Fizyka statystyczna/Wstęp do fenomenologicznych równań stanu

Wstęp do fenomenologicznych równań stanu

---

Licencja

Autor: Mirosław Makowiecki Absolwent UMCS Fizyki Komputerowej Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie Email: miroslaw(kropka)makowiecki(małpa)gmail(kropka)pl Dotyczy: książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami. Użytkownika książki, do której należy ta strona, oraz w niej zawartych stron i w nich podstron, a także w nich kolumn, wraz z zawartościami nie zwalnia z odpowiedzialności prawnoautorskiej nieprzeczytanie warunków licencjonowania. Umowa prawna: Creative Commons: uznanie autorstwa, na tych samych warunkach, z możliwością obowiązywania dodatkowych ograniczeń. Autor tej książki dołożył wszelką staranność, aby informacje zawarte w książce były poprawne i najwyższej jakości, jednakże nie udzielana jest żadna gwarancja, czy też rękojma. Autor nie jest odpowiedzialny za wykorzystanie informacji zawarte w książce, nawet jeśli wywołaby jakąś szkodę, straty w zyskach, zastoju w prowadzeniu firmy, przedsiębiorstwa lub spółki bądź utraty informacji, niezależnie czy autor (a nawet Wikibooks) został powiadomiony o możliwości wystąpienie szkód. Informacje zawarte w książce mogą być wykorzystane tylko na własną odpowiedzialność.

---

---

Fenomenologicznym równaniem stanu gazu nazywamy równanie stanu gazu wyprowadzonej empirycznie, czyli za pomocą doświadczenia i jest to równanie (1.4).

Definicja jednego mola

Jednym molem nazywamy taką liczność materii, w którym znajduje się atomów w 12 gramach węgla-12(izotopu węgla o liczbie masowej A=12).

Przy pomocy doświadczenia wykazano, że w jednym molu znajduje się $6.02\cdot 10^{23}$ atomów(cząsteczek), i tą wielkość dla jednego mola substancji nazywamy stałą Avogadro i oznaczamy $N_{A}\;$. W literaturze stałą Avogadra piszemy:

$N_{A}=6,02\cdot 10^{23}mol^{-1}$

(6.1)

Można przeliczyć liczbę moli $n\;$ na ilość cząsteczek $N\;$ według:

$N=N_{A}n\;$

(6.2)

Objętość molowa

Objętością molową gazu nazywamy iloraz objętości zajmowanej przez ciało przez liczbę moli cząstek znajdujących się w danym badanym układzie, który można przeliczyć wykorzystując liczbę moli substancji liczbę (6.2).

$V_{mol}={{V} \over {n}}$

(6.3)

Często równanie (6.3) zapisuje się jako iloczyn objętości molowej równej liczbowo objętości gazu zajmowanej przez jeden mol przez liczbę moli danej substancji:

$V=V_{mol}n\;$

(6.4)

Powyższe równanie stosuje się w celu wyznaczenia objętości gazu znając jego objętość molową $V_{mol}\;$ i jego liczność "n".

Stała gazowa

Stałą gazową definiuje się jako iloczyn stałej Boltzmanna $k_{B}\;$ i stałej Avogadra przedstawiająca liczbę cząstek zajmowanej przez jeden mol danej substancji:

$R=k_{B}N_{A}\;$

(6.5)

Stała gazowa według ostatniego wzoru jest równa:

$R=k_{B}N_{A}=1,38\cdot 10^{-23}\cdot 6,02\cdot 10^{23}=8,31{{J} \over {mol\cdot K}}$

(6.6)

Wirialne równanie stanu gazu

Ogólnym równaniem stanu gazu rzeczywistego jest równanie zwane wirialnym równaniem stanu zdefiniowanej według:

$pV_{mol}=RT+{{A(T)} \over {V_{mol}}}+{{B(T)} \over {V_{mol}^{2}}}+{{C(T)} \over {V_{mol}^{3}}}+...$

(6.7)

gdzie współczynniki: $A(T),B(T),C(T),...$ są to funkcję zależne od temperatury bezwzględnej $T$, a także:

• $V_{mol}\;$ jest to objętość molowa gazu.

Zasada ekwipartycji energii

Każdemu stopniowi swobody odpowiada energia wyrażona przez wyrażenie poniżej i jest równa połowie iloczynu stałej Boltzmanna i temperatury układu jaki on posiada:

$E={{1} \over {2}}k_{B}T\;$

(6.8)

Ponieważ w gazie jednoatomowym jest N cząsteczek mogących się poruszać w trzech niezależnych kierunkach, wtedy liczba stopni swobody wynosi 3N, zatem całkowita energia układu jest:

$U=3NE={{3} \over {2}}Nk_{B}T={{3} \over {2}}nRT\;$

(6.9)

Jego ciepło właściwe właściwe po policzeniu jej jako pochodną cząstkową (6.9) względem temperatury pod stałą objętością jest wyrażone:

$C_{V}=\left({{\partial U} \over {\partial T}}\right)_{V}={{3} \over {2}}nR\;$

(6.10)

W szczególności cząsteczki mogą być dwuatomowe, trójatomowe, oczywiście połączone (w pojedynczych cząsteczkach dla atomów) sprężynkami, które mogą być z dobrym przybliżeniem oscylatorama harmonicznego. Dla gazu dwuatomowego mamy $3N\cdot 2-N=5N\;$ stopni swobody, a więc jego energia wewnętrzna jest:

$U=5NE={{5} \over {2}}Nk_{B}T={{5} \over {2}}nRT\;$

(6.11)

A jego ciepło molowe pod stałym cisnieniem jest wyrażona dla dwuatomowego gazu.

$C_{P}={{5} \over {2}}nR\;$

(6.12)

Zasadę ekwipartycji energii można udowodnić za pomocą statystyki fizycznej.

Prawo Dulonga-Petita

Twierdzenie
Ciepło molowe pierwiastków w stanie stałym tworzących sieć prostą jest wielkością stałą i niezależną od właściwości substancji i jest równe:

$C_{V}^{mol}=3R\;$

(6.13)

Atomy w ciele stałym można założyć, że są ułożone w sieć prostą, którego każdy atom oddziaływuje z sześcioma przyjaciółmi, a z każdym przyjacielem jest związana energia kinetyczna i potencjalna, a więc na jeden atom przypada 12 stopni swobody minus sześć więzów stąd mamy sześć stopni swobody, ale ponieważ atomów w sieci jest N, a więc całkowita energia kryształu jest:

$U=6NE={{6} \over {2}}Nk_{B}T=3Nk_{B}T=3nRT\;$

(6.14)

Według definicji ciepła właściwego dla danej substancji pod stałą objętością (5.40) dochodzimy do wniosku, że ono jest wielkością stałą zależną od liczby moli danej substancji i jest ona wyrażona:

$C_{V}={{\partial U} \over {\partial T}}=3nR\;$

(6.15)

A więc jego ciepło molowe pod stałą objętością, którą otrzymamy dzieląc rozwiązanie (6.15) przez liczbę moli substancji, co która jest wielkością stałą niezależną od ilości i właściwości substancji, którego kryształy tworzą sieć prostą i ta wielkość jest równa:

$C_{V}^{mol}={{C_{V}} \over {n}}=3R\;$

Co kończy dowód twierdzenia.