, co możemy napisać równość na tą równowagę wzorem:

${\vec {j}}+n{\vec {u}}=0\;$

(26.36)

Jeśli do wzoru (26.36) podstawimy wzór na gęstość prądu płynu (26.34) i wzór na prędkość stacjonarnego dryfu (26.35) i wykorzystując do tego ostatniego wyrażenie siły poprzez gradient potencjału:

$-D\nabla n-\eta n\nabla U=0\;$

(26.37)

Z drugiej jednak strony gęstość cząstek o energii potencjalnej $U({\vec {r}})\;$ możemy wyrazić poprzez tą energię i wyrazić jego gradient, który podstawimy je do tożsamości (26.37), koncentrację w zależności od energii potencjalnej cząstek i jego gradient możemy przestawić je w jednej linijce, które są wyrażone w zależności od położenia:

$n({\vec {r}})=n(0)e^{-{{U({\vec {r}})} \over {k_{B}T}}}\;$

(26.38)

$\nabla n=-{{n} \over {k_{B}T}}\nabla U({\vec {r}})\;$

(26.39)

Wzór (26.39) podstawiamy do tożsamości (26.37) i w ten sposób otrzymujemy:

${{Dn\nabla {U}} \over {k_{B}T}}-\eta n\nabla U=0\;$

(26.40)

Współczynnik dyfuzji D występujący w prawie (26.32), która jest równaniem dyfuzji wyprowadzonego przez Einsteina, przestawiamy w zależności od temperatury T i współczynnika ruchliwości η:

$D=k_{B}T\eta \;$

(26.41)

Szumy Nyquista i wyprowadzenie wzoru Nyquista

Termiczny ruch w metalach powoduje tzw. szumy Nyquista, tzn. są to fluktuację od średnich napięcia i natężenia płynącego prądu w metalach, i dla opornika możemy napisać średnią kwadratu odchylenia napięcia od kwadratu wartości średniej:

${\overline {V^{2}}}=4Rk_{B}T\Delta \nu \;$

(26.42)

Wynik (26.41) wiąże fluktuację napięcia z oporem i jest przykładem twierdzenia flutuacyjno-dyssypacyjnego. Weźmy sobie opornik o długości L i oporze R. Na końcach tego przewodnika jest umieszczony opornik R. W tym przewodniku rozchodzą się fale biegnące w przewodniku R, które są pochodzenia termicznego, które są absorbowane całkowicie bez odbić na obu jego końcach. Częstotliwość modu podstawowego, a także częstotliwość o modzie n, dla rozważanego przewodnika o długości L, przestawiamy je w jednej linijce:

$\nu _{0}={{c} \over {2L}}\;$

(26.43)

$\nu _{n}=n\nu _{0}\;$

(26.44)

Wiedząc, że częstotliwość kołowa ω_n jest związana z częstością ν_n poprzez wzór ω_n=2πν_n, wtedy energię modu o numerze n możemy określić według rozkładu Bosego-Einsteina sposobem:

$E_{n}={{\hbar \omega _{n}} \over {e^{{\hbar \omega _{n}} \over {k_{B}T}}-1}}\;$

(26.45)

Tutaj będziemy stosowali warunki na częstości kołowe ${{\hbar \omega _{n}} \over {k_{B}T}}<<1$ dla rozkładu (26.45), dla którego stosując ten warunek, otrzymujemy:

$E_{n}\simeq k_{B}T\;$

(26.46)

(Rys. 26.1) Schemat elektryczny obwodu elektrycznego służący do wyprowadzenia prawa Nyquista

Widzimy, że energia E_n nie zależy od numeru modu, zatem jeśli w szerokości Δν na podstawie (26.44) istnieje Δν/ν₀ modów, wtedy całkowita energia w naszym pasmie jest iloczynem liczby modów przez k_BT, i jeśli jednocześnie zastosujemy wzór (26.43) do wzoru na całkowitą energię, wtedy tą wielkość określamy:

$E=k_{B}T{{\Delta \nu } \over {\nu _{0}}}={{2k_{B}TL} \over {c}}\Delta \nu \;$

(26.47)

W przewodniku rozchodzą się dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach normalna i odbita, wtedy całkowity czas z jakim jedną z tych fal biegnących przebyła odległość L, czyli przez jeden przewodnik, możemy obliczyć z definicji prędkości:

$c={{L} \over {t}}\Rightarrow t={{L} \over {c}}\;$

(26.48)

Całkowita energia absorbowana przez jeden oporniki R, pochodząca od jednej fali biegnących w jednostce czasu określamy jako stosunek (26.47) przez podwojoną prędkość czasu (26.48), jest ona wyrażona jako:

$P={{E} \over {2t}}={{{{2k_{B}TL} \over {c}}\Delta \nu } \over {2{{L} \over {c}}}}=k_{B}T\Delta \nu \;$

(26.49)

We wzorze (26.49) rozpatrywaliśmy tylko jedną falę biegnącą w jednym kierunku. Z definicji energii traconej przez opornik w jednostce czasu określamy przez iloczyn kwadratu natężenia prądu i oporności odbiornika, co stosując jego definicję do (26.49):

${\overline {I^{2}}}R=k_{B}T\Delta \nu \;$

(26.50)

Według rysunku obok napięcie mierzone na obu opornikach R jest wyrażone poprzez U=2IR, co stąd wynika, że I=U/2R, wtedy całkowita moc wydzielana przez oporność jest przepisana poprzez:

$I^{2}R={{U^{2}} \over {4R}}\;$

(26.51)

Wzór (26.51) możemy podstawić do tożsamości (26.50), i na samym końcu otrzymujemy wzór (26.42), który jest wzorem Nyquista.